CC BY
99
Т о м X
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
19 7 9
М 6
УДК 533.011.55:518.5
О ПРИМЕНИМОСТИ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА ДЛЯ ОПИСАНИЯ СВЕРХЗВУКОВОГО ТЕЧЕНИЯ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА ОКОЛО СФЕРЫ
В. к. Молодцов, В. В. Рябов
Численно на основе полной системы уравнений Навье — Стокса исследуется обтекание сферы сверхзвуковым потоком вязкого совершенного газа. Проведено сравнение результатов расчета с данными трубного эксперимента по распределению тепловых потоков на поверхности охлажденной сферы, плотности на критической линии, давления в передней критической точке сферы, а также с результатами, полученными методом Монте-Карло. Показано, что область применимости уравнений Навье — Стокса значительно шире, чем это следует из асимптотического анализа.
1. Для моделирования обтекания гиперзвуковых летательных аппаратов в разреженной атмосфере, расчета тепловых потоков и аэродинамических нагрузок наряду с экспериментальными исследованиями развиваются и различные численные методы исследования.
Широкий диапазон режимов обтекания в зависимости от степени разреженности обсуждался в [1]. Настоящее исследование касается анализа течения около сферы, проведенного на основе уравнений механики сплошной среды (полные уравнения Навье — Стокса). Особое внимание уделено режиму течения, для которого диссипативные эффекты вязкости и теплопроводности становятся существенными во всем течении.
Некоторые исследования [2—4] по обсуждаемой проблеме указывают на то, что анализ течения с помощью уравнений Навье — Стокса может быть справедлив далеко за пределами, налагаемыми теоретическими предпосылками. Однако для получения правильного решения задачи обтекания тела при умеренных числах Рейнольдса должны быть поставлены граничные условия скольжения и температурного скачка около стенки [2]. Неправильный вид граничных условий может приводить к существенным ошибкам, о чем свидетельствуют, например, результаты работы [5], авторы которой из сравнения результатов численного
решения уравнения Больдмана методом Монте-Карло с данными для скорости, полученными в рамках уравнений механики сплошной среды [6], сделали вывод о непригодности уравнений Навье — Стокса для описания течений разреженного газа.
В работах [7, 8] показано, что учет условий скольжения и скачка температуры для реальных газов приводит к хорошему согласованию с результатами работы [5], а также с многочисленными экспериментами [9] вплоть до чисел Кнудсена Кп = 0,5.
Задача о течении вязкого совершенного газа около затупленных тел подвергается в настоящее время численному исследованию в рамках уравнений Навье — Стокса многими авторами [3, 4, 10—12]. Настоящее исследование проведено с помощью консервативной конечно-разностной схемы, аппроксимирующей полную систему уравнений Навье—Стокса и являющейся дальнейшей модификацией разностной схемы работы [11].
Исследование вопроса о применимости уравнений Навье — Стокса для описания течения разреженного газа около сферы проводится путем сравнения результатов численного расчета с данными численных экспериментов, проведенных методом Монте-Карло, а также с экспериментальными данными о распределениях плотности вблизи критической линии тока, давления в передней критической точке, тепловых потоков на поверхности охлажденной сферы, значений коэффициента сопротивления сх.
2. Исходной системой координат, в которой записываются уравнения Навье —Стокса, является криволинейная ортогональная система п, ф, где 5 — координата, отсчитываемая вдоль контура тела в меридиональной плоскости, п — нормаль к поверхности тела, ® — азимутальный угол. Уравнения вязкого теплопроводного газа в этой системе координат удобно представить в следующей векторной форме:
Векторы /, Ег, Еъ /=". в случае осесимметричного течения имеют следующий вид*:
(2.1)
/ =
| Р(® I Р (и
р (ивш
р (И5Ш
-— ри
— ри®) ят 6 - (тм _р — Ри?) соэ0 [(т^ — р — ри2) бШ 6 -Ь — 91Щ соб 9] соэ с? Яз + и ~ Р) + - и?Е
-Р V
(т„„ — р - рг>3) б 1 п 6 — (х$п — рм<1>) сое 8 [(х5„ - Р«®) з1п 9 + (тяя — р - рю2) соэ б] СОБСр Яп + ^зп + V (г-пп —р) — V?Е
'зп
'55
пп
'33
(2.2)
Уравнения записаны в безразмерном виде.
