О применении операторного формализма к решению задач электродинамики бигиротропных сред Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

Вестник Сыктывкарского университета.

Серия 1: Математика. Механика. Информатика.

Выпуск 1 (26). 2018

УДК 51-73, 537.86, 537.876.22, 535.131

О ПРИМЕНЕНИИ ОПЕРАТОРНОГО ФОРМАЛИЗМА К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ БИГИРОТРОПНЫХ СРЕД1

П. А. Макаров, В. И. Щеглов

Развит операторный формализм к рассмотрению электромагнитных волновых процессов в стационарных, однородных, биги-ротропных средах. Выведены волновые уравнения в общем случае, а также для волн, распространяющихся параллельно и перпендикулярно оси гиротропии. Аналитически получены решения волнового уравнения и дисперсионные соотношения для гиро-электрической и гиромагнитной волн. Указан общий ход решения для волн, распространяющихся параллельно оси гиротропии. Ключевые слова: электродинамика, уравнения Максвелла, биги-ротропная среда, распространение электромагнитных волн.

1. Введение

Исследование электродинамических свойств неоднородных, нестационарных, неизотропных сред и сложных структур на их основе играет важнейшую роль в развитии современной науки и техники [1].

Необычными оптическими свойствами могут обладать и стационарные среды с одновременно отрицательными диэлектрической и магнитной проницаемостью [2]. Несмотря на то что в природе таких сред не существует, хорошо известно, что имеется возможность реализовать их искусственно на основе композитных материалов [3,4]. Структура таких материалов формируется из двух подрешёток, одна из которых обладает гиротропией по отношению к электрическим свойствам, вторая является магнитогиротропной.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №17-02-01138 и №17-57-150001).

© Макаров П. А., Щеглов В. И., 2018.

Ввиду многообразия возможных в них электродинамических эффектов, бигиротропные среды вызывают большой интерес как сами по себе [5,6], так и в составе разнообразных комплексных систем, таких как ферромагнитные сверхрешётки [7], волноводы на основе магнитооптических слоёв и фотонных кристаллов [8], тонкоплёночные периодические структуры магнетик/полупроводник [9], магнонные кристаллы [10] и многие другие.

Вместе с тем теория генерации, распространения, затухания и преобразования электромагнитных, спиновых и магнитостатических волн в бигиротропных средах далека от завершения. В первую очередь это обстоятельство определяется высокой сложностью уравнений, описывающих электромагнитное поле в таких средах [1,3]. Известно, что аналитическими методами крайне затруднительно решить задачу о распространении электромагнитной волны в бигиротропной среде для случая произвольной геометрии. В связи с этим большое значение имеет развитие новых методов, позволяющих относительно просто формализовать полную электродинамическую задачу в бигиротропной среде, а также получить аналитическое решение для важнейших частных случаев.

2. Общие уравнения

Рассмотрим стационарную и однородную среду в отсутствии сторонних токов j = 0 и зарядов р = 0. Введём декартову систему координат Охух и предположим, что в среде действуют постоянные однородные электрическое Ео || Ох и магнитное Н0 || Ох поля. Таким образом, среда является бигиротропной с осью гиротропии вдоль оси Ох. Общая геометрия задачи приведена на рис. 1, где линией АВ показана ось гиротропии.

х

В рассматриваемой геометрии тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей £ и Д имеют вид [11]:

(£ ÍSa 0\ / Д %Да ü\

-ISa £ 0 I , Д = I -%Да Д 0 I . (1)

0 0 £||/ V 0 0 Д\\)

Компоненты тензоров материальных параметров в общем случае могут быть комплексными, никаких специальных предположений, связанных с этим, не делается.

