О приближении и восстановлении непрерывных функций с краевыми условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

5. Khromova G. V. Error estimates of approximate solu- 6. Khromova G. V. On the approximate solutions of tions to equations of the first kind. Doklady Math.. 2001, the Abel's equation. Vestnik Moskovskogo universiteta. vol. 63, no. 3, 390-394. Ser. 15, 2001, no. 4, pp. 5-9 (in Russian).

УДК 517.51

О ПРИБЛИЖЕНИИ И ВОССТАНОВЛЕНИИ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

О. И. Шаталина

Специалист отдела расчетных операций, Локо-Банк, Саратов, [email protected]

В работе приведено семейство интегральных операторов, с помощью которых получаются равномерные приближения к непрерывной функции, удовлетворяющей краевым условиям (при этом указанные приближения удовлетворяют тем же условиям), и решена задача типа Колмогорова-Никольского на некотором компактном классе. Кроме того, с помощью полученного семейства интегральных операторов решается известная задача из теории некорректно поставленных задач, так называемая задача восстановления непрерывной функции по ее среднеквадратичному приближению.

Ключевые слова: функционал Тихонова, семейство интегральных операторов, некорректно поставленная задача, задача типа Колмогорова-Никольского, равномерные приближения.

1. Пусть непрерывная функция u(x) удовлетворяет краевому условию:

U(u) = ßiu(0) + ß2u(1) = 0, ß\ + > 0. (1)

Получим равномерные приближения к u(x), используя модификацию функционала Тихонова, известного в теории некорректно поставленных задач [1], а именно рассмотрим функционал

Ma[u,u] = Иu - U|||2 + a||u||W2i, (2)

( i \l/2

где a > 0 — параметр, ||u||W;i = ( J(pu2 + (qu')2) dx I , p, q — положительные константы. Это

так называемый тихоновский функционал, но в данном случае он связывается не с интегральными уравнениями 1-го рода, как у А. Н. Тихонова, а с простейшим уравнением 1-го рода — уравнением с оператором вложения из пространства C[0,1] в пространство L2[0,1]. При этом будем считать допустимыми функциями функции, удовлетворяющие условию (1).

Обозначим через ua(x) — функции, минимизирующие функционал (2) при каждом фиксированном значении a. Существование этих функций при каждом фиксированном a доказывается точно так же, как в классической постановке А. Н. Тихонова [2].

Лемма 1. Минимизирующие функции ua (x) при каждом фиксированном a являются решением краевой задачи:

'-qy'' + (p + a )у = au

< 0iy(0) + 02y(1)=0, (3)

J2 y'(0) + ei y'(1)=0. Доказательство. Рассмотрим функционал (2) и его приращение

AMa [u, U] = Ma[ua + вп, U] - Ma[ua, U],

где n(x) <E W2l[0,1] и удовлетворяет условию (1), в > 0 — произвольное вещественное число. Сделав необходимые преобразования, учитывая свойства скалярного произведения, получаем:

AMa [u, u] = 2в {(ua - u, п)ь2 + a(ua, n)w¡} + в2 {||п|Ц2 + a||n|| W } • Приравнивая линейную часть приращения функционала к нулю, получаем:

(ua - u,n)L2 + a(ua,n)w„i = 0. (4)

Преобразуем (4), переходя от скалярного произведения в пространстве Ж1 к скалярному произведению в пространстве Х2:

(иа — и + ариа, п]ь2 + ад(иа , п')ь2 = 0.

Функция иа (х) принадлежит области определения функционала (2), поэтому существует производная (иа(х))'. Убеждаемся, что существует (иа(х))'' и выполняется условие

в2 (иа (0))' + в1 (иа (1))' = 0.

Учитывая краевое условие (1), приходим к задаче (3).

Обозначим через Та оператор, который каждой непрерывной функции и(х), удовлетворяющей условию (1), ставит в соответствие функцию, минимизирующую функционал (2).

