О приближенном решении автономных периодических краевых задач с запаздыванием методом наименьших квадратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О приближенном решении автономных периодических краевых задач с запаздыванием методом наименьших квадратов1

С. М. Чуйко, А. С. Чуйко, П. В. Кулиш

Донбасский государственный педагогический университет, Славянск 84116. E-mail: [email protected]

Аннотация. На основе техники наименьших квадратов построена новая итерационная схема для нахождения решений автономной слабо нелинейной краевой задачи для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием в критическом случае. Задача о нахождении периодических решений автономной краевой задачи с запаздыванием в критическом случае существенно отличается от аналогичной задачи для неавтономной системы, поскольку период искомого решения не известен и является функцией малого параметра.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, итерационная схема, автономная краевая задача с запаздыванием.

1. Постановка задачи

Исследована задача о построении приближений к T(e)-периодическому решению

z(t,e): z(^,e) € Cl[0, T(e)], T(0) = T, A € R1, z(t, •) € C[0,eo]

системы дифференциальных уравнений с запаздыванием [5, 6, 13]

dz(t)/dt = Az(t) + Bz(t - A) + eZ(z(t),z(t - A),e). (1)

Решения периодической задачи для уравнения (1) ищем в малой окрестности T-периодического решения z0(t) : z0(-) € C 1[0,T] порождающей системы

dzo/dr = Azo(t) + Bzo(t - A), A, B € Rnxn (2)

Здесь A, B — постоянные (n x п)-мерные матрицы, Z(z(t),z(t - A),e) — нелинейная вектор-функция, непрерывно-дифференцируемая по неизвестным z(t) и z(t — A) в малой окрестности решения порождающей T-периодической задачи для системы (2), а также непрерывно-дифференцируемая по малому параметру e на отрезке [0, e0]. В критическом случае [4, с. 33], при наличии чисто мнимых корней Xj = ±ikjT, i = V—1, j € Z характеристического уравнения det[A + — XIn] = 0, система (2) имеет семейство

T-периодических решений z0(r,cr) = Xr(r)cr, cr € Rr. Здесь Xr(r) — (n x г)-матрица, составленная из r линейно-независимых T-периодических решений системы (2). В критическом случае сопряженная система

dy(r)/dt = —A*y(r) - B*y(r + A)

хРабота выполнена при финансовой поддержке Государственного фонда фундаментальных исследований. Номер государственной регистрации 0109U000381.

© С. М. ЧУЙКО, А. С. ЧУЙКО, П. В. КУЛИШ

имеет семейство Т-периодических решений вида [4, с. 30] у(т,сг) = Нг(т)сг, сг € Кг. Здесь Нг (т) — (п хг)-матрица, составленная из г-линейно-независимых Т-периодических решений сопряженной системы. Заметим, что пространство решений порождающей системы (2) — конечномерно [11]. Существенным отличием автономной Т(е)-периодической задачи (1) от аналогичной неавтономной периодической задачи также является тот факт, что любое решение е) задачи (1) существует наряду с целой серией решений г(Ь+Н, е), отличающихся от исходного сдвигом по независимой переменной. Этот факт позволяет [3, 9, 10, 12] зафиксировать начало отсчета независимой переменной таким образом, чтобы решение порождающей Т-периодической задачи (2) стало г — 1-параметричным

г0(т,сг-1) = Хг-1(т)сг-1, сг-\ € Мг-1.

Задача о нахождении периодических решений автономной системы (1) в критическом случае существенно отличается от аналогичной задачи для неавтономной системы, поскольку период Т(е) искомого решения задачи (1) неизвестен и является функцией малого параметра; представим его Т(е) = 2п(1 + ев(е)) через новую неизвестную в(е) € С[0, ео]. Величины

в (е), в (0):= в*, П(е):= А

1 + eß(e)

подлежат определению в процессе нахождения искомого решения. Совершая в системе (1) замену независимой переменной [3, 9, 10, 12] £ = т(1 + ев(е)), приходим к задаче о нахождении Т-периодических решений системы

йг(т )/йт = Лг(т) + Бг(т — П(е)) +

+ ев(е)[Лг(т) + Бг(т — П(е))] + е(1 + ев(е))г (г(т ),г(т — П(е)),е). (3)

2. Необходимое условие разрешимости

Обозначая

fo(T, с*) = ß*[Azo(r, с—) + Bzo(T - A, с—)] + Z(zo(t, c*r),zo(r - А, с—), 0),

аналогично [3, 9, 10, 12] приходим к необходимому условию существования искомого Т(е)-периодического решения системы (1).