Уравнения Максвелла в нашей задаче имеют вид [12]:

Vx E =---—, Vx H = -—, V- D = 0, V- B = 0. (2)

c dt cdt

В системе (2) E и H — это векторы напряжённостей электрического и магнитного полей, а D и B — соответствующие им индукции. Представим произвольную компоненту электромагнитного поля в виде произведения A(r,t) = A(r)e-iWÍ. Тогда уравнения Максвелла (2) для пространственных составляющих поля примут вид:

Vx E = i—ДН, Vx H = -i—SE, V- D = 0, V- B = 0. (3) cc

Вычислим индукции магнитного и электрического полей:

(Д %Да 0 \ /Hx\ / дИх + %ДаНу \

%Да Д 0 || Ну I = I -%ДаИх + ДИу I , (4) 0 0 Д||/ \Hj V Д\Н )

D = SE

£ %£а 0 1 Ex

%£а £ 0I | Еу

0 0 £н/ \Ez

£Ex + %£аЕу —%£аЕх + £Ey £\\Ez

(5)

—

Подставим индукции, используем обозначение k0 = — и раскроем по-

c

компонентно уравнения системы (3):

Г дЕг дЕу

дУ дг

дЕх дЕх

дг дх

дЕу дЕх

дх ду

дНх дНу

ду дг

дНх дНх

дг дх

дНу дНх

дх

дУ

- гцкоИх + ца ко Ну = 0,

- цакоНх - гцкоНу = 0,

- гц\\коНх = 0,

+ гекоЕх - £акоЕу = 0, + £а коЕх + гекоЕу = 0, + г£\\коЕх = 0,

дЕх + дЕу

дх

дУ

+ г£а

дЕу дЕх дх

дУ

+ £\\"

дЕ7,

дНх дНЛ . (дНу дН,

+ гЦа ( - ) + Ц\\

дх

+

дУ

дх

дУ

дг

дНх

дг

(6.1) (6.2)

(6.3)

(6.4)

(6.5)

(6.6)

(6.7)

(6.8)

Система (6) — это восемь уравнений для шести компонент полей и для трёх производных от каждой компоненты по трём координатам, т. е. всего для восемнадцати производных. Полное решение этой системы должно представлять собой шесть функций (по одной для каждой компоненты поля), содержащих восемнадцать произвольных постоянных (по одной для каждой производной). Эти постоянные могут быть определены из граничных условий. Поскольку на одной поверхности могут быть заданы шесть граничных условий — для двух касательных компонент напряжённости поля и одной нормальной для индукции, а пространство содержит три взаимно перпендикулярные плоскости, то эти три плоскости могут дать восемнадцать условий для определения восемнадцати произвольных постоянных. Таким образом, в общем случае система может быть полностью определённой.

Исключим из системы (6) все поля, кроме Ех и Нг. Для этого выполним следующие преобразования.

0

£

0

1. Дифференцируем (6.1) по у:

д2Е7 д2Еу . ВНх , дНу

у - гцко^т^ + Цако^т1- = 0. (7)

г\ о о о г^ ,1,о о | ^а' ^о гл

ду2 ду дг ду ду

2. Дифференцируем (6.2) по х:

д2Ех д2Е2

дх дх дх2

дНх дНу - --— 0.

дх

дх

(8)

3. Вычитаем (8) из (7):

д2Ег д2Ег д (дЕх дЕ,

+

ду2 дх2 дх \ дх ду

—

дНх дНь

+ ^ак0

дНх дНу

+

дх ду 4. Подставляя (6.3) в (6.7), получим:

ду дх

+

(9)

дЕх дЕу £а . тт £\\ дЕх

+ я =~ V\\коНг — —^т" дх ду £ £ дх

(10)

5. Непосредственно из (6.6) имеем:

дНх дН

ду

дх = г£\\коЕ -

(11)

6. Подставляя (6.6) в (6.8), получим:

дНх дНу ^а , г V\\ дНх --+ -т,— —--£\\коЕх---—

дх ду ^ V дх

(12)

7. Заменяем все круглые скобки в (9) с помощью (10), (11) и (12):

д2Ег + сТЕ^ + £\ дЕ + к2£ V2 — У2а Е— — дх2 ду2 £ дх2 0 \\ V г

, ,'£а , Va\ дНх

— кф\\{ 7 +

(13)

8. Теперь продифференцируем (6.4) по у:

д2Нг д2Ну . дЕх , дЕу + 1£ко^--£ако-

у2 у х

у

у

(14)

9. Дифференцируем (6.5) по х:

д2Нх д2Н7

х х х2

Ех Еу + £ако--+ 1£ко-

х

х

0.

