О применении уравнений динамики систем с программными связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

-►

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети

УДК 004:517.938

Н.В. Абрамов

О ПРИМЕНЕНИИ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С ПРОГРАММНЫМИ СВЯЗЯМИ

Современные компьютерные технологии позволяют собирать и анализировать данные об эффективности отраслей экономики, создавать системы классификации технико-эко-номической информации, разрабатывать и использовать эффективные математические модели развития объектов и систем различной природы и разного уровня сложности. Основу моделирования составляет описание динамики этих объектов системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Так. в работе [I] предложена математическая модель финансирования сферы высшего образования, представленная системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно финансовых ресурсов и числа квалифицированных специалистов, выпускаемых группой вузов. В работе [2] дифференциальным уравнением второго порядка моделируется процесс познания.

Используя известные динамические аналогии [3], можно математические модели, отражающие процессы в системах, содержащих элементы различной физической природы, распространить на экономические [4] и другие процессы [3], [5]. Современные методы моделирования динамики и технологических процессов, алгоритмы решения обратных задач динамики и синтеза управления [6] перспективны для решения различных задач управления.

Динамика производственного объекта

Рассмотрим производственный объект, выпускающий однотипную продукцию. Максимальный объем продукции, который

может выпускать объект в единицу времени при отсутствии ограничений, составляет его мощность у — у(0. Пусть функция с/ — д{1) определяет состояние основных производственных фондов в момент времени /.

Я (0 / ч Тогда отношение —-— = /??(/) является

у (О

мгновенной фондоемкостью основных фондов объекта по выпуску данного вида продукции. Дифференцирование выражения д(г) = т(ОМ0 по времени г приводит к уравнению мощности:

Величина м0(/) представляет собой истинный прирост основных фондов в единицу времени. Она учитывает как вновь поступившие и используемые с момента / основные фонды и = и(1), так и фонды к», выбывающие из потребления за счет износа и старения оборудования. Выбывающие фонды уу в общем случае зависят от мощности у, объема выпускаемой продукции X, от времени I: ы = М К, у, /)• Часто выбытие основных фондов принимается пропорциональным мощности, т. е. н> = (3у. Величина р называется коэффициентом выбытия, или коэффициентом старения основных фондов. Тогда с учетом равенства «„ = и — $у уравнение мощности можно представить в виде

^-(ту) + $у = и. (I)

ш

Пусть объект производит продукцию полной своей мощностью, т. е. объем выпускаемой продукции в единицу времени

равняется мощности. Тогда мощность объекта представляется в виде равенства

/ ч ¿Г У\') = — ' 1 ' Л"

где У = У(/) обозначает общий объем продукции, произведенной объектом к моменту времени и Уравнение развития (I) при этом записывается в виде

т— Л

Л

\

пс1У + В— = и. Л

В случае, когда и> линейно зависит от

V ¿/К

переменных У и -, уравнение развития

Л

имеет вид

Л

т-

<П_ Л

+ 6—+кУ = и Л

(2)

В общем случае поток вновь поступающих в производство основных фондов и может зависеть от мощности объекта и общего объема продукции У. Тогда уравнение мощности представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка относительно объема выпускаемой продукции У:

Л

т-

6/У Л

+ IV

' с1У У, —, /

л

= и

гЛ.,

л

.(3)

то изменение

Если известна величина т и заданы функции

(„ с!У ) („ с1У л И' I . —. I , и I , -, /

\ Л ) \ Л , объема выпускаемой продукции во времени найдется решением дифференциального уравнения (3) при начальных значениях

Що) = У(), уОо) = Уо-

Из выражения (3) следует, что, управляя потоком вновь поступающих в производство основных фондов и, можно добиться требуемых законов изменения во времени объема выпускаемой продукции У = У(1) и мощности производственного объекта у = >■(/). В этом смысле поток основных фондов и можно рассматривать как функцию управления.