Теорема 1. При каждом фиксированном а оператор Та имеет следующий интегральный вид:

1

Ка (х,Ь)й(Ь)^ = 0,

(5)

где

Ка (х,Ь) =

2а1 q

± бЬ а1 (х — Ь) +

Р(хЛв1 ,в2 ,а1) В(в1 ,в2 ,а1)

знак «+» соответствует случаю Ь < х, знак «—» — случаю Ь > х,

В(в1, в2, а1) = (в2 + в2) зЬ а1 + 2в1 в2,

Я(х, Ь, в1, в2, а1) = (в2 — в2) сЬ а1 бЬ а1 (х + Ь)+

+(в2 + в22) йЬ а1 сЬ а1 (х — Ь) — (в2 — в2) йЬ а1(х + Ь) сЬ а1

22

/Р , 1

а1 = А/ _ +--,

уд ад

в1, в2 — из условия (1), р, д — из определения функционала Ма[и, и].

Доказательство. Применим метод вариации произвольных постоянных для решения краевой задачи (3). Решение дифференциального уравнения ищем в виде суммы

у(х) = С1(х)еа1 х + С2 е-а1Х.

Для С1(х) и С2 (х) согласно этому методу справедлива система дифференциальных уравнений:

С1 (х)еа1 х + С2 (х)е-а1 х = 0, —дС1 (х)а1 еа1 х + дС2 (х)а1 е-а1 х = — и,

1 2 а1

решая которую находим

1 X

С (х) =--Г и(Ь)е-а1 * ^ + С?,

2а1д 0 1

1 X

С2(х) =- Г и(Ь)еа1* <И + С?,

2а1д о

С? и С? определяем из краевых условий задачи (3). Тогда решение у(х) теперь можно записать в виде

и(Ь) shаl(1 — Ь)в2(в1 + в2еа1 )х

X 1

у(х) =- й(Ь^а1 (Ь — хЫЬ + --———--т

о о

х(е-а1 (1-х) + е-а1 х) + ^ (1 — Ь)в1(в2 + в^1 )(е-а1(1-х) — е-а1 х)] ¿Ь.

Разбивая второй интеграл на сумму интегралов по отрезкам [0, х] и [х, 1] и перегруппировывая слагаемые получим:

х 1

у(х) = — Ка(х, Ь)и(Ь) ¿Ь +--Ка(х,Ь)и(Ь) ¿Ь

а1 а1

о х

отсюда получаем (5).

1

Та и =

а

1

Теорема 2. Для любой непрерывной функции и(х), удовлетворяющей условию (1), и семейства интегральных операторов Та имеет место сходимость

ЦТай - й||с[0,1] ^ 0 при а ^ 0.

Доказательство проводится в два этапа. Сначала предполагается, что и(х) £ [0,1] и применяется классическая (Тихоновская) схема: устанавливается что и(х) и иа(х) принадлежит одному и тому же компактному множеству, определяемому шаром в пространстве Соболева, откуда следует сходимость в этом случае [2]. Затем привлекается результат Г. В. Хромовой [3], согласно которому нормы ||Та ||с[ол] ^ С ограничены, откуда следует сходимость для любой непрерывной функции и(х).

2. Интегральный вид операторов Та позволяет решить задачу об определении скорости сходимости полученных приближений на некотором классе. Введем в рассмотрение класс функций:

Мв = {и £ С [0,1] : и (и) = 0, и = В0, |Н|ь2 < 1} ,

где В — интегральный оператор с ядром В(х,Ь), имеющим вид

'А, 0 < Ь < х,

В (х,Ь) =

-/2, х < Ь < 1 А1 (Та, Мв) = Бир { |Таи - и||с[0,1] : и £ МВ } .

