О приближении значений гипергеометрических функций специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и Математическое

моделирование

Сетевое научное издание УДК 511.361

О приближении значений гипергеометрических функций специального вида

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. 2017. №6. С. 83-94.

Б01: 10.24108/шаШш.0617.0000091

Представлена в редакцию: 03.12.2017 © НП <<НЭИКОН>>

1 а

Иванков П. Л.1'

[email protected] 1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

В работе используется эффективный метод построения линейной приближающей формы, причём специфика рассматриваемых функций позволяет предложить новый вариант такого построения. Для получения арифметического результата (оценки снизу модуля линейной формы с целыми коэффициентами от значений рассматриваемых функций) предварительно с помощью специального технического приёма доказывается линейная независимость соответствующих функций над полем рациональных дробей. Мы рассматриваем целые гипергеометрические функции, однако с соответствующими изменениями изложенные соображения могут быть использованы и для обобщения некоторых результатов об арифметической природе значений сумм гипергеометрических рядов, имеющих конечный радиус сходимости.

Ключевые слова: обобщенные гипергеометрические функции; линейная приближающая форма; оценка линейной формы

Введение

Один из методов исследования арифметической природы значений обобщенных гипергеометрических функций основан на эффективном построении линейной приближающей формы с большим (часто максимально возможным) порядком нуля при х = 0. При этом во многих случаях приходится доказывать линейную независимость этих функций над полем рациональных дробей. Обе эти задачи рассматриваются в настоящей работе. Для функций вида (1) и (3) доказывается с помощью специального технического приема их линейная независимость (вместе с функцией, тождественно равной единице) над С(х), а затем новым способом строится функциональная линейная приближающая форма (другие методы построения такой формы см. [1, 2, 3]). Все это используется для получения соответствующего количественного результата.

1. Результаты

Пусть , , ..., щ — ненулевые попарно различные комплексные числа, а(х) = = (х + а)... (х + аг) и Ь(х) = (х + )... (х + вт) —многочлены из кольца С[х], 0 ^ г < т,

и а(х)Ь(х) = 0 при х = 1, 2,... В случае г = 0 будем считать, что а(х) = 1. Определим многочлены

) = 1, Хэ (V ) = (^ + А)... (V + в-1), 3 = 2, ..., т +1, и рассмотрим функции

V,

V а(Х)

Ру (*) = £ г^Х» П , к = 1, ...,*, 3 = 1, ..., т. (1)

V=0 х=1 Ь(х)

Пусть, далее, Л1, . .., Лд — отличные от 0, -1, -2, ... комплексные числа, и ни одна из разностей

а - вэ, а - Лх, вэ - Лг, Лк - Л12, г = 1,..., г, 3 = 1,...,т, ¡ММ = 1,...,д, ¡1 = ¡2, (2)

не является целым рациональным числом. Взяв произвольные неотрицательные целые рациональные числа т1, . .., тд, определим функции

^ 7V[,)V V а(х)

= £ПЩ- к =1.....№ = 1--(3)

Всюду в дальнейшем, когда мы будем говорить о линейной независимости над С (г) некоторой совокупности функций, мы будем иметь в виду линейную независимость этой совокупности вместе с функцией, тождественно равной единице.

Теорема 1. Пусть выполнены все перечисленные выше условия. Тогда совокупность функций (1) и (3) линейно независима над С(г).

Пусть I — мнимое квадратичное поле или поле рациональных чисел и пусть числа . .., ^ лежат в I. Предположим также, что корни многочленов а(х), Ь(х) и числа Ль ..., Лд рациональны.

Теорема 2. Пусть выполнены все перечисленные выше условия (включая условия теоремы 1) и пусть Нкэ, , к = 1, ..., ¿, 3 = 1, ..., т, I = 1, ..., д, щ = 1, ..., тх, — нетривиальный набор целых чисел из поля I. Тогда

I / т д т

Н0 + £ I £ НЪ (1) + £ £ НЙХ№ (1)

к=1 \э=1 Х=1 № = 1

'У

> Н-4(т+Т1п1п(Н+2)

где

Т = Т1 + ... + Тд , (4)

7 > 0 — константа, зависящая от параметров функций (1) и (3), Н0 € Ъ\ и

Н = шах(\likj |, | НЫ№ \, к = 1,... ,Ь, 3 = 1,... ,т, I = 1,... ,д, щ = 1,... ,тх) .

