CC BY
137
УДК 539.3
Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2013, вып. 2
Ю. М. Даль
О РАБОТАХ В. В. НОВОЖИЛОВА ПО ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Краткая биографическая справка. 18 мая 1910 г. в городе Люблин Российской империи (ныне Люблин является крупным административным и научным центром Польши) в семье Валентина Александровича и Марии Николаевны Новожиловых родился третий сын. Его нарекли Валентином.
Валентин Новожилов рос хрупким, болезненным, но одаренным ребенком. Много читал, тонко ощущал живопись и литературу, писал стихи. Первоначальные знания по математике получил в Советской единой трудовой школе I и II ступени (после Октябрьской революции так официально называлась знаменитая гимназия Карла Мая, расположенная на 14-й линии Васильевского острова, д. 39). Здесь его любимым учителем стал известный педагог Б. И. Умнов, в числе учеников которого были такие знаменитые впоследствии ученые как физик С. Н. Вернов, математики И. А. Лаппо-Данилевский, Г. И. Петрашень и др. Небезынтересен документ, выданный ему после окончания школы:
«Дано сие окончившему весной текущего года 9-ый класс Единой Трудовой школы НОВОЖИЛОВУ Валентину, в том, что он в течение пребывания в школе отличался выдающимися усваивающими способностями, широким интересом ко всем отраслям знания и проявлял ясно выраженные творческие способности в области отвлеченного мышления, что засвидетельствовано всеми преподавателями его класса.
Подпись заведующего школой»
В 1927 г. В. В. Новожилов поступил на физико-механический факультет Ленинградского политехнического института, который окончил в 1931 г. по специальности «техническая механика». С 1931 по 1933 г. он занимался в одной из проектных организаций расчетами прочности дирижаблей, после чего был принят на должность старшего инженера-конструктора в Центральное конструкторское бюро при ленинградском Балтийском заводе. В 1939 г. Валентин Валентинович получил приглашение занять должность старшего научного сотрудника в отделе прочности Центрального научно-исследовательского института (ЦНИИ) им. А. Н. Крылова. С того времени его дальнейшая научная и инженерная деятельность была неразрывно связана с этим институтом. В годы Великой Отечественной войны он находился в эвакуации в Казани, где вместе с другими сотрудниками института занимался созданием методов расчета прочности подводных лодок. В 1943 г. В. В. Новожилов защитил кандидатскую диссертацию «Определение собственных частот колебаний сферической оболочки со свободным краем», а через два года докторскую - «Комплексное преобразование в теории тонких оболочек». В 1946 г. он опубликовал пять статей в ведущих журналах страны, в 1947 г. была издана его фундаментальная монография «Теория тонких оболочек».
В 1946 г. Владимир Иванович Смирнов пригласил В. В. Новожилова на кафедру теории упругости математико-механического факультета Ленинградского государственного университета. Приняв приглашение, Валентин Валентинович начал читать лекции, в 1949 г. получил звание профессора, а в 1950 г. был избран заведующим этой кафедры.
Даль Юрий Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет; e-mail: [email protected].
© Ю. М. Даль, 2013
Работая в ЦНИИ им. А. Н. Крылова начальником отдела, В. В. Новожилов активно участвовал в жизни университета. Одним из первых он поддержал деятельность Владимира Ивановича Зубова по открытию в университете факультета прикладной мате-матики-процессов управления. По его инициативе на факультете была организована кафедра вычислительных методов механики деформируемого тела, которую возглавил К. Ф. Черных.
В. В. Новожилов ежегодно выступал с научными докладами на семинарах кафедры теории упругости. Являясь членом Ученого совета математико-механического факультета, он присутствовал на защитах кандидатских и докторских диссертаций. Внимательно и заинтересованно следил за научной и служебной карьерой своих учеников (двое из них - Н. С. Соломенко и Н. Ф. Морозов впоследствии стали действительными членами Российской Академии наук).
За труды в области кораблестроения В. В. Новожилов был награжден многими орденами и медалями. В 1958 г. он избирается членом-корреспондентом АН СССР, а спустя несколько лет становится действительным членом АН СССР. За выдающиеся достижения в области науки и техники в 1968 г. ему присваивается высокое звание Героя Социалистического Труда, несколько позже он удостаивается Ленинской премии. Истинный патриот, он являл собой образец ученого великой державы.
