О проблеме точности сборки и юстировки оптических прицелов Текст научной статьи по специальности «Физика»

О ПРОБЛЕМЕ ТОЧНОСТИ СБОРКИ И ЮСТИРОВКИ ОПТИЧЕСКИХ ПРИЦЕЛОВ Ал.С. Киселев, Ан.С. Киселев Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент В.Н. Назаров

Проведено исследование параллактической погрешности в оптических прицелах. Предложена математическая модель, описывающая учет влияния этой погрешности на точность попадания в цель. Приведен пример ее использования для учета параллакса при движении пули в воздушном пространстве, т.е. при наличии сил сопротивления воздуха. Получена аналитическая формула вероятности попадания по круглой удаленной мишени при наличии погрешности продольной установки сетки.

Введение

В связи с большим распространением среди людей, близких к стрелковому спорту и охоте, оптических прицелов все чаще стали возникать вопросы о факторах, влияющих на точность прицеливания. Одним из таких факторов является наличие параллакса в оптическом прицеле. Параллаксом называется смещение наблюдаемого предмета вследствие перемещения глаза стрелка в пределах выходного зрачка прибора. Появляется оно в результате изменения угла, под которым был виден данный предмет в тот момент, когда глаз располагается в центре выходного зрачка окуляра. В результате относительного смещения перекрестья сетки и изображения объекта получается ошибка наводки, которая, в свою очередь, приводит к ошибке попадания в цель. Эта ошибка выражается в смещении центра рассеивания точек попадания в цель.

Стоит отметить, что поставленная задача имеет решение с учетом сопротивления воздуха. В этом случае траектория полета пули заметно отличается от параболической, она круче на спаде, и пуля пролетает меньшее расстояние.

Величина параллакса в оптическом прицеле определяется погрешностью продольной установки сетки. Допуск на эту величину из условия одновременной резкости в диоптрийной мере для всех видов прицелов с выходным зрачком больше 2 мм составляет Бд = 0.2 дптр [1]. Тогда параллакс в угловой мере можно описать зависимостью [2]

и = Па Б . (1)

ок 2 1000 выхзр.

Например, для выходного зрачка диаметром Бвыхзр = 8 мм и при выполнении условия одновременной резкости угловой параллакс = 0.0008 или = 2'40'' в угловой мере, что превышает среднюю разрешающую способность глаза, равную 1'.

Описание траектории полета снаряда

После вылета из ствола пуля летит не по прямой, а по некоторой кривой, которая называется баллистической траекторией. В безвоздушном пространстве баллистическая траектория представляла бы собой параболу, а в воздухе траектория пули при детальном рассмотрении будет достаточно сложной кривой. На нее действует сила сопротивления воздуха, направленная против скорости. Эта сила может быть описана следующим выражением

^ = В V2 . (2)

Однако эти траектории в вертикальной и горизонтальной плоскостях можно описать системой уравнений

¿V (t ) = - -V (t)-q,

ot m

|Vy (t ) = - (t)-g,

ot m

(t )=- m V (t).

ot m

Здесь q, g - ускорения, действующие на пулю, соответственно, в горизонтальной и вертикальной плоскостях; B - коэффициент пропорциональности силы сопротивле-ниявоздухаквадрату скоростидвиженияпули; m - масса пули; Vx, V,, Vz определяются из выражений

Vx (0) = V^-sin (0) Vz (0) = V^-cos(0)

Vy (0) = V^ • sin (a) Vz (0) = V^ • cos(a), где 0, a - углы прицеливания в горизонтальной и вертикальной плоскостях, соответственно. Очевидно, что V • cos(a) = V • cos(0).

Рис. 1. К расчетутраектории полета пули

Но вектора этих скоростей являются лишь проекциями вектора скорости V пули при вылете из винтовки. Поэтому необходимо определить значения этих скоростей, зная величину начальной скорости и углы прицеливания в обеих плоскостях. Для этого запишем выражения

сов(а)

V = _

Р д/ cos2 (0)- sin2 (a)+cos2 (a)

V_ = cos(0)

P ^cos2 (0) - sin2 (a)+cos2 (a)

V,

- V.

(4)

/cos [0)-sin cos

Используя (3), запишем аналитические выражения для координат полета пули вдольсвоей траекторииповсем трем осям: 0X, 0Y и 0Z [3]:

( ГБ— Л

()=W'

m

ln

B

1 + -

m

-q- Ко? -sin (0)

f

q

- tg

\

B

— q-t

vm 0

- 1-ln

2

f

f

1 + tg7

B

--q-t

vm 00

+ H„

* )=ж

т

1п

1+-

т

т

8-УееРш- 81п(а) ( ¡В > --% л — • Я-1

Я V*т 0

л

- 11п

2

(

(

1+2

У\

В

— • Я-1

Vт 00

+Н

2 ( ) = -^1п |1 + У^-008(0)-) = ^1п |1 + У^-С08(а)-1. (5)

В/т V т 0 В/т V т 0

В этих выражениях Нх, Ну - «превышение» оружия над центром мишени в горизонтальной и вертикальной плоскостях.