Здесь компоненты скорости и, v, направленные в сторону возрастания координат s, п, отнесены к скорости невозмущенного потока £/«>, плотность р —к роо, давление р — к рс»£/«>, энтальпия h — к Ulo, коэффициент вязкости (х — к ¡а*—U^; компоненты вектора теплового потока qs, qn и компоненты тензора напряжений хпп, isn) tfr, которые определяются обычным способом [13], отнесены соответственно к рот Ut и poo U2X, линейные размеры отнесены к радиусу сферы а. Число Рейнольдса вычислено по ра-
р U а
диусу сферы Re =--—; коэффициент вязкости u. = h" ;
f1*
Е = — + 0,5 (и2 + V2)] 7 —отношение удельных теплоемкостей.
Система уравнений (2.1)—(2.2) замыкается уравнением состоя-
Т—1 и ния р = Рп.
Постановка граничных условий, выбор области интегрирования и методика построения консервативной схемы описаны в работе [8].
Численные результаты, представленные в настоящей работе,, были получены с помощью двух итерационных схем. Одна из схем строилась по аналогии с методом переменных направлений [8],. другая являлась разновидностью метода Зейделя [14].
Основные черты последней схемы поясняются ниже на примере модельного уравнения
<2-3>
где b2 ^>0 — некоторые постоянные.
Для численного расчета уравнения (2.3) запишем следующие разностные схемы:
\ uk+'-a4 Тп и**' - иЧ ,
= ^-ЪГ+Ю + ^ (2.4)
при счете от левой границы к правой и
k+x - »* u4+¡ - 2иЧ+г + иЧ_х 4u4+¡- 3ak+l
и? 1 —и.
— h 1+1 ' ' _L h _i±i ' Zl+I (9
- Ц + h -2Ло
при счете от правой границы к левой.
Здесь т0 и h0 — шаги разностной сетки по координатам t их, левая граница соответствует г' = 0. Обе схемы безусловно устойчивы.
3. Сравним результаты численных расчетов с экспериментальными данными.
В большинстве известных экспериментальных исследований гиперзвуковых течений разреженного газа большое внимание уделяется распределениям тепловых потоков и напряжений трения по поверхности или распределению давления. Ценность этих работ очевидна, однако необходимо отметить, что они не могут дать достаточной информации о структуре всего поля течения.
С развитием электронно-лучевой диагностики стало возможным детальное изучение локальных характеристик течения вблизи исследуемых тел. Так, в одной из первых работ этого направления [9] определялись локальные значения плотности вблизи критической линии тока затупленных тел. Подробный анализ, основанный на сравнении экспериментальных и численных результатов по распределению плотности, дан в работах [7, 10]. В настоящей работе аналогичное сравнение проводится с результатами работы [9]. С целью устранения влияния вращательно-поступательной неравновесности, которая имеет место в потоке двухатомного газа, рассматривалось обтекание сферы аргоном. Результаты численного исследования распределения плотности вблизи критической линии сферы для различных режимов течения представлены на рис. 1. На ней кривая 1 соответствует Reoo=100, tw= 1 Moi = 3,83; кривая 2—Reo==100, /а, = 0,26, Mo, = 3,83; кривая 3 — Re,» = 500, tw = 0,26, Мое = 3,80 (Reoc = рос t/cö/^co, t9 = TJT0, где Tw и Т0—-соответственно температура поверхности и торможения); результаты эксперимента нанесены соответственно темными и светлыми точками, треугольниками.