(15)

0

0

0

10. Вычитаем (15) из (14):

д2Н д2Н д (дН

ду2

+

дх2

дх V дх дЕх

- еако

дх

дН

ду дЕу дУ

+

+ 1ек0

0.

дЕх дЕу

ду

дх

(16)

11. Подставляя (6.6) в (6.8), получим:

дНх + дНу

дх

ду

- ^ каЕ - »

д д дх

12. Непосредственно из (6.3) имеем:

дЕх дЕ,,,

ду

дх

-щ\к0Нг

13. Подставляя (6.3) в (6.7), получим:

дЕх дЕу еа е, дЕх

(17)

(18)

(19)

дх дуе е дх

14. Заменяем все круглые скобки в (16) с помощью (17), (18) и (19):

д2Н + д^Н* + Д\\ д2Н

е2 е2

дх2

I 1,2 ^ ""а

ду2 ' Д дх2 + к°Д"

Н+

. , , Да . еЛ дЕх

+коеИ 7 +

(20)

0.

Уравнения (13) и (20) образуют систему двух уравнений для компонент поля Ех и Нх. Эти уравнения удобно записать с помощью следующих обозначений:

е\

ат

ь _ к2е Д_Да

ьт — к0 е|| ,

Д

т I еа Да

Ст = коД\\--1--

еД

ае — ДД,

д

е2 е2 Ье — к02Д е еа

Со Д\\-

е

7 I еа Да

коеи 7 + 7

(21.1) (21.2)

(21.3)

(21.4)

(21.5)

(21.6)

е

с

е

С этими обозначениями уравнения (13) и (20) примут вид:

д2 с^ д^ Ь \ Е дн*

2 + "л 2 + атТ{ 2 + Ьт ) Ег Ст~^

дх2 ду2 дх2 / дх

д2 д2 д2 дЕ

--+ Т^Т + + Ье н + Се-

дх2 ду2 дх2

дх

0.

(22.1) (22.2)

Полученная окончательная форма уравнений Максвелла (22) представляет собой систему двух дифференциальных уравнений второго порядка. Данную систему достаточно сложно разрешить в общем виде относительно полей Ег и Нг, однако эта задача легко решается с помощью операторного подхода.

3. Операторная форма уравнений

Введём дифференциальные операторы

Ье

Ьт

Ее = С^ —,

дх д_

дх'

ь

о 2 + п 2 + ае п 2 + Ье

дх2 ду2 дх2

д2 д2 д2 Ь "ТО о о I иГ:

дх2 ду2 дх2 д

1 т Ст п. ,

(23.1)

(23.2)

(23.3)

(23.4)

с помощью которых систему уравнений Максвелла (22) можно привести

к виду:

ЬеЕг — 1 тНг ЬтНг + 1 еЕ г

0.

(24.1)

(24.2)

Из определений (23) очевидно, что все операторы Ье, Ьт, 11е и 11т — линейные и попарно коммутирующие. Коммутативность операторов является следствием однородности среды.

Подействуем оператором Ьт на уравнение (24.1), учтём коммутативность операторов Ьт и 1)т и используем уравнение (24.2). В результате получим уравнение для поля Ег. Аналогично получается уравнение для

поля Нг.

ЬтЬе + 1)т1)е ) Е-

0,

ЬеЬт + 1)е 1)т) Нг —

(25.1)

(25.2)

0

0

Вследствие коммутативности операторов Ье, Ьт, Юе и От очевидно, что оба уравнения системы (25) абсолютно эквивалетны и их решения идентичны. Поэтому не будем в дальнейшем различать тип поля Ех или Нх и вместо них будем использовать обобщающий символ Ф. Таким образом, основное волновое уравнение в операторной форме для бигиротропной среды в нашем случае имеет вид:

ЬтЬе + ВтВЛ Ф = 0.

(26)

Уравнение (26) — это линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка. В общем виде его решение довольно затруднительно и трудоёмко, однако вполне возможно [13]. Теперь остановимся более подробно на двух важнейших частных случаях.

