CC BY
85
УДК: 517.977
О ПРЕДЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССАХ В БИНАРНО УПРАВЛЯЕМОМ ОБЪЕКТЕ
© 2009 А. М. Фрумкин
доц. кафедры электротехники, электроники и автоматики, к.т.н., e-mail: [email protected]
Курский государственный технический университет
В статье определяются модель бинарно управляемого объекта и соответствующая классическая модель объекта с кусочно-непрерывным управлением. Формулируются условия близости бинарного и кусочно-непрерывного управлений, обеспечивающие асимптотическое приближение процесса, определяемого бинарным управлением, к процессу, определяемому кусочно-непрерывным управлением.
Ключевые слова. Фазовый поток, бинарное управление, управление, бинарно управляемый объект, управляемый объект, разметка промежутка, цикл бинарного управления, коэффициент заполнения импульса.
Если период широтно-импульсного регулирования мал по сравнению с временем протекания характерных переходных процессов в объекте регулирования, то свойства системы становятся близкими к свойствам некоторой системы непрерывного регулирования. Этот факт широко используется в инженерной практике [Волович 1992; Козаченко 1997]. При проектировании различных технических систем естественно возникает задача придать точный математический смысл описанной закономерности. В данной статье исследуются асимптотические свойства процесса в объекте регулирования, который описывается моделью двух эволюционных законов.
Опишем некоторые обозначения, используемые далее. Множество вещественных чисел обозначается буквой R. Набор целых чисел, заключенных между m и n (включая m,n), обозначается как m ,n. Тексты доказательств заключаются между значками 34. Возникновение противоречия обозначается значком g.
Модель двух эволюционных законов естественна, когда управление техническим объектом осуществляется путем циклических изменений его конфигурации. Примером такого объекта являются нагруженный импульсный стабилизатор напряжения или нагруженный синхронный генератор с импульсным регулированием напряжения. В обоих вариантах конфигурация задается положением управляемого ключа (состоянием силового транзистора), которое может устанавливаться регулятором по различным законам. При каждом положении ключа объект описывается соответствующей системой дифференциальных уравнений. Каждая из этих двух систем задает эволюционный закон (в терминологии теории динамических систем - фазовый поток [Арнольд 1975]). Эволюционный закон - это функция g, которая каждому состоянию x автономной физической системы в начальный момент наблюдения и каждому моменту времени t в промежутке наблюдения ставит в соответствие состояние системы в этот момент: g(x,t). Каждому положению ключа qe {0,1} соответствует свой собственный закон эволюции системы (обозначаемый далее gq), причем в моменты изменения положения ключа
состояние системы сохраняет свое значение. Формальная модель объекта может задаваться парой фазовых потоков g=(g0,g1) или парой векторных полей, порождающих
gq(x,t) - x lim —---------
потоки fq:xeX®x®0 1 (qe{0,1}). Управление объектом задается парой (q,t ),
где qe{0,1} - индекс фазового потока в начальном промежутке управления, t -последовательность (t 0,t 1,t 2,...) длительностей промежутков управления, в каждом из которых движение в одном и том же фазовом потоке сохраняется. При этом числа 0 1=t 0, 0 2=t 0+t 1, 0 3=t 0+t 1+t 2, ... - это моменты изменения закона эволюции
скачком. Можно было бы пару (q,t ) или пару (q,0 ) и назвать управлением. В данной статье объект формально определяется парой векторных полей, а управление (или бинарное управление) - временной булевой функцией, для которой 0 является последовательностью точек разрыва. Такой подход позволяет естественно свести задачу к изучению управляемой системы с разрывным управлением в смысле [Алексеев 1979]. Дадим точные определения.
Определение 1. Бинарно управляемым объектом назовем тройку (X,f0,f1), в которой X - конечномерное евклидово пространство, (фазовое пространство), f0, f1 -непрерывные векторные поля в X, удовлетворяющие условию Липшица.