(6)

(7)

и величину

и||с[0,1] : и

Для этого класса решаем задачу типа Колмогорова-Никольского. Эта задача нахождения точных по порядку а оценок верхних граней отклонения функций от их приближений на некотором классе. Классическая задача Колмогорова - Никольского состоит в получении асимптотически точных значений указанных граней. В теории приближений эта задача рассматривалась в случае периодических функций и операторов из теории рядов Фурье. Г. В. Хромовой было рассмотрено обобщение, а именно поставлена задача типа Колмогорова - Никольского — получение асимптотически точных оценок по а величины А1(ТаМв) для непрерывных функций, заданных на отрезке, и операторов из теории некорректно поставленных задач.

В частном случае при /2 = 0 и р = q = 1 поставленная задача решена в [4].

Теорема 3. Для класса функций Мв, в котором ядро В(х,Ь) имеет вид (6), справедлива двусторонняя асимптотическая оценка по а при а ^ 0:

/2С*а1/4 - (а) < А1 (Та,Мв) < в2С*а1/4 + ^(а),

где (а) = О(а), ^2 (а) = О(а), С * = q1/4, в = тах {/1 ,/2},

в1 + в2

'т1п(в1 ,в2), в1 в2 =0,

в =

1, в1 = 0 или в2 = 0.

Доказательство. Для оценок величины А1 (Та,Мв), определенной в (7), используем формулу из [5]:

/1 г 1 12 \ 1/2

А1 (Та,Мв )= вир 0<х<1

0

- Ка(х,С)В(С,Ь)^С - В(х, Ь)

¿Ь

/

Обозначим через У(х,Ь,а) = / Ка(х, £)В(£, тогда, вычисляя этот интеграл, получаем:

У (х, Ь, а) =

А1(х,Ь,/1 ,/2,а1)+ О(а) при Ь < х А2(х,Ь,/1 ,/2,а1)+ О(а) при Ь > х,

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2014. Т. 14, вып. 4, ч. 2 где , в2, а1) — из теоремы 1. Далее, имеем:

,в2,«1) = 2 д1 д-г Гв1 в(в1 ,в2,«1) - в!(в1 + АОэЬ«1 (1 - х)бь«1 г-

-в2(в1 + в2)еЬ «1 (1 - х)еЬ «1 г - в1 в2(в1 + в2)еЬ «1 (х - г)] ,

А2(х,г,в1 ,в2,«1) = 2 ъго О-Ч -в1 В(в1 ,в2,«1) + в2 (в1 + в2^Ь «1 (1 - г)эЬ «1 х +

+в22(в1 + в2)еЬ «1 (1 - г)еЬ «1 х + в1 в2(в1 + в2)еЬ «1 (х - г) . Подставляем полученный результат в интеграл

* = 0 о

1 - - 2 12

а

у(х, г, а) - в(х,г)

¿г,

обозначим его через У1 (х) и тогда, делая необходимые преобразования, получаем:

(в1 + в2)2 Г в4 в4

У1(х) = 2,„—;;-г < — (х еЬ2 а1 (1 - х) + (х - 1) бЬ2 а1 х) +—2 (х бЬ2 а1 (1 - х) + (х - 1) еЬ2 а1 х)+

В 2 (в1,в2 ,а1 Н^ 2

+ в1 в2 + 8ь а1х еЬ а1(1 - х) еЬ а1 + -в^ еЬ а1х бЬ а1(1 - х) еЬ а1 + в1^2 8ь а1 еЬ а1 (2х - 1)+ 2 2а1 2а1 2а1

+в3в2(х еЬа1 (2х - 1) + бЬ а1 х бЬ а1 (1 - х)) + в2в1 (-х еЬа1(2х - 1) + еЬа1х еЬа1 (1 - х))+

в2в2 в1в2

+ 12 бЬ а1 х бЬ а1 (1 - х) бЬ а1 +--[в? еЬ а1 (1 - х) бЬ а1 х + в2 еЬ а1 х бЬ а1 (1 - х)!