3.1. Волна, распространяющаяся вдоль оси гиротропии. Рассмотрим электромагнитную волну, распространяющуюся продольно оси гиротропии, т.е. будем считать, что Ф = Ф(х). В этом случае операторы (23) принимают вид:

Ье

Ь)т

д2 , ^ ^ + Ь

"т дх2 + ^т

О = сд

^ ех ; >

ах

О т

' дх'

а волновое уравнение (26) запишется так:

д4Ф(х) ,, , . д2Ф(х) , , т, . аеат~дХхА--+ ( т + йтЬе + СеСт)"^--+ ЬеЬтФ(х) = 0.

Удобно ввести следующие обозначения:

а =

ае Ьт + ат Ье + сест

аеат

в

Ье Ьт

ае

(27.1)

(27.2)

(27.3)

(27.4)

(28)

(29.1)

(29.2)

с помощью которых характеристический полином уравнения (28) примет вид:

А4 + аА2 + в = 0. (30)

д

с

Корнями биквадратного уравнения (30) являются значения

Л1,

2,3,4 =

±1

-а а2 - 4в

(31)

а значит, общее решение волнового уравнения (28) можно построить известными методами теории дифференциальных уравнений [14].

Заметим, что коэффициенты (29), выраженые через основные параметры задачи, имеют вид:

а = к^ер

2-< V2 + еа) + к2( р + 7

в = к4(е2 - е2)(р2 -

(32.1)

(32.2)

В качестве проверки полученных результатов проведём вычисления для изотропной среды, т. е. положим еа = ра = 0, ец = е и рц = р. При этом из (32) очевидно, что а = 2е рк02 и в = е2 р2к0, а значит, Л = ±к0л/-ер, т.е. имеется два двухкратно вырожденных корня характеристического полинома. Таким образом, общее решение уравнения (26) в данном случае имеет вид:

2

Ф(х) = С1вко^г + + Сзхеко^г + САхв-к°^г. (33)

Очевидно, что третье и четвертое слагаемые в этом решении — неограниченные функции, поэтому следует положить неопределённые множители С3 = С4 = 0. Оставшиеся два слагаемых в (33) представляют собой волны, распространяющиеся в прямом и обратном направлениях, причём простейший вид эти волны имеют в бездиссипатив-ной среде, т.е. при е,р £ К. При этом волны могут распространяться только в таких средах, для которых ер > 0. Тогда у/-ер = Ъу/ер = гп, где п = у/ёр — показатель преломления среды. При учёте диссипации е,р £ С первые слагаемые в (33) будут описывать затухающие волны.

Все эти выводы хорошо известны в электродинамике [1,3,5,11,12] и свидетельствуют о справедливости полученного уравнения и его решения и в случае бигиротропной среды.

3.2. Волна, распространяющаяся перпендикулярно оси ги-ротропии. Предположим, что распределение полей от координаты х не зависит, т.е. Ф = Ф(х,у). В таком случае операторы (23) принимают

вид:

—еху —тху

3 е

д2 д2 , - + — + Ье

дх2 ду2 д2 д2 --+ — + Ьт

дх2 ду2

3 т

'еху ^тху О,

а волновое уравнение (26) запишется так:

-тху-еху Ф(х,у) = 0-

(34.1)

(34.2)

(34.3)

(35)

В силу коммутативности операторов Ьтху и Ьеху очевидно, что общее решение уравнения (37) следует искать в виде линейной комбинации

Ф(х,у) = СеФе(х,у) + СтФт(х,у), (36)

где Фе(х,у) и Фт(х,у) — это решения уравнений

Ьеху Ф е (х,у) = 0, (37.1)

ЬтхуФт(х, у) = 0. (37.2)

Эти уравнении «расцеплены», каждое из них описывает отдельную волну и эти волны могут распространяться независимо. Назовём волну, описываемую уравнением (37.1), — «гироэлектрической», а (37.2) — «гиромагнитной» [1]. Решения уравнений (37) легко найти методом Фурье [15]:

Фе(х,у) = [Аее1кХх + Бее-кХх] ■ [Сее1куу + Вее-куу] , (38.1)

Фт(х, у) = [Атегктх + Бте-гктх] ■ [Стегкупу + Бте-гкупу] . (38.2)

Дисперсионные соотношения для гироэлектрической и гиромагнитной волн при этом имеют вид:

(кхт)2 + (^Г)2 = ^ц ?2 ^

(кех)2 + (ку )2 = к2оЩ1

е2- е2

(39.1)

(39.2)

Следует заметить, что и эти результаты вполне согласуются с известными данными о распространении электромагнитных волн в биги-ротропных средах [1,3,5,11]. Вместе с тем предложенный операторный метод позволил получить решение данной задачи более простым путём, чем известные методы.

