CC BY
20
УДК 624.04
О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛИ СКЛАДКИ В РАСЧЕТАХ КОНСТРУКЦИЙ
Г.М. Кадисов
Аннотация. Рассматриваются вопросы применения модели складки и функций Грина в расчетах методом перемещений различных конструкций, тонкостенные элементы которых подвержены действию локальных сосредоточенных нагрузок или имеют прямоугольные вырезы. Даны соображения о возможности применения модели складки для расчета податливости дорожной одежды. Приведены примеры расчета напряжений в сжатой квадратной пластинке с квадратным вырезом и устойчивости ее плоского напряженного состояния.
Ключевые слова: складка, пластинка,
вость.
Введение
Александровым А.В. для расчета складчатых систем предложен метод перемещений с использованием ординарных тригонометрических рядов и точных решений теории упругости, описывающих напряженное и деформированное состояние отдельных пластинок, являющихся элементами складки [1]. Применение метода показано на примерах расчета пролетных строений мостов [2] на статическое и динамическое действие нагрузки и рассмотрены задачи устойчивости. В [3] приведен расчет неразрезных балок-стенок, в [4] метод изложен в учебном пособии.
Отметим одну особенность предложенной расчетной модели складки. Применение тригонометрических рядов с разложением прогибов пластинки и перемещений в ее плоскости поперек пролета в ряды по синусам позволяет получить решения, соответствующие закреплению складки на ее торцах, как отметил Александров в [2], на поперечные диафрагмы, абсолютно жесткие в своей плоскости и абсолютно гибкие из нее. Следовательно, на торцах складки перемещения в продольном направлении не ограничены, а в поперечном равны нулю.
В [5] и затем в [6] показано применение данной модели для расчета совместных колебаний пролетных строений мостов и движущихся по ним с постоянной скоростью механических объектов (грузовых автомобилей). Показано, что в случае регулярной колонны автомобилей возможны резонансные явления при практически достижимых скоростях.
В модели складки предполагается расположение нагрузки на узловых линиях. В МКЭ внешняя нагрузка приложена также к узлам конечно-элементной модели. Но если в МКЭ это относительно оправдано за счет выбора
метод перемещений, напряжения, устойчи-
достаточно малых размеров конечных элементов, то в моделях складки имеет смысл в некоторых задачах размещать нагрузку между узловыми линиями, непосредственно на пластинки. Тогда возникает необходимость разработать функции Грина для плоского и изги-бного напряженно-деформированных состояний отдельной прямоугольной пластинки и процедуру соответствующего расчета складки целиком [7, 8, 9].
В случае, когда элемент складчатой конструкции является многослойным, представляется возможным для него принять приведенные механические характеристики (модуль упругости и коэффициент Пуассона), считая его изотропным. Расчет такой складки, конечно, будет уже приближенным, но позволит оценить результаты, полученные более мощными программными продуктами.
Оказалось, что разработанный автором комплекс программ расчета складок на статику, динамику и устойчивость можно применять и для ориентировочных расчетов податливости дорожной одежды. Дорожная одежда моделируется горизонтальными пластинками складки, упругое основание - вертикальными. Размещая горизонтальные пластинки на разных уровнях и соединяя их вертикальными пластинками, можно получить «сотовую» конструкцию, которую можно принять за модель дорожной одежды на слоистом основании. Толщину горизонтальных пластинок принимаем равной расстоянию между ними по вертикали, а толщину вертикальных - по горизонтали. Узловыми линиями такой многоячеистой складки являются линии пересечения срединных плоскостей горизонтальных и вертикальных пластинок. Важным здесь остается вопрос о выборе модулей упругости и коэффициентов Пуассона для пластинок модели, ис-
ходя из механических свойств дорожного покрытия и грунтового основания. В итоге пространственная слоистая сплошная среда заменена дискретно-континуальной моделью, в которой горизонтальные пластинки испытывают в основном изгиб, вертикальные - сжатие.