2. Линейная независимость функций

Докажем, что (при выполнении условий теоремы 1) функции (1) и (3) линейно независимы над полем С (г). Для этого рассмотрим вспомогательные функции

где

Л(х) = П (х + Лг )Т1. 1=1

В работах [4, 5] установлено, что если выполняются условия теоремы 1, то функции

ф£°, к = 1,...,*, в = 0, 1, ..., т + Т - 1, (5)

линейно независимы над С (г); число Т определяется равенством (4). Пользуясь этим, можно доказать линейную независимость над С(г) и функций (1) и (3). Наряду с функциями (5) рассмотрим также функции

оо

а(х)А(х — 1) и=о х=1 Ь(х)А(х)

Ф**(г) = Е г"^^5 П ^тЯг^, (6)

где индексы к и в принимают указанные в (5) значения. Легко видеть, что линейная независимость над С (г) функций (6) равносильна линейной независимости над этим полем функций (5). Поэтому при выполнении условий теоремы 1 функции (6) также линейно независимы.

Пусть

Л^ И = (^ + Лг )-№ А(^), I = 1,...,д,щ = 1, ..., гг. (7)

Лемма 1. Если числа Ль ..., Л9 попарно различны, то многочлены (7) вместе с многочленами X] (^)Л(^), ] = 1, ..., т, линейно независимы над С.

Доказательство. Если бы тождественно по V выполнялось равенство

9 Т т

Е Е ^(^) + Ес]X](^)л(^) = о 1=1 №=1 ]=1

при некотором нетривиальном наборе коэффициентов с1№, С], то, разделив его на А(и), мы получили бы равенство, противоречащее стандартным теоремам о рациональных дробях (см., например, [6, с. 240-241, теоремы 2 и 3]). Противоречие возникает в связи с единственностью разложений, о которых идет речь в упомянутых теоремах. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда если функции (6) линейно независимы над С(г), то совокупность функций (1) и (3) также линейно независима над этим полем.

Доказательство. Запишем многочлены Хз (V )Л^) и ЛХ№ (V) в виде

Т+т-1 Т+т-1

Хз(V)Л^)= £ А^, Лх№(V)= £ Д^ (8)

5=0 5=0

и составим определитель порядка Т + т, 5-я строка которого составлена из коэффициентов при V5 в правых частях равенств (8). Из леммы 1 следует, что такой определитель отличен от нуля. Теперь, предполагая, что выполнены условия теоремы 1 (в частности, Л(0) = 0), напишем равенства, вытекающие из (1), (3) и (7):

(г) = Л0) £ г'ЧХз(V) ЛМ Д ^х^• (9)

**,<-->=л!) п а(х(лЛ(=)^- (10)

Отсюда и из (6) вытекает, что каждая из функций (1) и (3) является линейной комбинацией функций (5) с коэффициентами А^ и Ах№5, деленными на Л(0), причем составленный из этих коэффициентов определитель, как мы видели, отличен от нуля. Таким образом, линейная независимость над С(г) функций (6) влечет линейную независимость функций (1) и (3). Лемма доказана.

Из всего сказанного вытекает, что теорема 1 справедлива, а утверждение теоремы 2 эквивалентно аналогичному утверждению для функций (6). Для этих последних функций аналог теоремы 2 может быть получен с помощью соображений, изложенных в [3]. Основой упомянутых соображений является эффективное построение линейной приближающей формы вида

Ь Т+т-1

ВД + £ £ Рь(г)Ф^(г),

к=1 5=0

коэффициенты которой являются многочленами от г, причем эта форма должна обладать известными свойствами. Ниже для построения такой формы мы рассмотрим другой (отличный от предложенного в [3]) подход, который учитывает специфику функций (1) и (3).

3. Приближающая форма

Общим наименьшим знаменателем некоторого множества чисел X С I будем называть наименьшее натуральное число д, для которого дх € при любом х € X. Через 71, 72, ... будем обозначать положительные постоянные, зависящие от параметров функций (1) и (3), т.е. от чисел а^, вз, Лх и ик (а также в некоторых случаях и от поля I).