Теорема 1. Если Т(е) периодическая задача для автономной системы (1) в критическом случае имеет решение, при е = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, с*_1), то вектор с * = col (с* _1, ß *) € Rr удовлетворяет уравнению [3]

F (с*) := Г H* (s)fo(s, с *) ds = 0. (4)

J о

Корни уравнения (4) определяют порождающее решение z0(t, с*_1), в малой окрестности которого в критическом случае могут существовать искомые решения Т-периодической задачи для уравнения (1). Если же уравнение (4) не имеет действительных решений, то поставленная Т-периодическая задача для уравнения (1) неразрешима.

Предположим, что уравнение (4) имеет действительные корни. Фиксируя одно из решений с * € Кг уравнения (4), приходим к задаче об отыскании Т(е)-периодических решений автономной системы (3) г(т,е) = го(т,с*+ х(т,е) в окрестности порождающего решения г(т, 0) = го(т,с*Для нахождения Т-периодического возмущения х(г,е) : х(-,е) € С1 [0, Т], х(т, ■) € С[0, во], х(т, 0) = 0 порождающего решения го(т,с*-1) используем Т-периодическую задачу для уравнения

йх(т, е)/(И = Ах(т, е) + Вх(т - А, е)+

+ В[г(т - П(е),е) - г(т - А, е)] + е[5(е)[Аг(т, е) + Вх(т - П(е), е)] + + е(1 + ев(е))г(го(т, с*-1) + х(т, е),го(т - П(е),с*-1) + х(т - П(е), е),е). (5)

Учитывая непрерывную дифференцируемость по первым двум аргументам вектор-функции

Z(го(т, с*-1) + х(т, е),го(т - £}(е),с*-1) + х(т - 0,(е),е),е)

в окрестности порождающего решения г0(т,с*и непрерывную дифференцируемость по малому параметру, разлагаем эту функцию в малой окрестности точек х(т) = 0, х(т - П(е)) =0 и е = 0

Z(го(т,с*-1) + х(т),го(т - 0,(е),с*+ х(т - 0,(е)),е) =

= Z(хо(т, с*-1),го(т - А, с*-1), 0) + АА1(т)х(т - А,е) + еА2(т)+ + А1(т)х(т, е) + К(хо(т, с*-1) + х(т, е), хо(т - П(е),с*-1) + х(т - П(е),е),т, е), (6)

где

А1(т) = Z'z(го(т,с*-1)го(т - А, с—), 0),

А2(т) = ^(г— 0.(е),е)(Мт,с*-1)^о(т - ^ с*-1), 0),

Аз(т) = ^е(го(т, с**-1)го(т - А, с*-1), 0).

Остаток

Я(го(т, с*-1) + х(т,е),го(т - 0,(е),с*—1) + х(т - 0,(е),е),е)

разложения более высокого порядка малости по х(т,е), х(т - 0,(е),е) и е в окрестности точек х(т,е) = 0, х(т - 0,(е),е) = 0 и е = 0, чем первые четыре члена разложения (6). Обозначим (г х г)-матрицу

Во = IТ Н*(в){[в* А + А1(з)]Хг-1(з) + о

+ [в*В + АА1(в)]Хг-1(8 - А); [АХг-1(в) + ВХг-1(в - А)] ■ с—} йв, являющуюся производной левой части уравнения (4) для порождающих амплитуд

Во -

dF (cr-i,ß) d(cr-i,ß)

cr-1 - cr

ß - ß *

Условия разрешимости периодической задачи для системы (5) в критическом случае приведены в статье [3].

Теорема 2. В критическом случае для каждого простого (det B0 = 0) корня уравнения (4) для порождающих амплитуд c * = col (c* _1, в *) € Rr уравнение (3) имеет единственное T-периодическое решение х(т,е) : x(-,e) € C 1[0,T], х(т, ■) € C[0,е0]. Система (1) имеет при этом единственное Т(е)-периодическое решение

при е = 0 обращающееся в порождающее г(Ь, 0) = г0(т, с*г-1).

