О профилировании сверхзвуковых каналов с заданными неизоэнтропическими параметрами на выходе Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XV 19 84

№ 2

УДК 533.6.011.5

О ПРОФИЛИРОВАНИИ СВЕРХЗВУКОВЫХ КАНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ НЕИЗОЭНТРОПИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ НА ВЫХОДЕ

А. С. Войновский, В. И. Киреев

Определены контуры сверхзвуковых плоских и осесимметричных каналов, реализующих заданное распределение энтропии или полного давления на выходе, а также чисел Маха или угла наклона вектора скорости 0 на выходе и вдоль профилируемых стенок канала. Заданное распределение энтропии на выходе обеспечивается ударной волной, расположенной на входе в профилируемый канал. Построены контуры плоских и осесимметричных центральных тел и обечаек канала с числом М = 3 на входе, обеспечивающие сжатие и разворот потока до М = 1,05 и 0 = 0, а также различные распределения энтропии на выходе. Построен плоский сверхзвуковой канал, моделирующий вихревое течение около боковой поверхности затупленного тела, обтекаемого гиперзвуковым потоком.

1. В декартовой (цилиндрической) системе координат х, у рассматриваются плоские и осесимметричные каналы, в которых реализуются сверхзвуковые течения невязкого нетеплопроводного газа. Численное профилирование сверхзвуковых сопел и каналов, реализующих заданные изоэнтропические равномерные и неравномерные параметры на выходе, выполнено в работах [1—5]. Постановка задачи профилирования с учетом неизоэнтропичности течения на выходе при постоянной энтропии на входе описана в работе [5]. При этом на входе задаются все параметры, характеризующие сверхзвуковое течение w, 0, р, р. Здесь w—модуль вектора скорости, 0 — угол наклона вектора скорости к оси х, р — давление, р — плотность.

В отличие от работы [5] в статье на основе работ [6—8] профилируются конкретные плоские и осесимметричные сопла и каналы, обеспечивающие заданное распределение энтропии S2(^) [или полного давления />ог (Ф)! на выходе (Ф — функция тока), а также чисел Маха либо угла наклона вектора скорости 0 на выходе и вдоль профилируемых стенок канала. Выходное сечение, являющееся правой границей Г3(Г4) (рис. 1), заранее не фиксируется и вдоль него, в зависимости от требуемых условий выхода потока, профилированием канала реализуются заданные распределения М (<р) или 0(4>) и 52(ф).

Так же как и в работе [5], входной участок канала (область 1 на рис. 1, а) и поле течения в нем являются заданными. Распределение S2(i|;) обеспечивается ударной волной, расположенной на входе в профилируемый канал. Перепады энтропии за счет других ударных волн в принятой модели течения не допустимы. Расчеты проводились в предположении изоэнергетичности потока без закрутки (//= const, Q = 0, Я—полная энтальпия, Q — закрутка потока). При реализации неоднородности потока по энергии и его закрутки необходимо дополнительно задать распределения Н (ф) = h (ф) + w2 (ф)/2 (Л— энтальпия)

Рис. 1

и 0=У'со (ш — компонент вектора скорости, -V = 0 или 1 для плоского и осесимметричного течений соответственно). Постановка задачи и результаты приведенных ниже исследований представляют интерес для создания экспериментальных установок, моделирующих распределение полного давления в сечениях силовых трактов, воздухозаборников и других каналов.

Рассмотрим некоторые особенности, используемые в рассматриваемой математической модели. Зависимости .!>1 (ф) и 52 (ф) не являются произвольно заданными функциями. Необходимо, чтобы приращение Д5=52(ф) — 5! (ф) не превышало предельного значения, при котором реализуется дозвуковое течение за ударной волной. Кроме того, в рассматриваемой постановке зависимость Д5 (<р) принимается достаточно гладкой, что обусловлено наличием одной ударной волны в профилируемом канале.