Пусть п — натуральное число, N = (т + Т)(п +1). Рассмотрим определенную при целых рациональных V ^ п +1 функцию

() 2пг Г Пк=1(С - ^кГ ,

где Г — положительно ориентированная окружность, охватывающая все полюсы подынтегральной функции. Ранее аналогичные функции рассматривались в работах [7, 8, 9]. Лемма 3. Функция ) обладает следующими свойствами:

1) ) = 0 при V = п + 1, ..., п + Ш - 1;

2) Ф(п + Ш) = 0;

г

3) Ф^) = иVВк(V), где Вк(V) — многочлены степени N — 1 с коэффициентами из I,

к=1

причем общий наименьший знаменатель их коэффициентов по модулю не превышает в71".

Доказательство. Первое утверждение леммы справедливо потому, что при указанных значениях V степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени знаменателя (и все особые точки подынтегральной функции лежат внутри контура интегрирования). Для того, чтобы убедиться в справедливости второго утверждения леммы, достаточно найти вычет подынтегральной функции относительно бесконечно удаленной точки; этот вычет, как легко видеть, отличен от нуля. Третье утверждение леммы легко проверяется с помощью теоремы Коши о вычетах. Лемма доказана. Теорема доказана.

Прежде чем двигаться дальше, докажем еще одно вспомогательное утверждение. Лемма 4. Пусть п — натуральное число, С^ (V), ] = 1, ..., т + Т, — линейно независимые над С многочлены, степени которых ограничены сверху числом т + Т — 1,

в—1 и—в

) = 6^ — ж)А^ — х) а^ — п + — п — 1 + х), 5 = 0, 1, ...,п. (11)

х=0 х=1

Тогда определитель, V-я строка которого составлена из чисел С^ (V — ), V = п +1, ...,

п + (т + Т)(п + 1), отличен от нуля.

Доказательство. В статье [10, лемма 1] вычислен определитель, аналогичный рассматриваемому в лемме 3, в случае, когда степени многочленов Cj (V) возрастают от нуля до максимально возможного значения. Это вычисление показывает, что в такой ситуации утверждение леммы справедливо, а тогда, как легко видеть, оно справедливо и во всех прочих случаях. Лемма доказана.

Пусть даны многочлены

ии

(г) = £л ры№(г) = £Рк^вик^ (12)

в=0 в=0

с неопределенными коэффициентами. Составим линейную форму

г / т 9 г\ ч те

Д(г) = Ро(г) + £ £ Р^(г) ^^(г) + £ £ РЫ№(г) ^(г) = £ с,г*, (13)

к=^ ^'=1 1=1 № = 1 v=0

и

где Р0(г) = Рвгв — многочлен, коэффициенты которого определяются в зависимости

в=0

от коэффициентов многочленов (12). Подберем затем коэффициенты многочленов (12) так,

чтобы в правой части (13) было

V—п V 1 п 1 4

С* = п а(х) П Шл П дТ^—^ Е V = п + 1,п + 2,..., (14)

х=1 х=1 Ь(Х) х=0 Л(^ - Х) к=1

где многочлены Вк(и) определены в лемме 3.

Лемма 5. Существуют многочлены (12) такие, что равенства (14) выполняются при всех указанных там значениях V.

Доказательство. Если воспользоваться равенствами (9), (10), то при V ^ п после очевидных преобразований коэффициент с* из правой части (13) запишется в виде

V—п V 1 п 1 4

с* = П а(х) П Ш П дТ^Г Е<4Як(V),

х=1 х=1 Ь(Х) х=0 Л(^ - Х) к=1

п , т Я Т ч

Як(V) = Е ^ Д Е РкззХ] (V — - 5) + Е Е (и — зи , 8=0 Xj=1 1=1 № = 1 У

а ) определяются равенством (11). Из леммы 5 и третьего пункта леммы 3 следует, что можно подобрать коэффициенты многочленов (12) так, чтобы тождественно по V выполнялось равенство

Як (V) = Вк (V). (15)

Ясно, что тогда и равенство (14) также будет справедливо (при указанных там значениях V). Лемма доказана.