Далее в статье рассматриваются особенности применения модели складки в расчетах методом перемещений пластинок и пластинчатых систем с отверстиями и вырезами.
О построении функций Грина для прямоугольных пластинок
Прямоугольная пластинка принимается шарнирно опертой поперечными кромками и жестко защемленными продольными. Рассмотрим вкратце построение функции Грина в случае плоского напряженного состояния. Сосредоточенную нагрузку, действующую в плоскости пластинки, разлагаем в ряд по синусам. Искомую функцию напряжений также представляем рядом по синусам по продольной координате с коэффициентами, зависящими от поперечной координаты. Эти коэффициенты находим из решения обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка при нулевых краевых кинематических условиях на продольных кромках с учетом непрерывности перемещений и уравнений равновесия в точке с особенностью. Сначала строится решение на участке левее особенности в виде двух функций, каждая из них удовлетворяет дифференциальному уравнению и дает нулевые перемещения на левом краю. Решение на правом участке получается из первых двух функций сдвигом начала отсчета на ширину пластинки. Полученные четыре функции сшиваются, обеспечивая непрерывность перемещений и выполнение условий равновесия в точке сопряжения участков. Полученное решение пригодно только для отдельной пластинки. В случае пластинки, находящейся в составе складки, нужно учесть влияние ненулевых краевых условий, вызванных деформациями узловых линий складки на продольных кромках данной пластинки. Эти деформации вызваны не только местной нагрузкой, действующей на данную пластинку, но и внешней нагрузкой на складку. Поэтому местную нагрузку необходимо привести к узловым линиям и совместно с общей узловой нагрузкой найти амплитуды перемещений всех узловых линий для каждой гармоники путем решения системы уравнений метода перемещений, затем по амплитудам перемещений узловых линий на продольных кромках данной пластинки найти амплитуды напряжений в данной точке, т.е. к полученным перемещениям и напряжениям от местной нагрузки добавить
перемещения и напряжения от общей деформации складки. Аналогично строится функция Грина для случая изгиба пластинки.
Определение напряжений в складке с вырезами
Если пластинка содержит прямоугольное отверстие, то расчет ее напряженного состояния можно произвести, используя модель складки. Пластинку узловыми линиями разбиваем на полосы таким образом, чтобы отверстие находилось полностью в одной из них. Тогда полосу с отверстием предполагаем сплошной и в области, расположенной внутри контура отверстия, размещаем компенсирующую нагрузку, параметры которой определяем из условия, чтобы на контуре отверстия напряжения, нормальные и касательные, возникающие от совместного действия внешней и компенсирующей нагрузок, равнялись нулю. Здесь может быть использован метод кол-локаций или метод наименьших квадратов. При определении вектора компенсирующей нагрузки по методу коллокаций сначала на контуре отверстия назначаются точки, в которых напряжения должны равняться нулю. Удвоенное количество назначенных точек будет равно размерности вектора компенсирующей нагрузки. Напряжения от компенсирующей нагрузки вычисляются с использованием функций Грина, как сказано выше. Каждый элемент компенсирующей нагрузки может быть представлен в виде распределенной на ориентированном в продольном направлении достаточно малом участке полосовой нагрузки. Направление действия такой нагрузки может быть принято в плоскости пластинки либо в продольном направлении, либо в поперечном. Интенсивность элементарной нагрузки является компонентом вектора компенсирующей нагрузки и подлежит определению.
В случае складки, содержащей пластинки с отверстиями, расчет производится с учетом воздействия компенсирующей нагрузки на складку в целом, поэтому при определении от нее напряжений на контуре отверстия нужно учитывать деформирование продольных кромок пластинки с отверстием от совместного действия компенсирующей и внешней нагрузки. Следовательно, напряжения в пластинке, содержащей отверстие и являющейся элементом складки, получаются суммированием напряжений в пластинке с защемленными продольными кромками от компенсирующей нагрузки, как это пояснено выше, и напряжений, вызванных деформированием этих кромок в составе складки, находящейся под действием внешней и компенсирующей нагрузок.