а1 а1

Представив все гиперболические функции через экспоненты, придем к выражению:

У () (в1 + в2)2 г (в4 - в4) ( )+ в4 ( )+ в24 ( ) + вг ( ^ 0( _2о, )ч У'(х) = (в2+I—а— (х) + 401 (х) + 401 ^ (х) + ют (х)/ (1+0(е 1 »,

где (х) = х е_2а1Х + (х - 1)е_2а1 (1_х), р2(х) = 1 - е_2а1 х + (х - 1)е_2а1(1_х) , (х ) = 1 + е_2а1Х -

_ е_2а1 (1-х)

Исследуем функции (х), ^2(х ), (х) на экстремум. Вводим в и в и получаем оценки сверху и снизу величины А1(Та,МВ), учитывая, что 1/а2 = да(1 + О(а)).

3. Рассмотрим случай, когда вместо точной функции и(х ) нам известна функция (х) такая, что ||и^ - и|| < 5. Поставим задачу получения по и$ и 5 равномерных приближений к и(х). Это известная задача из теории некорректно поставленных задач (так называемая задача восстановления непрерывной функции по ее среднеквадратичному 5-приближению). Общая постановка задачи восстановления для гильбертовых пространст дана в [6]. Задача восстановления функций на [а, Ь] из Х2 ^ С рассматривалась Г. В. Хромовой [7].

Поставленную задачу позволяет нам решить опять же интегральный вид операторов Та. Справедлива

Теорема 4. Для нормы интегрального оператора Та имеет место равенство

в2а_1/4

||Т"-с = ТЩГЖ^+0(а3/4),

асимптотическое по а при а ^ 0, где в = тах {в1 ,в2 }•

Доказательство. Норму оператора считаем, по следующей формуле:

1 (г 41/2

||Та||ь2-с = - тах К(х,г) ¿г | , (8)

а о<х<1 I о

где Ка (х, г) — из теоремы 1.

1

Вычисляем интеграл / КЦ(ж,£) и, представив гиперболические функции через экспоненты и

о

выполнив ряд преобразований, получаем:

К2(ж, = -—^^ [1 + р(ж, «1) + 0(е-а)1 , 4а3 д2

где

р(ж, «1) = |е-2а1(1-а:)(1 + 2а1(1 - ж)) - е-2"1 х(1 + 2аж)! .

Находим максимум по ж функции ^(ж, а1) на отрезке [0,1]. Тогда возвращаясь к формуле (8), получаем утверждение теоремы.

Теоремы 3 и 4 дают возможность решить задачу о получении точной по порядку оценки погрешности приближенных решений задачи восстановления функций на классе Мв и получить согласование а = а(8), обеспечивающее эту оценку.

Рассмотрим величину:

Д(8, Та, Мв)=вир{ ЦТа-ад - м||с[0,1] : и е Мв, Ум - ||ь2 < 8}.

Теорема 5. Справедлива двусторонняя ассимптотическая по 8, при 8 ^ 0 оценка С81/2 - К2(8) < Д(8,Та(.),Мв) < С81/2 + К1(8),

= 23/4 /2 (в1 + в2 )1/2 с = (/2 + 2/2 )(в1 + в2 )1/2 С1 (в2 + /2)3/4 ' с 2 4 (в2 + вЮз/4 '

а = а(8) = ||+в|, К(8)= °(81/2), , = 1 2-

Доказательство. Метод получения оценок погрешностей был разработан Г. В. Хромовой [8] на базе решения задачи типа Колмогорова - Никольского. Отправным моментом при доказательстве теоремы является известная оценка [8] для величины Д(8,Та,Мв), которая применительно к нашей задаче имеет вид

2(Д1 (Та,Мв)+ ||Та||^2-С8) < Д(8,Та, Мв) < Д1 (Та,Мв)+ ||Та||^2-с8.

Используя теорему 3 и теорему 4, получаем:

1 ( 1 в2С*а1/4 + ^ ^ 1/48-- - (а) ) < Д(8,Та,Мв) <

2\2^ ^(в2 + в22)1/2д1/4 к в;-

< в2 с * а1/4 + ^ в а-1/48 , + ^2 (а). (9)

" л/2(в2 + вЮ1/2«1/4

Обозначим через

/ \ 32^* 1/4 , /2а 1/48 ^(а) = в с а ' +--=—---—;-—.