Найдем явные формулы для коэффициентов многочленов (12), при которых будут выполняться равенства (14); такие коэффициенты, как мы видели, существуют. Для их определения запишем и преобразуем выражение для с, при V ^ п +1, которое получается с учетом (1), (3), (12) и (13). Имеем

V—п V 1 4

-■V

с, = П а(х)П гт^ Е <1 Бк(и),

х=1 х=1 Ь(х) к=1

п , т Я т 1

£к) = Е д ЕPkj8Xj(^ — з) + Е Е —-т-8=0 4 = 1 1=1 № = 1 (и + Л1 —

8—1 п—8

ф8(и) = Ц Ъ(и — х)П а(и — п + х).

ж=0 х=1

Очевидная проверка показывает, что равенство (15) равносильно равенству

Вк (V)

П — х)

Бк (V). (16)

ж=0

Поэтому, если взять в качестве pkj8 и рк1№8 именно те числа, существование которых было установлено в лемме 4, то (16) будет справедливо при всех вообще значениях V, при которых

это равенство имеет смысл. С другой стороны, легко видеть, что этим равенством числа ркза и Рк1ща определяются однозначно.

В самом деле, если при фиксированных в и I умножить (16) на (у + Лг — в)Т1-1 и проинтегрировать получившееся равенство по положительно ориентированной окружности 7р1а: |у + Лг — в| = р, где р — достаточно малое положительное число, то мы получим (после деления обеих частей на 2пгф(—Лг + в)), что

= 1 1 Г В;(у)(у + Лг — в)Т1-Чу (17)

Рк1Т1а Фа ( Лг + в) 2пг У П=1 ПП=о(у + Лг — в)Т* ' (17)

На следующем шаге умножим (16) на (у + Лг — в)Т1-2 и проделаем то же самое. В результате получим равенство, из которого можно найти коэффициент ркг,Т1-1,а — он будет выражаться через найденный на предыдущем шаге коэффициент ркгпа и интеграл, аналогичный интегралу из правой части (17), но с заменой показателя степени в числителе подынтегрального выражения на тг — 2. Ясно, что действуя и дальше по этой схеме, мы найдем все коэффициенты Ркг^а.

После того как все числа ркг№а определены, можно определить и коэффициенты ркза. Сначала заметим, что если упомянутые числа определить указанным выше способом, то

Вк (V) ^^ Фа (у)

п / у / у / у гкьща / л

П Л(у — ж) а=о г=1 №=1 (у + Лг — в)№

х=0

будет рациональной функцией от у без особых точек, т.е. многочленом. В [3] доказано (см. также [11, 10]), что (16) будет выполняться тождественно по у, если положить

рк8 = — / К'а(у )^(У (18)

к3а 2П Г Х3+1(у — в)фа(у) '

где к = 1, ...' ¿, 3 = 1, ..., т, в = 0, 1, ..., п, х^+1(у) = Ь(у),

1, в = 0

ЗС) =

3

"^пХпУ

Е — в)

и=1 / А

в = 0;

а« — в + 1) при этом числа §и определяются равенством

а«) = £ $иХи(С — 1),

и=1

которое должно выполняться тождественно по (. Через Г в (18) обозначен положительно

п

ориентированный кусочно гладкий контур, охватывающий все нули многочлена П Ь(у — ж)

п х=0

и такой, что все нули многочлена П а(у — п + ж) лежат в его внешности. Существование

х=1

контура Г обеспечивается условием а — вз Ф

4. Замечания по поводу доказательства теоремы

n

Положим P0(z) = — ^ cszv, где коэффициенты cs, s = 0, 1, ..., n, определяются равен-

s=0

ством (13), в котором в качестве pkjs и pkl№s взяты числа, полученные с помощью описанной выше процедуры. Таким образом мы получим линейную форму вида (13), причем мы будем располагать явными формулами для коэффициентов многочленов (12). Равенство (14) и перечисленные в лемме 2 свойства функции Ф(и) позволяют утверждать, что построенная линейная форма имеет при z = 0 нуль порядка n + tN. Используя стандартную вычислительную процедуру, можно убедиться в том, что модули значений многочленов (12) при z = 1 оцениваются сверху величиной (n!)m-reY2n; оценкой модуля общего наименьшего знаменателя этих многочленов служит величина eY3n. Нетрудно убедиться и в справедливости неравенства R(1) ^ (n!)-(m-r)TeY4n (нужно использовать то обстоятельство, что форма R(z) имеет большой порядок нуля при z = 0). Все эти соображения показывают, что построенная функциональная линейная приближающая форма позволяет осуществить рассуждения, предусмотренные классической схемой Зигеля. По ходу указанных рассуждений понадобится и доказанная выше линейная независимость рассматриваемых функций. В конечном итоге мы получим утверждение теоремы 2. Подробности мы не приводим, так как это почти дословно воспроизводит значительную часть содержания главы 3 книги [12].