14 июня 1987 г. нить жизни Валентина Валентиновича Новожилова оборвалась. Он похоронен на Волковском кладбище недалеко от могил Дмитрия Ивановича Менделеева и Алексея Николаевича Крылова.
Труды по теории упругости. Развитие теории упругости с 1947 по 1987 г. неразрывно связано с именем В. В. Новожилова. Блестящей прелюдией к этому сорокалетнему промежутку времени можно по праву считать статью [1], вышедшую в свет в 1941 г. В ней на основе соотношений нелинейной теории упругости был разработан общий подход к решению проблемы устойчивости тонких оболочек.
Собственно нелинейной теории упругости посвящена монография [2], где с удивительной четкостью и полнотой изложены фундаментальные основы данной науки. Популярности этой небольшой книги способствовало и то, что все достаточно громоздкие математические выкладки сопровождались в ней пояснениями, носящими прозрачный геометрический и физический смысл.
Образно говоря, теория упругости состоит из нескольких разнородных, но взаимосвязанных фрагментов: теории деформаций сплошной среды, теории напряжений, упругого закона, связывающего между собой эти понятия, и, наконец, приложений. В монографии [2], как отмечал сам автор, «задачи нелинейной теории упругости были классифицированы и рассмотрены возможности их упрощения в различных частных случаях». Главные результаты цитируемой работы заключались в следующем:
1. Установлено, что «нелинейность проникает в теорию упругости по трем путям, а именно через формулы для деформаций, через уравнения равновесия объемного элемента тела и через формулы связи между напряжениями и деформациями» [2, с. 125].
2. Доказано, что линеаризация формул нелинейной теории упругости основывается на трех предположениях:
а) компоненты деформации малы по сравнению с единицей;
б) углы поворота объемного элемента, выделенного из тела, малы по сравнению с единицей, причем их квадраты, в свою очередь, пренебрежимо малы по сравнению с удлинениями и сдвигами;
в) напряжения и деформации связаны между собой законом Гука.
3. Все задачи теории упругости были разбиты на четыре класса:
- линейные геометрически и физически,
- линейные геометрически и нелинейные физически,
- нелинейные геометрически и линейные физически,
- нелинейные геометрически и физически.
4. Разработана общая теория устойчивости равновесия упругого тела произвольной формы, следующего закону Гука. Выведены дифференциальные уравнения и сформулированы краевые условия задач упругой устойчивости (в том числе и для тел, поверхность которых находится под действием гидростатического давления).
5. Проанализированы специфические упрощения, возможные при изучении деформаций гибких тел. На основе нелинейных соотношений трехмерной теории упругости предложен единообразный метод исследования деформаций гибких пластин, оболочек и стержней.
В 1951 г. В. В. Новожилов опубликовал статью о связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой изотропной среде [3]. Она стала своеобразной конкретизацией тех общих «достаточно неопределенных» (как он писал) соотношений, которые были получены ранее в монографии [2]. Поскольку упругие свойства нелинейно-упругих изотропных тел характеризуются тремя скалярными функциями от инвариантов деформации (их обычно называют обобщенными модулями упругости), цель исследования состояла в выборе наиболее удобной системы таких модулей. В качестве последних приняты: обобщенный модуль объемного расширения K, обобщенный модуль сдвига G и фаза подобия ш девиаторов напряжений Da и деформаций De. Упругий закон был записан в двух формах:
- либо в виде равенства, выражающего тензор напряжений через тензор деформаций:
cos (Зф + ш) /Т sinw f о 2
DZ ~ \ - „„„ о > DS - ~e'2I
_ _ tuo I *J Ш IJU / „ kJ Olli и/ I „ o ¿d _ \ ,
Da = 2G -V --TT \ e ~ Ч®2 ' 1
cos y e2 cos \ 3 J
где sin3-0 = (л/з/2) ^ез j; (—7г/6 ^ ф ^ тг/6); ei и - второй и третий инварианты девиатора деформаций; I - единичный тензор,
- либо, наоборот, в виде выражения, связывающего тензор деформаций с тензором напряжений:
De = ± А, - (В* - ) . (2)
2G cos 3£ V cos 3£ у 3 J
Здесь sin3£ = (л/з/2) ^вз js> (—7г/6 ^ ф ^ 7г/6), S2 и S3 - второй и третий инварианты девиатора напряжений.
