CC BY
9
Список литературы
1. Елисеева Н. А. Н(П)-распределения проективного пространства. Калининград, 2002. Деп. в ВИНИТИ РАН, № 206-В2002.
2. Bortolotti E. Connessioni nelle varieta luogo di spazi; applicazione alla geometria metrica differenziale delle congruenze di rette // Rend. Semin. Fac. Sci. Univ. Cagliari. 1933. Vol. 3. P. 81—89.
3. Столяров А. В. Проективно-дифференциальная геометрия регулярного гиперполосного распределения m-мерных линейных элементов // Проблемы геометрии / ВИНИТИ АН СССР. 1975. Т. 7. С. 117—151.
4. Столяров А. В. Двойственная теория оснащенных многообразий: монография. 2-е изд. Чебоксары, 1994.
N. Eliseeva
THE EQUIPMENTS IN E. BORTOLOTTI'S SENSE OF M-SUBBUNDLES OF STRIP DISTRIBUTION
For M-subbundles of Н(П)-distribution the equipments in E. Bortolotti's sense are constructed.
УДК 514.756.2
Т. В. Зверева
(Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары)
О ПРОСТРАНСТВЕ КОНФОРМНОЙ СВЯЗНОСТИ НА КАСАТЕЛЬНО ОСНАЩЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА
Получено пространство конформной связности Ст т без кручения, индуцируемое касательным оснащением полем т -сфер [Ра ] многомерной поверхности Ут конформного пространства Сп.
Ключевые слова: конформное пространство, оснащение поверхности, связность.
На протяжении всего изложения индексы пробегают следующие значения:
I, J, K = 1,п; X, ц = 0,П +1; а, р = m +1,п; u, V = m +1,П —1; i, у, k = 1, m; a, Ь = 0, m, П +1.
Рассмотрим конформное пространство Сп, отнесенное к полуизотропному реперу Я = {А0,А1,Лп+1} [3]. Инфинитези-мальные перемещения репера {Ах} определяются уравнениями dAl=юЦАц, где дифференциальные формы Пфаффа юЦ удовлетворяют структурным уравнениям конформного пространства Сп [4; 5]. Геометрически отнесение конформного пространства Сп к полуизотропному реперу Я означает, что вершины А0, Ап+1 репера принадлежат гиперквадрике Дарбу проективного пространства Рп+1, а вершины А/ лежат на пересечении касательных гиперплоскостей к 2пг в точках А0, Ап+1. При такой специализации репера уравнение гиперквадрики Дарбу имеет вид [4; 5]:
gKxIxK + 2 х0 хп+1 = 0. (1)
В полуизотропном репере, согласно [4; 5], справедливы соотношения
„п+1 0 ,-,0 I ,, п+1 р.
Ю0 = Юп+1 = Ю0 + Юп+1 = 0
юГ1 + gIкЮK = 0, ю/ + g1кюкn+l = 0,
^и — gIKюJ — gкJЮf =
Отметим, что в силу овальности гиперквадрики (1) тензор gи невырожден:
ки си 1 и . к и . ки I р. gкg =51, ^ + g юк + g юк =
На гиперквадрике Дарбу 01 проективного пространства Рп+1 возьмем поверхность Ут (т < п — 1), описываемую точ-
кой А0 е 01. Прообразом поверхности Ут с О при отображении Дарбу является поверхность Ут конформного пространства Сп.
Дифференциальные уравнения т-мерной поверхности Ут с Сп в репере 1-го порядка имеют вид = 0, результат продолжения последних уравнений есть ю" = Л". , Л1^.] = 0.
По аналогии с работой [6] гиперполосой Нт в п-мерном конформном пространстве Сп (т < п -1) назовем поверхность Ут, оснащенную т-параметрическим семейством касательных (п-1)-мерных линейных элементов (А0, £п-1): А0 е Тт с Ьп-1 (где Тт — касательная плоскость к Ут в точке А0); при этом поверхность Ут называется базисной. Зададим элемент Ьп-1 точкой А0, гиперсферами А1 е Тт и (п-т-1) гиперсферами Ру, то есть Ьп-1 = [А,, А1, Ру ], где Ру = х0 А0 + Ау.