Основные соотношения

Рассмотрим плотности вероятностей координат точек попадания в мишень по осям ОХ и ОУ. Эти величины распределены по нормальному закону (закон Гаусса) с математическим ожиданием тх = ту = 0 и средними квадратическими отклонениями

ах, ау (рис. 1). В этом случае центр мишени совпадает с центром рассеивания, что соответствует «идеально» точному прицелу:

х2

1 / ч 1

Р(х ) =

, Р(У) =

_ у 2аУ

л/2Ра х ' л/2Ра у

х

Погрешность продольной установки сетки при наблюдении в окуляр приводит к погрешностям установки углов прицеливания и, соответственно, к отклонениям центров рассеивания в соответствующих плоскостях. Нетрудно показать, что отклонения центров рассеивания точек попадания по мишени, вызванные наличием параллакса Дх в горизонтальной плоскости и Ду в вертикальной плоскости, характеризующие погрешность попадания в точку с координатами (х, у), линейно зависят от соответствующих параллактических погрешностей углов наведения на цель Д0 в горизонтальной плоскости и Да в вертикальной плоскости. В выражениях (6) представлены зависимости этих смещений от погрешностей углов прицеливания для произвольного момента времени.

( ГБ- >

Дх( ) = В/

Угор -008(0).

В

т

В

т

• q • 1

т

q + V™ -яп(0>,|-

1т

т

Ду( ) = ВЪ

Уеерт -С08(а)-.

В

т

• Я • Я

•Д0 = Сх (()-Д0,

• q•t

т

Я + Уверт -8т (аК /— • Я •

т

В

• Да = С ()■ Да .

(6)

т

• 8 ^

Тогда для определения линейного смещения центра рассеивания точек попадания в цель необходимо в выражение (6) подставить то значение времени, когда пуля настигнет цель. Для этого воспользуемся системой уравнений (5) и найдем момент времени, когда 2(1) = Ь , где Ь - расстояние до цели (дальность):

1 =

-1

ьВ ? т -1

^ -008(0)

В

т

Уеерт -С°8(а)-

В

т

(7)

В

Ь

т

е

2. Р(Х,у)

Рис. 1. Плотности вероятностей координат точек попадания в мишень

Далее требуется определить углы прицеливания в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Угол 9 и угол а определяются из выражений

^ 1 е т _Н

1 +

В ( ч (

—ч- Кор- 811\9)

т

ч

^ В • ч- -

т

V

Кгор- С0

В

1+

В

т

- Е- Керт ^К«)

(

Е

^ В

¡Е^Н • Е-т

V

в

т0

ьВ

е т _1

=е

(

1+¡Е2

В

В

ье т _1

\

т

ч

Кгор- С0

в

т0

Кверт С0'

в

т0

_Ну

В

=е

(8)

1+Е2

ьв

В

т

•Е-

_1

Кверт С0

Из приведенных тождеств невозможно получить аналитические выражения для углов прицеливания как зависимостей от параметров стрельбы - дальности до цели, коэффициента, определяющего силу сопротивления воздуха, массы пули и др. Поэтому далее приводится результат расчета этих углов для конкретных параметров эксперимента. Можно записать

Ах = Сх-А9, Ау = Су-Да, (6а)

Г „ >

В

т

• Ч •¡Е

С =

В

т

•ч-

_ 1

Кго, -сов(9)

В

т 0

В

т

Ч + Кго„ •эЬ (9)

В

т

• Ч •¡Е

В

т

ч

_1

Кгор -сов(9)

В

т 0

С' = В

т

КееРш ' С0э(а)- -

В

т

В

_ 1

т

•Е-

Керш ' С0э(а)-

В

т 0

(

Е + Кверт ^П

V т

В

_1

т

•Е-

V •С0э(а)

верт

В

т0

(9)

е

т

ь

т

е

1

В

ь

т

е

В

ь

т

е

В

ь

т

е

В нашей модели, для случая круглой мишени, удобней перейти от прямоугольных координат (х, у) к полярным (К, ф), т.е. от распределения Гаусса по двум осям к одномерному распределению Релея с круговым средним квадратическим отклонением о [4]

рК )=4е

о

2-о2

(

о =

+ л о

2

(10) (10а)

Указанное радиальное смещение центра рассеивания снарядов зададим в относительных единицах

к = ± =

о

л

Ах2 Ау

+ -

о

о

(11)

Учитывая (6а) и исходя из свойств функций случайных аргументов, можно получить значение погрешности угла наведения Ааг в полярных координатах. Данный угол в оптической системе с увеличением Гт связан с величиной углового параллакса

за окуляром соотношением Аа =

Г.

(12)

Запишем аналитическую зависимость смещения ё центра рассеивания в абсолютных единицах от погрешности угла прицеливания Даг:

С

ё = Сг - Да г, ^ = о

4

- —Л

ох + о У

С ] Су 0

(13)

Так как центр рассеивания смещен на величину ё от центра мишени, то вероятность попадания в круговую мишень радиуса R будет описываться выражением [5]

I К Л - — о -— —,к | = е 2 -1е 2 -10(к-^-гйг

(14)

ё

где к = —, о - круговое СКО; 10 - функция Бесселя первого рода нулевого порядка о

мнимого аргумента.