Отметим два важных момента. Первый: тензорные соотношения (1) и (2) выведены в предположении малых деформаций нелинейно-упругой среды. Второй: функция ш = £ — ф, не имеющая аналога в линейной теории упругости, является своеобразной мерой отклонения от закона подобия девиаторов напряжений и деформаций.
Следующий шаг был сделан в [4], где приведено доказательство того, что:
1) формулы (1) и (2) верны для упруго-пластических материалов;
2) полученные результаты справедливы и для больших деформаций, если компоненты деформации определяются зависимостями
du 1 dx 2
du dx
2
+
dv
2
+
dw
dx J \dx
а компоненты напряжения заменяются выражениями
du dv du du dv dv dw dw
; £xy Ьт: Ьт: Ьт: Jj ИТ. Д.,
dy dx dx dy dx dy dx dy
l(1 + 2eyy)(1 + 2ezz) - el
yz
1 + 2ea
°xx и т. д.,
2
и
(1 + 2еуу)(1 + 2егг) - е^ /(1 + 2ехх) (1 + 2егг) - е2хг
= = V-гт^-= V-гт^-^ и т-д-
В. В. Новожилов неоднократно подчеркивал, что при активной пластической деформации упруго-пластическое тело практически не отличается от нелинейно-упругого с аналогичной диаграммой растяжения. Поэтому совершенно естественным выглядит его анализ инвариантов напряжений, используемых в теории пластичности.
В небольшой (по объему), но чрезвычайно значимой (по существу) работе [5] было введено понятие о среднем касательном напряжении т в произвольной точке деформируемого тела
т = lim
Q^ü
где О - площадь сферической поверхности с центром в рассматриваемой точке. Как показали результаты проведенных вычислений, т = 0.633^, 0.731 ^ т/ттах ^ 0.633. Здесь ттах и Ti - соответственно максимальное касательное напряжение и интенсивность касательных напряжений. Приведенные соотношения дают ясное физическое истолкование инварианту Ti и, кроме того, определяют диапазон изменения т/ттах.
Аналогичные вычисления по отношению к интенсивности деформаций сдвига Y свидетельствуют о том, что при малых деформациях этот инвариант можно рассматривать как половину среднего угла сдвига в рассматриваемой точке тела. Таким образом, гипотезе единой кривой т = f (т), используемой в деформационной теории пластичности, была дана ясная физическая трактовка.
В статье [6] изучен сравнительно узкий класс сложных нагружений, характеризуемый сохранением направлений главных осей в течение всего процесса деформации. Конечным результатом исследования явилась достаточно простая теория интегрирования уравнений вида
dexx = [daxx - ц (dayy + dazz)] + [ахх - (ауу + azz)/2] dФ,
2(1 + м), Е
d£xy =-^-d°xy + Заху dФ,
—aid& -\---¡T-dai = cos ivdei + ej sin ш d'ip,
2 E
где Ф = f (ui).
Задачи кручения тонкостенных стержней знаменуют собой новый этап научного творчества В. В. Новожилова. Здесь прежде всего следует отметить разработку линейной теории стесненного кручения тонкостенных стержней любого замкнутого одно-связного профиля [7]. Предполагалось, что стержень подкреплен по концам жесткими поперечными диафрагмами, которые загружены скручивающими моментами; депла-нация на торцах стержня считалась отсутствующей. Предложенная теория выявила три существенных момента. Первый - при стесненном кручении закон изменения продольных усилий в стержне оказывается идентичным закону депланации в случае его свободного кручения. Второй - при стесненном кручении тонкостенных стержней замкнутого профиля «весьма существенным фактором» (терминология авторов) является искривление их поперечных сечений. Третий - закон изменения изгибающего момента по поперечному сечению стержня идентичен закону депланации.