Физические соображения могут обусловить необходимость задания в качестве граничного условия характеристики ОЕ (Г5) (см. рис. 1, б) с некоторыми законами распределения р2 (ф) или 02 (ф) и 52 (ф) вдоль нее. В этом случае Г5 заранее не определена и ее необходимо рассчитывать в процессе решения задачи Гурса в области IV (см. рис. 1, б). В зависимости от физической трактовки конкретной задачи профилирования задаются также функциональные зависимости 0 и (или) давления р вдоль одной или обеих профилируемых стенок искомого канала (см. рис. 1). При этом на одном участке (например, на участке центрального тела С£> на рис. 1, б) может быть наложено условие на угол 0, а на другом (¿ЭР) на р или числа М. Эти зависимости могут быть заданы как функции от х, у. Однако при профилировании, напрИмер, воздухозаборников их удобно задавать в виде сложных функций 0 (г (ф)) и р (г (ф)), здесь ф — значения функций тока на левой известной характеристике (например, СВ, ВБ и т. д. на рис. 1, 6). Таким образом, вводится зависимость граничного условия по р и 0 вдоль профилируемых стенок С£> (ВЕ) от значения функции тока, равной фх (ф3) в точке пересечения текущей рассчитываемой характеристики 1—2 (3—4) с СВ {ВО). Такая форма задания граничных условий обеспечивает выход по 0 и р на их требуемые значения в последних точках £>, Е, F искомых участков центрального тела и обечайки. При отмеченных граничных условиях и исходных данных требуется построить центральное тело ДО и обечайку ВЕ канала АВЕй (см. рис. 1, а) или АР и Вй канала АВйР (см. рис. I, б).

Профилирование основано на решении задач Коши, Гурса и четырех смешанных краевых задач с данными вдоль ударной волны, на характеристике Г5 и (или) на границах Г, ориентированных как вдоль (IV Г2), так и поперек потока (Г3, Г4). Кратко рассмотрим характер наложения краевых условий в смешанных задачах. Для сокращения изложения в соответствии с терминологией, введенной в работе [7], ниже используется идентификация смешанных задач как задач I, 2, 3, 4, различающихся способами задания границ Г,, Г2, Г3, Г4 и параметрами вдоль них. В задачах 1 и 3 {2 и 4) на границах и Г3 (Г2 и Г4) задается 6 (р). Заметим, что ранее в задаче 1 линия тока, как правило, задавалась. В описываемой модели граница Г! заранее не определена, а рассчитывается путем итераций с использованием дифференциального уравнения для линии тока с известным углом наклона.

После решения смешанных задач I, 2 и определения центрального тела АР (см. рис. 1,6) Г3 и Г4 могут фиксироваться в плоскости х, у с помощью задания функций Г3 (г) или Г3 (ф), Г4(г) или Г4 (ф) (г — радиус-вектор),

Из условий конкретных физических задач иногда требуется решить смешанную задачу 3(4) при заданном 0 (ф) (р (ф)) и нефиксированной границе Г3 (Г4).

9—«Ученые записки» № 2

129

Тогда в задаче 3 (4) в некоторых пределах может быть доопределен второй газодинамический параметр р(ф)(8(<{0) [7]. Пределы изменения этого параметра находятся из решения задачи Гурса с заданной функцией 0(ф)(р(ф)) вдоль замыкающей характеристики.

Способ профилирования сверхзвуковых каналов, обеспечивающих сформулированные граничные условия, заключается в следующем (см. рис. 1). Вначале по известным газодинамическим параметрам на входе, по AS (ф) и соотношениям, выполняющимся при переходе через наклонную ударную волну, определяются ее положение и параметры за ней. При этом функция ф нормируется гак, чтобы в точке А фо = 0, а в точке В >Ь = 1. Параметры за ударной волной определяют данные Коши. В процессе решения задачи Коши в криволинейной области II (ABC) определяется участок АС центрального тела. Счет ведется классическим методом характеристик первого семейства С+. В областях III (см. рис. 1, а) или в III, IV, V (см. рис. 1,6) в зависимости от характера граничных условий, накладываемых вдоль искомых верхней и нижней стенок канала и поперек потока (вдоль характеристики Г5), решаются смешанные краевые задачи 1 и 2 или задача Гурса (в области IV). При этом профилируются центральное тело CD (см. рис. 1, а) и CF (см. рис. i,6), а также часть верхней стенки (BE на рис. 1,6). Построение выходной части верхней стенки осуществляется с помощью решения смешанных краевых задач 5 и 4 в областях IV (см. рис. 1, а) и VI (см. рис, 1,6).

Решение смешанных задач 1 и 2 удобно осуществлять классическим методом характеристик, а решение задачи Гурса и задач 3 и 4 — модификацией сеточно-характеристического метода по слоям ф = const [6—8]. По сравнению с классическим методом характеристик эта схема более удобна для решения краевых задач 3 и 4, а в данной модели и для решения задачи Гурса, так как подвижные расчетные слои учитывают характер задания условий на Г3, Г4, Г5.