Непрерывность и выполнение условия Липшица обеспечивают для каждого qe {0,1} и x0e X существование и единственность решения задачи Коши x' =fq(x), x(0)=x0 на всей прямой [Шилов 1970], или, другими словами, существование фазовых потоков, порожденных полями f0, f1.
Определение 2. Бинарным управлением длительности Т>0 назовем функцию X : [0,T]®{0,1}, которая имеет конечное число точек разрыва, в каждой точке te [0,T) непрерывна справа и в точке T непрерывна слева.
Формулировку определения 2 можно несколько изменить. В последующем определении, состоящем из нескольких абзацев, определяется сразу группа понятий, используемых в дальнейшем.
Определение 3. Назовем разметкой длины n промежутка [a,b]e R (a<b) конечную монотонную последовательность 0 : 0 , n®T0,T], обладающую свойствами 0 0=a, 0 n=b. Здесь и далее под монотонностью функции понимается строгая монотонность. Для 0< k< n—1 промежутки, определяемые 0 k и 0 k+1, - это промежутки разметки 0 ,
d(0) = max 0k+i-0k|
0< k< п-1 - параметр разметки.
В этой терминологии бинарное управление длительности Т>0 - это функция X : [0,T]®{0,1}, для которой существует такая разметка 0 (некоторой длины n) промежутка [0,T], что в промежутках [0 k,0 k+1) для каждого 0< k< n-2, а также в промежутке [0 n-1,0 n] значение X не меняется.
Пусть X :[a,b]®R - кусочно-непрерывная функция [Шилов 1969], имеющая n точек разрыва в (a,b). Разметкой X назовем разметку 0 отрезка [a,b] длины n+1, для которой 0 ^ - монотонная нумерация точек разрыва X в (a,b).
Пусть X :[0,T]®{0,1} - бинарное управление, имеющее n точек разрыва, X (0)=qe{0,1}, 0 : 0 ,n+1 ® [0,T] - разметка X (для бинарного управления разметку можно назвать также задающей последовательностью). Пару (q,0 ) назовем
представлением X • Значение управления в промежутке [0 к,0 к+1) задается функцией
X(q,k) = д(к тоС 2) Vq(k тоС 2)
Последовательность выдержек X - это последовательность т :0,п — Я+, задаваемая формулой т к=0 к+1-0 к (к=0,1,..п). Представление X выдержками - это пара с1(Х) = тах т к
(д,т )• Величина ке0п максимальная длины выдержки управления X •
Утверждение 1. Пусть £0, g1 - фазовые потоки в пространстве X, 8еХ, Т>0, де{0,1|, 0 - разметка промежутка [0,Т] длины п. Тогда существует и единственная непрерывная функция х:[0,Т]—X, обладающая свойствами: х(0)=8, Уке 0 , п-1
[0 к,0 к+1) х(1^ (д,к)(х(0 к)Д-0 к).
ЗДоказательство проводится индукцией по длине разметки. Если п=1, то искомая функция задается формулой: х(1;^ч^Д). Пусть утверждение верно для любой разметки
длины п> 1. Рассмотрим разметку длины п+1. Сужение 0 |2,а есть разметка отрезка [0,0 п], для которого по предположению индукции утверждение верно. Соответствующую функцию обозначим через у. Определим функцию х формулой Г УШ, если t е [0,0 п)
X(t) = [д%(ап)(У(0п^-0пЬ если t>0п
Функция х(1;) удовлетворяет условиям, описанным в заключении утверждения 1. тэ дх^,п)(у(0 П)'0) = у(0 П)
В силу равенства , она непрерывна, остальные условия
выполнены по самому определению х(1) Единственность есть следствие единственности у, и единственности процесса, порожденного фазовым потоком.4
Определение 4. Пусть (X, 10, ^) - бинарно управляемый объект, 8еХ, Т>0, X : [0,Т]—®{0,11 - бинарное управление, (д,0 ) - представление X . Единственную функцию, определяемую парой (д,0 ) согласно утверждению 1, назовем процессом в объекте, порожденным управлением X и начальным состоянием ее X.
