О прямой задаче рассеяния для георадара Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.1

С. В. Ялунин, Ф. С. Бессараб,

И. В. Карпов, А. В. Радиевский

О ПРЯМОЙ ЗАДАЧЕ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ГЕОРАДАРА

Обсуждается постановка прямой задачи рассеяния для георадара. В качестве теста рассмотрены георадарные сигналы для некоторых подземных объектов.

The article analyses scattering problem for a ground penetrating radar and presents a test on the basis of ground penetrating radar system signals for several underground objects.

Ключевые слова: георадар, прямая задача рассеяния.

Keywords: ground penetrating radar, scattering problem.

В настоящее время методы построения структуры объектов по рентгеновским лучам, сейсмическим и электромагнитным волнам нашли широкое применение в медицине [1; 2] и геофизике [3; 4], а также в космических исследованиях, в которых на данный момент радиозондирование является практически единственным доступным средством определения внутренней структуры космических тел. Большие успехи рентгеновской лучевой томографии в медицине связаны с адекватностью лучевого приближения, а также с возможностью сканировать человеческое тело с разных сторон. В электромагнитной томографии земной поверхности ситуация сложнее. Во-первых, зондирование возможно только с одной стороны земной поверхности. Во-вторых, глубина проникновения электромагнитных волн определяется главным образом поглощением грунта и центральной частотой спектра зондирующего импульса. На практике для получения высокого разрешения по глубине приходится использовать сверхширокополосные и сверхкороткие импульсы — "simple pulse". Разработка аппаратуры, использующей такие импульсы, требует учета множества противоречивых факторов, связанных с повышением потенциальных возможностей георадара [5]. Цель данной работы — постановка и решение задачи рассеяния для модельного изучения потенциальных возможностей георадаров.

Типичный георадар серии «Лоза» [6] состоит из приемной и передающей дипольных антенн, расположенных параллельно на фиксированном расстоянии друг от друга. В некоторый момент времени, передающая антенна излучает электромагнитный: импульс. При распространении в среде электромагнитный импульс частично отражается от неоднородностей, в которых наблюдается пространственное изменение диэлектрической проницаемости или проводимости. Приемная антенна фиксирует отраженный сигнал как функцию времени приема и положения георадара. Результатом подповерхностного зондирования является двумерное распределение интенсивности сигнала. Например, на рисунке 1 представлено изображение, полученное георадаром «Ло-

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2009. Вып. 4. С. 31 — 34.

за-В» при археологическом исследовании на склоне южнее гробницы Хафраанха в 2006 г. в ходе российской археологической миссии, организованной институтом востоковедения РАН [6]. На этом рисунке отчетливо проявляются характерные гиперболические структуры, возникающие при отражении сигнала от локализованного подземного объекта. К сожалению, изображения, полученные с помощью георадара, не всегда допускают ясную интерпретацию. Оператор может лишь с большей или меньшей долей уверенности строить предположения о наличие подземных объектов и их форме. В рассмотренном примере, при дальнейших раскопках было установлено, что полученное изображение соответствует гробнице (рис. 2), состоящей из двух «комнат».

Рис. 1

Рис. 2

Один из возможных путей преодоления проблемы интерпретации заключается в постановке и решении прямой задачи рассеяния для георадара, а также исследовании изображений для различных подземных объектов. Прямую задачу рассеяния можно формулировать как в импульсночастотном (см., например, [7]), так и в координатно-временном представлениях. Поскольку приемный сигнал в нашем георадаре является функцией положения и времени приема, будем далее придерживаться координатно-временного представления. Из уравнений Максвелла, используя понятие вектора Герца [8, с. 282], мы получили следующее интегральнодифференциальное уравнение для электрического поля в среде:

Е (г, 0 = Е 0 (г, 0 + (4п) 1 \ у(г)

grad йіу - и ~

д_

дї2

2 Л

Е (Г', ї')

й¥',

(1)

где Е0(г, ї) — электрическое поле передающей антенны, Е(Г, ї) — результирующее поле с учетом рассеяния, ї' = ї - |г - Г'|/ и — момент времени с учетом времени задержки сигнала, у(г) = (є(г) - є)/є и Е — средняя диэлектрическая проницаемость грунта. Используя первое приближение Борна, а также некоторые другие упрощающие предположения, нам удалось свести задачу рассеяния к интегральному уравнению Фредгольма I рода с частично разностным ядром, которое свя-

