CC BY
140
О применении модели Коссера для описания пластического деформирования на мезоуровне
И.Ю. Смолин
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
В работе представлен обзор континуальных моделей, применяющихся при численном моделировании на мезоуровне. Особое внимание уделено микрополярным моделям как представителям двухуровневых моделей механики обобщенных сред для описания материалов со сложной изменяющейся в ходе деформации структурой. Дано изложение модели Коссера и обсуждается ее применение для моделирования пластической деформации металлических материалов на мезоуровне. Приведены некоторые результаты численных расчетов, показывающие возможности микрополярных моделей.
On the application of the Cosserat model to the description of plastic deformation at the mesoscale
I.Yu. Smolin
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634021, Russia
The paper is a review of continuum models used in numerical simulation on the mesolevel. Particular attention is given to micropolar models as representatives of two-level models of mechanics of generalized media to describe materials with a complex structure changing in the course of deformation. The Cosserat model is presented, and its application to the simulation of plastic deformation of metal materials is discussed for the mesolevel. Some calculation results are given to demonstrate the potentialities of the micropolar models.
1. Введение
Компьютерное моделирование поведения материалов на мезоуровне имеет очень важное значение для развития материаловедения на современном этапе. Недаром одна из проблемных статей о современном состоянии и перспективах исследований в области материаловедения и механики материалов в специальном выпуске авторитетнейшего журнала Acta Materialia, подготовленном к началу третьего тысячелетия, была посвящена именно этой теме [1].
Важной вехой в науке о деформации и разрушении материалов явилось появление концепции структурных уровней деформации твердых тел [2]. Последовательное развитие идей о масштабных и структурных уровнях при исследовании структурно-неоднородных сред привело к становлению физической мезомеханики материалов [3]. Это научное направление родилось на стыке физики прочности и пластичности, механики деформируемого твердого тела и физического материаловедения. В его основе лежит сближение методов и подходов перечисленных выше научных дисциплин и органичное рассмотрение явлений пластичности и разрушения как
единого процесса эволюции иерархически организованной системы, которую представляет собой реальный материал, обладающий определенной внутренней структурой. Особенностью такого описания является то, что процессы неупругой деформации и сопровождающие их процессы накопления повреждений, образования и распространения трещин соответствующих масштабов рассматриваются совместно в рамках иерархических моделей структурированной континуальной среды. Учет формирующихся в процессе нагружения субструктур деформационных дефектов и повреждений разных масштабов, т.е. учет коллективных явлений и появления диссипативных структур, является неотъемлемой частью развиваемой методологии физической мезомеханики материалов.
Центральной идеей физической мезомеханики является рассмотрение любого материала как иерархически организованной системы структурных элементов разных масштабов. Причем эта система не остается постоянной, она изменяется, эволюционирует под действием приложенных нагрузок. Степень детализации описания этой системы и процессов ее эволюции зависит
© Смолин И.Ю., 2005
от особенностей решаемой задачи: соотношения масштаба рассмотрения и соответствующего структурного уровня.
Такой подход позволяет органически вобрать в себя многие созданные ранее модели, рассматривая их как модели соответствующего масштаба или уровня усреднения [4]. Наиболее грубое осреднение характерно для макроскопического масштаба. Здесь используются классические модели континуальной механики с усредненными свойствами однородной среды. Для микроскопических масштабов, где требуется наиболее детальное описание микроструктуры на уровне кристаллического строения, могут применяться методы и подходы континуальной теории дефектов, а также дискретные методы и модели, например дислокационной, молекулярной и элементной динамики, в тех случаях, когда исследования проводятся численно. На мезоуровне необходимо учитывать наиболее важные проявления структурной неоднородности материалов соответствующего масштаба, а также их связь с нижележащим микроуровнем, и обеспечить выход на макроуровень при соответствующем осреднении. Именно на мезоуровне развиваются наиболее важные процессы, характеризующие особенности поведения разных материалов, и именно здесь требуется особая аккуратность в выборе соответствующих моделей.
Применение численных методов и компьютерной техники во второй половине XX века позволило не только решить ряд крупных прикладных проблем, но и исследовать задачи фундаментального характера. Законченное исследование любой проблемы механики, физики, биологии или материаловедения немыслимо сейчас без использования компьютерного моделирования. Привычным стало использование таких терминов, как «вычислительная механика», «вычислительная физика» и т.д. Это относится и к физической мезомеханике материалов. Ее развитие основывается на новом осмыслении результатов экспериментальных исследований, объяснении их с помощью новых теоретических идей и проверке этих идей с помощью численных экспериментов.
Данная работа посвящена обзору моделей, которые можно и следует, по мнению автора, применять для численного моделирования деформации материалов на мезоуровне, а также изложению упругопластической модели Коссера, обоснованию ее применения для моделирования пластической деформации в структурно-неоднородных материалах.
2. Среды как модели материалов
Строгое и полное описание механического поведения реальных материалов является очень сложной и трудной проблемой. Поэтому для решения конкретных задач приходится вводить упрощающие предположения
о свойствах материалов и характере их поведения при деформировании. Фактически в рассмотрение вводятся некие воображаемые среды, которые должны с достаточной степенью приближения описывать важные для данной задачи свойства реальных материалов. Такая замена реального вещества воображаемой средой называется построением модели материала. Используя математические методы, на модели изучаются особенности поведения того или иного класса материалов, в тех или иных условиях нагружения.
Тенденции развития современной науки и техники требуют создания моделей для описания поведения материалов на масштабах, сравнимых со все более мелкими особенностями их структурной организации — масштабах субмикронного и нанометрового диапазона.
Практически все естественные и искусственно создаваемые материалы имеют сложную внутреннюю структуру, которая, к тому же, не остается постоянной, а изменяется в ходе деформации и существенно влияет на поведение образцов и изделий из таких материалов. Необходимость учета влияния внутренней структуры, а также происходящих в процессе деформации физикохимических процессов, на механическое поведение материалов при описании процессов деформации и разрушения в механике осознана давно. С этой целью вводились различные усложнения и обобщения понятия классической простой среды. Можно отметить общие методические работы Л.И. Седова по построению моделей сплошных сред с внутренними степенями свободы [5, 6], Д. Коларова, А. Балтова и Н. Бончевой по построению определяющих уравнений для сред с внутренними параметрами состояния [7] и др.
Таким образом, эта задача не столь уж и новая. За время развития механики было создано огромное количество моделей для описания материалов в разных агрегатных состояниях, с разными свойствами и в разных условиях нагружения. Когда компьютеров не было, в основном использовались аналитические методы решения и достаточно простые модели. С появлением вычислительной техники, ростом ее производительности и развитием численных методов появилась возможность использования более сложных моделей, более детального описания неоднородностей внутренней структуры при явном ее учете в расчетах.
В зависимости от типа материала, масштаба исследования и даже стадии деформирования могут применяться различные модели. Чем выше масштабный уровень, тем менее требовательна модель к описанию деталей неоднородности структуры. На низких масштабных уровнях модели должны описывать больше деталей структуры и, в то же время, обеспечивать иерархичность описания — связь низких масштабов с более высокими. Для пластичных поликристаллов на уровне отдельных зерен при описании пластической деформации на начальных стадиях пластического течения наиболее адек-
ватными являются модели пластичности кристаллов. На более низких уровнях возможно комбинирование моделей дислокационной динамики и моделей анизотропной упругости, а на более высоких — применение моделей более грубого осреднения, например, моделей механики обобщенных сред. Для хрупких горных пород и керамик это модели с дилатансией и зависимостью пределов прочности и пластичности от давления. Наблюдающееся во многих экспериментах изменение внутренней структуры материалов в ходе деформации, особенно на поздних стадиях, соответствующих развитой пластичности и предразрушению, приводит к необходимости введения параметров выбранных моделей не как констант, а как функций накопленной неупругой деформации, или даже к изменению самой модели.
Итак, остановимся подробнее на анализе имеющихся моделей, которые используются для решения задач на мезоуровне.
3. Континуальные модели, применяемые на мезоуровне
Модели материалов, применяемые для численного моделирования поведения материалов на мезоуровне, можно разделить на две большие категории: модели континуальной механики и дискретные модели. В дискретных моделях используются идеи, основанные на представлении материала как системы взаимодействующих частиц конечных размеров. Эти модели основаны на потенциалах взаимодействия отдельных атомов, молекул или частиц. Они используются в таких дискретных методах, как метод молекулярной динамики, элементной динамики, подвижных клеточных автоматов и др.