Уравнением (3) описывается динамика объектов и систем, содержащих элементы рахчичной физической природы. В работе [3] вводятся динамические показатели и устанавливаются динамические аналогии меж-

ду элементами различной физической природы, позволяющие использовать для анализа динамики и синтеза управления аналитические методы, наиболее полно развитые в классической механике.

Такой подход оказывается эффективным и для исследования динамики экономических объектов, описываемых уравнениями (2) или (3). Тем более, что структура этих уравнений совпадает с уравнением динамики точки переменной массы.

Моделирование процесса познания

Процесс познания рассматривается как процесс накопления информации о внешней материи и описывается дифференциальным уравнением [2]

ГЛ21 Ш I ..

Ь—Т + х— + — = М. (4)

л- Л О

Здесь: С, т — параметры, характеризующие интеллектуальные свойства субъекта познания; С — относительная информационная проницаемость органов чувств; / —

сП , 1

объем информации; т— и —— оценива-

Л Л'

ют соответственно отрицание и отрицание отрицания информации / во времени; М — потенциальная информация. Уравнение (4) может быть представлено в виде

Л

(Л ( сП)

+ Т--

{ л 1 1 ж)

(II 1 .. —+ —= М. Л С

(5)

Потенциальная информация М в правой части уравнения (5) может рассматриваться как функция управления.

Управление простейшей биомеханической системой

В качестве двигательной задачи простейшей биомеханической системы рассматривается |5] процесс вращения в одном суставе. Этому соответствует механическая модель, составленная из стержня с грузом, вращающегося вокруг неподвижной оси в вертикальной плоскости. Положение груза на стержне считается неизвестным. Уравнение движения записывается в виде

-^(/(о) + /и(ф,см) = Л/; = (6)

Л Л

I

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети^

Здесь J — момент инерции звена, составленного из стержня с грузом, относительно оси вращения; ф — суставный угол, со — угловая скорость; т(ф, м, /) — момент неконтролируемых возмущающих сил, включая силу веса, разброс моментных характеристик двигателя и силы реакции в суставе; М — управляющий момент, развиваемый идеальным двигателем.

Динамические аналогии

Сравнение уравнений (5), (6) выявляет аналогию с уравнением прямолинейного движения материальной точки переменной массы. Так, движение материальной точки в среде с сопротивлением, которое пропорционально скорости (с коэффициентом (3) или перемещению (с коэффициентом А:), при отсутствии других внешних сил описывается уравнением

d ( dx — т —

I dt

dt

+ р — + kx=R. dt

(7)

Закон движения материальной точки, если известны ее начальное положение х(/0) = х0 и начальная скорость у(/0) = у0, определяется решением х = *(/) уравнения (7).

Из сравнения уравнений (3) и (7) следует: мощность производственного объекта

dY (¡х

у = — аналогична скорости точки V = —; dt (// объему выпускаемой продукции К соответствует перемещение х точки; фондоемкости может быть поставлена в соответствие масса материальной точки. Следовательно, фондоемкость экономического объекта характеризует его "инертность", или "сопротивляемость" к увеличению мощности. Например. при одном и том же значении основных фондов и из двух объектов с фон-доемкостями от, и т2 > т{ мощность объекта, имеющего меньшую фондоемкость т(, будет увеличиваться быстрее по сравнению

с объектом, имеющим фондоемкость /и->. ¿у

Слагаемое р— в уравнении (2), харак-dt

теризующее выбытие основного фонда за счет его старения и износа, соответствует

сопротивлению среды р—— в уравнении (7).

dt

Коэффициент выбытия р в выражении Р —

А

влияет так же, как и коэффициент р сопротивления среды в уравнении (7). Чем больше значение коэффициента р, тем больше потери объекта в основных производственных фондах Ф.