После вышеприведенных общих соображений приведем необходимые для расчета
формулы. Пусть в складчатой системе имеются кроме сплошных пластинок несколько пластинок с вырезами. Пластинки с вырезами принимаются сплошными. Тогда уравнения равновесия метода перемещений Александрова должны быть дополнены уравнениями, выражающими отсутствие напряжений на кромках каждого выреза. В результате получаем следующую систему матричных уравнений:
К izi + К щ + К Xх = 0; (1 = 1"^ст) >
Е zi + вГх о х = 0; (1)
где R(, Кщ, Кх - матрицы реакций соответственно складки, от заданной внешней нагрузки и компенсирующей единичной нагрузки, z¿ - вектор амплитуд узловых перемещений. Эти матрицы и вектор соответствуют деформированию складки по I -той гармонике, х- искомый вектор компенсирующей нагрузки. - количество гармоник, учитываемых при расчете напряжений. 8Л -матрица влияния нормальных и касательных напряжений на кромках вырезов от единичных амплитуд перемещений продольных кромок
по I -той гармонике, т.е. от Z( = Е, Е - единичная матрица, 8Гх0 - матрица влияния
напряжений на контуре Г пластинки с защемленными продольными кромками от действия единичной компенсирующей нагрузки. Следует иметь в виду, что второе матричное уравнение в (1) имеет смысл лишь только для пластинок, содержащих вырезы. Поэтому матрицы 8Л и 8Гх0 прямоугольные. Если использовать метод коллокаций, то матрица ®Гх0 будет квадратной. Количество скалярных уравнений в первой группе равно учетверенному числу пг узловых линий, умноженному на число членов в каждом тригонометрическом ряде, т.е. 4пг Вторая группа
содержит количество уравнений, равное удвоенному числу контурных точек, в которых обнуляются нормальные и касательные напряжения. Пусть компенсирующая нагрузка принята кусочно-линейной, действует по нормали и параллельно контуру, распределена по прямым линиям, удаленным от кромок выреза на малое расстояние. Число узлов на каждой из четырех линий контура Г примем равным пх, тогда размерность вектора х компенсирующей нагрузки Ых = 4х2хпх . Один из возможных способов решения системы (1) сводится к исключению из неё векторов узло-
вых перемещений z¿ с решением одного матричного уравнения относительно вектора компенсирующей нагрузки х .
z I =-К-1 К щ + К х X1 (1 = 1...НСТ)
X :
[вГх0 -Е R-Ъ ¿х ]-11 R-Ъ щ ; (2)
После определения компенсирующей нагрузки, напряжения в любой точке пластинки с вырезом определяются суммированием напряжений, вызванных деформированием её продольных кромок, совмещенных с узловыми линиями складки, и напряжений от компенсирующей нагрузки. На сплошные пластинки компенсирующая нагрузка непосредственно не оказывает влияния и при определении напряжений не учитывается. В результате напряжения будут представлены тригонометрическими рядами:
= Е°Ха ^п іа , = Еsin іа ,
= Е т%і cos іа ,
(3)
где верхним индексом «0» отмечены мембранные напряжения. Суммирование в этих рядах производится по всем гармоникам
(I = 1...Иа). Коэффициенты гО(в) в этих рядах (амплитуды напряжений I - гармоники) зависят от поперечной координаты и вычисляются для пластинки с отверстием по формуле:
в Ха ^х , (4)
где 8Хг(в) - матрица строка с элементами, равными амплитудам напряжений от единичных перемещений продольных кромок пластинки, П - матрица перехода от глобальных обобщенных координат складки к локальным
для данной пластинки, (в) - матрица-строка влияния амплитуд напряжений от компенсирующей нагрузки. По аналогичным формулам вычисляются коэффициенты ТО! (в) и
у1
тху1 (в) ■ Здесь приняты безразмерные координаты: а = (пх/I в = гпу/I, х , у - продольная и поперечная координаты точки.