В данной работе рассматриваются модели только первой категории. Их, в свою очередь, можно разделить на два класса.
1. Классические модели простых сплошных сред (упругой, упругопластической, вязкой и т.д.). Это — наиболее простые модели. Основной эффект при решении задач мезоуровня достигается за счет явного учета различия физико-механических свойств разных структурных элементов. С помощью таких моделей моделируют поведение мезообъемов поликристаллов [8-10], композиционных материалов [11, 12], материалов, содержащих границы раздела «подложка - покрытие» [13] и т.д. Связь с микроуровнем может присутствовать, если для описания пластической деформации или накопления повреждений используются некоторые дополнительные внутренние переменные для неявного учета эволюции элементов микроструктуры, такие как плотность дислокаций, пористость или параметр поврежденности. Изменения этих параметров, в свою очередь, могут повлечь за собой изменение параметров классической модели (модули упругости, предел текучести и т.д.). Для пластичных материалов, для которых характерно вязкое разрушение, это такие модели упругопластических по-
ристых сред, как модель Гёрсона и ее модификации, предложенные Твергардом и Нидлманом, модели Ле-мэтра, Русселье. Для хрупких материалов (горные породы и керамики) учет процессов эволюции повреждений и трещин нижележащих масштабов возможен в рамках дилатансионных упруго-хрупкопластических моделей сред (модели Николаевского, Рудницкого и Райса и др.). Выход на макроуровень обеспечивается тем, что осреднение по представительному объему при таком описании должно дать макроскопическую диаграмму нагружения и соответствующие макроскопические характеристики (упругие модули, предел текучести или прочности).
2. Модели механики обобщенных сред. В этих моделях производится учет структурной неоднородности микромасштаба неявным образом за счет введения либо новых степеней свободы, которые несут информацию об эволюции микроструктуры с нижележащих уровней, либо за счет использования нелокальных определяющих соотношений. Среда, как правило, полагается изотропной. В комбинации с явным учетом структурной неоднородности на мезоуровне такие модели позволяют описать взаимодействие двух масштабных уровней.
Кроме того, в рамках обоих классов моделей для описания структуры используются статистические подходы. Случайным могут быть расположение неоднородностей (например, включений) или зависимость свойств материала от пространственных координат.
Новые возможности дает использование классических моделей, дополненных идеями имитационного моделирования (метода клеточных автоматов) для описания, например, специфических механизмов развития процессов деформации на мезоуровне (зарождение пластических деформаций на внешних границах и внутренних границах раздела) [14].
Для моделирования металлических материалов на мезоуровне в рамках классических моделей особый интерес, с точки зрения автора, представляют модели пластичности кристаллов. Основная их особенность состоит в особом виде поверхности текучести, соответствующей развитию пластических сдвигов в системах скольжения. Такие модели применяются для моделирования поведения монокристаллов, поликристаллов, композитов с металлической матрицей [15, 16]. Перспективным для мезоуровня представляется также использование моделей механики обобщенных сред.
Рассмотрим их подробнее.
3.1. Модели пластичности кристаллов
В последние годы появилось множество публикаций по моделированию пластической деформации одиночных кристаллов и поликристаллических агрегатов различных материалов в рамках микромеханических моделей с континуальным описанием скольжения, которые получили название моделей пластичности кристаллов.
Создание и развитие этих моделей объясняется как существенным прорывом в понимании основополагающих физических явлений, так и стремительным ростом возможностей вычислительной техники. Кроме того, в таких исследованиях заинтересована металлургическая промышленность.
Пластическое течение в условиях множественного скольжения, в частности, в металлических кристаллах, широко изучалось материаловедами, физиками и механиками с начала XX века. Теория пластичности кристаллов начинается с работ Тейлора [17]. Однако строгая континуальная теория пластически деформируемых кристаллов для конечных деформаций была разработана за последние четыре десятилетия. Обзоры этих работ представлены, например, в [18, 19]. Эта теория была успешно применена для решения широкого круга проблем, преимущественно для ГЦК-кристаллов, поведение которых подчиняется закону Шмида. Реже встречается применение для ОЦК- и ГПУ-кристаллов, а также ГЦК-кристаллов, не подчиняющихся закону Шмида.
В рамках этой теории пластическая деформация описывается исключительно в терминах континуальных сдвигов, происходящих вдоль различных систем скольжения кристалла, т.е. она основана на дислокационном механизме пластической деформации. Другие механизмы, например, механическое двойникование и зернограничное проскальзывание, вообще говоря, не учитываются.
Первоначально была развита теория, в которой пре-небрегается зависимостью от скорости деформации (ГЦК-металлы при низких, но не криогенных температурах). В этом случае применим закон Шмида, который утверждает, что система скольжения является потенциально активной, если сдвиговое напряжение, приведенное на плоскость скольжения и в направлении скольжения, достигает значения критического приведенного сдвигового напряжения. Когда скорость изменения сдвигового напряжения равняется скорости упрочнения, тогда говорят, что система скольжения является активной. Однако, как было показано теоретически [18], при этом возможна неединственность решения (выбора системы скольжения) и, кроме того, в расчетах наблюдается очень большая склонность к локализации деформации, которая не подтверждается экспериментами.
В дальнейшем был развит вариант теории со скоростной чувствительностью (первоначально для ОЦК-кристаллов), когда нет необходимости определять, является ли система скольжения активной или нет. Во всех системах скольжения развиваются пластические деформации, но со скоростью, которая зависит от текущего приведенного сдвигового напряжения и характера упрочнения. Так как скорости скольжения зависят от текущего напряженного состояния и состояния материала напрямую и единственным образом, неединственности в определении скорости скольжения в каждой системе скольжения можно избежать.
На основе анализа теоретических и экспериментальных работ, а также численного моделирования было показано, что в монокристаллах происходит локализация деформации в полосах сдвига при положительном деформационном упрочнении [20]. Локализация становится возможной благодаря наличию двух механизмов разупрочнения в рамках модели, которые получили название вершинного и геометрического разупрочнения. Вершинное разупрочнение происходит из-за наличия угловых вершин на поверхности текучести. Геометрическое разупрочнение обусловлено тем, что из-за неоднородных поворотов решетки на границах полос сдвига при упрочнении во всех системах скольжения для продолжения скольжения может понадобиться меньшее внешнее напряжение. Исходя из бифуркационного анализа полученных уравнений было установлено, что вершинное разупрочнение является важным фактором, ведущим к зарождению полос сдвига, а геометрическое разупрочнение способствует к дальнейшей локализации деформации в полосах.
Два важных следствия из закона Шмида для хорошо отожженных кубических кристаллов заключаются в том, что: 1) критическое приведенное сдвиговое напряжение не зависит от ориентации оси одноосного нагружения по отношению к кристаллической решетке и
2) отсутствует асимметрия для нагружений растяжением и сжатием. Если поведение кристалла в эксперименте отличается от этих правил, то говорят, что эти кристаллы являются нешмидовскими. Вариант теории для таких кристаллов представлен в работе [21]. Сильное отклонение от закона Шмида наблюдается в интерметаллических сплавах, имеющих сверхструктуру L12, таких как №3А1, NiзGa и COзSn.
Интересными, с точки зрения физического содержания, представляются развиваемые некоторыми авторами дислокационные модели пластичности кристаллов. Так, в работах французских авторов [15, 22] развивается модель, которая использует плотность дислокаций как внутреннюю переменную для учета эволюции дислокационной микроструктуры и для определения матрицы упрочнения из дислокационной кинетики. Хардер [23] предложил вариант дислокационной модели, в которой для описания скорости сдвигов в системах скольжения применены кинетические функции наподобие скоростных зависимостей, предложенных Фростом и Эшби [24].
Что касается численного моделирования поликристаллов, то имеются работы только по моделированию в квазистатических условиях деформирования. Первоначально исследовались в двухмерной постановке мультикристаллы, структура которых была получена из металлографических исследований реальных образцов, позже — идеализированные и реальные поликристал-лические структуры в трехмерной постановке. Поскольку реальную трехмерную поликристаллическую структуру выявить достаточно сложно, то часто расчеты производят для искусственно созданных поликристалли-
ческих агрегатов. Несколько вариантов моделей пластичности кристаллов входят в состав коммерческих программ, основанных на методе конечных элементов, таких как ABAQUS, ZeBuLoN.
