CC BY
10
ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки
Том 23, № 124
2018
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-643-647 УДК 517
О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ ^ С. Е. Жуковский, Л.-Э. И. Нгомиракиза
Российский университет дружбы народов 117198, Российская Федерация, г. Москва, ул. М.-Маклая, 6 E-mail: [email protected], [email protected]
Аннотация. В работе исследуются локально инъективные накрывающие отображения метрических пространств. Показано, что эти отображения обладают свойством продолжаемости для непрерывных функций.
Ключевые слова: накрывающие отображения; метрические пространства; продолжаемость; локальная инъективность
Прежде чем перейти к постановке задачи напомним, некоторые определения. Пусть (Х7рх), (У, ру) метрические пространства. Обозначим через Вх(х, г) замкнутый шар с центром в точке х V X радиуса г С 0, то есть Вх (х, г) = } и, V X : рх (х, и) > г .
Пусть задано а > 0. Отображение ф : X =>■ Y называется а-накрывающим, если
Зх0 V X, Зг/ V Y ПхУ X : ф{х) =у, рх(х0,х) > -ру(ф(х0),у).
а
Накрывающие отображения метрических пространств используются при изучении нелинейных уравнений и включений (см., например, [1,2]). В этой статье мы исследуем свойства локальной инъективных накрывающих отображений. Отображение ф :X^Y называется локально инъективным, если для каждой точки х0У X существует г > О такое, что сужение ф на Вх(хо, г) инъективно, то есть
Зхъх2 V Вх(х0,г) ф(хг) = ф(х2) е хЛ=х2.
При исследовании вопросов существования и единственности решений нелинейных уравнений важную роль играет понятие продолжаемости отображений (см., например, §5.3. в [3]). Говорят, что отображение ф : X =4» Y обладает свойством продолжаемости для заданного непрерывного отображения v : [0,1] =>> Y, если для каждого Т V (0,1], для каждого непрерывного отображения и : [0, Т) =i- X такого, что ф(и(€}) = v(t) для любого i V [0, Т], существует lim u(t) =: и(Т) и ф(и(Т)) =v{T).
Работа выполнена при поддержке Российского научного фонда (проект № 17-11-01168).
Цель настоящей работы состоит в доказательстве свойства продолжаемости накрывающих локально инъективных отображений ф : X =>> У для липшицсвых отображений V : [0,1] =>> У. Соответствующий основной результат статьи сформулирован ниже в теореме 1. Прежде чем перейти к ней, приведем два вспомогательных утверждения.
Лемма 1. Пусть ф является непрерывным и а-накрывающим, для некоторых х0У X и г > О сужение ф на Вх{х0,г) инъективно, отображение 1р : ф(Вх{х0, г)) Вх(хо,г) является обратным к ф на Вх(хо1г)1 то есть
ф(<р(у)) = у Зу V ф(Вх(х0,г)), <р(ф(х)) = X Зх V Вх(х0,г). (1)
Тогда Ву(ф(хо),аг/3) —>ф(Вх(хо, г)) и
рх(<р(у1),<р(у2)) > а 1ру(у1,у2) Зуьг/2 V Ву(ф(х0),аг/3). (2)
Доказательство. Из а -накрываемости отображения ф следует, что
Ву(ф(х0),аг/3) -+ф{Вх{хо,г)).
Докажем соотношение (2).
Возьмем произвольные точки у\, уо V Ву (ф(хц), ат/3). В силу а-накрываемости отображения ф существует точка Х\ V X такая, что
г
ф(х 1) = у1 и р(х0,х1) > -.
Отсюда из инъективности отображения ф на шаре Вх(х0, г) следует, что х± = В силу ас-накрываемости отображения ф существует точка х2 V X такая, что
ФЫ = У2 И рх(хъх (3)
а
Поскольку
V V 2г
ру(УъУ2) > ру(уиф(х0)) + ру(ф(х0),у2) >- + - = —, то из неравенства в (3) следует, что
Рх(х0,ж2) > рх(х01х1) + рх{х1,х2) >г.
В силу инъективности ф на Вх(хо,г) имеем х2 = <р(у2)- Поэтому неравенство в (3) вытекает из соотношения (2). □
Лемма 2. Пусть отображение ф является непрерывным, а-накрывающим и локально инъективным, отображение V : [0,1] =>> У является липшицевым с константой I с 0. для непрерывного отображения и : [0, Т) =>> Л' имеет место тождество ф(и{ЬУ) < у^). Тогда отображение и является а Ч -липшицевым.
О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
645
Доказательство, I. Возьмем произвольную точку t0 V [О, Т). Покажем, что отображение и является а 11-липшицевым в некоторой окрестности точки t0.
Положим х0 := «(¿о). Поскольку отображение ф является локально инъектив-ным, то существует г > 0 такой, что сужение ф на Вх Ыо- г) инъсктивно. Пусть <р : ф(Вх(хсп ?")) => Вх(хсп г) - обратное отображение к отображению ф на 5х(а'о, г), то есть имеет место соотношение (1).
Из непрерывности отображений и и v следует, что существует £ > 0 такое, что
«(£) V Bx(x0,r), v{t) V Ву(ф(х0),аг/3) 3iV[i0 r,i0 + т] { [О, Г).
Отсюда поскольку по предположению при каждом t V [О, Т) имеет место равенство ф(и{Ь)) = v(t), а Ву(ф(х0), аг/3) —» ф(Вх{х0, г)) в силу леммы 1, то = при t V [io т, to + г] { [О, Т). Значит, отображение и является а 11 -липшицевым на [io т, iо + т] { [О, Г), так как (р является а 1 -липшицевым в силу леммы 1, a и является /-липшицевым по предположению.