Первое слагаемое в формуле (4) соответствует влиянию перемещений узловых линий, второе - действию компенсирующей нагрузки при нулевых граничных условиях на продольных кромках. В результате получаются точные решения для амплитуд напряжений при известных ненулевых граничных условиях и известной компенсирующей нагрузке. При этом
следует иметь в виду явление Гиббса, которое, как известно [10], проявляется при аппроксимации ступенчатых функций тригонометрическими рядами.
Пример 1.
Рассматривается в порядке обсуждения следующая модельная задача. На квадратную пластинку с квадратным отверстием действует в ее плоскости равномерно распределенная по двум противоположным кромкам сжимающая нагрузка. Перемещения всех кромок из плоскости пластинки запрещены, запрещены также перемещения вдоль кромок, параллельных действию нагрузки. Такие краевые условия соответствуют цилиндрическим шарнирам на поперечных кромках, параллельных оси у, и
шарнирному опиранию на продольных. Длина стороны квадрата пластинки I = 10.0 м, выреза 2.5 м. Толщина пластинки h = 0.10 м. Модуль упругости Е = 2000 ГПа ц = 0.15 . Интенсивность распределенной нагрузки щ = 100 кН/м.
Для определения мембранных напряжений расчетная схема получена путем разбиения пластинки на полосы с пятью узловыми линиями па = 5, как показано на рис. 1 сплошными линиями. Такое разбиение было принято для того, чтобы квадратное отверстие полностью находилось в пределах второй сверху полосы. Поэтому напряжения, вызванные компенсирующей нагрузкой, определяемые функциями Грина, распространяются лишь в пределах второй полосы. В других полосах напряжения определяются полностью деформированием узловых линий. Компенсирующая нагрузка принята кусочно-линейной, действует по нормали и параллельно контуру, распределена по прямым линиям, удаленным от кромок выреза на малое расстояние. Число узлов на каждой из четырех линий принято равным пх = 16 и размерность вектора компенсирующей нагрузки Nx = 4 х 2 х16 = 128. Для определения плоского напряженного состояния в пластинке с отверстием число Na
членов рядов по синусам и косинусам должно быть достаточно большим, чтобы учесть особенности напряженного состояния в локальных зонах у углов прямоугольного отверстия. В данном примере N0. = 2999.
На рисунках 2-4 показаны графики напряжений в полосе 1. Буквами «в» и «н» отмечены графики напряжений на верхней и нижней кромках полосы соответственно. Остальные графики показывают напряжения на промежуточных между ними линиях, равноудаленных друг от друга.
ншшцшшш
10 1
10 4
10 2
3
ТТТТТТТТг ТТТТТТТТТ1
Рис. 1. Расчетная схема
На рис. 2 показаны нормальные напряжения ах в верхней полосе 1. Горизонтальная шкала соответствует относительным расстояниям от левой опорной кромки пластинки в долях от пролета і = 128 • х¡Ь . Вертикальная
2
шкала - напряжениям в кН/м2.
Как видно на рис. 2, напряжения на верхней кромке сжимающие, достигают наименьших значений над вырезом ах = -1614кН/м2 , Максимальные растягивающие напряжения их = 2024кН/м2 возникают в окрестности угловых точек выреза. Верхняя кромка выреза растянута с наибольшими напряжениями
ах = 371кН/м2 . Интересно отметить, что в опорных сечениях нормальные напряжения ах = 0 , но на верхней кромке пластинки в точках
1 и 127 соответственно равны 988 и 978 кН/м2.