Несмотря на успех в описании активизации определенных систем скольжения и локализации деформации эти модели, к сожалению, не лишены некоторых недостатков и неудобств. Во-первых, в таких теориях не учитывается формирование дислокационных субструктур на развитой стадии пластического течения, которые качественно меняют механизмы пластической деформации. Поэтому их применение следует ограничить только начальными стадиями пластического течения, пока не начали формироваться диссипативные дислокационные субструктуры и не имеет место фрагментация зерен. Хотя нельзя исключить, что эти процессы могут быть учтены при дальнейшем развитии моделей пластичности кристаллов [15].
Второй недостаток определен континуальностью подхода и отсутствием масштабного фактора. В расчетах предполагается, что каждая ячейка или конечный элемент, в котором развиваются пластические деформации в определенных системах скольжения, деформируется однородно. На самом деле в этой ячейке могут оказаться задействованными одна или несколько однотипных систем скольжения. Соответственно разным будет и формоизменение такой ячейки.
Третий недостаток состоит в том, что модели пластичности кристаллов первоначально разрабатывались для одиночных кристаллов и в них не предусмотрен учет специфических механизмов деформации поликристаллов, связанных с активностью границ зерен. Как известно, зернограничное проскальзывание, миграция границ зерен и диффузионные процессы по границам зерен играют большую роль в деформации ультрамел-козернистых и нанокристаллических материалов.
Еще следует отметить, что эксперименты свидетельствуют о том, что в поликристаллических материалах формируются также полосы локализованной деформации, которые не связаны с кристаллографической ориентацией. В этом случае, по-видимому, ведущую роль в формировании характера неоднородности напряженного состояния и развитии вследствие этого определенных особенностей локализации деформации играют не просто ориентация систем скольжения, связанная с кристаллографическими плоскостями и направлениями, а другие особенности внутреннего строения материала. Это, в первую очередь, влияние границ зерен, которое значительно возрастает с уменьшением размеров зерен и особенно велико для субмикро- и нанокристаллических материалов. Аналогичная картина имеет место и в композиционных материалах с металлической матрицей, в которых из-за огромной разницы в механических свойствах матрицы и включений влияние анизотропии, обусловленной кристаллографией, оказывается незначительным. В таких случаях можно считать обос-
нованным применение более простых феноменологических теорий, основанных на изотропной модели сплошной среды.
В целом, стоит признать, что модели пластичности кристаллов являются наиболее подходящими для моделирования поведения моно- и поликристаллов с обычным размером зерна, в которых пластическая деформация развивается преимущественно по механизму дислокационного скольжения. Дальнейшее развитие таких моделей с учетом влияния неоднородностей более мелкого масштаба и границ зерен делает их еще более ценными. Однако существует большой и важный класс поликристал-лических материалов, для которых подобные теории следует обобщить с учетом других механизмов деформации.
3.2. Модели обобщенных сред
Как известно, силовое взаимодействие по обе стороны произвольной поверхности нагруженной среды в классических теориях деформируемого твердого тела задается только главным вектором сил. Последовательное развитие этой идеи приводит к симметричности тензоров напряжений и деформаций и, фактически, предполагает, что нагружаемое тело является бесструктурным деформируемым континуумом. Ограничения, накладываемые такой симметричной теорией, пытался снять Фойхт в 1887 году в своей работе об упругих свойствах кристаллов [25]. Он предложил при описании силового взаимодействия учитывать дополнительно и главный момент. Таким образом, в модель наряду с силовыми напряжениями вводились также и моментные напряжения. Причем, тензоры как силовых, так и мо-ментных напряжений в общем случае оказываются несимметричными. Распространение таких идей на кинематику приводит к тому, что частицы среды теперь обладают шестью степенями свободы: тремя компонентами вектора перемещения и тремя компонентами вектора независимого поворота. Количество уравнений движения также становится равным шести.
Одна из первых довольно полно разработанных подобных теорий была изложена в книге Эжена и Франсуа Коссера в 1909 году [26]. Они рассмотрели уравнения равновесия и движения деформируемых линий, поверхностей и сред, в которых каждая частица описывается не только вектором ее перемещений, как в классической теории, но и дополнительно вектором поворота.
Возобновление интереса к этой теории относится уже к 60-м годам XX века. Оно связано с именами Гюнтера [27] и, особенно, Трусделла и Тупина [28, 29], которые способствовали ее широкому распространению. Гюнтер вновь обратился к идее ориентированного континуума и указал на его связь с теорией дислокаций [27]. Эти идеи далее развил Крёнер [30].
Дальнейшее развитие идей моментных напряжений и дополнительных степеней свободы связано с именами Миндлина, Тирстена, Тупина, Койтера, Эрингена, Кув-шинского, Аэро, Пальмова, Новацкого и др.
Кувшинский и Аэро при построении своих моделей [31-33] исходили из предположения, что «частицы вещества не точки, а пространственные образования, расположенные на расстояниях, сравнимых с их размерами» [31]. Такие допущения, по их мнению, могли помочь объяснить аномалии динамической упругости пластиков, аномальный пьезоэффект в кварце, дисперсию упругих волн в сплошной среде, а также особенности упругих свойств кварца, алмаза, дигидрофосфата аммония и других кристаллов. Аэро и Кувшинский предложили два варианта асимметрической теории упругости для вращательного взаимодействия частиц: когда вращение описывается градиентом поля смещений, а также когда «внутреннее» (или собственное) вращение является независимым и возникает в результате осреднения поворотов по элементу среды.
Развивая теорию упругости среды с микроструктурой, Миндлин предложил учесть микроструктуру материала введением понятия единичной ячейки, которую предлагал интерпретировать либо как часть кристаллической решетки, либо как молекулу полимера, кристаллит поликристалла или частицу зернистого материала [34].
Эринген предложил называть среду с дополнительной вращательной степенью свободы полярной. В развиваемой им теории микрополярной упругости он рассматривал «материальные среды с гантелевидными молекулами» и полагал, что эта теория найдет применение в механике зернистых материалов с вытянутыми твердыми зернами и композитных волокнистых материалов, а также «для более общего случая материалов, обладающих зернистой структурой и микроструктурой» [35]. Эринген также выделял случай, когда «ищется реакция на внешнее физическое воздействие тела, характерный размер которого соизмерим со средним размером зерна или молекул в теле» [35]. Заметим от себя, что именно такие случаи характерны для мезоуровня.
Фактически и Миндлин и Эринген предполагали, что каждая точка континуума является деформируемой микросредой. Развитием этих идей явилась более общая модель Эрингена и Сухуби [36], в которой вводится понятие микроморфного континуума. Континуум с микроструктурой Миндлина можно рассматривать как частный случай микроморфного континуума — это микро-морфный континуум порядка 1 и степени 1. Частный случай, когда микросреда испытывает только жесткое вращение, совпадает с теорией Кувшинского и Аэро.
Грин и Ривлин усложнили понятие полярной среды Эрингена и разработали мультиполярную теорию [37]. Вообще говоря, теории мультиполярной среды и микро-морфного континуума являются примерами иерархических моделей, учитывающих сложную многоярусную структуру материала.
Развивалась также упрощенная теория несимметричной упругости, в которой дополнительная степень
свободы не рассматривалась, а поворот точки сплошной среды принимался равным ротору векторного поля перемещений. Однако взаимодействие сил через произвольную поверхность тела также осуществляется за счет как силовых, так и моментных напряжений. Такой вариант рассматривался еще в монографии Коссера, а позднее такие модели получили название псевдоконтинуума Коссера [38] или теорий моментных напряжений [39].
В.А. Ломакин изучал поведение микронеоднород-ных тел, считая, что физико-механические свойства среды являются случайными функциями пространственных координат [40]. Применение операции осреднения и соответствующих статистических методов приводит к появлению моментных напряжений и дает возможность построения теорий рассмотренного выше типа.
В настоящее время круг подобных теорий значительно расширился. Он обогатился такими понятиями, как нелокальность [41, 42], градиентность [43], калибровочные поля [44], изменение локальной топологии [45], был расширен на классы пластичных твердых тел [46], а также жидкостей и жидких кристаллов [47, 48]. Такие модели изучаются в разделе механики, называемом механикой обобщенных сплошных сред.
В работе [44] показано, что среды Миндлина и Эрин-гена схожи, а обобщение теории предлагается строить на основе лагранжева формализма в сочетании с методом калибровочных полей, при этом под микроструктурой предполагается континуум дефектов.