Известно [7], что в этом случае с т-мерной поверхностью Ут (т < п — 1) п-мерного конформного пространства Сп инвариантным образом ассоциируется т-мерная гиперполоса кривизны Нт , для которой исходная поверхность является базисной; при этом в полуизотропном полуортогональном репере 1-го порядка гиперполоса Нт с Сп определяется системой уравнений Пфаффа
а п и г\ а а а / 1 а 1 /
Ю0 = Юи = Юп = 0 Ю =Ла, Юа = Ла;,
где
Ла] = 0, Ли[аКк = 0, Лп[аКк = 0, Ъ ьА, + ЪаРЛ, = (2)
Пусть поверхность Ут с Сп оснащена полем касательных т -сфер [Ра ], где
Ра= Х0 А0 + Аа ,
определяемым полем квазитензора {х°}:
„70.00 О р. О О 1
ёХа + Ха- Хр< + ®а = Ха1 ®0 •
Такое оснащение эквивалентно тому, что в пространстве Сп задано дифференцируемое соответствие А0 ^ Хи"+1, где точка Х+! имеет разложение:
1 2'
при этом точки А , Х"п+1 и проходящие через них гиперсферы А1, Ра образуют конформный полуортогональный репер Я" = {А0,А„Ра,Х:+1} .
Возьмем систему из (т + 2)2 форм Пфаффа {о }, где
о 0 = а, о0 = < о0 +о п+1 = 0,
ХГ+1 = ~ Е ар ха Х0 А0 - е ар Хр0Ра+ Аи+1;
1
2" а р ^ (3)
о П+1 =- Е1 о 0, оп+1 = < =- о 0
о0 =ш° -х0ша--Еарх0хРш
г г а г о ар
о 1 = а1, ог1 = ю™ = 0, о0+, = ю0+, = 0.
г г ' 0 0 ' п+1 п+1
Система форм (3) удовлетворяет структурным уравнениям пространства конформной связности [8] Стт с т-мерной базой Ут и т-мерными слоями, являющимися конформными пространствами С т (иг) = С т (и):
эо0 = о0 Л (ок -51 о0),
1 (4)
поа, = о Ь ло" + - Л.", о* ло 0,
Ь Ь с 2 Ья/ 0 0'
где совокупность функций {л} есть тензор кривизны-кручения пространства Ст т:
ёщ,+2Я.1, о0 - с, оь - о к - ок + ос=я:Л о 0.
В структурных уравнениях (4) компоненты тензора кривизны-кручения Я.^ пространства Стт в силу соотношений (3), (4) имеют следующее строение:
п0 _ п»+1 _ пп+1 _ о. _ оп+1 _ п0 _ о Л0Л Лп+Ы ЛШ Л0 Л0 Лп+Ы "э
я, _ 2(л:[,л;(]+х:л.,- ^:рх:хр,- g:рхр(5) Я0 _ 2( g :РХ0Х0 g - Х0 Л: ) причем
Я+ы _-gjkяL, + gЛt _0-
Замыкая уравнения
00 0л ок (см. (4)), получим Я^ _ 0. Аналогично, в силу _ 0, ЯП+1 _ 0 (см. (5)) из структурных уравнений (4) найдем:
Яы) _ 0, ЯР) р _ 0.
Таким образом, имеем:
Як,) _ 0, Я(1,) _ 0, )р _ 0. (6)
Соотношения (6) представляют собой аналоги тождеств Риччи пространства Ст,т без кручения.
Система функций {я.,} образует тензор, при этом тензор
Яу _ Я. называется тензором Риччи [8] пространства Ст т без кручения. Согласно [8], в случае симметрии тензора пространство Стт назовем эквиконформным. Используя соотношения (5), найдем альтернированный тензор Риччи:
Я. ] _л:, л:] + хРлР,;
[и] .[э ] Р [я] '
из последних соотношений в силу (2) имеем: Я[у] _ 0 . Таким образом, доказана
Теорема 1. Инвариантное касательное оснащение поверхности Ут в конформном пространстве Сп полем т-сфер [/" ] индуцирует пространство конформной связности Стт с полем метрического тензора g¡j, определяемое системой форм
Пфаффа (3), причем компоненты тензора кривизны-кручения этого пространства имеют строения (5); при этом пространство Стт является эквиконформным и имеют место аналоги тождеств Риччи (6).