Приближенная теория стесненного кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля, учитывающая искривление их поперечных сечений, предложена в работе [8]. Для стержней, длина которых Ь в несколько раз превышает средний радиус поперечного сечения го, погрешность этой теории незначительна; если же Ь/го = О (1), она может оказаться «весьма существенной». Несколько особняком в этом ряду стоит оригинальное решение [9], позволяющее определять координаты центра изгиба стержня (с односвязным поперечным сечением) из решения задачи о его кручении.
В 1958 г. вышла из печати книга «Теория упругости» [10], которая явилась, как писал В. В. Новожилов, «дальнейшим развитием» монографии [2]. В ней, помимо нелинейной теории, излагались общие вопросы линейной теории, задача Сен-Венана (растяжение, изгиб и кручение призматического стержня), а также плоская задача линейной теории упругости. Предугадав широкое применение в инженерном деле анизотропных материалов, Валентин Валентинович поместил здесь детальные исследования закона Гука для анизотропных тел (в том числе кристаллов). Так, тензору модулей упругости Е^а таких материалов был сопоставлен симметричный тензор модулей объемного расширения К^ = Е^рр (здесь по повторяющимся индексам в производится суммирование от 1 до 3). Было введено понятие о главных осях анизотропии, под которыми понимаются главные оси тензора К^. В этих осях К12 = Е1211 + Е1222 + Е1233 = 0, К23 = Е2311 + Е2322 + Е2333 = 0, К13 = Е1311 + Е1322 + Е1333 = 0. Следует заметить, что главные оси анизотропии являются инвариантными характеристиками материала.
Большое внимание в [10] уделено проблеме кручения изотропных призматических стержней. Помимо общей теории, рассмотрены конкретные задачи кручения стержней с круглым, прямоугольным, треугольным, двутавровым и другими поперечными сечениями. Обстоятельно изложена физическая и механическая сущность экспериментальных исследований кручения многосвязных профилей (аналогия Прандтля). С исчерпывающей полнотой проведен анализ особенностей кручения тонкостенных стержней открытого и закрытого профиля.
Заключительная глава книги посвящена плоской задаче линейной теории упругости. Автором последовательно описываются плоская деформация, плоское напряженное состояние и обобщенное плоское напряженное состояние упругого изотропного тела. Введением комплексных переменных г = х + гу, г = х — гу поставленная задача сводится к граничной задаче теории функций комплексного переменного, решаемой видоизмененным методом неопределенных коэффициентов. Его основное достоинство «состоит в том, что он позволяет избежать бесконечных рядов и приводит к тем же результатам, какие для рассматриваемого класса задач дает метод интегралов типа Коши» [10, с. 343]. В последних разделах главы получено решение первой основной
краевой задачи для изотропной полуплоскости с помощью интегрального преобразования Фурье. Здесь особый интерес представляет содержание § 21, где идет речь о сосредоточенных и импульсивных силах и их описании с помощью ¿-функций П. Дирака.
Новую грань в исследованиях В. В. Новожилова открывает статья [11]. В ней определены случайные поля напряжений и деформаций для общего случая макроскопически неоднородных деформаций поликристалла, в котором каждое зерно подчиняется закону Гука. Считается, что тензор модулей упругости является функцией координат и, кроме того, все кристаллографические направления в поликристалле статистически равноценны. Основной результат данной работы заключается в выводе формулы, обобщающей закон Гука для поликристаллов:
/ \ 1 / \ 1 / , С2 д/ \ С2д/ , сз д2{акк)
( = з^Ы " + ~ ^А(акк)6г, + (3)
где Д () = д2 ()/ дхкдхк ; = 2м(зл+2М) 5 сз = (1 ~ 1<т)с1- Здесь Л и ¡л - упругие постоянные Ламе, С2 и сз - физические константы, определяемые экспериментально.
Как следует из соотношения (3), закон Гука для поликристаллов содержит не только тензор (ац}, но и его четные частные производные. Приведенная формула напоминает зависимости моментной теории упругости, не совпадая, однако, ни с одним из ее вариантов. Достаточно вразумителен и заключительный абзац этой публикации, в котором говорится о том, что без знания констант С1 и С2 «практическое значение большого количества решений конкретных задач моментной теории упругости, полученных многими авторами, представляется проблематичным» [11, с. 376].