Коэффициент к определяет меру пропорциональности общему объему продукции У. Его можно поставить в соответствие коэффициенту упругости при сопротивлении движению точки с силой, пропорциональной перемещению х. Основные производственные фонды Ф = ту соответствуют количеству движения материальной точки <7 = т\\ Очевидно, что ввод основных фондов и в уравнении (3) соответствует реактивной силе /? (или сумме реактивной силы и дополнительных внешних сил, когда они действуют на точку) в уравнении (7).

Уравнение мощности в общем виде

а í \

—(ту) = и0 (8)

можно поставить в соответствие уравнению движения материальной точки переменной массы, на которую действует сила имеющему вид

(9)

Из (9) следует известный первый интеграл уравнений движения точки: mv = const при F0 = 0. То есть количество движения точки остается постоянным, если равнодействующая сил, приложенных к ней, равна нулю. Аналогично при м„ = 0 из уравнения (8) получается закон сохранения основных фондов в виде ту = const, т. е. мощность у может увеличиваться только за счет уменьшения фондоемкости т.

d + / dL)

- т- -

dt \ dt dt J

dI 1 11 — + — = М

dt G

(Ю)

Сравнение уравнений (10) и (4) демонстрирует аналогию между математическими описаниями процесса познания и прямолинейного движения материальной точки.

В этом случае коэффициенты ¿и — аналогичны массе и коэффициенту упругости к.

В сравнении с динамикой точки постоянной массы коэффициент т непосредственно соответствует коэффициенту сопротивления среды р.

Уравнение (6) вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси по существу совпадает с уравнением (4), описывающим поступательное движение твердого тела. Момент инерции У в уравнении (6) имеет смысл массы в уравнении (3); управляющий момент М соответствует силе /?; момент неконтролируемых возмущающих сил /л(<р, ы, I) аналогичен внешним силам /\

Установление динамических аналогий позволяет использовать современные методы аналитической динамики и математического моделирования для решения задач экономики.

Управление простейшим производственным предприятием

Проанализируем задачу управления производственным предприятием, которое состоит из двух подразделений, рассматриваемых как простой производственный объект, или выпускает два вида продукции. Объем выпускаемой продукции подразделений определяется величинами х{, х2. Предприятие допускает управление за счет поступающих в производство основных фондов и|, и2, распределенных по подразделениям соответственно с коэффициентами Ьи, Ьп и Ь2\, Ь22• Будем считать, что мгновенные фондоемкости подразделений зависят только от объемов выпускаемой продукции .г,, х2 и времени V. ту = /ну(х, I): х = (х,, х2). Пусть выбытие основных фондов подразделений и>(, к>2 определяется линейной функцией относительно мощностей подразделений:

гу = рх, и> = (и>,, и'з). р = (Р,у), /', у = 1,2.

Предполагается, что факторы /2. влияющие на изменение основных производственных фондов в момент времени , предполагаются пропорциональны общему объему продукции подразделений хь х2 соответственно с коэффициентами см, с(2 и с2ь с22: /= -сх;/= (У,,/2); с = Щ).

При сделанных предположениях уравнения мощностей подразделений записываются в виде системы

т'х + [З.г + сх = bu, Ь = (Ьу), и = (м„ и2). (11)

Примем за цель управления достижение и поддержание заданного объема продукции:

aT(t)x = v(0; (12)

aT(t) = (а,(/) а2(0), а,(/) + а2(1) = 1. Положим

у = aT(t)x — v(t); (13)

y = -kj-k0y, к\ > 0. к2> 0. (14) Из (11), (14) следуют уравнения для определения и |, и2:

' gTu = h, (15)

где £ = (аТт~% h = (а' m ' (m + р)- к,а -2а )х

хх + {а'm хс-кха -а -к0а' )х + v + k0v.

Обозначив элементы матрицы g как g,, g2, запишем уравнение ( 15) в скалярном виде: glui+g2u2 = h. (16)

Уравнение (16) имеет решение

g, h . gji », = -c0g, + , , u2 = c0g{ + - ,(17)

где c0 = c(x.x.l) — произвольная функция. Поскольку уравнение (14) имеет асимптотически устойчивое тривиальное решение у = 0, то упрашгения (17) обеспечивают выход на требуемый объем выпуска продукции (12) и сохранение его на заданном уровне.

