О представлении ортосимметрических билинейных операторов в векторных решетках Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Октябрь-декабрь, 2005, Том 7, Выпуск 4

УДК 517.98

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОРТОСИММЕТРИЧЕСКИХ БИЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ВЕКТОРНЫХ РЕШЕТКАХ

А. Г. Кусраев

Семену Самсоновичу Кутателадзе на добрую память о «встрече на Эльбе» (24-29 июля 2005 года, Дрезден)

Если в векторной решетке зафиксировать положительно определенный биморфизм, то все регулярные ортосимметрические билинейные операторы представимы как суперпозиции линейных регулярных операторов с этим биморфизмом.

Цель настоящей заметки — установить один общий результат о представлении ор-тосимметрических билинейных операторов в векторных решетках: если зафиксировать положительно определенный биморфизм, то все регулярные ортосимметрические билинейные операторы представимы как суперпозиции линейных регулярных операторов с этим биморфизмом. Этот факт обобщает теорему 1 из [6] и лемму 4 из [7], но основан на ином подходе. Используются терминология и обозначения из [1]. Все рассматриваемые ниже векторные решетки считаются архимедовыми.

Возьмем векторные решетки Е и Е. Билинейный оператор Ь : Е х Е ^ Е называют ортосимметрическим, если х ± у влечет Ь(х, у) = 0 для любых х, у £ Е, см. [3, 5, 6]. Для положительного билинейного оператора Ь (Ь(х, у) ^ 0 при х, у £ Е+) в силу неравенства |Ь(х,у)| ^ Ь(|х|, |у|) ортосимметричность равносильна справедливости импликации х Л у = 0 ^ Ь(х, у) = 0 для всех х, у £ Е. Скажем, что оператор Ь положительно полуопределен, если Ь(х, х) ^ 0 для всех х £ Е. Если же, сверх того, из Ь(х, х) = 0 следует х = 0, то Ь будем называть положительно определенным. Множество всех орто-симметрических регулярных билинейных операторов из Е х Е и Е обозначим символом (Е, Е; Е). Пусть Ьг (Е, Е) — пространство всех регулярных линейных операторов из Е в Е. Ясно, что (Е, Е; С) и Ьг (Е, Е) — упорядоченные векторные пространства, в каждом из которых конусом положительных элементов служит множество положительных операторов. Теперь мы сможем сформулировать основной результат настоящей заметки.

Теорема. Пусть Е, Е и С — векторные решетки, причем С полна относительно сходимости с регулятором. Пусть (-, •) : Е хЕ ^ Е — положительно определенный решеточный биморфизм, причем подрешетка в Е, порожденная множеством |(х, у) : х, у £ Е}, совпадает с Е. Тогда для любого ортосимметрического регулярного билинейного оператора Ь : Е х Е ^ С — существует и притом единственный регулярный линейный оператор Ф := Фь : Е ^ С такой, что

Ь(х,у) = Фь«х,у)) (х,у £ Е).

© 2005 Кусраев А. Г.

Сопоставление Ь ^ Фь осуществляет изоморфизм упорядоченных векторных пространств БЬог(Е, Е; О) и Ьг(Е, О).

Доказательству предпошлем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Решеточный биморфизм Ь : Е х Е ^ Е ортосимметричен в том и только том случае, если он положительно полуопределен. В этом случае Ь(х, у) = Ь(у, х) для всех х,у £ Е.

< Пусть Ь — положительно полуопределенный решеточный биморфизм. Возьмем х,у £ Е и положим а := Ь(х,х), в := Ь(у,у) и 7 := Ь(х,у) + Ь(у,х). В силу положительной полуопределенности а + в — 1 = Ь(х — у,х — у) ^ 0. Если х Л у = 0, то Ь(х,у) ^ 0 и, поскольку Ь(х, •) и Ь(^,х) — решеточные гомоморфизмы, можем написать а Л Ь(х, у) = Ь(х, х Л у) = 0 и а Л Ь(у, х) = Ь(х Л у,х) = 0. Тем самым, а ± 7 и аналогично в ^ 7. Но тогда (а + в) ^ 7, и из неравенства а + в — 1 ^ 0 вытекает 7 = 0, стало быть, Ь(х, у) = Ь(у, х) = 0. Обратное верно для любого положительного Ь, так как из ортосимметричности Ь вытекает Ь(х,х) = Ь(х+,х+) + Ь(х-,х-). Последнее утверждение леммы следует из [6; следствие 2]. >

Лемма 2. Пусть Q — компактное хаусдорово топологическое пространство и Е — равномерно плотная подрешетка в С ^). Пусть О — векторная решетка, а О — ее порядковое пополнение. Для любого положительного ортосимметрического билинейного оператора Ь : Е х Е ^ О существует и притом единственная положительная счетно аддитивная квазирегулярная борелевская мера на Q х Q со значениями в О такая, что

Ь(х, у) = J х(в)у(г) (ц(в,г) (х,у £ Е)

ЯуЯ

и ц^ х Q \ А) = 0, где А := {(д, д) : д £ Q} — диагональ Q х Q.