Заключение

В настоящей работе не рассматривается случай deg a(x) = deg b(x). Используя полученные эффективные конструкции, можно обобщить некоторые полученные ранее различными авторами результаты из этой области исследований; в особенности это относится к результатам об арифметической природе значений полилогарифмов [13, 14, 15]. Изучение случая, когда некоторые из корней многочлена b(x) иррациональны, также может привести к получению новых результатов, но здесь, по-видимому, лучше использовать так называемые совместные приближения; применение эффективных конструкций к гипергеометрическим функциям с иррациональными параметрами см., например, в [15].

Список литературы

1. Фельдман Н.И. Об одной линейной форме // Acta Arithmetica. 1972. Vol. 21. Pp. 347-355. DOI: 10.4064/aa-21-1-347-355

2. Галочкин А.И. Оценки снизу линейных форм от значений некоторых гипергеометрических функций // Математические заметки. 1970. Т. 8, № 1. С. 19-28.

3. Иванков П.Л. Об арифметических свойствах значений гипергеометрических функций // Математический сборник. 1991. Т. 182, №2. С. 283-302.

4. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms // New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-214. DOI: 10.1017/ CBO9780511897184.013

5. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions // Moscow J. of Combinatorics and Number Theory. 2011. Vol. 1, iss. 2. Pp. 27-32.

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Основы алгебры: учебник. М.: Физматлит; Наука, 1994. 318 с.

7. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. I // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика.

1978. №6. С. 25-32.

8. Галочкин А.И. О диофантовых приближениях значений некоторых целых функций с алгебраическими коэффициентами. II // Вестник МГУ. Сер. 1: Математика, механика.

1979. №1. С. 26-30.

9. Василенко О.Н. О приближении гипергеометрических функций и их значений // Дио-фантовы приближения. Ч. 1. М.: Изд-во МГУ, 1985. С. 10-16.

10. Иванков П.Л. О линейной независимости значений некоторых функций // Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1, № 1. С. 191-206.

11. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений гипергеометрических функций // Диофантовы приближения. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 34-41.

12. Шидловский А.Б. Трансцендентные числа. М.: Наука, 1987. 447 с.

13. Василенко О.Н. О линейной независимости значений некоторых функций // Диофантовы приближения. Ч. 2. М.: Изд-во МГУ, 1986. С. 3-12.

14. Василенко О.Н. Арифметические свойства значений полилогарифмов // Вестник МГУ Сер. 1: Математика, механика. 1985. № 1. С. 42-45.

15. Иванков П.Л. Оценки снизу линейных форм от значений функции Куммера с иррациональным параметром // Математические заметки. 1991. Т. 49, №2. С. 55-63.

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal http://mathmelpub.ru

Mathematics and Mathematical Modeling, 2017, no. 6, pp. 83-94.

DOI: 10.24108/mathm.0617.0000091

Received: 03.12.2017

© NEICON

On Approximation of Hyper-geometric Function Values of a Special Class

Ivankov P. L.1'*

[email protected] 1Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: generalized hyper-geometric functions, linear approximating form, estimate of linear form

Investigations of arithmetic properties of the hyper-geometric function values make it possible to single out two trends, namely, Siegel's method and methods based on the effective construction of a linear approximating form. There are also methods combining both approaches mentioned. The Siegel's method allows obtaining the most general results concerning the abovementioned problems. In many cases it was used to establish the algebraic independence of the values of corresponding functions. Although the effective methods do not allow obtaining propositions of such generality they have nevertheless some advantages. Among these advantages one can distinguish at least two: a higher precision of the quantitative results obtained by effective methods and a possibility to study the hyper-geometric functions with irrational parameters.

In this paper we apply the effective construction to estimate a measure of the linear independence of the hyper-geometric function values over the imaginary quadratic field. The functions themselves were chosen by a special way so that it could be possible to demonstrate a new approach to the effective construction of a linear approximating form. This approach makes it possible also to extend the well-known effective construction methods of the linear approximating forms for poly-logarithms to the functions of more general type.