Работа [12] является коррекцией предыдущей. В ней уточняются некоторые моменты, связанные с методом решения задачи [11], содержится статистическая интерпретация моментной теории упругости и намечается алгоритм вычислений входящих в эту теорию физических констант.
В 1972 г. был опубликован третий том сборника [13], где помещен обзор работ отечественных ученых по нелинейной теории упругости, составленный В. В. Новожиловым, Л. А. Толоконниковым и К. Ф. Черных. Интересно и примечательно как содержание четырех разделов обзора (общие вопросы; вторичные эффекты в задачах изгиба и кручения призматических и цилиндрических тел; плоские задачи; устойчивость равновесия упругих тел, в которых исходными являются соотношения нелинейной теории упругости), так и его объем (8 страниц!). Заметим, что аналогичный обзор по линейной теории упругости в восемь раз больше, хотя, как отмечают его составители, «недостаток места заставил почти полностью исключить из обзора приближенные методы решения задач теории упругости...» [13, с. 5].
Три оригинальные статьи по плоской задаче нелинейной теории упругости были написаны В. В. Новожиловым в соавторстве со своими учениками Н. Ф. Морозовым [14], А. В. Волковой [15] и К. Ф. Черных [16]. В первой выведено уравнение неразрывности в терминах функции напряжений, сформулированы граничные условия на контуре произвольного выреза и на бесконечности, указана последовательность нахождения решения соответствующих задач. Главными результатами второй работы являются: а) вывод разрешающей системы уравнений в криволинейной системе координат, линии в которой совпадают с траекториями главных напряжений; б) нахождение формулы, которая «устанавливает взаимосвязь между напряжениями вдоль свободного от нагрузки граничного контура и геометрией траекторий главных напряжений в его окрестности» [15, с. 180]. В третьей статье получено комплексное уравнение равновесия,
сформулированы статическое и геометрическое краевые условия, определены выражения для тензора истинных напряжений, главного вектора и главного момента.
В [17] выведены три различных варианта кинематических краевых условий для тонких оболочек и плоских задач нелинейной теории упругости. Первый - основной, когда на боковой поверхности тела задан вектор перемещения; второй - деформационный, в нем определены вектор полного поворота касательной к контуру и относительное удлинение вдоль этого контура; третий - промежуточный, в котором краевые величины зависят как от компонентов деформации, так и от поворота. Отметим, что во всех перечисленных вариантах не налагаются какие-либо ограничения на величины деформаций и поворотов в окрестности произвольной точки деформируемого тела.
Плоская задача нелинейной теории упругости о полом круговом цилиндре рассмотрена в [18]. Считается, что внешняя и внутренняя поверхности цилиндра смещаются относительно друг друга без изменения своих размеров и формы. Упругий закон принят в виде
где Ф - удельная энергия деформации; I\ - первый инвариант тензора деформаций; Д - относительное изменение объема; ¡л - модуль сдвига; K - модуль объемного сжатия. Вычислены значения компонент тензора упругих напряжений, определена зависимость между силой, смещающей внутренний контур, и перемещением самого контура как твердого целого.
Соображения о выборе в качестве рациональной пары тензоров «обобщенная сила - обобщенное перемещение» тензора условных напряжений - тензора кратности удлинений приводятся в [19]. Подчеркивается, что инженерные расчеты должны быть основаны на концепции условных, а не истинных напряжений. Эта статья, написанная в соавторстве с К. Ф. Черных, была последней научной работой Валентина Валентиновича Новожилова.
В заключение представляется уместным остановиться на публикациях, где Валентин Валентинович не числится в числе соавторов, но негласно является таковым. Дело в том, что он, как никто другой, умел стимулировать научные поиски своих многочисленных учеников собственным примером, консультациями, объективной и беспристрастной оценкой достижений отечественных и зарубежных ученых. Его советы, всегда проникавшие в самую суть обсуждаемой проблемы, нередко предопределяли начало нового пути многих исследователей. Ниже упомянуты лишь некоторые из трудов, где незримо присутствует credo Валентина Валентиновича.