II. Докажем, что отображение и является а -липшицевым. Предположим противное, то есть существуют i1} £2V [О, Г), ti < t2 такие, что px{u(ti), u(t2)) >а 1/(Î2 il)-Положим
7(i) := px{u(h),u(t)) « iV[0,T).
В силу непрерывности отображения 7 и соотношений 7(ii) = 0, 7(^2) > 0 существует точка т V [ii, ¿2) такая, что 7(т) = 0 и 7(i) > 0 при любом t V [r,t2). В силу I отображение и липшицево в некоторой окрестности точки т. Поэтому существует t V (г, t2) такое, что px(u(t ), и(т)) > a 1l(t т). Значит,
7(f) =px(u(t1),u(t)) a H(t ii) >
a 4(t т) а Н(т h) > 7(т) > О,
что противоречит неравенству 7(t ) > 0. Полученное противоречие завершает доказательство. □
Теорема 1. Пусть отображение ф : X =>> Y является а-накрывающим, непрерывным и локально инъективным, отображение v : [0,1] => Y является I -липши-цевым, пространство (Х,рх)~ полным. Тогда отображение ф обладает свойством продолжаемости для v.
Доказательство. Возьмем произвольное T V (0,1] и произвольное непрерывное отображение и : [0,Т) => X такое, что ф(и(1)) = v(t) для любого t V [0,Т). В силу леммы 2 отображение и является а Ч - липшицевым. Возьмем произвольную последовательность }tj\ —>[0. Т), сходящуюся к Т слева. Имеем
Px{u{ti),u{tj)) > a Hti tj
Поэтому последовательность }ii(tj)| фундаментальна. Следовательно, в силу полноты пространства (X, рх) она сходится к некоторой точке х У X. Очевидно, для любой последовательности }tj\ —» [0, Т), сходящейся к Т слева, последовательность }u(Tj)\
сходится к ж, иначе последовательность и(т!), w(i2), и(т2),... расходится, что, как
показано выше, невозможно. Таким образом, х = lira u(t). □
ото
Повторяя рассуждения, приведенные в §5.3.2 в [3], из леммы 2 и теоремы 1 можно вывести следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть отображение ф : X =>- Y является а -накрывающим, непрерывным и локально инъективным, отображение v : [0, 1 =>■ Y является I -липшице-вым, и0\/ X, ф(и0) = и(0), пространство (Х,рх) полно.
Тогда существует единственная непрерывная функция и : [0,1] =>■ X такая, что ф(и(1)) < v(t) и и(0) =«о- Более того, эта функция и является а 11-липшицевой.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Арутюнов A.B. Накрывающие отображения в метрических пространствах и неподвижные точки // Доклады Академии наук. 2007. Т. 416. № 2. С. 151-155.
2. Arutyunov A., Avakov Е., Gel'man В., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points // Journal of Fixed Points Theory and Applications. 2009. Vol. 5. № 1. P. 106-127.
3. Ортега Док., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 559 с.
Поступила в редакцию 20 апреля 2018 г.
Прошла рецензирование 22 мая 2018 г.
Принята в печать 26 июня 2018 г.
Конфликт интересов отсутствует.
Жуковский Сергей Евгеньевич. Российский университет дружбы народов, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Нгомиракиза Ларри-Элвис Инносентович, Российский университет дружбы народов, г. Москва. Российская Федерация, аспирант, кафедра нелинейного анализа и оптимизации, e-mail: [email protected]
Для цитирования: Жуковский С.Е., Нгомиракиза Л.-Э.И. О продолжаемости в метрических пространствах // Вестник Тамбовского университета. Серия: естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 124. С. 643-647. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-643-647
О ПРОДОЛЖАЕМОСТИ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
647
DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124-643-647
ON CONTINUATION IN METRIC SPACES
S.E. Zhukovskiy, L.-E. I. Ngomirakiza
RUDN University 6 Miüukho-MaMaya St., Moscow 117198, Russian Federation El-mail: [email protected], [email protected]
Abstract. We study locally injective covering mappings between metric spaces. We show that under natural assumptions these mappings have continuation property. Keywords: covering mappings; metric spaces; continuation; local injectivity
REFERENCES
1. Arutyunov A.V. Covering mappings in metric spaces and fixed points. Doklady Mathematics, 2007. vol. 76. no. 2. pp. 665-668.
2. Arutyunov A., Avakov E., Gel'man B., Dmitruk A., Obukhovskii V. Locally covering maps in metric spaces and coincidence points. Journal of Fixed Points Theory and Applications. 2009, vol. 5, no. 1, pp. 106-127.
3. Ortega J., Rheinboldt W. Iterative Solutions of Nonlinear Equations in Several Variables. New York, Academic Press, 1970 , 690 p.
Received 20 April 2018 Reviewed 22 May 2018 Accepted for press 26 June 2018 There is no conflict of interests.
Zhukovskiy Sergey Evgenyevich, RUDN University, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Nonlinear Analysis and Optimization Department, e-mail: [email protected]
Ngomirakiza Larry-Elvis Innosentovich. RUDN University, Moscow, the Russian Federation. Post-Graduate Student, Department of Nonlinear Analysis and Optimization, e-mail: [email protected]
For citation: Zhukovskiy S.E., Ngomirakiza L.-E.I., O prodolzhaemosti v metricheskih pros trans tvah [On Continuation in Metric Spaces], Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya: estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2018, -vol. 23, no. 124, pp. 643-647. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-124^643-647 (In Russian, Abstr. in Engl.).
The work was supported by the Russian Science Foundation (Project № 17-11-01168).