Условия приведенной теоремы, в отличие от результатов статьи [3], предполагают известными только базис Т-периодических решений Хг (т) порождающей системы (2) и базис Т-периодических решений Нг(т) сопряженной системы.

3. Частный критический случай

Согласно традиционной классификации краевых задач [3, 13] случай простоты корней уравнения для порождающих амплитуд (4) назван критическим случаем первого порядка. Менее изученным является случай кратных (ёе! Во = 0) корней уравнения для порождающих амплитуд (4); при этом согласно традиционной классификации периодических краевых задач поставленная задача для уравнения (1) не может быть отнесена к критическому случаю второго или более высокого порядка [3], а также к особому критическому случаю, поскольку уравнение для порождающих амплитуд не обращается в тождество [15]. При наличии кратных корней уравнения для порождающих амплитуд (4), оставляя только линейно-независимые строки уравнения (4), получаем эквивалентное условие разрешимости исходной задачи (1)

здесь Hp(t) — (р х г)-мерная матрица, составленная из р -линейно-независимых строк матрицы Hr (т).

Следствие. Если Т(е)-периодическая задача для автономной системы (1) в критическом случае имеет решение, при е = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t, c*_1), то вектор c* = col (c*_1, в *) € Rr удовлетворяет уравнению (7).

Оставляя только линейно-независимые строки в условии разрешимости T-периодической задачи для автономной системы (3), с учетом равенства (7), получаем эквивалентное условие разрешимости исходной задачи Т(е)-периодической задачи для автономной системы (1)

z(t,e): z(-,e) € C 1[0, Т(е)], z(t, ■) € C[0,ео],

(7)

H*(s){eß*{[AXr-i(s) + BXr-i(s - A)] ■ с*-i +

+ r(z0(s, с*—1) + x(s, е), z0(s — Q(e), с*—1) + x(s — й(е), е), е)} ds = 0;

здесь

г(го(з,с*-1) + х(з,е),го(з - ^(е),с*-1) + х(з - 0,(е),е),е) :=

= В[г(з - 0,(е),е) - г(з - А, е)] + е/ * {Ах(з, е) + В[го(з - П(е),с*-1)-- го(з - А), с*-1) + х(з - П(е), е)]} + е[А1(з)х(з, е)+ + АА1(з)х(з - А,е) + еА2(з) + Е(г(з, е), г(з - П(е),е),з, е)] + + е@(е){Ах(з, е) + В[г(з - П(е), е) - го(з - А), с*-1)]}+

+ е2/(е)Е(г(з, е), г(з - П(е),е),з, е).

В случае кратных корней уравнения для порождающих амплитуд (4) матрица Во вырождена. Обозначим (р х 1)-мерную матрицу

Во = I Н*(з){[АХг-1(з) + ВХг-1(з - А)] • с*-1} йз,

о

являющуюся производной левой части модифицированного уравнения (7) для порождающих амплитуд

B dF(cr-i, ß) B0 =-dß-

cr-i - cr —iJ

=

Условие разрешимости Т(е)-периодической задачи для автономной системы (1)

г- 2п

е/3(е) = -В+ • Н*(з) • г((г(з, е)г(з - П(е),е),е)) йз, о

устанавливает зависимость между функцией (3(е) := / * + /3(е), /3(е) £ С [0,ео], в(0) = 0, малым параметром е и амплитудой с*_1 порождающего решения го(т,с*_1). Последнее уравнение при условии Рв* = 0 имеет по меньшей мере одно решение, при этом Т-периодическая задача для автономной системы (3) в окрестности порождающего решения го(т, с*_1) имеет по меньшей мере одно решение, представимое операторной системой

г- 2п

г(т,е) = го(т,с*-1) + х(т,е),е, /3(е) = - В+ • Н*(з) • г ((г (з,е),г(з - 0(е),е),е)) йз,

о

х(т, е) = еС{В[г(з - П(е), е) - г(з - А, е)] + е(1 + ев(е)) х (8)

хZ(го(з, с*+ х(з,е),го(з - А, с*+ х(з - А,е),е)}(т).