В статьях [20, 21] освещается проблема определения вектора перемещения по заданным компонентам тензора деформации в нелинейной теории упругости (в классической теории упругости такая задача решается, как известно, формулами Чезаро). В [20] перемещение материальной частицы разложено на чистую деформацию и поворот главных осей деформации, определяемый вектором конечного поворота О = e^sinw (где е^ - орт оси поворота, ш - угол поворота). Выведена нелинейная система уравнений для нахождения О по компонентам деформации. Доказано, что существование аналога формул Чезаро в нелинейной теории упругости зависит от возможности решения этой системы в квадратурах. В [21] рассмотрен одномерный вариант той же задачи (деформация тонких криволинейных стержней). Показано, что дифференциальное уравнение для Оо (s) идентично уравнению движения ортов подвижной системы координат при вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки (здесь Оо (s) - вектор конечного поворота окрестности точки осевой линии стержня; s - длина дуги осевой линии). Так
как в общем случае данное уравнение не имеет решения в виде квадратур, то нельзя свести к квадратурам и определение вектора перемещения по тензору деформаций.
В работе [22] исследованы критическая нагрузка и форма потери устойчивости одно-осно растянутого упругого листа, ослабленного отверстием (квадратным, треугольным, круглым, эллиптическим) или прямолинейной трещиной. Размеры отверстия (трещины) считались малыми по сравнению с шириной листа. Задача решалась энергетическим методом с применением конформного отображения внешности рассматриваемого отверстия на внешность единичного круга. Для критических растягивающих напряжений а* была найдена простая формула: а* = KE (h/R)2, где E - модуль Юнга; h -толщина листа; R - характерный линейный размер выреза; K - числовой коэффициент.
В монографии [23] изложен общий подход к решению двумерных краевых задач линейной теории упругости, основанный на решении соответствующих интегральных уравнений, выведенных автором. Эффективность предложенного подхода продемонстрирована на примерах решения основных краевых задач для изотропной полуплоскости, в задаче о совместной деформации двух разномодульных плоскостей, для композита полоса - полуплоскость и др. Особое внимание уделено задачам о приповерхностных и межфазных трещинах, которые решены в геометрически нелинейной постановке.
Книга [24], как отмечал в ее предисловии В. В. Новожилов, «значительно расширяет традиционные границы проблематики теории упругости». Круг рассмотренных в ней вопросов действительно широк. Укажем лишь некоторые из них:
- общие соотношения нелинейной теории упругости (тензоры второго ранга, каноническое представление тензора, классические тензорные функции, основные кинематические и динамические зависимости, закон упругости для несжимаемого изотропного материала, закон Гука и его обобщение на большие деформации);
- упругие свойства эластомеров (структура и механические свойства полимеров, простейшие законы упругости, законы сжимаемости сплошных эластомеров и др.);
- обобщенная плоская и антиплоская деформация (основные геометрические и деформационные зависимости, изотропные сжимаемые и несжимаемые материалы, нео-гуковский материал, осесимметричные задачи для несжимаемого материала и др.);
- тонкие оболочки (деформация оболочки, общая нелинейная теория, осесимметрич-ная деформация оболочек вращения, мягкие пневматические оболочки, прямоугольные мембраны и др.);
- тонкие упругие стержни (деформация тонкого стержня, модифицированные гипотезы Кирхгофа, плоский изгиб стержня, деформация стержня кругового сечения в цилиндрической полости и др.);
- анизотропия упругих свойств (закон Гука для анизотропных материалов, главные оси анизотропии, ортотропный материал, законы упругости для ортотропных оболочек
и др.).
Краткий автобиографический очерк, написанный Валентином Валентиновичем Новожиловым, содержится в сборнике [25]. Интересные сведения о его научной школе приведены в работах [26, 27].
Литература
1. Новожилов В. В. Общая теория устойчивости тонких оболочек // Докл. АН СССР. 1941. Т. 32, № 5. С. 316-319.
2. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. 211 с.
3. Новожилов В. В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде // Прикл. математика и механика. 1951. Т. 15, вып. 2. С. 183-194.
4. Новожилов В. В. О принципах обработки результатов статических испытаний изотропных материалов // Прикл. математика и механика. 1951. Т. 15, вып. 6. С. 709—722.