Оценка и анализ результатов

Приведем некоторые результаты расчета допуска на продольную установку сетки в оптическом прицеле для конкретных параметров эксперимента. Стрельба ведется по круглой мишени на расстоянии Ь = 100 м. Масса пули составляет т = 0.01 кг . Начальная скорость пули при вылете из канала ствола V = 600 .Тогда, используя (4) и (8),

мы имеем систему двух связанных уравнений для определения углов прицеливания. Значение коэффициента, определяющего силу сопротивления воздуха, возьмем равным н

В = 0.00001 —^т- . В используемой модели на пулю действует две силы - сила всемир-

м2/

К

2

2

2

К

2

ного тяготения с ускорением g (м/21 в вертикальной плоскости и сила с ускорением

Ч^У'2)5 определяемая из баллистических характеристик оружия, в горизонтальной

плоскости. Здесь эти величины принимают значения а = 9.8 ш/2 н 2 = 9.8 ш/2 . «Воз/ с /с

вышение» оружия над центром мишени составляет Нх =0 и Ну =0.5м. Параметры рассеивания задаем самостоятельно: в вертикальной и горизонтальной плоскостях ох=оу = 1.2см. Как уже отмечалось ранее диаметр выходного зрачка Овыхзр =8 мм. Погрешность продольной установки сетки в диоптрийной мере имеет значение £)д = 0.2 дптр . Увеличение оптической системы прицела Гт = 3.5х [2]. Для указанных выше значений ¿и В углы прицеливания в горизонтальной и вертикальной плоскостях равны 0 = 0' 4' 55". 3;а = -0' 1Г25".1.

Из выражения (12) следует, что при указанных выше значениях увеличения, размера выходного зрачка и погрешности продольной установки сетки угловой параллакс за окуляром составляет соот = 0.0008 рад, тогда ошибка наведения составляет Ааг = 0.00023 рад . Отсюда, используя (13) и (14), легко определить вероятность попадания по мишени.

По результатам расчета вероятности попадания по круглой мишени для двух случаев продольной установки сетки можно сделать выводы. По существующим нормам продольной установки сетки вероятность попадания в круг радиуса Я = о = 1.2 см, в случае максимального удаления глаза от центра зрачка, составляет Ж = 8.1 %, при этом снижение вероятности от теоретического значения составляет 8 = 193% . Для случая, предлагаемого нами (шок = 0.0003 рад),Ж = 31.6%, а £ = 19.6%. Из расчетов видно,

что при указанных режимах стрельбы ухудшение вероятности попадания по мишени для случая продольной установки, при котором выполняется условие одновременной резкости, недопустимо велико. Поэтому возникает необходимость коррекции допусков на установку сетки в оптическом прицеле. Допуск, определяемый разрешающей способностью глаза, приводит к значительно меньшему ухудшению вероятности попадания по мишени.

На рис. За, 36 показаны зависимости вероятности попадания в круглую мишень от радиуса этой мишени при наличии углового параллакса соок = 0.0003 рад (рис. 3) и

при наличии углового параллакса <лок = 0.0008 рад (рис. 4). Пунктирной линией показана зависимость вероятности попадания по мишени в «идеальном прицеле» (без ошибки продольной установки сетки), сплошной линией показана та же зависимость в системе, имеющей указанную ошибку, а штриховой линией показано снижение вероятности попадания в круглую мишень радиуса Я, определяемое зависимостью [5]: я

| р(г)ёг

ФИ-5-(15)

|р(г)ёг

о

Как видно из рисунков, вероятность попадания по мишени много меньше ее расчетного значения при современных допусках на продольную установку сетки. Вероятность же попадания по мишени при предлагаемых допусках имеет терпимое отклонение от теоретического значения вероятности для данных режимов стрельбы. Точность стрельбы зависит от баллистических характеристик снаряда и, в основном, от дальности до цели, однако в случае полета пули в воздушном пространстве на точность

стрельбы оказывает влияние и коэффициент, описывающий пропорциональность силы сопротивления воздуха квадрату скорости, который может вносить достаточный вклад в снижение точности попадания по удаленной мишени.

Рис. 3. Зависимость вероятности попадания в круглую мишень от радиуса мишени при наличии углового параллакса: а - wok = 0.0003 рад, б - wok = 0.0008 рад

Заключение

Исследуя вероятность попадания по круглой мишени, можно отметить, что ухудшение этой вероятности при наличии параллакса, определяемого существующими допусками, в ряде случае не удовлетворяет принятым нормам для оптических прицелов. Рассматриваемая методика позволяет оценивать вероятности попадания по мишени при наличии ошибки продольной установки сетки, что впоследствии может приводить к установлению порядка коррекции допусков на погрешности сборки и юстировки оптических приборов.

Литература

1. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1982.

2. Ефремов A.A. и др. Сборка оптических приборов. М.: Высшая школа, 1978.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961.

4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.

5. Абергауз Г.Г., Тронь А.П., Копенкин Ю.Н., Коровина H.A. Справочник по вероятностным расчетам. М.: Воениздат. 1970.