При условии Рв* = 0, Рв* = 0 будем говорить, что для Т-периодической задачи для автономной системы (1) имеет место частный критический случай. Принципиальное отличие операторной системы (8) в частном критическом случае от аналогичной операторной системы в критическом случае первого порядка [3] состоит в том, что искомое решение периодической задачи для автономной системы (1) является функцией не только малого параметра е, но и произвольной амплитуды с*_1 порождающего решения го(т,с*_1). В свою очередь максимальное значение величины амплитуды с*_1 порождающего решения го(т,с*_1) определяется, например, из условия сжимаемости оператора, определяемого операторной системой (8).

Для построения приближенного решения операторной системы (8) в частном критическом случае применим метод простых итераций; для его использования можно воспользоваться конструкцией обобщенного оператора Грина G[f (s)j(r) периодической задачи для дифференциальной системы с запаздыванием в критическом случае [3, 13]. В данной статье для построения приближений к решению операторной системы (8) аналогично [8, 9, 10, 14, 17, 16] будет использован метод наименьших квадратов. Предположим выполненным условие Pb*0 — 0 и пусть

{ф^(т j — Ф(1\т), ф2\т), Ф(к)(т), ...

— система линейно-независимых непрерывно-дифференцируемых Т-периодических n-мерных вектор-функций. Решение Т-периодической задачи для уравнения (3) ищем в малой порождающего решения z0(t,c*_1). Первое приближение х1(т,е) к решению Т-периодической задачи для уравнения (5) ищем, как Т-периодическое решение системы

dx1(T,e)/dt — Ах1(т, е) + Вх1 (т - А,е) + eß*{A[z0(t, c*-1) + х1(т,е)] +

+ В [zo(t - А, c*-1) + Х1(т - А, е)]} + е(1 + eß *) х х {Z(zo(t, c*-1),zo(t - А, c*-1), 0) + А1(т)х1(т, е) + АА1(т)х1(т - А,е) + еА2(т)}. (9)

Обозначим (n х k^-матрицу

Ф1(т) — [ф1\т) ф?(т) ... ф^(т)],

составленную из k1 элементов системы функций {ф(^(т)}j=1. Приближение к решению Т-периодической задачи для системы (9) ищем в виде

х1(т,е) :— ^(т,е) и ф1(т)а(е), а(е) £ Rkl.

В общем случае первое приближение ^(t,e) не является точным решением Т периодической задачи для системы (9), поэтому потребуем

FЫе)) — ||(1 + eß*){[А + еА1(т)]&(т, е) + eß*[Azo(t, c*-1) +

+ Bzo(t - А, c*-1)] + eZ(zo(t, c*r-1), zo(t - А, c*-1), 0) +

+ [В + еАА1(т)]6(т - А,е)+ е2А2(т)} - &(т,е)ЦЬ2{от] ^ min

при фиксированной матрице ф1(т). Функция F (c1(e)) — Г {(1 + eß * ){[А + еА1(т )Ыт,е)+

J0

+ eZ(zo(t, c*—1), zo(t - А, c—), 0) + + [B + eAA1 (т )]6(т - А, е) + е2А2(т)} + eß * [Azo(t, c*-1) + + Bzo(t - А,c*-1)] - C1 (т, e)}* х х {(1 + eß * ){[A + еА1(т )]6(т, e) + eZ (zo(t, c*-1),zo(t - А, c*-1), 0)+ + [B + eAA1 (т )]6(t - А, e) + е2А2(т)} + eß * [Azo(t, c*-1) +

+ Bzo(t - А,c*-1)] - С!(T,e)}dT

представима в виде

F (c1(e)) — ||Ф1 (т, e)c1(e) + е(1 + eß * ){Z (zo(t, c-), zo (t - А, c*-1), 0) +

+ еА2(т)} + eß * [Azo(t, c*-1) + Bzo(t - А, c*-ЖьЦот],

где

Ф1(т, e) — (1 + eß * ){[A + еА1(т )]ф1(т) + [В + еАА1(т )]ф1 (т - А)} - фх(т). Необходимое условие минимизации функции F(а(е)) приводит к уравнению

