CC BY
75
2006 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. Сер. 4- Вып. 4
ФИЗИКА
УДК 530.145 Л. В. Прохоров
О ПРИРОДЕ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИЙ •)
1. Краткая история вопроса. Впервые с волнами ассоциировал частицы А. Эйнштейн («...энергия пучка света ... складывается из конечного числа локализованных в пространстве неделимых квантов энергии, поглощаемых или возникающих целиком» [1, с. 93]). Позднее уже с частицами волны связывал Л. де Бройль [2] (он говорил о «фиктивной волне» с частотой V = тс2 /Н, ассоциированной с частицей массы га; здесь с и к - скорость света и постоянная Планка соответственно). Исходя из его гипотезы, Э. Шредингер сформулировал свое знаменитое уравнение для этих комплексных волн ф(х) [3], а М. Борн [4] (в примечании при корректуре) предложил отождествить \ф\2 с мерой вероятности (см. [5, с. 278]). Борн очень точно формулировал существо новой механики: «Движение частицы следует вероятностным законам, сама же вероятность распространяется в соответствии с законом причинности» [5, с. 278]. Однако еще раньше (в 1925 г.) В. Гейзенберг открыл другую, эквивалентную формулировку квантовой механики, не связанную непосредственно с волнами («матричная механика») [6]. Наконец, в 1927 г. П. А. М. Дирак [7] «проквантовал» волновую функцию (ввел «вторичное квантование»), положив начало квантовой электродинамике и теории квантованных полей. В том же году П. Йордан и Ю. Вигнер [8] сформулировали правила квантования ферми-полей.
Итак, к 1927 г. были заложены основы физики микромира. Был построен красивый и в высшей степени успешный математический аппарат при отсутствии ясного понимания стоящей за ним физики. Н. Бор формулировал философию новой механики (так называемая «копенгагенская интерпретация»). Лучше всего ее суть изложил Эйнштейн: «Частица не имеет в действительности ни определенного импульса, ни определенного положения в пространстве; описание с помощью ^-функции является в принципе полным описанием. Точное местоположение частицы, которое я получаю в результате его измерения, не может быть интерпретировано как местоположение частицы до измерения. Точная локализация, которая обнаруживается при измерении, будет проявляться только через неизбежное (не несущественное) воздействие измерения. Результат измерения зависит не только от реального положения частицы, но также и от принципиально неполного знания природы механизма измерения» [9, р. 778].
Свое понимание новой науки Бор разрабатывал под сильным влиянием философа-иррационалиста С. Кьеркегора и его ученика X. Гбффдинга (близкого друга отца Бора), лекции которого он слушал. Вот некоторые положения этих философов (см. [5, с. 174 и далее]): «...мысль никогда не может постичь реальность ...человек не может, не
*) Доклад на семинаре в Институте Лауэ-Ланжевена (13 марта 2006 г., Гренобль). © Л. В. Прохоров, 2006
внося искажений, представить себя ... беспристрастным наблюдателем ... разграничение между объективным и субъективным ... всегда является произвольным действием ... мы не в состоянии определить соотношение между частями и целым ... нечто решающее происходит всегда только рывком ... причинность не поддается описанию».
Одной из главных проблем квантовой механики был дуализм «волна - частица», т. е. основной объект физики был одновременно и волной, и материальной точкой -чем-то явно иррациональным с точки зрения классической физики. Хотя копенгагенская интерпретация и была принята за основу, она не могла считаться окончательной. Уже в 1935 г. появились статьи [9, 10], указавшие на столь серьезные проблемы, что их обсуждение продолжается и в настоящее время. К тому же и точка зрения на квантовую механику самих ее создателей менялась с течением времени (см. [11, с. 83]).
2. Частицы. Квантовая механика и квантовая теория поля. Итак, квантовая механика вводит противоречивое представление об основном объекте микромира -это и волна, и материальная точка. Проблема смысла волновой функции обсуждается до сих пор, причем главным образом в контексте представлений 20-30-х годов XX в. (хотя и с учетом новых достижений). Между тем уже давно стало ясно, что частицы микромира есть кванты (одночастичные возбуждения) соответствующих полей [12-15], и что представление о квантовой теории поля как о теории, получающейся в результате «вторичного квантования» устарело и не соответствует действительности- Все поля есть фундаментальные объекты природы, динамические системы с бесконечным числом степеней свободы, эволюция которых описывается в рамках квантовой теории, т. е. с помощью амплитуд вероятности.