Определение 5. Управляемым объектом назовем пару (Х,1), где X -конечномерное евклидово пространство, f:Xx Я—X непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица по первому аргументу в следующей форме: существует такая непрерывная неотрицательная функция ф :Я—Я, что "х,уе X "ое Я
11 1(х,о Н(у,о )||< ф (о )|| х у11 .
Определение 6. Управлением длительности Т>0 назовем кусочно-непрерывную функцию о :[0,Т]—Я, в каждой точке 1е [0,Т) непрерывную справа и в точке Т непрерывную слева.
Утверждение 2. Пусть (X,! - управляемый объект, sеX, о :[0,Т]—Я -кусочно-непрерывная функция, имеющая п точек разрыва в (0,Т) и разметку 0 (длины п+1). Тогда существует и единственная непрерывная функция х:[0,Т]—X, обладающая свойствами х(0^, и для любых ке 0,п, 1е (0 к,0 к+1) имеет место равенство х' (1)=1(х(1),о (1)).
ЗКусочно-непрерывная на отрезке функция ограничена. Обозначим
а= in^fг оШ Р= о(t)
tе[0,T] , Ье[0,Л . Функция и : (хД)—1(х,о (1)) удовлетворяет условию
L = max j(l)
Липшица по первому аргументу с постоянной 1e[a,P] .
Доказательство утверждения 2 проводится индукцией по n.
Пусть n=0, то есть внутренних точек разрыва у функции о нет, но точками разрыва могут быть 0 и T. Обозначим через о * непрерывную функцию, совпадающую с о на (0,T). Для нее по теореме существования [Шилов 1970] существует и единственная
t
x(t) = s+ Jf(x(1 ),о *(1))d1
непрерывная функция, удовлетворяющая на [0,T] уравнению 0
. Эта функция удовлетворяет условиям в заключении теоремы. С другой стороны, если y(t) - другая функция, удовлетворяющая условиям в заключении теоремы, то для любых
t
y(t) = y(t) + J f (x(1),o(1))d1
t ,te (0,T) имеет место равенство 1 . В силу непрерывности у
limy(t) = y(0) = s при фиксированном t имеем t— 0 ,
ttt linn Jf(y(1 ),о(1 ))сИ = J f(y(1 ),о(1 ))cH = J f(y(1 ),о *(1))d1 t— 0t 0 0 , то есть у удовлетворяет тому же уравнению, что х, и по теореме единственности совпадает с х.
Пусть для любой функции о с n внутренними точками разрыва утверждение верно. Рассмотрим функцию о , имеющую n+1 точку разрыва и разметку 0 . Сужение функции на отрезок [0,0 n] удовлетворяет условию теоремы. Обозначим соответствующую функцию у:[0,0 n]—X. Далее, существует и единственная z:[0 n,T]—X, обладающая свойствами z(0 n)=y(0 n) и Vte(0 n,T) z' (t)=f(z(t),o (t)). Доказательство повторяет случай n=0, рассмотренный в предыдущем абзаце, только отрезок [0,T] меняется на [0 n,T]. Функция x:[0,T]—X, задаваемая формулой:
= jy(t), если t е [0,0 n)
x =| z(t), если t >0 n Е
L ", удовлетворяет всем условиям в заключении теоремы. Ее
единственность следует из единственности у и z. 4
Определение 7. Пусть (X,f) - управляемый объект, seX, о :[0,T]—R -управление. Единственную функцию, описанную заключением утверждения 2, назовем процессом в объекте, порожденным управлением о и начальным состоянием se X.