Г(ф10),е) • а(е) — -е • Г Ф\(т,е){[5*[Azo(t,c*-1) +

Jo

+ Bzo(t - А, c*-1)] + (1 + eß * )[Z (zo(t, c-),^ - А, c-), 0) + eA2 (т )]}dT,

однозначно разрешимому относительно вектора c1(e) £ Rkl при условии невырожденности (k1 х k1 )-матрицы Грама [1]

Г(ф1(^),е)— Г Ф\(т,е) • Ф1(т,е) dT. Jo

Таким образом, при условии det[r(^1(^),е)] — 0 находим вектор

d(e) — -е • [Г(ф1(^),е)]-1 • Г Щт,е){[5*[Azo(т,^^

Jo

+ Bzo (t - А, c*-1)] + (1 + eß * ){Z (zo(t, c-), zo (t - А, c*-1), 0) + еА2(т )}}dT,

определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) первое приближение к решению Т-периодической задачи для уравнения (5) х1 (т,е) — С1(т,е) и ф1(т)c1(e). Из условия разрешимости периодической задачи для автономной системы (1) в случае Pb*0 — 0 находим первое приближение

ß1(e) — -B+ • IT H*(s) х r(zo(s,c:-1)+ b(s,e),zo(s - А,^-1) + &(s - А,е),е) ds, Jo

которое устанавливает зависимость между функцией ß1 (е) :— ß* + ß]_(e), малым параметром е и амплитудой c*_1 порождающего решения z0(t,c*_1). Здесь

r(zo(s,c*-1) + ^1(s,e),zo(s - А,c*-1) + s - А,е),е) :—

— [ß* А + A1(s)Ms, е) + [ß* В + AA1(s)Ms - А, е)+

+ eß*Z(zo(s, c-) + С1 (s, e),zo(s - А, c*-1) + - А, e), e).

Первое приближение ß1(e) определяет первое приближение T1(e) — Т(1 + eß1(e)) к искомому периоду T(e) решения задачи (1). Второе приближение х2(т,е) к решению Т-периодической задачи для уравнения (5) ищем, как Т периодическое решение системы

(1х2(т, е)/dt — Ах2(т, е) + Вх2(т - А,е) +

+ В{[Zo(T - Ü1(e),c*-1)+ х1(т - ^1(е),е)] - [Zo(T - А,4-1) + х1(т - А,е)]}+ + eß1(e){A[zo(T, c*-1) + х2(т,е)] + B[zo(t - А, c*-1) + х2(т - А,е)]}+ + е(1 + eß1(e)){Z(zo(t, c*-1),zo(t - А, c*-1), 0) + А1(т)х2(т, e) + Aa1(t)х2(т - А, e) + + еА2(т) + R(zo(t,c*-1) + х1(т,е),го(т - Ü1(e),c*-1) + х1(т - {h(e),e),T,e)}; (10)

здесь

П1(е) := т+тт -

Обозначим (п х й2)-матрицу

ф2(т ) = [ф21)(т) Ф22)(т) ... Ф(22\т)]. Приближение к решению Т-периодической задачи для системы (10) ищем в виде

х2(т,е):= £1(т,е) + {2(т,е), &(т,е) ъ ф2(т)с2(е), с2(е) £ При условии невырожденности ёе^Г(ф2(0, е)] = 0 матрицы Грама

Г(ф2(-),е)- Г Ф*2(г,е) ■ Ф2(г,е) dr

J0

находим вектор

€2(е)- -e ■ [Г(ф2(-),е)]-1 ■ i Ф2(г,е)х

J0

х g(zo(r,c*_i) + £i(r,e),zo(r - Qi(e),c*_i) + £i(t - Qi(e),e),e) dr,

определяющий наилучшее (в смысле наименьших квадратов) второе приближение к решению Т-периодической задачи для уравнения (5). Здесь

Ф2(т, е) = (1+ ев 1(е)){[А + еА1(т)ф(т) + [В + еА^(т)]фъ(т - А)} - ф'2(т)

— (п х й2)-матрица,

д(го(т,с*-1) + £1 (т,е),го(т - ^(е),с*-1) + ^(т - ^(е),е),е) :=

= В {[го (т - П1(е),с**-1) + х1(т - П1 (е),е)] - [го(т - А, с—) + х1(т - А, е)]}+

+ е@1(е){А[хо(т, с*—1) + х1(т,е)] + В[го(т - А,с*-1) + х1(т - А,е)]}+ + е2р1(е)^(го(т, с*-{),го(т - А, с—), 0) + А1(тШт, е) + А^(тШт - А, е) + + еА2(т) + К(го(т, с*—1) + х1(т, е),го(т - ^1(е),с*—1) + х1(т - 0,1(е),е),т,е)}.