To obtain the arithmetic result we had to establish a linear independence of the functions under consideration over the field of rational functions. It is apparently impossible to apply directly known theorems containing sufficient (and in some cases needful and sufficient) conditions for the system of functions appearing in the theorems mentioned. For this reason, a special technique has been developed to solve this problem.

The paper presents the obtained arithmetic results concerning the values of integral functions, but, with appropriate alterations, the theorems proved can be adapted to the case of the hyper-geometric series with a finite radius of convergence. Subsequently, it will be possible to consider also a case of the irrational parameters, but there are still a number of difficulties, which are specific for the problems of such type and which are to be overcome.

References

1. Feldman N.I. About one linear form. Acta Arithmetica, 1972, vol.21, pp. 347-355. DOI: 10.4064/aa-21-1-347-355 (in Russian)

2. Galochkin A.I. A lower bound for linear forms in values of certain hypergeometric functions. Mathematical Notes, 1970, vol. 8, no. 1, pp. 478-484. DOI: 10.1007/BF01093438

3. Ivankov P.L. On arithmetic properties of the values of hypergeometric functions. Mathematics of the USSR-Sbornik, 1992, vol.72, no. 1, pp. 267-286. DOI: 10.1070/ SM1992v072n01ABEH001413

4. Galochkin A.I. On effective bounds for certain linear forms. New advances in transcendence theory. Camb.: Camb. Univ. Press, 1988. Pp. 207-214. DOI: 10.1017/ CBQ9780511897184.013

5. Galochkin A.I. Linear independence and transcendence of values of hypergeometric functions. Moscow J. of Combinatorics and Number Theory, 2011, vol. 1, no. 2, pp. 27-32.

6. Kostrikin A.I. Vvedenie v algebru: Osnovy algebry [Introduction to algebra: fundamentals of algebra]: a textbook. Moscow: FizmatlitPubl.; NaukaPubl., 1994. 318 p. (in Russian).

7. Galochkin A.I. On diophantine approximations of values of certain entire functions with algebraic coefficients. I. Vestnik MGU. Ser. : Matematika, mekhanika [Vestnik MSU. Ser. 1: Mathematics, mechanics], 1978, no. 6, pp. 25-32 (in Russian).

8. Galochkin A.I. On diophantine approximations of values of certain entire functions with algebraic coefficients. II. Vestnik MGU. Ser.: Matematika, mekhanika [Vestnik MSU. Ser. 1: Mathematics, mechanics], 1979, no. 1, pp. 26-30 (in Russian).

9. Vasilenko O.N. O priblizhenii gipergeometricheskikh funktsij i ikh znachenij [On approximation of hypergeometric functions and their values]. Diofantovy priblizheniia [Diophantine approximation]. Pt. 1. Moscow: MSUPubl., 1985. Pp. 10-16 (in Russian).

10. Ivankov P.L. On the linear independence of the values of some functions. Fundamen-tal'naia i prikladnaia matematika [Fundamental and Applied Mathematics], 1995, vol. 1, no. 1, pp. 191-206 (in Russian).

11. Ivankov P.L. Otsenki snizu linejnykh form ot znachenij gipergeometricheskikh funktsij [Lower estimation of linear forms of values of hypergeometric functions]. Diofantovy priblizheniia [Diophantine approximation]. Pt. 2. Moscow: MSUPubl., 1986. Pp. 34-41 (in Russian).

12. Shidlovskij A.B. Transtsendentnye chisla [Transcendental numbers]. Moscow: NaukaPubl., 1987. 447 p. (in Russian).

13. Vasilenko O.N. O linejnoj nezavisimosti znachenij nekotorykh funktsij [On linear independence of values of certain functions]. Diofantovy priblizheniia [Diophantine approximation]. Pt. 2. Moscow: MSUPubl., 1986. Pp. 3-12 (in Russian).

14. Vasilenko O.N. Arithmetic properties of values of polylogarithms. Vestnik MGU. Ser.: Matematika, mekhanika [Vestnik MSU. Ser. 1: Mathematics, mechanics], 1985, no. 1, pp. 42-45 (in Russian).

15. Ivankov P.L. Lower bounds for linear forms in the values of Kummer functions with an irrational parameter. Mathematical Notes, 1991, vol. 49, no. 2, pp. 152-157. DOI: 10.1007/BF01137545