4. Выводы

Таким образом, в данной работе развит операторный подход к рассмотрению электромагнитных волновых процессов в стационарных, однородных, бигиротропных средах. С помощью этого метода получены волновые уравнения в общем случае, а также для волн, распространяющихся параллельно и перпендикулярно оси гиротропии. В явном виде получены решения и дисперсионные соотношения для гироэлектриче-ской и гиромагнитной волн, а также указан ход получения решения для волн, распространяющихся параллельно оси гиротропии. Выполнена проверка полученных решений в случае изотропной среды.

С помощью описанного формализма можно построить решения для волн, распространяющихся в произвольном направлении по отношению к оси гиротропии. Задача при этом в общем виде сводится к дифференциальному уравнению в частных производных четвёртого порядка. Также существует возможность применить разработанный метод к электродинамике неоднородных сред с произвольной взаимной ориентацией осей электрической и магнитной гиротропии.

Список литературы

1. Шавров В. Г., Щеглов В. И. Магнитостатические и электромагнитные волны в сложных структурах. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2017. 360 с.

2. Веселаго В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и ц // УФН. 1967. Т. 92. № 3. C. 517-526.

3. Виноградов А. П. Электродинамика композитных материалов. М.: УРСС, 2001. 207 с.

4. ТТТеглов В. И. Расчет динамической проницаемости среды, содержащей магнитную и электрическую компоненты // Журнал радиоэлектроники. 2001. № 7. URL: http://jre.cplire.ru/win/aug01/4/text.html (дата обращения: 29.03.2018).

5. Ерицян О. С. Оптические задачи электродинамики гиротропных сред // УФН. 1982. Т. 138. №4. C. 645-674.

6. Barta O., et al. Magneto-optics in bi-gyrotropic garnet waveguide // Opto-electronics review. Vol. 9. № 3. 2001. Pp. 320-325.

7. Bukhanko A. F., Sukstanskii A. L. Optics of a ferromagnetic superlattice with noncollinear orientation of equilibrium magnetization vectors in layers // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. Vol. 250. 2002. Pp. 338-352.

8. Dadoenkova N. N., et al. Complex waveguide based on a magneto-optic layer and a dielectric photonic crystal // Superlattices and Microstructures, vol. 100, 2016, pp. 45-56.

9. Eliseeva S. V., Sannikov D. G., Sementsov D. I. Anisotropy, gyrotropy and dispersion properties of the periodical thin-layer structure of magnetic-semiconductor // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. Vol. 322. 2010. Pp. 3807-3816.

10. Rychly J. et al. Magnonic crystals — Prospective structures for shaping spin waves in nanoscale // Low Temperature Physics. Vol.41. № 10. 2015. Pp. 745-759.

11. Гуревич А. Г., Мелков Г. А. Магнитные колебания и волны. М.: Наука, 1994. 464 с.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Т. VIII. Электродинамика сплошных сред. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 656 с.

13. Greer J. B., Bertozzi A. L., Sapiro G. Fourth order partial differential equations on general geometries // Journal of Computational Physics. Vol. 216. № 1. 2006. Pp. 216-246.

14. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРСС, 2002. 320 c.

15. Кузнецов Е. А., Шапиро Д. А. Методы математической физики : курс лекций. Новосибирск: Новосибирский государственный университет, 2011. Ч. I. 131 с.

Summary

Makarov P. A., Shcheglov V. I. On the application of the operators formalism to the solution of the electrodynamics problems for bigyrotropic media

The operator formalism is developed to consider electromagnetic wave processes in stationary, homogeneous, bihyrotropic media. Wave equations are obtained in the general case, and also for waves propagating in parallel

and perpendicular to the gyrotropy axis. The solutions of the wave equation and the dispersion relations for the gyroelectric and gyromagnetic waves are analytically obtained. The general method of the solution for waves propagating parallel to the gyrotropy axis is showed.

Keywords: electrodynamics, Maxwell's equations, bihyrotropic medium, propagation of electromagnetic waves.