Из условия разрешимости периодической задачи для автономной системы (1) в случае Рв* = 0 находим второе приближение

р2(е) = -В+ • Г Н*(з) • г(г2(з,е),г2(з - ^(е),е),е) йз, о

которое устанавливает зависимость между функцией в2(е) := в*+02(е), малым параметром е и амплитудой с*_1 порождающего решения го(т,с*Функция в2(е) определяет второе приближение Т2(е) = Т(1 + ев2(е)) к искомому периоду Т(е) решения задачи (1), а также замену независимой переменной Ь2 = т(1 + ев2(е)). Продолжая рассуждения, предположим, что найдено приближение

х]+1(т, е) ъ £1(т,е)+ ... + £^(т, е), £^(т, е) = ф (т )с3 (е), с3 (е) £

к решению Т-периодической задачи для уравнения (5) и приближение ßj(e) к функции ß(e); здесь

ji(T) = j(T) (т) ... vj\r)], j = 1, 2, ...

— (1 х й.,+1)-матрица. Следующее приближение к решению Т-периодической задачи для уравнения (5) ищем в виде

Xj+2(T,e) и + ... + Cj+2(T,e), C3+2(T,e) = ф(T)c3+2(e), c3+2(e) € Rk'+2;

здесь

ф3+2(т) = j(T) Ф%(т) ... ф{+1(т)]

— (1 х ßj+2)-матрица. Предположим, что приближение Zj+1(T,e) принадлежит области определения функции Z(z(t, e), z(t — Q(e), e), e) и не является искомым решением задачи (3). При условии невырожденности (kj+2 х kj+2)-матрицы Грама

r(Vj+2(-),e) = Г j2(T,e) ■ Sj+2(T,e) dT

Jo

находим вектор

Cj+2(e) = —e ■ [r(Vj+2(-),e)]-1 ■ Г Ф*+2(т^)х

o

x {ß(zo(T,cj-1) + Xj+1 (t, e),zo(T — üj+i(e),cj-i) + Xj+i(T — üj+i(e),e),e) —

— g(zo(T,cj+ Xj(T,e),zo(T — Qj(e),cj-1) + Xj(т — Qj(e),e),e)} dT.

Здесь

(т, e) = (1 + eßj+1 (e)){[A + eA^T)}ф+2(т)+

+ [B + eAA1(T )}фэ+2(т — А)} — ф'+2(т)

— (n x kj+2)-матрица. Из условия разрешимости периодической задачи для автономной системы (1) в случае Pb*0 = 0 находим приближение

- 1'Т

ßj+2 (e) = — ■ Hj (s) ■ r(zj+2(S, e), Zj+2(s — Qj+1(e), e), e) dS, o

которое устанавливает зависимость между функцией ßj+2(e) := ß* + ßj+2(e), малым параметром e и амплитудой cj_1 порождающего решения z0(t,c*_1). Продолжая рассуждения, приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. При наличии кратных (det B0 = 0) корней уравнения для порождающих амплитуд (4) при условии PB*o = 0 критическая Т-периодическая задача для автономной системы (3) имеет по меньшей мере одно решение, представимое операторной системой (8) x(T,e) : x(^,e) € C 1[0, Т], х(т, ■) € C[0,eo], х(т, 0) = 0 и при e = 0 обращающееся в порождающее z0(t,c*-1). Система (1) имеет при этом по меньшей мере одно T(e)-периодическое решение z(t,e) : z(^,e) € C 1[0, T(e)], z(t, ■) € C[0,e0], при e = 0 обращающееся в порождающее z(t, 0) = z0(t,c*_1). Для построения решения Т-периодической задачи для автономной системы (3) при условии