2. На основе изложенного метода на языке ФОРТРАН-IV (ОСЕС) разработаны программные средства, позволяющие численно профилировать новый, более широкий класс плоских и осесимметричных сверхзвуковых сопел и каналов. Некоторые возможности нового подхода к расчету центральных тел и обечаек таких каналов, реализующих требуемое преобразование потока по полному давлению и скорости или углу его направления, проиллюстрированы на рис. 2—5. Каналы таких типов представляют интерес, например, для создания диффузоров различных классов, а также экспериментальных газодинамических установок, моделирующих распределения полного давления на входе и выходе тракта. Во всех расчетах набегающий поток принимался равномерным с числом Mj = 3, а границы Г3, Г4 (кроме рис. 4) — в виде прямых, ориентированных перпендикулярно касательной к центральному телу в точке D (см. рис. 1, а) или F(см. рис. 1, 6). Результаты исследований по влиянию различных распределений энтропии на выходе из профилируемой части плоского сверхзвукового канала приведены на рис. 2. Линиями 1,1°, 2,2°, 3,3° здесь показаны соответственно обечайки и центральные тела каналов 1, 2 и 3, обеспечивающих на выходе линейные распределения энтропийной функции 5 = p¡p* 5(ф) = (k — 1)S2 (фо) ф + 52 (ф0) (*—показатель адиабаты), 52 (ф0) — значение энтропийной функции за ударной волной, угол наклона которой соответствует отклонению набегающего потока на 20°, а коэффициент к для каналов 1, 2 и 3 выбирался равным 1,25, 1 и 0,9 соответственно. Жирными сплошными линиями показаны ударные волны, пунктирными — границы Г4. Штриховыми линиями обозначены характеристики, ограничи-

ло

Рис. 3

вающие область влияния данных Коши за ударной волной. В области, соответствующей области III на рис. 1, решалась смешанная задача 2 с постоянными значениями М вдоль центрального тела, которые для каналов 1,2, и 3 принимались соответственно равными Mt=l,55, М2=1,92 и М3 = 2,17. Такие же значения Mlt М2, М3 принимались на границах Г4. Канал 2, рассчитанный при постоянной энтропии поперек потока, является прямолинейным, а параметры потока в нем—постоянными. Он используется для контроля точности получаемых численных решений. Из анализа точности следует, что расхождение численного решения и точного результата не превышает 0,001%. Увеличение (уменьшение) энтропии в направлении от центрального тела к обечайке при £>1 (¿<1) обусловливает положительную (отрицательную) кривизну ударной волны, которая в свою очередь формирует аналогичную форму центрального тела.

На рис. 3 и 4 показаны профили центральных тел и обечаек соответственно для плоского и осесимметричного воздухозаборников, реализующих требуемое сжатие воздушного потока от Mt = 3 до скорости вдоль Г4, близкой к звуковой. На рис. 5 приведены результаты расчетов плоского канала, обеспечивающего заданный поворот потока. Энтропия поперек потока во всех случаях принималась постоянной. При этом участок АС центрального тела и характеристика ВС являются прямолинейными, а в смешанной области BCD реализуется течение типа простой волны.

Центральное тело, показанное на рис. 3, рассчитано с помощью решения задачи 2 с линейным распределением М (ф), меняющимся от значения М (ф0) = = 1,92 до М(ф1) = 1,05. Из рисунка видно, что в области BCD реализуется течение сжатия. Это приводит к положительной кривизне центрального тела, угол наклона которого меняется от 20° на входе до 40° на выходе. Линии М = const, приведенные с шагом 0,2, в области BCD являются прямыми, сходящимися в направлении характеристики BD. При выбранных ориентации границы Г4 и условиях вдоль нее обечайка BE обеспечивает на выходе поток, близкий к од-

Е

нородному. Действительно, изменение угла наклона вектора скорости вдоль не превышает 1°.

В практике численного профилирования сверхзвуковых воздухозаборников используется способ, в котором участок АС принимается коническим, а участок CD выстраивается при расчете простой волны—веера сжатия, фокусирующегося в точке В [9]. Такой способ позволяет спрофилировать только центральное тело и не обеспечивает получение требуемого потока в некотором сечении воздухозаборника. Изложенный выше подход и основанные на нем программные средства предоставляют новые, более широкие возможности. Так, на рис. 4 представлены результаты расчета воздухозаборника, обеспечивающего постоянные распределения энтропии и числа М=1,05 в вертикальном сечении FG, поток в котором отклонен до 6° на обечайке и до 15° на центральном теле. В расчете в областях CBD, DEF решались смешанные задачи 2 с граничным условием в виде линейных распределений М (ф), в области BDE — задача 1 с постоянным вдоль ВЕ углом наклона, равным 12,5°, и в области FEG—задача 4 с постоянным числом М, равным 1,05. Значения чисел М в точках D и F выбирались равными 1,8 и 1,05 соответственно. При решении задачи Коши параметры за ударной волной выбирались по работе [10]. Для сравнения на рис. 4 кружками нанесено положение центрального тела из работы [9].