< Существование меры ц, обеспечивающей указанное представление, показано в [2; предложение 1.7]. Используя лемму Урысона [4; теорема 1.5.10], можно показать, что ц(К) = 0 для любого компакта К С Q х Q \ А, см. [9; пример 2.3]. Так как Q х Q \ А открыто, то остается заметить, что в силу квазирегулярности ц имеем х Q \ А) = 8ир{ц(К) : К С Q х Q А, К — компакт} = 0. >

Лемма 3. Пусть линейный положительный оператор Т : Е ® Е ^ О таков, что билинейный оператор Т® : Е х Е ^ О ортосимметричен. Если Ти > 0 для некоторого 0 ^ и £ Е ® Е, то существует элемент е £ Е такой, что 0 < е ® е ^ и

< В силу свойств тензорного произведения Е ® Е (см. [8; пункт (ш) теоремы 4.2]) существует ео £ Е+, для которого и ^ ео ® ео. Пусть Ео — порядковый идеал в Е, порожденный элементом ео. Тогда Ео ® Ео — подрешетка в Е ® Е, порожденная множеством Ео ® Ео (см. [8; следствие 4.5]), и если То — ограничение оператора Т на Ео ® Ео, то билинейный оператор Ьо := То® : Ео х Ео ^ О положителен и ортосимметричен. В силу теоремы Крейнов — Какутани Ео можно считать равномерно плотной подрешет-кой решетки С(^) для некоторого компактного хаусдорфова пространства Q, причем Ео содержит константы и разделяет точки. В силу леммы 2 существует счетно аддитивная положительная квазирегулярная борелевская мера ц со значениями в порядковом пополнении О такая, что

Ьо(х,у)= у х(з)у(г) (ц(з,г) (х, у £ Ео). ЯуЯ

Более того, ^(Q х Q \ А) = 0. Если функция u G Eo <8 Eo обращается в нуль на А, то

Tu = J ud^ = J ud^ + J ud^ = 0,

QxQ QxQ\A A

что противоречит условию Tu > 0. Тем самым, u(q, q) > 0 для некоторого q G Q. Подберем e > 0 так, что открытое множество {(p, p') G Q х Q : u(p, p') > e} содержало в себе прямоугольник V х V для некоторой открытой окрестности V точки q. По лемме Урысона [4; теорема 1.5.10] существует непрерывная функция x : Q ^ [0,1] такая, что x(q) = 1 и x(p) = 0 для всех p / V. Ясно, что ex <Х> x ^ u. Так как Eo равномерно плотна в C(Q), то можно подобрать такую функцию e1 G E0, что |ei — ex + |11 ^ |l. Тогда e(x — |l) ^ e1 ^ e(x — ) ^ ex и для e := e+ G E0 будет 0 < e ^ ex, так как e1(q) = 4 = e(q). Тем самым, 0 <e <X> e ^ u. >

Приступим теперь к доказательству сформулированной теоремы.

< По теореме Д. Фремлина [8; пункт (i) теоремы 4.2] существует решеточный гомоморфизм ф : E ® E ^ F такой, что (■, •) = ф Так как ф(Е ® E) — подрешетка в F и содержит все элементы вида (x,y), то F = ф^ <8 E). Возьмем ортосимметричес-кий положительный билинейный оператор b : E х E ^ G. В силу свойств тензорного произведения по Д. Фремлину [8; теорема 5.3] существует и притом единственный положительный оператор T : E ® E ^ G, для которого T® = b. Если подберем линейный оператор Ф : F ^ G, для которого T = Ф о ф, то диаграмма

E х E

E ® E

^ G

коммутативна. В частности, b = Ф о (•, ■). Если f G F+, то в силу сюръективности ф имеем / = ф(u) для некоторого 0 ^ u G E ® E, поэтому Ф(/) = Tu ^ 0, т. е. Ф положителен. Единственность Ф вытекает из равенства Ф о ф = T. Итак, для существования Ф с указанными свойствами достаточно установить, что кег(ф) С ker(T). Так как ф — решеточный гомоморфизм, то u G кег(ф) в том и только в том случае, если |u| G кег(ф), поэтому можно ограничиться случаем положительного u G E® E. Если 0 ^ u / ker(T), то по лемме 3 можно подобрать 0 < e G E так, что e <Х> e ^ u. Но тогда 0 = ф^) ^ ф(e <Х> e) = (e, e), что противоречит положительной определенности (■, ■). Итак, кег(ф) С ker(T), что и требовалось.