Итак, частицы - это кванты полей. Что же тогда такое «волновые функции»? (Если речь идет об описании полей, то следует говорить о функционалах полей, например о функционалах Фока.) Вопрос о квантовой природе полей сейчас интенсивно разрабатывается [16-18]. Есть серьезные основания полагать, что описание с помощью амплитуд вероятности появляется на планковских расстояниях (1р = 1,6 • Ю-33 см). В этой связи правильная постановка вопроса должна выглядеть так: какова природа волны, ассоциирующейся в квантовой механике с частицей, т. е. с квантом поля?
3. Волновые функции. Квантовая теория поля. Как отвечает на этот вопрос квантовая теория поля? На первый взгляд ответ очевиден: волновая функция есть полевая функция одночастичного возбуждения. Тогда частица - это нелокальный объект (волновой пакет), характеризуемый «длиной когерентности» (или «объемом когерентности») - понятием, появившимся в оптике еще в XIX в. Объем когерентности есть объем пространства, в котором возбуждено поле. При такой интерпретации снимаются все основные трудности квантовой механики.
1. Теперь ф(х) - не абстрактная функция, оторванная от «физической реальности» [9], это характеристика конкретной динамической системы - поля.
2. Становится ясной природа дуализма «волна - частица». В микромире квант поля ведет себя как нечто целое и не может разрушиться, раздробиться сам по себе или при взаимодействии с другими подобными возбуждениями. Волновые свойства квантов отражают волновые свойства поля. С ним же связана и целостность возбуждения [11]. Нетривиален вопрос о точечности частиц - ведь описание с помощью ф{х) предполагает их точечность (|-0(ж)|2 есть плотность вероятности найти частицу в точке х). Ответ таков: нужно учесть, что все поля - это упорядоченные множества гармонических осцилляторов (твердое тело хорошо моделирует ситуацию в теории поля [19]), и что все поля взаимодействуют локально. Взаимодействие полей задается взаимодействием осцилляторов. Регистрация частицы сводится к акту взаимодействия ее 4
поля с полем регистрирующей системы, именно, один из возбужденных осцилляторов кванта начинает взаимодействовать с соответствующим осциллятором регистрирующего устройства, передавая ему свою энергию. Соседние осцилляторы, в свою очередь, начинают передавать свою энергию активному. В случае поглощения фотона процесс регистрации заканчивается, когда вся энергия кванта будет передана прибору. Именно локальность взаимодействия полей порождает иллюзию точечности микрочастиц.
3. Неопределенность координаты частицы (кванта) связана с тем, что любой из его возбужденных осцилляторов может начать взаимодействовать с прибором. Распределение по импульсам частицы устанавливается с помощью преобразования Фурье, отсюда автоматически следует соотношение неопределенностей Гейзенберга.
Итак, обращение к полю разъясняет главные особенности квантовой механики частиц, вызывавшие немало споров. Вместе с тем прямолинейное отождествление волновой функции с полем порождает ряд вопросов, требующих пояснений:
1) волновые функции всегда удовлетворяют линейному уравнению Шредингера. Как это согласуется с нелинейностью полевых уравнений?
Ответ. Функционал Фока («волновая функция поля») удовлетворяет линейному уравнению эволюции. При энергиях, меньших энергии покоя массивных частиц, соответствующие возбуждения полей приближенно описываются линейными уравнениями;
2) в релятивистской квантовой механике «плотность вероятности» ]о(х) = г((р+(х)ф+(х) — ф+(х)<р+(х)) (здесь (х) отвечает положительно энергетическому слагаемому поля уз = </5_)_ + у3-)) во-первых, может принимать отрицательные значения (т.е. ¡о не может быть плотностью вероятности), во-вторых, в квантовой теории по определению плотность вероятности р(х) должна даваться квадратом модуля \ф(х)\2. Как это согласуется с вышесказанным?
Ответ. В импульсном представлении плотность вероятности р ~ |-0(р)|2/Ер, Ер = 1у/р2 + т2, т. .е определена положительно. Указанные особенности связаны с требованием релятивистской инвариантности, т. .е со спецификой пространства Минковско-го (мера сРр/2Ер). В нерелятивистском приближении (уз+ — ехр(—т оо) Ер & т, и р(х) = \ф\2- В релятивистской механике «волновая функция» не есть амплитуда вероятности. Именно поэтому, согласно анализу Т. Д. Ньютона и Ю. Вигнера [20], в явно релятивистской теории оператор координаты нелокален;
3) в случае частиц с полуцелым спином поля антикоммутируют, тогда как волновая функция, по определению, должна быть просто комплекснозначной функцией. В чем здесь дело?