На рис.3 показаны графики нормальных напряжений иу, а на рис.4 - касательных
тху .Как видно из рисунков на продольных
кромках пластинки нормальные напряжения ау =-1000, а на кромке выреза практически
равны нулю. В точках на линии, совпадающей с верхней кромкой выреза, напряжения растут от нуля у опорных поперечных кромок до максимальных сжимающих у края выреза (график «н» на рис 3). Касательные напряжения на верхней кромке пластинки равны нулю, на вертикальных опорных кромках отличны от нуля. Это можно объяснить особенностью модели Александрова: перемещения вдоль
опорных кромок запрещены. Концентрация напряжений происходит в локальных зонах у угловых точек выреза.
ООО 12S
20 40 60 SO 1 ОО 120 X
Рис.2. Напряжения их
О О О 12S
Рис. 3. Напряжения ау
О О □ 123
Рис. 4. Напряжения т
Задачи устойчивости складок с вырезами
Вопросам теории устойчивости сжатых пластинок с отверстиями посвящено бесчисленное множество работ. Обсудим некоторые из них. В [11] изложены методы расчета на прочность и жесткость бесконечных густо перфорированных круговыми отверстиями упругих пластин и оболочек. Рассмотрены, в частности, задачи приведения, суть которых заключается в нахождении приведенных упругих параметров решетки, т.е. в отыскании упругих параметров сплошной пластины, обладающей той же жесткостью, что и решетка. Для решения бигармонического уравнения плоской задачи использованы эллиптические функции Вейерштрасса и специально построенные двоякопериодические и квазиперио-дические аналитические функции на комплексной плоскости. Даны рекомендации по определению напряженного состояния перфорированных пластин при растяжении и изгибе. Получены формулы и графики приведенных жесткостей перфорированных пластинок при растяжении и изгибе в зависимости от отношения размера отверстия к размеру ячейки. Авторы отмечают, что приведенные жесткости перфорированных пластинок могут быть использованы, в частности, и при оценке критической нагрузки.
В [12] излагаются аналитические, численные и экспериментальные методы определения критических нагрузок и собственных частот колебаний тонкостенных конструкций с вырезами, а для частных случаев выведены окончательные расчетные формулы. В основу
ху
исследований положен энергетический метод с использованием функций Хевисайда от двух переменных для описания жесткости прямоугольной пластинки, ослабленной прямоугольным вырезом. В качестве пробной функции, аппроксимирующей прогибы при выпучивании пластинки, принято одночленное выражение в виде произведения двух синусов, что согласуется с шарнирным опиранием на внешних кромках пластинки. Приведены аналитические выражения критической нагрузки для прямоугольной пластинки с одним вырезом и с произвольным числом прямоугольных вырезов. Наконец, обсуждается вопрос о погрешности метода исследования устойчивости тонкостенных конструкций на основе импульсивных функций. Сравнение с решениями, полученными методом конечных разностей, показало расхождение до 20%. Следует отметить, что полученные значения критической нагрузки соответствуют так называемой общей устойчивости пластинки с вырезами.
В [13] приведены решения методом конечных разностей задачи о потери устойчивости квадратной пластинки, сжатой в одном направлении, а также квадратной пластины с отверстием. Приведены значения критических сосредоточенных нагрузок с густотой сетки 4x4, 6x6, 8x8 и экстраполяцией.