Рис. 5 иллюстрирует возможности изложенной постановки для построения переходных каналов с заданной энтропией и углом наклона потока на выходе в сечении DE. Участок CD центрального тела построен с помощью решения задачи 1с линейным распределением 0 (ф), меняющимся в диапазоне в(ф0) = 20°, 6 (ф,) = 0. В отличие от рис. 3 центральное тело на участке CD имеет оживаль-ную форму и обеспечивает в области BCD течение разрежения. Профилирование верхней стенки канала осуществлялось решением задачи 3 с граничным

условием 0 (ф) = 0. Тонкими линиями на рис. 5. показаны линии уровня M = const. Из их поведения в области BDE видно, что числа М вдоль линии тока на спрямляющем участке меняются слабо и реализуются в основном поперечные градиенты. Так, на центральном теле и на обечайке в выходном сечении числа М равны 2,78 и 1,93 соответственно.

На рис. 6 приведены результаты построения плоского канала, моделирующего на выходе (DE) при % = 1,4 распределения энтропийной функции (кривая/ на рис. 6, а) и статического давления (р (ф) = 2-103 па = const) в некотором сечении, ориентированном поперек потока около затупленного плоского тела. Эти данные получены при решении внешней задачи обтекания указанного тела на гиперзвуковом режиме, характеризующемся наличием высокоэнтропийного слоя с большим перепадом р02 (Ф) (или 52(Ф)) поперек потока. Так, отношение рог (4jo)//7o2 (Ф1) = 77. Это обстоятельство обусловливает сильную кривизну ударной волны АВ. Заданные условия поперек потока определяют величину Mt = 9, полное давление />01 = 4-105*Па в набегающем потока. При этом в моделируемом сечении DE обеспечивается профиль числа М, показанного на рис. 6, а линией 2 (М (ф]) = 1,05, а М(ф0) = 4). В результате решения обратной задачи профилирования стенок канала на его выходе обеспечивается достаточно однородный по углу 0 поток (кривая 3 на рис. 6, а). Действительно, максимальное отклонение £=tg0 вдоль DE от значения 1=1,1 составляет величину 0,1 (5°). Отметим, что построенный канал обеспечивает достаточно хорошее моделирование импульса и скоростного напора на выходе из канала с учетом влияния высокоэнтропийного слоя.

ЛИТЕРАТУРА

1. К а ц к о в а О. Н., К р а й к о А. Н. Расчет осесимметричных изоэнтропических течений реального газа.—Ж. вычисл. матем. и ма-тем. физ., 1962, т. 2, № 1.

2. Пирумов У. Г., Рубцов В. А. Суворова В. Н. Расчет

осесимметричных сопел с учетом равновесных физико-химических превращений. — В кн.: Численные методы в газовой динамике,

вып. 2, — М.: Изд-во МГУ, 1963.

3. Киреев В. И. О моделировании газовых струй, истекающих из реальных сопел Лаваля.—Ученые записки ЦАГИ, 1976, т. VII, №2.

4. К и р е е в В. И., Пирумов У. Г. О профилировании сопел модельных систем.—Изв. АН СССР, МЖГ, 1979, № 2.

5. К р а й к о А. Н., ШеломовскийВ. В. О профилировании плоских и осесимметричных сопел и каналов, реализующих заданный сверхзвуковой поток в сечении выхода.—„Изв. АН СССР, МЖГ“,

1981, № 4.

6. Киреев В. И. Разностные методы решения обратной задачи профилирования сверхзвуковых сопел. — Рук. деп. в ВИНИТИ,

№ 3302-80.

7. Войновский А. С., Киреев В. И. О смешанных краевых задачах профилирования сверхзвуковых сопел и каналов. —

.Изв. АН СССР, МЖГ, 1983, № 4.

8. Войновский А. С., Киреев В. И. Решение обратной задачи профилирования новых классов сверхзвуковых сопел и каналов сеточно-характеристическим методом и методом С. К. Годунова.— Сб. „Численные методы механики сплошной среды“, 1982, т. 13, № 3.

9. Елисеев С. Н. Таблицы контуров центральных тел осесимметричных воздухозаборников с изоэнтропическим торможением потока для чисел Мр = 1,8-7-5. — Труды ЦАГИ, 1972, вып. 1409.

10. Бабенко К. И., Воскресенский Г. П,, Любимов А. Н., Русанов В. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом.—М.: Наука, 1964.

Рукопись поступила 15jIV 1983 г.