Приведенное сравнение показывает, что численные результаты хорошо коррелируют с экспериментальными данными. Некоторое завышение численных данных над экспериментальными в области ударной волны при Reco = 500 объясняется погрешностью численного метода. Аналогичное сравнение приводится на рис. 2 (сплошная линия — численный расчет Reoo = 200, tw= 1, Мсо = 3,8, ш = 0,85; треугольники — эксперимент [9]). Там же представлены численные данные, полученные методом Монте-Карло (светлые точки [15]) для модели молекул твердых сфер (ю = 0,5).
Все результаты хорошо согласуются между собой.
На рис. 3 представлено сравнение результатов численного решения с учетом (кривая 1) и без учета (кривая 2) скольжения и температурного скачка с экспериментальными данными по распределению тепловых потоков на сфере, полученные в гиперзвуковом потоке разреженного газа [16]. Испытания проводились для воздуха в вакуумной аэродинамической трубе при Re0=14,4, Moo = 6,6, температуре торможения потока Т„ = 1000К, температурном факторе = 0,315 [Re0 = pcoi/oo a/fj. (Г0)]. Для определения локального теплообмена на сфере использовался метод двухслойного
термоиндикаторного покрытия (точки). Число Стантона St = ~?.(т-1)/Р«*/«тЯо (To-TJ в численном исследовании вычисля-
\
V ^
О л
\ V О _<
0 0,2 0,1 Рис. 1
3—«Ученые записки» № 6
07 0,1
Рис. 2
п 0.6
33
лось по равновесному значению теплового потока qw (Re0 = 14,4, Moo = 6,5, ¿<„ = 0,34, х=1,4, ш = 0,8; R0 — газовая постоянная). Отметим, что неравновесное возбуждение вращательных степеней свободы может привести к незначительному изменению удельного теплового потока на стенку по сравнению с равновесным случаем. Из представленных на рис. 3 результатов следует, что экспериментальные данные хорошо коррелируют с расчетной зависимостью, причем учет скольжения и температурного скачка существен.
При использовании насадка полного давления для измерения параметров сверхзвукового потока разреженного газа многими исследователями (см. библиографию [17]) отмечалось значительное завышение измеренного давления рт над величиной ро, которое тем больше, чем меньше значение числа Re0. С целью исключения влияния числа М при малых его значениях, а также параметра j в работе [17] использовался параметр 0 = Re, (р2/рзо)0,5 для корреляции данных по давлению торможения в переходном режиме. При этом все экспериментальные данные для заданной формы носка зонда коррелируют с точностью 3%. Другим интересным фактом является то, что отношение давлений pw!po может быть меньше единицы в определенном диапазоне значений параметра в, а затем с уменьшением 0 начинает возрастать.
В работе [17] показано, что это имеет место как для охлажденной, так и для теплоизолированной поверхностей зондов, причем в последнем случае величина „провала" оказывается несколько большей. Отмечается также, что для одноатомного газа имеется тенденция к более низкому уровню, чем для двухатомного. На рис. 4 сплошными линиями представлен диапазон, в который укладываются экспериментальные данные [17] для зонда со сферической передней частью. Там же приводятся результаты численных расчетов для различных газов и температур поверхности сферы (треугольники—7=1,4, точки — f = 1,67; темным цветом представлены результаты для tw= 1, светлым — для ¿^,<1).
J о
к °°
о» °°ооо
Г
-1
О
ig Re0
Рис. 5
Расчеты проводились при различных параметрах, изменявшихся в диапазоне 6<Не0<180; 3,8<Моо<12; 0,19 <¿„<1.
Сравнение экспериментальных и расчетных данных указывает на удовлетворительное согласование между ними.