References

1. Shavrov V. G., Shcheglov V. I. Magnitostaticheskiye i elektro-magnitnyye volny v slozhnykh strukturakh (Magnetostatic and electromagnetic waves in complex structures), M.: FIZMATLIT, 2017, 360 p.

2. Veselago V. G. Elektrodinamika veshchestv s odnovremenno otritsa-tel'nymi znacheniyami e i i (The electrodynamics of substances with simultaneously negative values of e ¡i), Uspekhi Fizicheskikh Nauk, v. 92, № 3, 1967, pp. 517-526.

3. Vinogradov A. P. Elektrodinamika kompozitnykh materialov (Electrodynamics of composite materials), M.: URSS, 2001, 207 p.

4. Shcheglov V. I. Raschet dinamicheskoy pronitsayemosti sredy, soderzhashchey magnitnuyu i elektricheskuyu komponenty (The dynamic permittivity calculation of media having magnetic and electric components), Journal of radio electronics, URL: http://jre.cplire.ru/ win/contents.html: № 7. 2001. URL: http://jre.cplire.ru/win/aug01/ 4/text.html (date of the application: 29.03.2018).

5. Eritsyan O. S. Opticheskiye zadachi elektrodinamiki girotropnykh sred (Optical problems in the electrodynamics of gyrotropic media), Uspekhi Fizicheskikh Nauk, v. 138, № 4, 1982, pp. 645-674.

6. Barta O., et al. Magneto-optics in bi-gyrotropic garnet waveguide, Opto-electronics review, vol.9, № 3, 2001, pp. 320-325.

7. Bukhanko A. F., Sukstanskii A. L. Optics of a ferromagnetic superlattice with noncollinear orientation of equilibrium magnetization vectors in layers, Journal of Magnetism and Magnetic Materials, vol. 250, 2002, pp. 338-352.

8. Dadoenkova N. N., et al. Complex waveguide based on a magneto-optic layer and a dielectric photonic crystal, Superlattices and Microstructures, vol. 100, 2016, pp. 45-56.

9. Eliseeva S. V., Sannikov D. G., Sementsov D. I. Anisotropy, gyrotropy and dispersion properties of the periodical thin-layer structure of magnetic-semiconductor, Journal of Magnetism and Magnetic Materials, vol. 322, 2010, pp. 3807-3816.

10. Rychly J. et al. Magnonic crystals — Prospective structures for shaping spin waves in nanoscale, Low Temperature Physics, vol.41, № 10, 2015, pp. 745-759.

11. Gurevich A. G., Melkov G. A. Magnitnyye kolebaniya i volny (Magnetic oscillations and waves), M.: Nauka, 1994, 464 p.

12. Landay L. D., Lifhitz E. M. Teoreticheskaya fizika: T. VIII. Elektrodinamika sploshnykh sred (Theoretical physics: Vol. VIII. Electrodynamics of Continuous Media), M.: FIZMATLIT, 2005, 656 p.

13. Greer J. B., Bertozzi A. L., Sapiro G. Fourth order partial differential equations on general geometries, Journal of Computational Physics, vol.216, № 1, 2006, pp. 216-246.

14. Elsgolz L. E. Differentsial'nyye uravneniya i variatsionnoye ischisle-niye (Differential equations and the calculus of variations), M.: URSS, 2002, 320 p.

15. Kuznetcov E. A., Shapiro D. A. Metody matematicheskoy fiziki: kurs lektsiy (Methods of mathematical physics: Course of lectures), P.I, Novosibirsk State University, 2011, 131 p.

Для цитирования: Макаров П. А., Щеглов В. И. О применении операторного формализма к решению задач электродинамики бигиро-тропных сред // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1: Математика. Механика. Информатика. 2018. Вып. 1 (26). C. 3-16.

For citation: Makarov P. A., Shcheglov V. I. On the application of the operators formalism to the solution of the electrodynamics problems for bigyrotropic media, Bulletin of Syktyvkar University, Series 1: Mathematics. Mechanics. Informatics, 2018, 1 (26), pp. 3-16.

СГУ им. Питирима Сорокина,

ФГБУН ИРЭ имени В.А. Котельникова РАН Поступила 29.03.2018