Можно выделить два подхода к построению моделей неклассических сред. Первый основан на рассмотрении особенностей силового взаимодействия между частицами тела [25, 26, 32]. Второй — на идеях локальности и нелокальности при построении определяющих соотношений [41, 49]. В последнем случае предполагают, что, например, напряжение в данной точке среды определяется деформацией не только в этой точке, но и во всем материале (или осредненной деформацией по некоторому объему среды). Частным случаем таких моделей являются градиентные модели, в которых в результате упрощения интегральных выражений напряжение зависит не только от деформации, но и от градиентов деформации.
Все существующие теории обобщенных (усложненных) сред делятся на два больших класса:
1. Сильно нелокальные теории, в которых используются определяющие соотношения интегрального типа.
2. Слабо нелокальные теории, к которым относятся полярные и градиентные теории. Эти теории, в свою очередь, принято делить на теории высшего порядка, в которых учитываются дополнительные степени свободы, и теории высшего уровня (градиентности), в которых учитываются производные более высокого порядка.
Классические теории, описывающие так называемые простые материалы, образуют класс строго локальных теорий.
В работе [50] представлен обзор упругопластических моделей различных слабо нелокальных теорий, включая модель Коссера, микроморфные и градиентные модели. Обзор моделей пластичности и разрушения сильно нелокальных сред можно найти в [41].
Наряду с развитием самой теории, несколькими авторами аналитически был решен ряд задач, обычно в двумерной постановке. Особого внимания заслуживают задачи о концентрации напряжений, например вокруг кругового отверстия [51-54]. Было показано, что решение зависит от соотношения радиуса отверстия и характерного для модели параметра длины. Когда размер отверстия сопоставим с характерной длиной, то максимальное напряжение в случае учета моментных напряжений меньше того, что дает классическая теория упругости. Такие выводы даже вошли в инженерные справочники [55]. В общем, следует отметить, что получить аналитическое решение задач для среды Коссера сложнее, чем для классических сред.
Новый всплеск интереса к моделям механики обобщенных сред и, в частности, к средам Коссера в конце двадцатого века обусловлен возросшим уровнем вычислительной техники и связан с применением численных методов решения. В настоящее время имеется достаточно много работ по применению численных методов расчета для упругих [56, 57] и для упругопластических сред [46, 58] в квазистатической, а также динамической [59] постановках с применением метода конечных элементов.
Любая теория мертва без экспериментального обоснования и подтверждения. Для моделей механики обобщенных сред это относится, прежде всего, к экспериментальному определению материальных констант. Лишь в 70-80-х годах ХХ века появились публикации, в которых сообщалось об экспериментальном определении упругих констант, входящих в определяющие соотношения моделей обобщенных сред для некоторых материалов типа костной ткани и высокопористых полимерных материалов (пенопластов) [60-62].
Основой для измерения новых параметров является размерный эффект, который предсказывают теории обобщенных сред. Этот эффект состоит в том, что жесткости на изгиб и кручение стержней и пластинок при уменьшении их размеров возрастают, в отличие от классической теории, где эти жесткости остаются постоянными. Основанные на этом методы были названы методами размерных эффектов. Сопоставляя результаты измерений и полученные аналитические зависимости жесткостей от размера образца, удается определить все константы модели [60]. Другой класс методов основан на волновых эффектах. В этом случае используется предсказываемое теорией явление дисперсии сдвиговых волн, т.е. зависимости их скорости от частоты. Трудность данного подхода состоит в том, что дисперсия обусловлена также вязкими свойствами материала. Од-
нако подобные методы незаменимы для определения, например, параметров слоистых горных пород, масштабы структуры которых не позволяют произвести испытания на изгиб образцов из подобных сред в лабораторных условиях. Третий класс методов основан на изучении распределения деформаций возле концентраторов напряжений и получил название полевых методов. Например, классическая теория и теория Коссера предсказывают разное распределение деформаций в углах стержня прямоугольного сечения при его кручении.
Оригинальный экспериментальный метод, основанный на точном аналитическом решении задачи Кирша, предложен недавно в работе [61]. Важно отметить, что в этой работе авторы не просто определяют параметр модели, а дают оценку масштаба, при котором конкретный материал (оргстекло) проявляет моментные свойства. По данным этой работы для оргстекла этот масштаб составляет менее 0.3 мм.
Совсем другие подходы к определению параметров среды Коссера основаны на применении процедур усреднения для материалов с заданной внутренней структурой. В качестве такой структуры принимаются, например, решеточные структуры, т.е. каркас из массивных шариков, соединенных тонкими стержнями. При этом для элементов структуры на микроуровне используются модели простых классических материалов. Осредненные по представительному объему результаты должны совпадать с результатами аналогичного нагружения однородного элемента среды Коссера. При этом могут использоваться как аналитические решения [63], так и численные, основанные, например, на методе конечных элементов [64].
Чем модели механики обобщенных сред могут быть полезны для мезомеханики? Интерес к микрополярным моделям обусловлен следующими причинами:
1) возможностью учитывать влияние микроструктуры материала;
2) возможностью описать размерные эффекты при моделировании изгиба и кручения образцов малых размеров, а также локализации деформации;
3) тем, что естественным образом входящие в определяющие соотношения параметры, имеющие размерность длины, позволяют избежать потери эллиптичности (или гиперболичности для динамических задач) при моделировании процессов локализации деформации в материалах с разупрочнением [65, 66].
В работе [67] материалами Коссера названы жидкие кристаллы, горные породы и гранулированные среды, ячеистые твердые тела и композиты, а также кристаллы с дефектами. Упругопластические модели среды Коссера нашли применение для описания геоматериалов, упругие — для костной ткани, высокопористых материалов и зернистых сред.
Вместе с тем, как справедливо отмечает И.А. Кунин [42], применение моментных теорий целесообразно в
первую очередь там, где они дают не малые количественные поправки, а описывают качественно новые эффекты, однако, при этом надо следить за тем, чтобы эти эффекты проявлялись в области применимости самих моментных моделей.
Остановимся подробнее на модели Коссера и возможном ее применении для описания неупругого поведения структурно-неоднородных материалов на мезо-уровне.
4. Упругопластическая среда Коссера
Движение каждой точки среды Коссера описывается двумя векторами: вектором смещения иг и вектором поворота юг-. Соответствующие им несимметричные тензоры деформации у у и изгиба-кручения к у имеют вид:
У у = и] ,1 + еук ®к > (1)
ку = ® уу. (2)
где запятая в индексе означает производную по соответствующей пространственной координате, а Еу. означает альтернирующий тензор Леви-Чивиты. Для того чтобы тензор деформации был функцией состояния, он не должен изменяться при смещении и повороте среды как целого. В классическом случае это достигается тем, что тензор деформации является разницей тензоров дис-торсии и поворота. В случае микрополярной среды полный поворот частицы среды, описываемый независимым вектором поворота, складывается из поворота элемента среды как целого за счет поля смещений (ротор поля смещений) и «внутреннего» поворота. Поэтому уравнение (1) можно переписать в виде
Уу = и,у - екцЩ =
!/ ч 1/
= 2 (и, у + иу,1) + 2 и у - иу у )- г у “к =
= еу - (®к -Ок)гкЦ ,
где Ок = - -2 и{ угуук, или О = -2rot и. Таким образом, «внутренний» поворот вносит вклад в тензор деформации.
Передача силовых взаимодействий между двумя частями среды происходит не только посредством вектора сил, но также и вектора моментов. В рассмотрение вводятся несимметричные тензоры силовых Фу- и момент-ных Цу напряжений. Они должны удовлетворять уравнениям баланса количества движения (импульса) и момента количества движения:
ф у, у = PUi > (3)
Ц ц, у + еук ф ук = Jу ®у . (4)
Здесь точка сверху означает материальную производную по времени; р — плотность; Jiу — компоненты тензора плотности момента инерции.
Определяющие уравнения для изотропной упругой среды, записанные в скоростях, имеют вид
Ф у = Ху кк 8 у + (ц + а)у у + (ц - а)у у, (5)
Цу = Рккк 8у + (у + е)к® + (у - е)*е, (6)
где X и ц — константы Ляме, а а, в, у, е — новые параметры в обозначениях, введенных Новацким [38]. Следует заметить, что из условий положительной определенности квадратичной формы, составляющей свободную энергию, следуют ограничения на параметры определяющих соотношений [32, 35]:
ц > 0, 3Х + 2ц > 0, а > 0, 3в + 2у > 0,
у > 0, е > 0, у + е > 0.