Утверждение 3. Пусть (X, f0, f1) - бинарно управляемый объект в смысле
определения 4 и функция f:Xx R—X задается равенством £(х,о )eXx R—(1-о )f0(x)
+о f1(x). Тогда (X,f) есть управляемый объект в смысле определения 5 и для любых
seX, T>0 процесс, порождаемый бинарным управлением X :[0,T]—®{0,1} в бинарно управляемом объекте (X,f0,f1), есть процесс с тем же начальным условием s,
порождаемый этим управлением X в управляемом объекте (X,f).
ЗОбозначим постоянные Липшица функций f0 и f1 соответственно L0 и L1. Тогда V х1,х2е X, V ое R:
|| f(x1,о Н(х2,о )|| =|| (1-о Xf^fx^+a (^(х^-Цх^Ц< ^^2)тах{|о| ,| 1-
а I }Ц Х1-Х2|
Следовательно, (Х,: есть управляемый объект в смысле определения 5, причем ф (о )=(Ь1+Ь2)шах||о| ,| 1-0 | }.
Пусть х(1;) - процесс в бинарно управляемом объекте (X, ^ f1), порожденный бинарным управлением X :[0,Т]—®|0,1} и начальным состоянием 8еХ, а у(0 - процесс с тем же начальным условием 8, порождаемый этим управлением X в управляемом объекте (Х£). Пусть процесс х имеет представление (д,0 ) длины п. В каждом промежутке [0 к,0 к+1) (кеО , п-1) процесс протекает согласно эволюционному закону (чк)- Это значит, что в промежутке (0 к,0 к+1) процесс удовлетворяет дифференциальному уравнению х' (0=^ (ч,к)(х(0). Но "1е [0 к,0 к+1) X (0=Х (Ч,к) ^
"1е [0 к,0 к+1) ^ (ч,к)(х(1))=(1-Х (1)):0(х(1))+Х (О^хф). Поэтому х(1) удовлетворяет всем
условиям определения процесса у(1) и, в силу единственности последнего, х=у4
Объект (X,: из условия утверждения 3 естественно назвать соответствующим объекту (X, : ^) и исследовать общий вопрос о том, как можно приблизить процесс в управляемом объекте (Х£), порожденный кусочно-непрерывным управлением, процессом с тем же начальным условием, порожденным бинарным управлением. Далее процесс, порожденный управлением X и состоянием 8, будем также называть реакцией объекта на X из состояния 8 и обозначать в(8,Х ).
Если управление о :[0,Т]—[0,1] - кусочно-непрерывно, бинарное управление X : [0,Т]——10,1} не может как угодно точно аппроксимировать функцию о как в смысле близости значений, так и в интегральном смысле. Приближению можно придать следующий смысл: промежуток [0,Т] делится на конечное число малых промежутков и в каждом промежутке среднее значение о близко к среднему значению X . Сначала докажем теорему о близости реакций управляемого объекта на управления, близкие в данном смысле в случае непрерывного управления.
Теорема 1. Пусть (Х,^,^) - бинарно управляемый объект, причем : и ^ непрерывно дифференцируемы, (Х,: - соответствующий управляемый объект. Пусть выбраны начальное состояние 8еХ, длительность управления Т>0 и о :[0,Т]—[0,1] -непрерывное управление. Тогда для любого е >0 найдутся 8 >0, А >0, зависящие от 8,Т,о и обладающие следующим свойством. Если X :[0,Т]—[0,1] -
кусочно-непрерывное управление и существует такая разметка [0,Т] с параметром, меньшим А , что для каждого промежутка разметки средняя за промежуток разность между X и о меньше 8 , то расстояние между реакциями объекта на X и о в равномерной норме меньше е , то есть 11 0(8^ )-в(8,о )| | <е .
Перед тем как доказывать теорему, докажем несколько вспомогательных утверждений.