Если теперь b — ортосимметрический регулярный билинейный оператор, то b = bi — b2 для некоторых 0 ^ bi,b2 G BLor(E, E; G). Согласно доказанному существует пара положительных операторов Ф1, Ф2 G Lr(F, G) такая, что b& = Ф& о (■, ■). Для Ф := Ф1 — Ф2 будет Ф G Lr(F, G) и b = Ф о (■, ■). Единственность Ф видна из того, что Ф оф = T1 — T2, где положительные операторы T1, T2 G Lr (E <8 E, G) однозначно определяются равенствами Tfc<8 = bk (k = 1, 2). >

Пусть L обозначает линейную оболочку множества {(ж, y) : ж, у £ Е}, а векторную решетку F := ф(Е ® E) обозначим символом (E).

Следствие 1. Справедливы следующие утверждения:

(1) L плотно в (Е) в том смысле, что для любых u £ (Е) и е > 0 существуют в0 £ Е и v £ L такие, что |u — v| ^ е(во, во);

(2) если 0 < u £ (Е), то существует элемент 0 < в £ Е, для которого

(в, в) ^ u.

< Утверждение (1) следует из [8; пункт (iii) теоремы 4.2], а (2) из леммы 3. >

Следствие 2. Пусть A — точная f-алгебра, Е — произвольная векторная подре-шетка в A, F — произвольная векторная подрешетка в A, порожденная множеством {жу : ж, y £ Е}, G — (г)-полная векторная решетка. Тогда для любого положительного ортосимметрического билинейного оператора b : Е х Е ^ G существует единственный положительный оператор Фь : F ^ G такой, что Ь(ж, у) = Фь(жу) (ж, у £ Е).

< Умножение в точной f-алгебре является положительно определенным решеточным биморфизмом. Поэтому достаточно взять в основной теореме (ж, у) := жу (ж, у £ Е). >

Можно убрать требование (г)-полноты G из условия следствия 2, но тогда Фь можно определить только на линейной оболочке L множества произведений {жу : ж, у £ Е}, см. [7; лемма 4]. Если же Е (г)-полна, то F совпадает с L, см. [7; лемма 8].

Пусть P и Q — экстремальные компакты, a — непрерывное отображение открыто-замкнутого множества Ро С P в Q, причем считаем, что a(Po) плотно в Q. Пусть Е — подрешетка в C^(P) и для в £ Е обозначим символом а*в функцию из C^(P) определяемую как в(а(р)) при p £ Po и обращающуюся в нуль на P \ Po. Зафиксируем слабую порядковую единицу w £ C^(P) и обозначим буквой F подрешетку в C^(P), порожденную множеством {адст*(в)ст*^) : в, f £ Е}.

Следствие 3. Для любого регулярного ортосимметрического оператора b : Е х Е ^ G существует единственный регулярный линейный оператор Фь : F ^ G такой, что

Ь(в, f )=Фь^а*(в)а*а)) fof £ Е).

Сопоставление b ^ Фь является изоморфизмом упорядоченных векторных пространств BLor (Е, Е; G) и Lr (F, G).

< Нужно применить основную теорему к биморфизму (в, f) := wa*^)a*(f). Положительная определенность обеспечивается тем, что a(Po) плотно в Q и w обращается в нуль лишь на нигде не плотном множестве. >

Литература

1. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы.—М.: Наука, 2003.—519 с.

2. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность // Владикавк. мат. журн.—2004.—Т. 6, вып. 1.—С. 59-70.

3. Кусраев А. Г., Шотаев Г. Н. Билинейные мажорируемые операторы / В кн.: Исследования по комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004.—C. 241-262.

4. Энгелькинг Р. Общая топология.—М.: Мир, 1986.—751 с.

5. Buskes G. J. H. M. Five theorems in the theory of Riesz spaces // In: Circumspice.—Nijmegen: Katholieke Universiteit Nijmegen, 2001.—P. 3-10.

6. Buskes G. J. H. M., van Rooij A. C. M. Almost /-algebras: commutativity and the Cauchy-Schwarz in equality // Positivity.—2000.—V. 4.—P. 227-231.

7. Buskes G. J. H. M., van Rooij A. C. M. Almost /-algebras: structure and Dedekind completion // Positivity.—2000.—V. 4.—P. 227-231.

8. Fremlin D. H. Tensor product of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.—1972.—V. 94.—P. 777798.

9. van Gaans O. W. The Riesz part of a positive bilinear from // In: Circumspice.—Nijmegen: Katholieke Universiteit Nijmegen, 2001.—P. 19-30.

Статья поступила 16 сентября 2005 г.

Кусраев Анатолий Георгиевич, д. ф.-м. н. г. Владикавказ, Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН и РСО-А E-mail: [email protected]