Алгоритм решения задачи устойчивости складок, содержащих пластинки с прямоугольными отверстиями (вырезами) приведен в [14]. В случае сжатой пластинки с вырезом необхо-
димо сначала определить мембранные напряжения, как было сказано выше, затем строятся матрица реакций пластинки и матрица геометрической жесткости, исходя из функционала энергии, составленного для момента бифуркации, когда перемещения выпучивания близки к нулю. Матрица реакций формируется также как в методе перемещений Александрова следующим образом. Составляется функционал энергии деформации при плоском напряженном состоянии и при изгибе, в котором интегрирование производится по площади пластинки с вырезом, энергия сплошной пластинки на площади выреза исключается. В качестве интерполирующих функций - функций формы -принимаются точные решения перемещений сплошной пластинки при единичных смещениях ее продольных кромок. В результате функционал после численного интегрирования превращается в квадратичную форму, матричный коэффициент которой представляет собой матрицу реакций R. Матрица геометрической жесткости строится из функционала от произведения мембранных напряжений на нелинейные поправки к перемещениям, используя известные напряжения начального состояния и те же функции формы для определения нелинейных поправок. Интегрирование выполняем численно по материальной площади пластинки. Матричный коэффициент полученной однородной квадратичной формы и есть матрица
геометрической жесткости Rг . Обе матрицы квадратные. Их порядок равен учетверенному числу пи узловых линий складки, умноженному на число гармоник Nu, аппроксимирующих форму выпучивания. Заметим, что числа па и пи могут быть различными, соответствующими разным схемам разбиения пластинки узловыми линиями. Дело в том, что при наличии вырезов и сосредоточенных нагрузок возникают локальные зоны с концентрацией напряжений. Поэтому количество Na гармоник в рядах
(3) должно быть достаточно большим для правильного учета такой концентрации. При вычислении матриц R и Rг количество Nu гармоник может быть меньше, но пластинка должна быть разбита узловыми линиями на большее число пи узких полос с целью хорошей аппроксимации формы выпучивания.
После вычисления обеих матриц, матрицы реакций R и матрицы геометрической жесткости
Rг всей системы, решается задача на собственные значения для двух матриц. Критический параметр нагрузки равен минимальному
собственному значению Лт]_п однородного уравнения:
^у-ЛЯГ)Zj = О (I = 1,..^и), (5)
здесь Rу Rу - квадратные блоки размерностью
пи блочных матриц R и Rг . В случае, когда все пластинки, составляющие складку, сплошные (без вырезов), блоки Rу = О при I Ф у . В общем же
случае, когда хотя бы одна из пластинок имеет отверстие или вырез, эти блоки не равны нулю.
Для решения этого однородного матричного уравнения имеется множество методов и численных алгоритмов.
Важным в этой задаче является вопрос о выборе размерности вектора неизвестных. Во-первых, сколько гармоник нужно учесть для определения плоского напряженного состояния в пластинке с прямоугольным вырезом. Во-вторых, сколько гармоник потребуется для достаточно точного описания формы выпучивания такой пластинки в момент потери устойчивости ее плоского равновесия. И, наконец, надо учитывать, что форма выпучивания будет зависеть еще и от количества узловых линий, условно разделяющих данную пластинку на полосы. Таким образом, аппроксимация формы выпучивания будет зависеть, иначе говоря, от количества обобщенных координат, которое равно учетверенному числу узловых линий, помноженному на число учитываемых в расчете устойчивости гармоник. Необходимо отметить, что условная разбивка пластинки на полосы в этих двух задачах, в задаче по определению плоского напряженного состояния и решению задачи устойчивости, может быть разной. Дело в том, что определение напряженного состояния пластинки с вырезом производится с применением компенсирующей нагрузки и привлечением функций Грина, для которых получены аналитические выражения, и поэтому решение для напряжений получается практически точным при достаточно небольшом числе узловых линий, но при большом числе гармоник для выявления локальных областей с концентрацией напряжений у углов выреза. Правда, и здесь результат будет зависеть от размерности вектора компенсирующей нагрузки. Итак, в целом, в нашей задаче об устойчивости сжатой прямоугольной пластинки с прямоугольным отверстием должны быть выбраны, на основе соответствующих соображений, следующие параметры: число узловых линий, количество гармоник, размерность вектора
компенсирующих нагрузок в первой задаче по определению напряженного состояния, а также число узловых линий, количество гармоник в задаче устойчивости этого плоского напряженного состояния.
Все сказанное выше может быть использовано и при расчете складок, содержащих пластинки с отверстиями.