Как отмечалось в работе [18], основным параметром подобия при исследовании аэродинамических характеристик тел простой формы является число Не0, влияние других параметров подобия (Мео, и т. д.) для затупленных тел незначительно [4]. На рис. 5
приведено сравнение экспериментальных (точки [18]) и численных (треугольники) данных для сферы (сплошная кривая [18] — результаты численного расчета уравнения Больцмана методом Монте-Карло по теории первых межмолекулярных столкновений). Безразмерный коэффициент сопротивления сх определялся следующим образом:
Следует отметить хорошее согласование экспериментальных и теоретических данных во всем диапазоне изменения параметра подобия Re0. Таким образом, результаты данной работы подтверждают гипотезу о применимости уравнений Навье — Стокса для описания течения разреженного газа около сферы.
В заключение авторы благодарят В. Н. Гусева за полезные обсуждения результатов работы.
1. Probst ein R. F. and Kemp N. H. Viscous aerodynamic cha-racterictics in rarefied hypersonic gas flows. „J. Aerospace Sciense", vol. 27, N 3, 1960.
2. Коган M. H. Динамика разреженного газа. M., „Наука", 1967.
3. Численное исследование современных задач газовой динамики. Сб. под редакцией О. М. Белоцерковского, М., „Наука", 1974.
4. Гусев В. Н., Ерофеев А. И., Климова Т. В., Пере-пухов В. А., Рябов В. В., Толстых А И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып. 1855,
г.
о
литература
1977.
5. Vogenilz F. M., Takata G. Y. Monte-Carlo study of blunt body hypersonic viscous shock layers. The seventh Internal. Sympos, on Rarefied Gas Dynamics. Pisa, Italy, 1970.
6. Levinskey F. S., Yoshihara H. Rarefied hypersonic flow-over a sphere. In: .Hypersonic Flow Research', edit, by F. R. Riddel 1. Acad. Press, New York, 1962.
7. Jain A. C., Adimurthy V. Hypersonic merged stagnation shock layers. ,AIAA Paper", N 73-639.
8. Молодцов В. К. О численном расчете гиперзвукового обтекания сферы с учетом граничных условий скольжения. .Ученые записки ЦАГИ", т. 10, № 1, 1979.
9. Russell D. A. Density ahead of a sphere in rarefied supersonic flow. ,Phys of Fluids", vol. 11, N 8, 1968.
10. Павлов Б. M. Численное исследование сверхзвукового обтекания затупленных тел потоком вязкого газа. В сб. .Некоторые применения метода сеток в газовой динамике", вып. 4, изд. МГУ, 1971.
11. Белоцерковский О. М, Северинов Л. И. Консервативный метод потоков и расчет обтекания тела конечных размеров вязким теплопроводным газом. .Ж. вычислит, матем. и матем. физ.\ т. 13, № 2, 1973.
12. К о в е н я В. М., Я н е н к о Н. Н. Неявная разностная схема на подвижных сетках для численного решения уравнений Навье — Стокса сжимаемого газа. Препринт ИТПМ СО АН СССР, № 8, Новосибирск, 1978.
13. Основы газовой динамики. Сб. под редакцией Эммонса Г. У., М., изд. иностр. лит-ры, 1963.
14. Берез и н И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений, т. 2, М., Физматгиз, 1960.
15. Vogenitz F. W., Bird G. A., Broadwell J. E„ R u n-galdier H. Theoretical and experimental study of low density supersonic flows about several simple shapes. .AIAA Paper", N 68-6.
16. A p д а ш'е в a M. M., Климова Т. В., Первушин Г. Е., Черникова Л Г. Применение двухслойного термоиндикаторного покрытия для исследования теплопередачи в вакуумных трубах. .Ученые записки ЦАГИ", настоящий номер.
17. Chue S. Н. Pressure probes for fluid measurement. .Prog. Aerospace Sci vol. 16, N 2, 1975.
18. Гусев В. H., Коган M. H., Перепухов В. А. О подобии и изменении аэродинамических характеристик в переходной области при гиперзвуковых скоростях потока. .Ученые записки ЦАГИ", т. I, № 1, 1970.
Рукопись поступила J3/X 1978 г.