Классическая теория течения простой среды может быть расширена на описание упругопластического деформирования среды Коссера двумя способами [50]. Можно построить теорию, используя одно условие пластичности, в которое входят и силовые и моментные напряжения, либо использовать для силовых и момент-ных напряжений два отдельных условия.
В обоих случаях предполагается справедливость аддитивного разложения скоростей деформаций и изгибов-кручений на упругую и пластическую составляющие:
У у = У е + У р, (7)
ку =ке +кр. (8)
Далее, в первом случае формулы для функции текучести (условие пластичности определяется тем, что эта функция становится неотрицательной) и обобщенной интенсивности напряжений (обобщения для выражения второго инварианта тензора напряжений на случай несимметричного тензора) приобретают вид [50]:
/(Фу, Цу) = J2(фу, Цу) - ¥, (9)
J2(фу, Цу) =
^ Vа1^у^у- + а28у8ц + Ь1ЦуЦу + Ь2ЦуЦу . (10)
Здесь 8у означают компоненты девиатора тензора силовых напряжений; а1, а2, Ь1, Ь2 — новые дополнительные параметры, а У — предел текучести.
Если применяется подход с раздельными условиями пластичности, то соответствующие формулы для функций текучести и интенсивностей напряжений запишутся
в следующем виде:
/ф (Фу ) = J2(фу ) - 7ф , (11)
/ц (Цу) = J2(Цу) - Гц, (12)
J2(фу) = д/а18у8у- + а2, (13)
J2(Цiу) = ,[Ьу~+ъ2у~1. (14)
В данном случае отдельно для силовых напряжений и для моментных напряжений вводятся свои значения пределов текучести Уф и Гц соответственно. Пластические составляющие деформаций и изгибов-кручений определятся из выражений ассоциированного закона течения:
/ф
УР =х
Ф ^ ’
дфу
(15)
(16)
В случае использования единого условия пластичности, и функция текучести /и параметр X в формулах (15), (16) будут одни и те же.
Рассматривая формулы для определяющих соотношений с точки зрения размерностей, можно выделить несколько комбинаций параметров, имеющих размерность длины. Так, Новацкий [38] ввел следующие параметры:
2 = (ц+а)(у + е)
11 ='
4ца
/2 = в + 2У
2 4а .
(17)
(18)
Лейкс [60] предложил два других параметра, характерных для деформации кручения и изгиба соответственно:
/2 =1
,2 = У-е
1Ь ='
4Ц
(19)
(20)
а Форе [67] использовал комбинации для параметров, входящих в условие пластичности:
/2. = ^ ^рг
а.
(21)
Для динамических задач дополнительно можно ввести еще один характерный размер — радиус инерции элементарных объемов среды Коссера
(22)
где / — плотность осевого момента инерции.
Замкнуть выписанную систему уравнений следует уравнением баланса энергии, которое запишем для случая отсутствия потоков тепла:
РЕ = Фу У+Ц и ку (23)
и уравнением неразрывности (сохранения массы): р + рмм = 0. (24)
5. О применении модели Коссера для мезоуровня
По данным обзора [60] экспериментальные исследования, основанные на методе размерных эффектов,
показывают, что характерные длины /ь и /( сравнимы с размерами элементов структуры материала, по крайней мере, в пределах достоверности метода, составляющих несколько сотых долей миллиметра. Эти данные получены для таких материалов, как костная ткань, пенопласты, крупнозернистые металлы. Для композитов, упрочненных частицами, эти длины равны нулю, что подтверждается и теоретическими работами.
Таким образом, на масштабах структурной неоднородности материалов, соответствующих мезоуровню, где влияние исходной внутренней структуры и формирующихся субструктур проявляется в наибольшей степени, применение моделей обобщенных сред является приемлемым. Поскольку к тому же при пластическом деформировании наблюдается изменение в структуре материалов, то новые параметры или модули можно рассматривать как характеристики не самих материалов, а масштаба рассмотрения и процесса нагружения.
Одной из важных проблем мезомеханики является классификация и изучение концентраторов напряжений разного масштаба. Уже признано, что модели классических сред не могут удовлетворительно описать напряженно-деформированное состояние в малой окрестности концентраторов напряжений, где наблюдаются большие градиенты напряжений и деформаций. Ограниченность классических теорий обусловлена лежащими в их основе допущениями, не учитывающими размерные эффекты, проявляемые в таких случаях в экспериментах. Альтернативой классическим подходам являются нелокальные теории, содержащие параметры размерности длины.
Обычно вклад моментных напряжений оценивается как величина второго порядка малости по сравнению с силовыми напряжениями. Это имеет место в условиях гладких распределений самих напряжений и деформаций. Однако в области больших градиентов напряжений (около концентраторов напряжений) этот вклад возрастает. Кроме того, в нелинейных моделях, когда даже при небольшом изменении определенных параметров возможны бифуркации и качественное изменение характера решений, влияние и малых поправок может оказаться решающим.
Заметим, что рассмотрение объемов нанометрового размера лежит на пределе применимости моделей механики сплошных сред, т.к. рассматриваемые объемы становятся сравнимыми с размерами нескольких атомов и молекул. При континуальном описании таких объектов нелокальные эффекты проявляются в наибольшей степени [42].
Ранее нами была предложена упрощенная микропо-лярная модель пластического деформировании поликристаллов на мезоуровне [68]. В этой модели явно мо-ментные напряжения не рассматривались, и уравнение баланса моментов количества движения не решалось. Величина скорости независимого поворота представ-
лялась как функция накопленной пластической деформации или ее градиентов. В соответствии с определяющими соотношениями микрополярной среды развитие независимых поворотов приводило к несимметричности силовых напряжений. Такая модель позволила смоделировать уход образца с оси при его одноосном растяжении (сжатии), которое может иметь место в случае реализации схемы Закса пластического деформирования монокристалла (скольжение в одной системе скольжения без активации сопряженной). Однако при растяжении или сжатии поликристаллического агрегата в силу разной ориентации отдельных зерен они находятся в стесненных условиях. Поэтому эти эффекты несимметричности оказываются незначительными. Как показали расчеты, невелико влияние несимметричных напряжений и при нагружении поликристаллов плоской ударной волной.
В развитие этих исследований, представляет интерес изучение влияния самих моментных напряжений и дополнительной степени свободы на развитие процесса пластического деформирования. Для этого надо провести расчеты по полной моментной модели.
Изложим сначала физические предпосылки введения в рассмотрение новой степени свободы поворотного типа для описания пластической деформации. Поскольку предполагается применение данной модели к численным расчетам, то в некоторых случаях обсуждение физических особенностей будет производиться с учетом того, что в расчетах мы всегда имеем дело с ограничениями, накладываемыми конечным размерами расчетных сеток.
Особое внимание мы обращаем на применение модели для тех материалов, в которых в ходе деформации возможна реализация кооперативных механизмов деформации и развитие поворотов. Это, в первую очередь, касается ультрамелкозернистых и нанокристаллических материалов, в которых изначально наблюдаются высокий уровень градиентов напряжений и наличие высокодефектных субструктур. Специфическими механизмами деформации в них, кроме внутризеренного скольжения дислокаций, являются процессы, связанные с поворотными модами деформации и вызванные высокой кривизной кристаллической решетки (переориентация кристаллической решетки), динамическими фазовыми переходами [69] и активностью границ зерен, т.е. зернограничное проскальзывание, миграция границ зерен, диффузионные процессы по границам зерен [70].
В металлических материалах и сплавах с обычным размером зерна представляют интерес развитые стадии пластической деформации, предшествующие разрушению, когда наблюдается коллективное поведение дефектной структуры. При этом в результате самоорганизации образуются новые носители деформации — трехмерные структурные элементы, для которых также ха-
рактерно вращательное движение (иногда используют термин «трансляционно-ротационный вихрь»).
Совершенно другого рода причины для применения моделей обобщенных сред связаны с ограниченными возможностями доступной компьютерной техники на современном этапе. При численном моделировании возникает проблема с явным учетом неоднородности структуры разных масштабов, например, когда требуется совместно описать каждое зерно поликристалла и еще явно учесть особенности дефектной структуры внутри отдельных зерен. Если количество зерен составляет несколько десятков, то потребуется несколько десятков тысяч ячеек расчетной сетки. Обычно в численных методах предполагается, что напряженно-деформированное состояние внутри ячейки расчетной сетки (конечного элемента) является либо однородным, либо плавно распределенным в соответствии с некоторыми заданным базисными функциями (линейными или полиномиальными). Этим объясняется сгущение сетки в области концентраторов напряжений. На самом деле, из-за наличия структурных неоднородностей масштаба, меньшего размера ячейки параметры напряженно-деформированного состояния в ней не является достаточно гладкими. Для них характерны большая или меньшая степень неоднородности. Степень отклонения в первом приближении как раз и можно охарактеризовать значением новой степени свободы поворотного типа. Дополнительная степень свободы должна позволить описать неявно неоднородность деформации по ячейке расчетной сетки.