2

г - г

зывает относительную диэлектрическую проницаемость грунта с сигналом !ДхД) в приемной антенне:

где Ь(.) — ядро интегрального оператора; Н=пТ/2 — наибольшая глубина, доступная для зондирования за время Т, в течение которого ведется прием сигнала, а и — средняя скорость электромагнитных волн в среде в нулевом приближении Борна. Ядро интегрального оператора содержит аппаратную функцию К(£), которая определяется формой импульса тока в передающей и чувствительностью приемной антенн. Если длительность импульса обозначить через т, то функция К(£) должна обращаться в ноль при К0 и при ^т. В дальнейшем будем подразумевать под прямой задачей рассеяния проблему определения приемного сигнала Ц(х,£) для заданного распределения диэлектрической проницаемости, т. е. функции ^(х,у).

В качестве теста рассмотрим примеры восстановления георадарного сигнала для отражающих объектов с известной формой. Для этого нами была разработана и реализована в виде программы на С++ модель распространения сигнала. Предполагалось, что грунт является диэлектриком со средней относительной диэлектрической проницаемостью е=2, для которого скорость электромагнитных волн и=15 см/нс. При проведении расчетов предполагалось, что расстояние между приемной и передающей антеннами равно 1 м, а разрешение приемного сигнала по времени примерно совпадает с длительностью самого импульса и составляет 1 нс, что характерно для георадара «Лоза-В». Ниже приведены результаты расчетов для подземных объектов с глубиной залегания около 9 м. На рисунке 3, а и 3, б изображен сигнал от объектов круглой и квадратной формы с характерным размером 2 м. Отметим гиперболическую форму получаемых изображений от тестовых объектов. Можно заметить также, что для квадратного объекта, изображение результирующего сигнала имеет более «угловатую» форму. В соответствии с принятой разрешающей способностью эта тенденция должна сохраняться вплоть до объектов с размером порядка 10 см. На рисунке 3, с и 3, д изображены сигналы для протяженных объектов длиной 4 м. Заметим, что форма результирующего сигнала зависит также от положения предмета в грунте. Если объект расположен в грунте под некоторым углом к горизонту, то максимальная интенсивность отраженного сигнала смещается в сторону от реального расположения объекта. В рассмотренном примере, когда угол наклона равен 45°, это смещение составляет 2 м. Мы объясняем этот эффект отражением от наклонной поверхности подземного объекта. В заключение заметим, что в реальной среде присутствует затухание, приводящее к ослаблению сигнала и ограничению на глубину зондирования. Глубину зондирования можно увеличить, если использовать более длинные волны, для которых, как известно, затухание меньше, но при этом следует ожидать ухудшения разрешения по глубине.

и(х,/) = | йх'| йу'Ь(х - х', у', /)у(х,у),

(2)

х +у

(3)

л. m

Рис. 3 Список литературы

1. Preim B., Bartz D. Visualization in Medicine: Theory, Algorithms and Applications. Elsevier, 2007.

2. Левин Г. Г., Вишняков Г. Н. Оптическая томография. М., 1989.

3. Г. Нолет, К. Чепмен и др. Сейсмическая томография. М., 1990.

4. Knight R. Ground penetrating radar for environmental applications, Annu. Rev. Earth Planet. Sci. 29 2001. P. 229 — 255.

5. Резников А. Е., Копейкин В. В. и др. Разработка аппаратуры, методов обработки данных для электромагнитного подповерхностного зондирования и опыт их применения // УФН. 2000. 170. С. 565—568.

6. http://geo-radar.ru

7. Polat B., Meincke P. A forward model for ground penetrating radar imaging of buried pefect electric conductors within the physical optics approximation, Int. J. Electron. Commun. 2004. 58. P. 362 — 366.

8. Jackson J. D., Classical Electrodynamics, 3rd ed. Wiley, 1999.

Об авторах

И. В. Карпов — д-р физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.

Ф. С. Бессараб — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

А. В. Радиевский — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

С. В. Ялунин — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта.

Authors

б

а

д

с

Ivan Karpov — Prof., IKSUR.

Fyodor Bessarab — Dr., IKSUR. Alexander Radiyevsky — Dr., IKSUR. Sergey Yalunin — Dr., IKSUR.