Пример 2.
Требуется определить критическое значение интенсивности распределенной нагрузки, при которой сжатая согласно рис.1 квадратная пластинка с вырезом может выпучиться.
Данный пример рассматривался в [15], где представлены результаты расчета в виде графиков зависимости Л^а) при различных
фиксированных значениях ^ = 11 и ^ = 26 . Выявлена тенденция снижения критического параметра с увеличением количества гармоник, учитываемых в расчете мембранных напряжений. На конференции была высказана мысль, что если показать график параметра 2 в зависимости от количества гармоник, аппроксимирующих форму выпучивания пластинки, то должна проявиться сходимость. Поэтому в следующей статье [16] такие зависимости в виде графиков были представлены, где снова проявляется снижение параметра 2 с увеличением Nu .
Желая уточнить результаты, ниже мы показываем графически зависимости параметра 2 от ^ при различных пи = 6, 7, 8, 13 .
Напряжения в пластинке определены в примере 1. Форма выпучивания пластинки может быть аппроксимирована рядами с меньшим числом ^ гармоник. Но поскольку вторая полоса принята довольно широкой, такая дискретизация задачи оказывается недостаточной для аппроксимации формы выпучивания. Поэтому выбраны для расчета устойчивости три расчетные схемы, которые получены из показанной на рис. 1 сплошными узловыми линиями расчетной схемы путем разбиения полосы с отверстием на несколько полос одинаковой ширины. Так, например, на рис.1 представлена первая расчетная схема с дополнительной одной узловой линией, показанной штриховой линией (пи = 5 +1 = 6). Вторая расчетная схема получена введением двух дополнительных линий (пи = 5 + 2 = 7), третья
- трех (пи = 5 + 3 = 8). Четвертая схема показана на рис.5 (пи = 11 + 2 = 13). На этой схеме сплошными показаны узловые линии при рас-
чете напряжений, штриховыми - две дополнительные при расчете критической нагрузки.
Ч
щщиишиии
ТппшТ
10
ТТТТТТпТ
Рис. 5. Расчетная схема 4
На рис 6 показаны зависимости критического параметра интенсивности распределенной нагрузки от количества гармоник Nu для
первой, третьей и четвертой схем. При расчете устойчивости по первой схеме мембранные напряжения определялись при Na = 999 , по остальным - Na = 2999 . Вычисления критического параметра выполнялись при
2 < Nu < 32 . Графики для второй и четвертой расчетных схем практически совпали, так как мембранные напряжения в них оказались одинаковыми и полоса с отверстием в обеих схемах содержит две дополнительные линии. Поэтому график для второй расчетной схемы не показан.
Как видно из этих графиков с увеличением Nu параметр 2 снижается, тем быстрее, чем больше ^ . При больших значениях Nu видна нестабильность графиков, что можно объяснить несколькими причинами: дискретизацией схемы, дискретизацией при численном интегрировании произведений мембранных напряжений на нелинейные поправки к перемещениям при формировании матрицы геометрической жесткости (использовалась схема численного интегрирования по 11-и узлам), влиянием явления Гиббса. В целом, подтверждается сделанное в [15] предположение, что с увеличение обобщенных координат форма выпучивания локализуется в областях концентрации напряжений, а параметр критической нагрузки снижается. Таким образом, можно резюмировать, что при расчетах складок на основе метода перемещений Александрова можно не различать понятия общей и местной потери устойчивости, особенно в задачах с
4
9
концентрацией напряжений, вызванных сосре- доточенными нагрузками или вырезами.
-4
-5
-6
-7
-8
\
° 1 999
\ I ч/ч/ч/
\ \ ? - ./ « 3 2999 ®11_2999
1 *-
V- Ч т\
/ -Г \ \
1 / 7 \ \\ .