Поскольку неоднородность распределения деформаций проявляется в гораздо большей степени на стадии пластического течения, то можно предположить, что новая степень свободы либо включается на определенной стадии деформации, либо ее воздействие проявляется неодинаково на разных стадиях нагружения. Этого можно достичь, если предположить, что параметры модели, ответственные за развитие поворотов, являются функциями накопленной деформации.
Особого внимания заслуживает проблема задания граничных условий в терминах независимых поворотов и моментных напряжений. Поскольку независимые повороты отражают эволюцию структуры, то может возникнуть необходимость задавать их значения не только на граничных поверхностях, но и на внутренних границах раздела. Задание моментных напряжений во многих конкретных случаях приложения обычных нагрузок может оказаться неоднозначным. Например, скольжение (сдвиг) в объеме может быть реализовано как заданием сдвиговых силовых напряжений, так и изгибающих моментов. Не вызывает проблем только задание граничных условий на свободных поверхностях. На них естественно предположить нулевые значения векторов напряжений (сил) и моментов.
Логичным развитием модели представляется следующая гипотеза. Если мы связали эволюцию дефектной структуры с новой степенью свободы, то и определяемое ею упрочнение мы должны описать с помощью напряжений, сопряженных с изгибами-кручениями — с моментными напряжениями. В этом случае изменение параметров модели должно обеспечить описание различного характера упрочнения для различных материалов. Например, для субмикрокристаллических материалов имеет место быстрое упрочнение на коротких II и III стадиях зависимости истинных напряжений от истинных деформации и затем продолжительная VI стадия этой зависимости [70].
Итак, когда влияние структуры при упругих деформациях мало, но начинает заметно сказываться при пластических деформациях, можно положить, что на начальной упругой стадии деформирования независимые повороты равны нулю и равны нулю все неклассические параметры в определяющих соотношениях — а, в, у, е. Далее возможны два варианта. Первый — эти параметры плавно растут как функция локальных напряжений, что отражает тот факт, что пластические деформации начинают развиваться в материале еще до достижения макроскопического предела текучести. Второй — эти параметры остаются равными нулю до достижения предела текучести в локальной области, а затем начинают расти с накоплением локальных пластических деформаций, т.е. мы пренебрегаем пластическими деформациями, развивающимися до достижения предела текучести. Таким образом, второй вариант модели является более грубым. Выбор того или иного варианта следует осуществлять в зависимости от особенностей материала, поведение которого мы собираемся моделировать.
Связность двух наборов степеней свободы (смещений и поворотов) в модели Коссера обеспечивается параметром а, который некоторые авторы называют мо-ментным модулем Коссера и обозначают Цс, и тем, что несимметричная часть силовых напряжений входит в уравнение (4). Если а равен нулю, то в соответствии с определяющими соотношениями для несимметричной части силовых напряжений Фу = -2а(Юк - Ок)еу, эти напряжения равны нулю и в уравнении сохранения моментов количества движения (4) остаются только градиенты моментных напряжений. Следовательно, эти две степени свободы могут эволюционировать независимо друг от друга в соответствии с уравнениями сохранения количества движения и моментов количества движения, которые оказываются несвязанными.
Поскольку мы предположили, что в начальный момент этот параметр равен нулю, то, только когда а ф 0, появится возможность для активизации вращательной степени свободы. При этом в динамической задаче вначале появится несимметричная составляющая силовых напряжений, а она, в свою очередь, через уравнение ба-
ланса моментов количества движения вызовет появление независимых поворотов. Уже затем через изгиб-кручение возникнут и моментные напряжения.
Каково дальнейшее поведение параметров а, в, У, е? Для выяснения этого вопроса остановимся на анализе диаграммы нагружения. В опытах на активное растяжение измеряются две величины: изменение длины образца и возникшая сила сопротивления. Эти величины представляют собой макроскопический отклик совершаемой работы при нагружении образца. При этом внутри образца развиваются локальные процессы разной природы. Например, на микро- и мезоуровне это могут быть сдвиги и повороты отдельных блоков. Если поведение материала моделировать в рамках классического описания (симметричные силовые напряжения — симметричная деформация), то работа совершается только силовыми напряжениями на деформациях. Если в модель включить независимые повороты и моментные напряжения, то в локальных объемах добавится работа моментных напряжений на изгибах-кручениях. Однако при макроскопическом описании с помощью традиционной Ф-е-диаграммы эта работа отразится как дополнительное «упрочнение». Таким образом, значения названных параметров как функции накопленной пластической деформации должны соответствовать наблюдаемому в экспериментах упрочнению.
Скорость изменения плотности энергии деформации в каждой точке континуума в рамках нашей модели определяется выражением (23). Проинтегрировав ее по всему объему рассматриваемого тела, мы получим полную скорость энергии деформации. В то же время, через экспериментально измеряемые величины она определится как Е = Фей- е. Приравнивая значения скоростей изменения энергии и определив из численных расчетов скорость деформации е по скорости перемещений граней образца, можно рассчитать эффективные напряжения и построить соответствующие Ф-е-диаграммы.
Задавая разные выражения для параметров модели как функции накопленной пластической деформации, можно получить разные виды кривых упрочнения на разных стадиях.
Наконец, своего предела упругости могут достичь и моментные напряжения, после чего появятся пластические изгибы-кручения.
6. Результаты численного моделирования
Приведем несколько результатов численного моделирования, иллюстрирующих возможности предлагаемой модели. Расчеты были выполнены с помощью программы, основанной на конечно-разностной схеме, известной как метод Уилкинса, для решения задач в двухмерной постановке в условиях плоского деформированного состояния.
Первый расчет является тестовым. Он был проведен для сравнения с аналитическим решением задачи о
скольжении упругопластического слоя [50]. На рис. 1, а представлена схема задачи. На верхней грани слоя заданы силовые напряжения ц 23 = 80 МПа-см. Нижняя грань является жестко закрепленной, смещения и повороты на ней равны нулю. При аналитическом решении рассматривалась одномерная задача, слой считался бесконечным и был использован вариант теории течения с одним критерием. Численное решение выполнено в двухмерной постановке (равномерная расчетная сетка 200x50 ячеек), при этом боковые грани считались свободными. Использовались следующие значения параметров материала К = 166.67 ГПа, ц = 76.92 ГПа, а = = 100 ГПа, у + е = 76.92 ГПа-см2, Y = 100 МПа, р = = 7.8 г/см3, а1 = 1.5, а2 = 0, Ь1 = 1.5 см-2, Ь2 = 0. Чтобы сравнить результаты численного решения в динамической постановке с аналитическим решением статической задачи, значения моментных напряжений на верхней границе плавно наращивались от нуля до заданного значения и затем оставались постоянными. Такой подход позволяет избежать сильного влияния распространяющихся упругих волн на получаемое решение. Следует также отметить, что в отличие от аналитического решения, которое было получено в безразмерном виде, численное решение получено в размерных переменных для области 20x5 см2. Представленные на рис. 1, б кривые распределения сдвигового напряжения ст12 и мо-ментного напряжения ц23 вдоль вертикальной оси свидетельствуют о хорошем совпадении результатов расчета и аналитического решения. Для численного решения графики представлены вдоль оси х2 в середине расчетной области.
Второй расчет иллюстрирует особенности распределения интенсивностей силовых и моментных напряжений в области концентраторов напряжений. Значения этих величин задаются выражениями (13), (14) и определяют наступление пластичности или предразрушения в микрополярной модели. На рис. 2 представлены такие
О О О О О О
80
ш
с
40
О
-40
Сдви Моме Сдви Мом€ говые напря нтные напр говые напря нтные напр жения (расч чжения (рао жения(анал чжения (ана ет) ^ет) итическое р питическое ешение) ' решение) у
X
40
го
с:
-40
х2, см
Рис. 1. Задача о скольжении упругопластического слоя среды Коссера: а — постановка задачи; б—распределения сдвиговые и моментнык напряжений вдоль оси Х2
распределения в области кругового отверстия при растяжении образца. Для силовых напряжений картина является классической. Максимальные значения достигаются в точках диаметра, проведенного перпендикулярно направлению растяжения, «гребни» рельефа направлены под углом 45° к оси приложения нагрузки и соответствуют направлению развития полос локализации деформации для изотропного материала. Распределение интенсивности моментных напряжений имеет качественно другой вид.