Рассматриваемая задача управления производством может быть решена и при ограничениях на ресурсы управления вида м, <//, <ïгл <z/2 < ïï2. Для этого следует построить управляющие функции их, и2, обеспечивающие движение по прямой, заданной уравнением (12) в пространстве координат х(, х2 [7J.

Рассмотренные аналогии уравнений динамики систем с программными связями позволяют построить математические модели объектов, которые содержат элементы различной физической природы, что в дальнейшем позволит легко просчитать их с помощью любой компьютерной вычислительной системы. Развитие таких методов моделирования перспективно для решения различных задач управления.

+

Телекоммуникационные системы и компьютерные сети^

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левченко JI.B., Максимов В.В. Проблема оптимизации стратегии финансирования российской высшей школы // Известия Самарского НИ РАН. Спец. вып.: "Актуальные проблемы экономики и права". Самара: СНЦ РАН. 2005. С. 45-51.

2. Сайтов Р.И. Математическая модель процесса познания // Проблемы физико-матема-тического образования в педагогических вузах России на современном этапе. Ч. 2: / Матер. II Уральской регион, межвуз. науч,-практ. конф. 19-21 мая 1997 г. Уфа, 1997. С. 66-67.

3. Layton R. Diflerenlial-Algebraic Equations of Dynamical Systems. Springer, 2001. 159 p.

4. Сиразетдинов Т.К. Динамическое моделирование экономических объектов. Казань: Фэн, 1996. 223 с.

5. Пятницкий Е.С. Избранные труды: В 3 т. Т. 3: Теоретическая биомеханика. Концепция управления движением в условиях неопределенности. М.: Изд-во физ.-мат. лит., 2006. 448 с.

6. Мухарлямов Р.Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем // Дифференц. уравнения. 2003. Вып. 39. № 3. С. 343-353.

7. Мухарлямов Р.Г. Построение уравнений систем программных движений в скользящем режиме // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, № 7. С. 1219-1222.

УДК 004.7

А.Я. Городецкий, B.C. Заборовский, В.А. Мулюха

ПРОПУСКНАЯ СПОСОБНОСТЬ КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЕЙ С ФРАКТАЛЬНЫМИ СВОЙСТВАМИ

Исключительно важный параметр компьютерных сетей, как и любых других систем связи, характеризующий эффективность использования сетевых ресурсов — пропускная способность (ПС). Согласно сложившемуся подходу ПС определяется в стационарном режиме как среднее число по всем реализациям дошедших безошибочно до приемника пакетов (битов, байтов) в единицу времени. Для компьютерных сетей в связи с фрактальными свойствами протекающих в них случайных процессов данную формулировку необходимо пересмотреть.

До решения поставленной задачи и выработки соответствующих рекомендаций необходимо ознакомиться с имеющимися материалами по фрактальным процессам в сетях, дополнив их результатами анализа длительной работы сетей [1—4]. В данной статье рассматривается наиболее коррелированный из ТСР-процессов — режим быстрой по-

вторной передачи, преобладающий при доставке пакетов на транспортном уровне. На рис. I (график /) изображена одна из реализаций модели этого режима, аппроксимируемой линейным законом увеличения числа посланных пакетов с интенсивностью один пакет в условную единицу времени.

Уровень /Упр = 64 соответствует окну приемника. При благоприятном исходе число переданных пакетов достигает максимально возможного, но не более размера окна приемника. Распределенные равномерно временные отсчеты т1} ..., т„ — случайные моменты релаксации, вызванные перегрузкой в сети. Определению подлежат статистические характеристики временных моментов (задержек) т0, т¡0, ..., т„0, характеризующих благоприятные исходы в определенных сериях передачи. Моменты т0 = Т = 64 полагаем наименьшим временем благоприятного исхода (в нулевой серии).