1 / V % \\
: *
ь-с
ч
;
4^4
П
*
л \\
>\ л N \
\
\
\ —с
\ \
Ч ^-Г ГЧ т
>- \ '
\
-л —Г —
1 ’ V V
■1 \
'1 , \ \ V
)' \
4 1 44- \
7^
\
\
1 5 10 15 20 25
Рис. 6. Графики 2^и)
30 N
Заключение
Разработанный комплекс программ пригоден для ориентировочных статических и динамических расчетов плоских и пространственных различных конструкций, расчетная схема которых с определенной степенью приближения может быть представлена моделью складки. В одних случаях решения будут практически точными, в других - приближенными.
Библиографический список
1. Александров А.В. Метод перемещений для расчета плитно-балочных конструкций//Тр. МИИТ. вып.174. Трансжелдориздат.1963.
2. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащенни-ков Б.Я., Шапошников Н.Н. Расчет сооружений с применением вычислительных машин// М.: Стройи-здат, 1964.-380с.
3. Александров А.В. К расчету неразрезных балок-стенок и складчатых систем//Сб.тр. МИИТ. вып. 274, Стройиздат,1968.
4. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы/ А. В. Александров, Б.Я. Лаще-ников, Н.Н. Шапошников. - М.: Стройиздат, 1983. - 488 с.
5. Кадисов Г.М. Динамика складчатых систем при подвижных нагрузках:Монография.-Омск: Си-бАДИ, 1997.-178 с.
6. Кадисов Г.М. Динамика и устойчивость сооружений: Учебное пособие.- М.: Изд-во АСВ, 2007. - 272с.
7. Кадисов Г.М., Завьялова Н.В. Матрица Грина в задаче о плоском напряженном состоянии прямоугольной пластинки. Строительная механика и расчёт сооружений, №3. - 2006.-С.2-6.
8. Кадисов Г.М. Применение матриц Грина в задачах строительной механики прямоугольных пластин // Строительная механика и расчёт сооружений. - 2006. №5.
9. Кадисов Г.М. Свободные колебания пластинок с различными закреплениями продольных кромок. //Труды Всероссийской научно-технической конференции. - Омск.: СибАДИ,2006, с.139-144.
10. Арфкен Г. Математические методы в физике. -М.: Атомиздат, 1970. - 712 с.
11. Григолюк Э.И., Фильштинский Л.А. Перфорированные пластинки и оболочки. - М.: Наука, 1970. 556 с.
12. Преображенский И.Н. Устойчивость и колебания пластинок и оболочек с отверстиями. -М.: Машиностроение, 1981.- 191 с.
13. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий. Расчетнотеоретический. В двух книгах. Книга 2. Под ред. А.А. Уманского. Изд.2-е. М., Строийздат -1973, 416 с.
14. Кадисов Г.М., Завьялова Н.В. Расчеты тонкостенных призматических систем.// Проблемы оптимального проектирования сооружений: доклады 1 Всероссийской конференции, Новосибирск, 8 -10 апреля 2008г.- Новосибирск: НГАСУ (Сибстрин), 2008., С.168-176.
15. Кадисов Г.М. К расчетам устойчивости сжатых прямоугольных пластинок с отверстиями. Труды XXIII Международной конференции «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов» Санкт-Петербург,2009, С.170-175.
16. Кадисов Г.М. К расчету устойчивости сжатых пластинок с отверстиями. Материалы 63 научно-технической конференции ГОУ «СибАДИ» -Омск: СибАДИ,2009.Кн.1 - 428 с. С.283-287.
On application model thin-walled plicade system to calculation of constructions
G.M. Kadisov
Submit for consideration problem application model thin-walled plicade system and function Green in calculation method transference different construction, element who subject action local point load or have rectangular cutouts.
Кадисов Гоигорий Михайлович - д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой «Строительная механика» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных исследований - статика, динамика и устойчивость тонкостенных пространственных систем. Имеет 64 опубликованные работы. e-mail: [email protected]