Третий результат иллюстрирует вклад моментных напряжений в упрочнение. На рис. 3 изображены две ст-е-диаграммы, рассчитанные в результате осреднения расчетных данных, полученных при одноосном растя-
X, мм
8 12 16 X, мм
20
Рис. 2. Распределения интенсивностей тензоров моментных (а) и силовых (б) напряжений вокруг кругового отверстия. Образец подвергнут растяжению вдоль вертикальной оси
600
го
2 400
fc
200
0 5 10 15
е, %
Рис. 3. Осредненные а-е-диаграммы растяжения образцов, описываемых обычной (/) и микрополярной (2) упругопластическими моделями
жении однородных образцов. Нижележащая диаграмма получена в случае, когда материал образца описывается классической упругопластической моделью среды с линейным упрочнением. Расчет производился по
1 М I------- I — I
формулам а =— s'n, е =---------0, где N — общее
N и =1 10
количество ячеек расчетной сетки; I,10 — текущая и
начальная длина образца вдоль оси растяжения. Верхняя диаграмма рассчитана по описанной выше методике, когда в расчетах применялась модель Коссера. В проведенных расчетах параметры материала соответствовали алюминиевому сплаву 6061-Т6: р = 2.7 г/см3, ц = = 27.7 ГПа, К = 72.8 ГПа, У = 300 МПа, для новых «модулей» и предела текучести для моментных напряжений были приняты следующие выражения: а =
= 2.77/(ер1)ГПа, у + е = 0.01/(ер1) ГПа-м2, Iр1 = = Yц/Yа = 0.001 /(ер1) см, т.е. они плавно менялись с ростом накопленной пластической деформации согласно функции / (ер1) = 1 - ехр[-(2.4 ер1/ер1)2], где ер1 — критическое значение интенсивности накопленной пластической деформации, при котором функция выходит на насыщение. Для расчета эффективного напряжения использовалась формула
1 Ы
Е = — Е (аи е и + Ци ки) = ^ е>
Н И=1
деформация рассчитывалась так же, как и в случае классической среды. Сравнение этих диаграмм показывает, что некоторая часть упрочнения может быть отнесена за счет развития в деформируемом материале изгибов-кручений и моментных напряжений: чем больше величина поворотов, тем выше пойдет кривая а-е.
7. Заключение
Работа содержит точку зрения автора на применение математических моделей для численного решения задач на мезоуровне. Следует широко использовать опыт создания моделей для описания поведения структурно-неоднородных сред с разными свойствами, который уже накоплен к настоящему времени. Вместе с тем, с умень-
шением размеров мезоструктуры возрастает влияние размерных эффектов и большее значение приобретают модели механики обобщенных сред.
Представлен обзор моделей, применяющихся в настоящее время для численного моделирования деформации материалов на мезоуровне. Особое внимание уделено моделям механики обобщенных сред и, в частности, среде Коссера. Дается изложение этой модели для описания пластической деформации металлических материалов с субмикрокристаллической и наноструктурой. Появление внутренних моментов на мезоуровне в рамках этой модели обеспечивается наличием внутреннего движения на микроуровне, обусловленного эволюцией внутренней структуры материала (зарождением и движением деформационных дефектов, коллективными процессами их самоорганизации и т.д.). Представлены результаты некоторых расчетов, иллюстрирующих возможности микрополярных моделей.
Благодарности
Работа выполнена при частичном финансировании гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ НШ-2324.2003.1, а также по гранту РФФИ № 05-01-00303-а.
Автор выражает благодарность профессору П.В. Макарову за обсуждение содержания и результатов представленных исследований, РА. Бакееву за помощь в проведении части расчетов и обсуждение их результатов.
Автор благодарен рецензенту за внимательное прочтение работы и высказанные замечания, которые были учтены при переработке статьи.
Литература
1. NeedlemanA. Computational mechanics at the mesoscale // Acta Mater. - 2000. -
V. 48. - No. 1. - P. 105-124.
2. Панин B.E., Лихачев B.A., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации
твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 230 с.
3. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В
2 т. / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с.; -Т. 2. - 320 с.
4. Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения
неоднородных сред на мезоуровне // Физ. мезомех. - 2003.- Т. 6.- № 4.-С. 111-124.
5. Sedov L.I. Some problems of designing new models of continuum media // Proc.
11th Intern. Congr. on Appl. Mech., Munich, 1964. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer Verlag, 1966. - P. 9-19.
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. - М.: Наука, 1983. - 528 с.
7. Коларов Д., Балтов A., Ботева Н. Механика пластических сред. - М.: Мир,
1979. - 304 с.
8. Makarov P. V., Smolin I. Y., Prokopinsky I.P. Localized plastic strain in polycrystalline
materials with holes and notches // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. -
1998. - V. 29. - P. 11-20.
9. Soppa E., AmosD., Schmauder S., Bischoff E. The influence of second phase and/
or grain orientations on deformation patterns in an Ag polycrystal and in Ag/Ni composites // Comput. Mater. Sci. - 1998. - V. 13. - P. 168-176.
10. Balokhonov R.R., Makarov P. V., Romanova V.A., Smolin I. Yu. Simulation of crystal plasticity under dynamic loading // Comput. Mater. Sci. - 1999. - V. 16. - No. 14. -P. 355-361.
11. Смолин И.Ю., Соппа Э., Шмаудер 3., Макаров П.В. Двумерное моделирование пластической деформации в матрице металлокерамического композита на мезоуровне: оценка напряженных состояний и численных методов // Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - №1. — С. 17-22.
12. XuD., Schmauder S., Soppa E. Influence of geometry factors on the mechanical behaviour of particle- and fiber-reinforced composites // Comput. Mater. Sci. -
1999. - V. 15. - P. 295-301.
13. Панин С.В., Смолин И.Ю., Балохонов P.P., Антипина Н.А., Романова B.A., Моисеенко Д.Д., Дураков В.Г., СтефановЮ.П., Быдзан А.Ю. Мезомеханика границы раздела в материалах с поверхностным упрочнением и покрытиями // Изв. вузов. Физика. - 1999. - № 3. - С. 6-27.
14. Макаров П.В., Романова В.А., Балохонов PP. Моделирование неоднородной пластической деформации с учетом зарождения локализованных пластических сдвигов на границах раздела // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 5. -С. 29-39.
15. Teodosiu C. The meso-macro connections in polycrystals // Computer Simulation in Materials Science / Ed. by H.O. Kirchner, L.P. Kubin, V. Pontiks. - Dordrecht: Kluwer Academic Puplishers, 1996. - P. 483-516.
16. McHughP.E., AsaroR.J., Shih C. F. Crystal plasticity models // Fundamentals of Metal Matrix Composites / Ed. by S. Suresh. - Boston: Butherworth-Heinman, 1993. - P. 139-157.
17. Taylor G.I. Plastic strain in metals // J. Inst. Met. - 1938. - V. 62. - P. 307-325.
18. Asaro R.J. Micromechanics of crystals and polycrystals // Advances in Applied Mechanics. - 1983. - V. 23. - P. 1-115.
19. Havner K.S. Finite plastic deformation of crystalline solids. - Cambridge: Cambridge University Press, 1992. - 235 p.
20. Deve H., Harren S., McCullough C., Asaro R.J. Micro- and macroscopic aspects of shear band formation in internally nitrided single crystals of Fe-Ti-Mn alloys // Acta Metall. - 1988. - V. 36. - No. 2. - P. 341-365.
21. Bassani J.L. Plastic flow of crystals // Advances in Applied Mechanics. - 1994. -V. 30. - P. 191-258.
22. Rey C., Hoc T., Erieau Ph. Strain localization in single crystals and polycrystals // Physical aspects of fracture / Ed. by E. Bouchaud, D. Jeulin, C. Prioul, S. Roux. -Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2000. - P. 225-241.
23. Harder J. A crystallographic model for the study of local deformation processes in polycrystals // Int. J. Plasticity. - 1999. - V. 15. - P. 605-624.