Ответ. Классические антикоммутирующие поля ф разлагаются по базисным элементам алгебры Грассмана 9: ф = = 0. Функции ф{ и есть волновые функции.
Итак, волновая функция существовала как фундаментальный объект физической теории, которому не сопоставлялась никакая физическая реальность: с ней не ассоциировалась ни энергия, ни импульс, ни другие атрибуты материального мира. Однако, оглядываясь назад, обнаруживаем, что имелось множество фактов, указывавших на «материальную» природу волновой функции, т. .е на необходимость ее отождествления с функцией, описывающей возбуждение поля. Например, следующие:
• Волновая функция - размерная величина; но только физические величины имеют нетривиальные размерности.
• Волновая функция подчиняется причинным уравнениям (или Шредингера, или Клейна-Фока-Гордона, или Дирака); ими описывается эволюция физических полей.
• Волновая функция нетривиальным образом преобразуется при преобразованиях Лоренца (спин!); это характерный признак физического объекта.
• Волновая функция при лоренцевых преобразованиях преобразуется так же, как и поле, квантом которого является частица; это ясно указывает на наличие между ними прямой связи.
• Уравнение для волновой функции электрона меняется при переходе к риманову пространству, что свидетельствует о ее «материальной» природе, ибо гравитация может влиять только на объекты, обладающие энергией.
• В релятивистской теории плотность вероятности для бозонов (~ г{ч>\ до <£+)) не определена положительно; это допустимо лишь при отождествлении с полем.
• Фотоны характеризуются длиной и объемом когерентности (аналогичными свойствами должны обладать и кванты других полей); объем когерентности есть объем области возбуждения поля.
• П. Дирак [7], а также П. Йордан и Ю. Вигнер [8] еще в 1927 г. «проквантовали» волновую функцию, что возможно лишь в отношении динамической величины; в итоге получилась более общая наука - квантовая теория поля.
• В 1956 г. наблюдалась интерференция двух фотонов [21] (корреляционная интерференция четвертого порядка); данный факт объясняется в предположении, что интерферируют поля.
• Твердое тело служит наглядной моделью квантовой теории поля. В нем существуют и звуковые, и спиновые волны; соответствующие кванты именуются фононами и магнонами, а применяемый математический аппарат идентичен аппарату квантовой теории поля. Частицы описываются «волновыми функциями», характеризующими отклонение соответствующих степеней свободы от положения равновесия.
Р. Фейнман констатировал: «Существует уравнение для фотонной волновой функции, аналогичное уравнению Шредингера для электрона. Фотонное уравнение попросту совпадает с уравнениями Максвелла, а волновая функция - с векторным потенциалом А. Волновая функция оказывается обычным векторным потенциалом» [22, с. 234].
4. Некоторые следствия. Отождествление частиц с квантами поля позволяет сделать ряд предсказаний.
Кванты поля (частицы) можно дробить. Если частица есть некоторое нелокальное возбуждение поля, то ничто не запрещает разделить его, например, пополам (с помощью макротел). Каждая из половинок также будет нелокальным возбуждением поля; она будет вести себя как частица, волновая функция которой нормирована на 1/2. Подобные объекты должны обладать необычными свойствами: все их аддитивные характеристики (собственные энергия, угловой момент), как и постоянные взаимодействия с другими полями, должны уменьшиться вдвое.
В отношении возможности дробления квантов к настоящему времени имеется целый рад указаний. Р. Джакив и К. Ребби [23] построили модель, позволяющую получать возбуждения с фермионными числами 1/2. На такую возможность указывает и открытие дробного квантового эффекта Холла [24]. Впоследствии появились работы [25,26], в которых сообщалось о прямом наблюдении частиц с дробными электрическими зарядами. Обращаясь к истории, можно утверждать, что деление фотона с помощью полупрозрачного зеркала («сплиттера») было осуществлено еще в XIX в. Однако прямые доказательства этого отсутствуют. Особенностью таких половинок фотона является то, что их несущая частота остается прежней, а энергия равна половине исходной энергии. Очевидно, проверить данное утверждение можно изучая фотоэффект. Ска-6
занное справедливо и для, например, нейтронов [27]. Вероятность распада последних пропорциональна (g/Mw)4(mn—mp)5, т. .е вероятность распада половинок уменьшается в 2б раз (g —> д/2, Mw —> Mw/2, mniP -4 mn,p/2). В конечном состоянии появляются половинки протона, электрона и антинейтрино.