Рассмотрим в проективном пространстве Р^ точку M, заданную в репере R своими координатами хх , то есть M = хх A х . Пусть эта же точка M в репере R " имеет разложение M = .у Ч0 + у' A, + у " Ра + у^Х П+1 .
«Старые» координаты хх точки M и ее «новые» координаты ух связаны соотношениями
х0 = у0 + х" У"- 2 g "х" х00 уп+1, х' = у', х" = у" - g"рх°руп+\ (7)
х»+1 = у«+1.
Так как в репере Я " система из п - т уравнений у" = 0 определяет (т + 1)-плоскость [А0А,XП+1] с Рп+1, то в репере Я, согласно (7), ее уравнения имеют вид:
х" + g "рх°хп+1 = 0 . (8)
Следовательно, при перенесении Дарбу точки фиксированного слоя Ст (и) пространства Стт отображаются в точки
квадрики Дарбу получающейся при пересечении (т +1)-
плоскости [А0А,X П+1] с гиперквадрикой Дарбу 02 .
Таким образом, справедлива
Теорема 2. Все точки каждого слоя пространства конформной связности Стт, индуцируемого касательным оснащением многомерной поверхности Ут с Сп полем т-сфер [Р:], при перенесении Дарбу пространства Сп на проективное пространство Рп+1 отображаются в точки квадрики <21, получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу 2п2 с полярой (п - т - 1) -плоскости [Р: ] с Рп+1 относительно этой гиперквадрики.
Пусть задано полное оснащенение поверхности Ут с Сп, то есть кроме касательного оснащения полем т-сфер [ Р: ] задано ее нормальное оснащение полем (п-т)-сфер [ Р1 ],
Р _ А, + х,°Л, определяемым полем квазитензора {х,0}:
7 0 0 0 0 , 0 0 . /Г1\
axi + со0 - х.а. + юi _ х.Юд. (9)
Уравнения (9) с использованием форм (3) примут вид:
ах0г + х°аЦ - х°п. +а° _ х°п..
Следовательно, задание поля квазитензора х,0 на касательно оснащенной поверхности Ут с Сп определяет нормализацию [9] пространства конформной связности Ст т . Доказана
Теорема 3. Инвариантное полное оснащение т-мерной поверхности Ут конформного пространства Сп полями квазитензоров х,0, х0а индуцирует нормализованное пространство конформной связности Ст т, определяемое полями т-сфер [ Р: ] и (п-т)-сфер [Р1 ], задаваемыми соответственно полями квазитензоров х0, х,0 .
Список литературы
1. Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. М., 1948.
2. Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований // Тр. Моск. мат. о-ва. 1953. Т. 2. С. 275—382.
3. Бушманова Г. В., Норден А. П. Элементы конформной геометрии. Казань, 1972.
4. Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей // Матем. сб. М., 1961. Т. 53, № 1. С. 53—72.
5. Akivis M. A., Goldberg V.V. Conformai differential geometry and its generalizations. USA, 1996.
6. Вагнер В. В. Теория поля локальных гиперполос // Тр. семинара по векторн. и тензорн. анализу. Вып. 8. М., 1950. С. 197—272.
7. Зверева Т. В. Гиперполоса, ассоциированная с т-мерной поверхностью конформного пространства // Актуальные проблемы современной науки: труды X-й Международной конференции молодых ученых и студентов. Естественные науки. Ч. 1, 2: Математика. Математическое моделирование. Самара, 2009. С. 28—32.
8. Столяров А. В. Пространство конформной связности // Изв. вузов. Математика. 2006. № 11. С. 42—54.
9. Столяров А.В., Глухова Т.Н. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий. Чебоксары, 2007.
T. Zvereva
ON THE SPACE OF CONFORMAL CONNECTION AT THE TANGENTIAL FRAMED SURFACE OF THE CONFORMAL SPACE
We study the torsion-free space of conformal connection Cm m induced by tangential framing of the m-dimensional surface Vm in the conformal space Cn.