det№j(0,e)]=0, j € N

применима итерационная схема

xi(r,e) - £i(r,e) ъ ipi(r)ci(e),

ci(e)- -e ■ №i(-),e)ri ■/ ^i(r,e){ß*[Azo(r,c*-i) +

Jo

+ Bzo(r - A, c*_i)] + (1 + eß*){Z(zo(r, c*_l),zQ{r - A, c*_{), 0) + eA2(r)}}dr,

ßi(e)-ß*+ßi(e), ßi(e) - -B+ i H*(s)x

Jo

x r(zo(s,c*-i) + £i(s,e),zo(s - A,c*—) + £i(s - A,e),e) ds; X2(r,e) - £i(r, e) + £2(r,e), £2(r,e) ъ ф2(т)c2(e), c2(e) €

c2(e)- -e ■ [r(^2(-),e)]-i ■ f Ф2(т^)х

o

x g(zo(r,c*_i) + £i(r,e),zo(r - Qi(e),c*_i) + £i(r - Qi(e),e),e) dr, (11)

ß2 (e)- -B+ ■ Г H* (s) ■ r(z2(s,e),z2(s - Qi(e),e),e) ds, ... ; o

Xj+2 (r, e) ъ £i(r,e)+ ... + £+2(t, e), £]+2(t, e) - ф(т )c+2(e), c+2 (e) € Rkj+2,

T

-i 1 Ф *

cj+2(e)- -e ■ [r(^j+2(-),e)]-i ■ i Ф*+2(r,e)

o

X {ß(zo(r,c*-i) + Xj+i(r, e),zo(r - Qj+i(e),c*-i) + Xj+i(r - Qj+i(e),e),e)-

- ß(zo(r,c*-i) + Xj(r,e),zo(r - Qj(e),c*+ Xj(r - Qj(e),e),e)} dr,

- Г

ßj+2(e) - -B+ ■ H*p (s) ■ r(zj+2 (s,e),zj+2(s - Qj+i(e),e),e) ds, o

ß3+2(e):-ß*+ß3+2(e), Qj+2(e) :- A

1+ е в3+2(еУ

С учетом замен независимой переменной = т(1 + ев^+2(е)) итерационная схема (11) определяет последовательность (е)-периодических приближений

г3+2 (г,е) = го(Ь,с*-1) + х+(1,е), Т3+2(е) = Т (1 + ев3+2(е))

к решению решения Т(е)-периодической задачи для автономной системы (1). Пример. Исследуем задачу о построении Т(е)-периодического решения

У(;е) £ С 1[0,Т(е)], у(г, •) £ С[0,ео], Т(0) = 2п уравнения типа Дюффинга с запаздыванием

г'(г,е) + г (г - П,е) = е • г3(г,е) (12)

в малой окрестности периодического решения порождающего уравнения

Z0 (т,е) + Zo (т - 2 =0.

п 2'

Характеристическое уравнение порождающей системы имеет простые чисто мнимые корни Л = ±г, определяющие общее решение

y(r,cr) = Hr(т)cr, Hr(т) = [ cosт sinт ] , cr G R2.

2-^-периодической задачи для сопряженного уравнения. Общее 2-^-периодическое решение порождающего уравнения

zo^,^) = Xr(т)cr, cr := (с^,^) G R2, Xr(т) = [ cosт sinт ]

фиксацией начала отсчета независимой переменной приводится к виду zo(т, cr-\) = cr-i ■ cos т. Оставляя только одну линейно-независимую строку уравнения для порождающих амплитуд (4), получаем эквивалентное выражение

Fp(cr-i,ß) = (3c— - 4ß) = 0,

имеющее кроме нулевого (с*=0 € R1) бесконечное множество нетривиальных решений, например,

1 3

с* = — в * = Cr-1 10' в 400 •

Этому корню соответствует вырожденная матрица Bo и невырожденная матрица

п

B = -10 = 0'

следовательно в задаче о построении периодического решения уравнения (12) типа Дюф-финга с запаздыванием имеет место частный критический случай. Для первого шага итерационной схемы (11) положим ф1(т) = [cos 3т cos 5т ]. Матрица Грама, соответствующая порождающему решению z0(t,c*_1) = с*_1 ■ cosт невырождена, при этом

Ы, г / 1 3е £ ,

Т'Е) К> £ • \ (-----\--) • COS 3т+

' ; u 16 000 5 120 000 4 551 111 111

+ (-—--\--£-) ■ cos 5т}.