Нагляднее всего возможность дробления квантов можно продемонстрировать на примере фононов. Например, состыкуем два стержня с полированными торцами и создадим в них фонон достаточно большой длины когерентности. Разъединяя стержни в тот момент, когда центр фонона находится на их стыке, получаем стержни с половинками фононов.
5. Заключение. В настоящее время уже очевидно, что фундаментальными объектами физики являются квантованные поля, простейшие возбуждения которых именуются частицами. Поэтому нужно искать истоки квантового описания (т. .е описания с помощью амплитуд вероятности) именно полей, очевидно, на планковских расстояниях. Далее, во избежание недоразумений, некоторые термины, пришедшие из классической физики (в частности, «частица») не следует понимать в старом смысле («материальная точка» ). При описании микромира следует пользоваться понятиями квантовой теории поля, понимая под «частицей» квант поля. Наконец, если кванты можно дробить, то их можно и объединять. В этой связи встает задача построения квантовой теории с квантами разной дробности.
Summary
Prokhorov L. V. On the nature of wave functions.
The connection of notions "particle" and "wave function" with quantum field theory is analyzed. It is shown that the wave properties of "particles" are due to that of fields.
Литература
1. Эйнштейн А. Собр. науч. трудов: В 4-х т./ Пер. с нем.; Под ред. И. Е. Тамма и др. М., 1966. Т. 3. С. 92-106. 2. De Broglie L. //Campt. Rend. 1923. Vol. 177. P. 507-510. 3. Schroedinger E. //Ann. d. Phys. 1926. Bd 81. S. 109-139. 4. Born M. //Zs. f. Phys. 1926. Bd 37. S. 863-867. 5. Джеммер M. Эволюция понятий квантовой механики / Пер. с англ.; Под ред. JI. И. Пономарева. М., 1985. 6. Heisenberg W. //Zs. f. Phys. 1925. Bd 33. S. 879-883. 7. Dirac P. A. M. // Proc. Roy. Soc. 1927. Vol. A114. P. 243-265. 8. Jordan P., Wigner E. //Zs. f. Phys. 1927. Bd. 47. S. 631-651. 9. Einstein A., Podolsky В., Rosen N. //Phys. Rev. 1935. Vol. 47. P. 777-780. 10. Шредингер Э. // Успехи химии. 1936. Т. 5. С. 390-442. 11. Прохоров JI. В. Квантовая механика — проблемы и парадоксы. СПб., 2003. 12. Блохинцев Д. И. //Успехи физ. наук. 1950. Т. 42. С. 76-92. 13. Блохинцев Д. И. //Успехи физ. наук. 1951. Т. 44. С. 104-109. 14. Френкель Я. И. //Успехи физ. наук. 1950. Т. 42. С. 69-75. 15. Френкель Я. И. // Успехи физ. наук. 1951. Т. 44. С. 110-116. 16. 't Hooft G. //Class. Quant. Grav. 1999. Vol. 16. P. 3263-3279. 17. Adler S. L. Quantum theory as an emergent phenomenon. Cambridge, 2004. 18. Prokhorov L. V. Quantum mechanics as kinetics // quant-ph/0406079. 19. Johnson S. J., Gutierez T. D. //Amer. J. Phys. 2004. Vol. 70. P. 227-237. 20. Newton T. D., Wigner E. //Rev. Mod. Phys. 1949. Vol. 21. P. 400-406. 21. Hanbury Brown R., Twiss R. Q. //Nature. 1956. Vol. 177. P. 27-29. 22. Фейнман P., Лейтпон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике. Вып. 9 /Пер. с англ.; Под ред. Я. И. Смородинского. М., 1967. 23. Jackiw R., Rebbi С. //Phys. Rev. 1976. Vol. D13. P. 3398-3409. 24. Tsui D. C., Störmer H. L., Gossard А. С. // Phys. Rev. Lett. 1982. Vol. 48. P. 1559-1562. 25. De Picciotto R., Reznikov M., Heiblum M. et al. // Nature. 1997. Vol. 389. P. 162-164. 26. Reznikov M., de Picciotto R., Griffiths T. G. et al. //Nature. 1999. Vol. 399. P. 238-240. 27. Прохоров JI. В. Пространство как сеть. СПб., 2004.
Статья поступила в редакцию 4 апреля 2006 г.