24. Фрост Г.Дж, Эшби М.Ф. Карты механизмов деформации. - Челябинск: Металлургия, 1989. - 328 с.
25. Voigt W. Theoretische Studien uber die Elastizitatsverhaltnisse der Kristalle // Abh. Koniglichen Gesellschaft Wiss. Gottingen. - 1887. - 34.
26. CosseratE, CosseratF. Theorie des corps deformables. - Paris: A. Hermann et fils, 1909. - 226 p.
27. Gunther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratchen Kontinuum // Abh. Braunschweigischen Wissentschaftlichen Gesellschaft. - 1958. - 10. - S. 195-213.
28. Truesdell C.A., Toupin R.A. The Classical Field Theories // Handbuch der Physik / Ed. by S. Flugge. - Berlin: Springer-Verlag, 1960. - Band 3,Teil 1. - P. 226-793.
29. Toupin R.A. Elastic materials with couple stresses // Arch. Rat. Mech. Anal. -1962. - No. 11. - P. 385-414.
30. Mechanics of generalized continua. Proceedings of the IUTAM-symposium on the Generalized Cosserat Continuum and the Continuum Theory of Dislocations with Applications, Freudenstadt and Stuttgart (Germany) 1967 / Ed. by E. Kroe-ner. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer-Verlag, 1968. - 358 p.
31. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. - 1960. - Т. 11. - Вып. 7. -С. 1399-1409.
32. КувшинскийЕ.В., Аэро Э.Л. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет «внутреннего» вращения // ФТТ. - 1963. - Т. 5. - Вып. 9. -
С. 2591-2598.
33. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Континуальная теория асимметрической упругости. Равновесие изотропного тела // ФТТ. - 1964. - Т. 6. - Вып. 9. - С. 26892699.
34. Миндлин Р.Д. Микроструктура в линейной упругости // Механика. - 1964. -Т. 86. - № 4. - С. 129-160.
35. Эринген А.К. Теория микрополярной упругости // Разрушение. - М.: Мир. -1975. - Т. 2. - С. 646-751.
36. EringenA.C., SuhubiE.S. Nonlinear theory of simple microelastic solids. Part I, II // Int. J. Eng. Sci. - 1964. - V. 2 - P. 189-203, 389^04.
37. Green A.E., Rivlin R.S. Multipolar continuum mechanics // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1964. - V. 17. - P. 113-147.
38. НовацкийВ. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 872 с.
39. Миндлин РД, Тирстен Г.Ф. Эффекты моментных напряжений в линейной теории упругости // Механика. - 1964. - Т. 86. - №4. - С. 80-114.
40. ЛомакинВ.А. Теория упругости неоднородных тел. - М.: Изд-во МГУ, 1976. -368 с.
41. BaUantZ., JirdsekM. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress // J. Eng. Mech. - 2002. - V. 128. - No. 11. - P. 1119-1149.
42. Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. Нелокальная теория упругости. - М.: Наука, 1975. - 416 с.
43. Fleck N.A., Hutchinson J.W. Strain gradient plasticity // Advances in Applied Mechanics. - 1997. - V. 33. - P. 295-361.
44. Гриняев Ю.В. Калибровочно-инвариантное описание деформации структурно-неоднородных сред // Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т. - Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - С. 102-112.
45. Аэро Э.Л. Существенно нелинейная микромеханика среды с изменяемой периодической структурой // Успехи механики. - 2002. - № 3. - С 13-176.
46. De Borst R. A generalization of J2-flow theory for polar continua // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1993. - V. 103. - P. 347-362.
47. Аэро Э.Л., Булыггин А.Н., КувшинскийЕ.В. Асимметрическая гидромеханика // ПММ. - 1965. - Т. 29. - № 2. - С. 297-308.
48. Аэро Э.Л., Булыгин А.Н. Кинематика нематических жидких кристаллов // ПММ. - 1972. - Т. 8. - № 3. - С. 97-105.
49. Rogula D. Introduction to nonlocal theory of material media // Nonlocal Theory of Material Media. CISM Courses and Lectures / Ed. by D. Rogula. - Wien: Springer, 1982. - V. 268. - P. 125-222.
50. Forest S., Sievert R. Elastoviscoplastic constitutive frameworks for generalized continua // Acta Mech. - 2003. - V. 160. - P. 71-111.
51. Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию напряжений // Механика. - 1964. - Т. 86. - №4. - С. 115-128.
52. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. - Киев: Наукова думка, 1968. - 887 с.
53. КулешМ.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Построение и анализ точного аналитического решения задачи Кирша в рамках континуума и псевдоконтинуума Коссера // Прикладная механика и техническая физика. - 2001. -Т. 42. - № 4. - С. 145-154.
54. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Proc. 11th Int. Congr. Appl. Mech. - Berlin-Heidelberg-New York: Springer, 1965. - P. 153-158.
55. Справочник проектировщика промышленных, жилых и общественных зданий и сооружений. Расчетно-теоретический. Кн. 2. / Под ред. А.А Уманско-го. - М.: Стройиздат, 1973. - 416 с.
56. Бояндин В. С., Козак АЛ. Конечный элемент для решения плоских и осесимметричных задач моментной теории упругости // Сопротивление материалов и сооружений. - Киев: Будивэльнык, 1991.- С. 49-57.
57. Providas E., Kattis M.A. Finite element method in plane Cosserat elasticity // Computers and Structures. - 2002. - V. 80. - P. 2059-2069.
58. Forest S., Barbe F., Cailletaud G. Cosserat modelling of size effects in the mechanical behaviour of polycrystals and multi-phase materials // Int. J. of Solids and Structures. - 2000. - V. 37. - P. 7105-7126.
59. Tejchman J., Wu W. Dynamic patterning of shear bands in Cosserat continuum // J. of Eng. Mech. - 1997. - V. 123. - No. 2.- P. 123-133.
60. Lakes R. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized elastic continua // Continuum models for materials with microstructure / Ed. by H. Muhlhaus. - New York: J. Wiley, 1995. - Ch. 1. - P. 1-22.
61. Корепанов В.В., Кулеш М.А., Матвеенко В.П., Шардаков И.Н. Численные и экспериментальные исследования в рамках несимметричной теории упругости // Итоги работы научно-образовательного центра «Неравновесные переходы в сплошных средах». - Пермь: ПГУ, 2004. - С. 83-85.
62. Dendievel R., Forest S., Canova G. An estimation of overall properties of heterogeneous Cosserat materials // Mechanics of Materials with Intrinsic Length Scale: Physics, Experiments, Modelling and Applications, Proceedings of the conference held in Magdeburg, Germany, February 23-26, 1998 / Ed. by A. Bertram, S. Forest, F. Sidoroff. - P. 104-111.
63. ПавловИ.С. Гранулированная среда с вращением частиц. Двумерная модель // Проблемы прочности и пластичности. - 2003. - Вып. 65. - С. 53-64.
64. Ebinger Т., Steeb H., Diebles S. Modeling macroscopic extended continua with the aid of numerical homogenization schemes // Comput. Mater. Sci. - 2005. -V. 32. - P. 337-347.
65. De Borst R. Simulation of strain localization: a reappraisal of the ^sserat continuum // Eng. Comput. - 1991. - V. 8. - No. 4. - P. 317-332.
66. Кукуджанов В.Н. О структуре полос локализации деформации в нелокальной теории пластичности при динамическом нагружении // Механика твердого тела. - 1998. - № 6. - С. 104-114.
67. Forest S. Cosserat Media // Encyclopedia of Materials: Science and Technology. -Amsterdam: Elsevier Sciences, 2001. - P. 1715-1718.
68. Smolin I. Yu., Makarov P V, ShmickD. V, Savlevich I. V. A micropolar model of plastic deformation of polycrystals at the mesolevel // Comput. Mater. Sci. - 2000. -V. 19. - No. 1^. - P. 133-142.
69. Тюменцев А.Н., Коротаев А.Д., Пинжин Ю.П. Высокодефектные структурные состояния, поля локальных внутренних напряжений и кооперативные механизмы мезоуровня деформации и переориентации кристалла в наноструктурных металлических материалах // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. -№4. - С. 35-53.
70. Козлов Э.В., Конева Н.А., Жданов А.Н., Попова Н.А., Иванов Ю.Ф. Структура и сопротивление деформированию ГЦК ультрамелкозернистых металлов и сплавов // Физ. мезомех. - 2004. - Т. 7. - №4. - С. 93-113.