25 600 000 568 888 8887 ;

Первое приближение в1(£) к функции (в(е) определяет итерационная схема (11)

3£ 13 27£

ш= в * + Ш, в1(£) - 40 ■ (Т6000 + 25 600 000 +

£2 £3 £4 ) \ 210 051 282 + 121 362 962 963 + 44 810 940 222 847''

Таким образом, найдено T1(£) = 2п(1 + £в1(£))-периодическое первое приближение к решению уравнения Дюффинга с запаздыванием

Z1(T'£) = Zo(T'C* + Х1(Т'£)' Х1(Т'£) — Т, £).

Для оценки точности найденных приближений к периодическому решению уравнения

Дюффинга с запаздыванием определим невязки нулевого

Ао(е) := П(т, с*-1) + zo(t - А, c*r-1) - е ■ (zo(t - А, е*г-1))3||с[0;2^|

и первых приближений

Ai(е) := ^(т, е) + (1 + евr){zi(T - А,е) - е ■ (zi(t - А,е))3}||С[0;2.|,

Aie(е) := П(т,е) + (1 + евi(е))Ыт - А,е) - е ■ (zi(t - А,е))3}||с[0;2^]-

Положив е = 0,1 , имеем

Ао(е) ъ 0, 0001, Аг(е) ъ 6, 09 571 ■ 10-8, А1в(е) ъ 6,88 689 ■ 10-11-

При е = 0, 01 невязки имеют вид

Ао(е) ъ 0,00 001, А1(е) ъ 6,09 395 ■ 10-10, А1в(е) ъ 6,88 674 ■ 10-14-

Список цитируемых источников

1. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. — М. Наука., 1965. — 408 с.

2. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М. Мир., 1967. — 548 с.

3. БойчукА.А, ЧуйкоС.М. Периодические решения нелинейных автономных систем с запаздыванием в критических случаях // Докл. АН Украины. 1991 № 9. С. 9 — 13.

4. Митропольский Ю.А., Мартынюк Д.И. Лекции по теории колебаний систем с запаздыванием. — К.: Изд-во Киев. ун-та, 1969. — 309 с.

5. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздыванием. — М.: Гостехиздат, 1951. — 256 с.

6. РубаникВ.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. — М.: Наука, 1969. — 287 с.

7. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М. Мир., 1984. — 424 с.

8. Чуйко С.М., Чуйко Ан.С. О приближенном решении периодических краевых задач с запаздыванием методом наименьших квадратов // Динамические системы.- 2010.- 28, С. 133-140.

9. ЧуйкоС.М., Чуйко Ан.С. О приближенном решении автономных нетеровых краевых задач методом наименьших квадратов // Динамические системы. — 2011. — 29, С. 103 — 111.

10. ЧуйкоС.М., Старкова О.В., Чуйко Ан.С. Автономная нетерова краевая задача в частном критическом случае // Комп. исследов. и моделирование. — 2011.— 3. — №4. — С. 337 — 357.

11. Эльсгольц Л.Э. Некоторые свойства периодических решений линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с отклоняющимися аргументами. — Вестник МГУ. Сер. ма-тем., мех., астроном., физ., химия. № 5. - 1959. - 229 - 234.

12. Boichuk A., Chuiko S. Autonomous weakly nonlinear boundary value problems in critical cases // Differential Equations. - 1992.- № 10, P. 1353 - 1358.

13. BoichukA.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems.— Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 pp.

14. Chuiko S.M. On approximate solution of boundary value problems by the least square method. // Nonlinear Oscillations (N.Y.) — 11. — 2008. № 4, P. 585 — 604.

15. Chuiko S.M. A weakly nonlinear boundary value problem in a particular critical case // Ukr. Math. Zh. 2009. — 61. — № 4. — P. 548 — 562.

16. Chuiko S.M., Chuiko A.S. On the approximate solution of periodic boundary value problems with delay by the least-squares method in the critical case // Nonlinear Oscillations (N.Y.) — 14. — 2012. № 3. С. 445 — 460.

17. Chuiko S.M., Starkova O.V. On the approximate solution of autonomous boundary value problems by the least square method // Nonlinear Oscillations.- 12.- 2009. № 4. С. 556 - 573.

Получена 04.11.2013