5. Новожилов В. В. О физическом смысле инвариантов напряжений, используемых в теории пластичности // Прикл. математика и механика. 1952. Т. 16, вып. 5. С. 617—619.
6. Новожилов В. В. О классе сложных нагружений, который характеризуется сохранением направлений главных осей // Прикл. математика и механика. 1954. Т. 18, вып. 4. С. 415—420.
7. Новожилов В. В. Стесненное кручение труб // Учен. зап. Ленингр. ун-та. 1957. № 217. С. 254—271 (совместно с И. А. Лашмановой).
8. Новожилов В. В. Приближенная теория стесненного кручения тонкостенных стержней замкнутого профиля, учитывающая искривления поперечных сечений // Изв. АН СССР. 1956. ОТН. № 9. С. 72—83 (совместно с М. К. Кожевниковой).
9. Новожилов В. В. О центре изгиба // Прикл. математика и механика. 1957. Т. 21, вып. 2. С. 281-284.
10. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 370 с.
11. Новожилов В. В. О связи между напряжениями и упругими деформациями в поликристаллах // Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды: сб. статей к 60-летию акад. Л. И. Седова / отв. ред. М. А. Лаврентьев. М.: Наука, 1969. С. 365-376.
12. Новожилов В. В. О связи между математическими ожиданиями тензоров напряжений и деформаций в статистически изотропных однородных упругих телах // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, вып. 1. С. 67-74.
13. Новожилов В. В., Толоконников Л. А., Черных К. Ф. Механика в СССР за 50 лет: сб. статей: в 4 т. / под ред. Л. И. Седова. Т. 3: Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1972. С. 71-78.
14. Новожилов В. В. Нелинейная задача для плоской сплошной среды в эйлеровых координатах // Вестн. Ленингр. ун-та. 1972. № 19. С. 103-105 (совместно с Н. Ф. Морозовым).
15. Новожилов В. В. Плоская задача теории упругости изотропных тел в криволинейных координатах, линии которых совпадают с траекториями главных напряжений // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1973. № 4. С. 178-180 (совместно с А. В. Волковой).
16. Новожилов В. В. Нелинейная плоская задача теории упругости (плоская деформация) // Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1975. Вып. 1. С. 122-129 (совместно с К. Ф. Черных).
17. Новожилов В. В. О кинематических краевых условиях в нелинейных задачах теории упругости // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1975. № 5. С. 63-71 (совместно с В. А. Шаминой).
18. Новожилов В. В. Плоская нелинейная задача о деформации полого цилиндра // Механика деформируемого твердого тела: сб. науч. трудов. Тула: Тульск. политех. ин-т, 1983. С. 21-32 (совместно с Е. В. Михайловой).
19. Новожилов В. В. Об «истинных» мерах напряжений и деформаций в нелинейной механике деформируемого тела // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1987. № 5. С. 73-79 (совместно с К. Ф. Черных).
20. Шамина В. А. Об определении вектора перемещения по компонентам тензора деформации в нелинейной механике сплошной среды // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1974. № 1. С. 14-22.
21. Шамина В. А. Некоторые аналогии в задаче об определении вектора смещения по тензору деформации // Изв. АН СССР. Механика тв. тела. 1974. № 3. С. 76-83.
22. Бочкарев А. О., Даль Ю. М. Локальная устойчивость пластин с вырезами // Докл. АН СССР. 1989. Т. 308, № 2. С. 312-315.
23. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.
24. Черных К. Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, Ленингр. отд., 1986. 336 с.
25. Проблемы механики твердого деформируемого тела: сборник к 60-летию акад. В. В. Новожилова / отв. ред. Л. И. Седов. Л.: Судостроение, 1970. 512 с.
26. Валентин Валентинович Новожилов и его научная школа / под ред. К. Ф. Черныха, Н. Ф. Морозова, В. А. Шаминой. СПб.: Науч. исслед. ин-т химии С.-Петерб. ун-та, 1998. 159 с.
27. Черных К. Ф., Михайловский Е. И., Никитенков В. Л. Об одной ветви научной школы Новожилова. Сыктывкар: Изд-во Сыктывкар. ун-та, 2002. 147 с.
Статья поступила в редакцию 20 декабря 2012 г.