^ ; ^2(в2 + в2 )1/2 ?1/4

Находим (а), приравниваем ее к нулю и находим зависимость а = а(8). Подставив найденное согласование в (9), приходим к утверждению теоремы.

1

Библиографический список

1. Тихонов А. Н• О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.

2. Васин В• В•, Иванов В• К•, Танана В• П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М. : Наука, 1978. 206 с.

3. Хромова Г• В• О тихоновской регуляризации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2001. Т. 1, вып. 2. С. 75-82.

4. Шаталина О• И• Оценка погрешностей приближенного решения задач восстановления функции на некотором компактном класе // Алгоритмический анализ неустойчивых задач. Уральск : Изд-во Уральск. федер. ун-та. 2011. С. 97-98.

5. Хромова Г• В• О модулях непрерывности неограниченных операторов // Изв. вузов. Математика. 2006. № 9 (532). С. 71-78.

6. Морозов В• А• О восстановлении функций методом регуляризации // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1967. Т. 7, № 4. С. 874-884.

7. Хромова Г• В• О задачах восстановления функций, заданных с погрешностью // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 1977. Т. 17, № 5. С. 1161-1171.

8. Хромова Г• В• Об оценках погрешности приближенных решений уравнений первого рода // Докл. АН. 2001. Т. 378, № 5. С. 605-609.

Approximation and Reconstruction of Continuous Function with Boundary Conditions

O. I. Shatalina

LOCKO-Bank, 72, Pugacheva str., Saratov, 410056, Russia, [email protected]

This work deals with a family of integral operators, which are used to get uniform approximations to continuous function with boundary conditions (stated approximations with the same conditions as well); the Kolmogorov- Nikolsky problem is solved on some compact class. Acquired problem from the theory of ill-posed problems (so-called problem of reconstruction of a continuous function using its mean-root-square approximation) is solved via the goal family of integral operators as well.

Key words: Tikhonov functional, family of integral operators, ill-posed problem, Kolmogorov-Nikolsky problem, uniform approximations.

References

1. Tikhonov A. N. The regularization of ill-posed problem. Dokl. Akad. Nauk, 1963, vol. 153, no. 1, pp. 49-52 (in Russian).

2. Ivanov V. K., Vasin V. V., Tanana V. P. Teoriya lineinykh nekorrektnykh zadach i ee prilozheniya [Theory of linear ill-posed problems and its applications]. Moscow, Nauka, 1978, 206 p. (in Russian).

3. Khromova G. V. On Tikhonov's regularization. Izv. Saratov Univ. (N.S.), 2001, vol. 1, iss. 2, pp. 75-82 (in Russian).

4. Shatalina O. I. Error estimate for the approximate solution of the problem of restoration of function on some compact class. Algoritmicheskii analiz neustoichivykh zadach [Algorithmic analysis of unstable problems], Uralsk, Publ. Ural Federal Univer, 2011, pp. 97-98 (in Russian).

5. Khromova G. V. On the moduli of continuity of unbounded operators. Russ. Math., 2006, vol. 50, no. 9, pp. 67-74.

6. Morozov V. A. On restoring functions by the regularization method. USSR Comput. Math. Math. Phys., 1967, vol. 7, no. 4, pp. 208-219. DOI: 10.1016/0041-5553 (67)90153-X.

7. Khromova G. V. Restoration of an inaccurately specified function. USSR Comput. Math. Math. Phys., 1977, vol. 17, no. 5, pp. 58-68. DOI: 10.1016/0041-5553(77) 90008-8.

8. Khromova G. V. Error estimates of approximate solutions to equations of the first kind. Doklady Math., 2001, vol. 63, no. 3, pp. 390-394.