Утверждение 4. Пусть функция х:[0,¥)—кусочно-непрерывна на любом
Тогда "1> 0 х(1;)< 0. 3По условию х(0)< 0. Пусть $ Т>0: х(Т)>0. Кусочно-непрерывная на
t
конечном промежутке [0,Т]е[0,¥) и обладает свойством: "1> 0
(а >0).
[0,Т] функция х ограничена на [0,Т]. Обозначим
с = sup хШ > х(Т) > 0
tе[0,T]
. Имеем
хШ < а| x(s)ds
"1е[0,Т] 0 <а с1 ^ "1е[0,Т] х(1;)<а с2/2 ^ "е[0,Т] х(0<а й3/(3!) ^ ...
асТп л ||т —— = 0
^ "1е [0,Т] х(1;)<а с1п/(п!)<а сТп/(п!). В частности, х(Т)<а сТп/(п!). Но п—¥ п‘ .
асТп
—Т <е
По е =х(Т)/2 найдем такое п, что п- , тогда х(Т)<х(Т)/2, то есть 1<1/2 g. Поэтому
"1> 0 х(0< 0 4
Утверждение 5. Пусть функция х:[0,¥)—К кусочно-непрерывна на любом
t
хШ < а| x(s)ds
конечном промежутке [0,Т]е[0,¥) и обладает свойством "1> 0 0 +Р 1
x(t) < Р (eat - 1
(а ,Р >0). Тогда справедлива оценка "1> 0 а . ЗСначала найдем решение
t
z(t) = а| z(s)ds+pt
уравнения 0 . Если г(1;) кусочно-непрерывна, то, согласно данному
уравнению, она непрерывна, а если непрерывна - то дифференцируема. Поэтому можно перейти к дифференциальной форме уравнения: г' =а г+Р , г(0)=0. Его решение
t
^) = Р (^ - ] У(t) < а| y(s)ds
а . Для разности у(1)=х(1)-г(1) верно неравенство 0 . По
результату утверждения 4 у(0< 0, то есть х(1;)< г(1;).4
Утверждение 6. Пусть функция х:[0,¥)—К кусочно-непрерывна на любом
t
хШ < а| x(s)ds
конечном промежутке [0,Т]е[0,¥) и обладает свойством: "1> 0 0 +Р
(а ,Р >0). Тогда справедлива оценка: "1> 0 х(1;)< Р еа 1.
t t z(t) <а|х^^ а^^)сЪ
ЗОбозначим г(1;)=х(1;)-Р , х(1)=г(1;)+Р . Имеем 0 = 0 +аР 1.
z(t) = — (еа*- -1)
По результату утверждения 5 г(1;)< а =Р (еа 1-1) ^>х-Р<Р (еа 1-1)
х<Р еа 1 4
Проведем теперь доказательство теоремы 1.
ЗПусть у=в(8,о ), x=G(8,X ). Тогда "1е [0,Т]
t t
^(х(1Щ1 ))с1 ^(у(1),о(1 ))с1
х(1)-8= 0 , у(1)-8= 0
t
|тх(1 )) - ^у(1),о(1 ))№
или х(1)-у(1)= 0 .
Оценим величину интеграла справа. Имеем "1е [0,Т]
ДхД Н(у,о )=f(x,X )-f(y,X )+f(y,X )-:(у,о ), t
^(х(1 Щ1)) - ^у(1),о(1 ))]&
поэтому 0 =
t t
I ^ (х(Щ(1)) - f (y(1),X(1))]c1 I I (у(1 Щ1)) - f (у(1),о(1))]А
0 + 0 .
Отсюда первоначальная оценка:
t
^(х(1 Щ1)) - ^у(1),о(1 ))]&
|| х(0-у(0|| =|| ■ || =
t t
I ^ (х(Щ(1)) - f (y(1),X(1))]c1 I [Пу(Щ(1)) - f (у(1),о(1))]А || 0 + ■ || <
t t
| ^ (х(Щ(1)) - f (y(1),X(1))]c1 11 (у(1 )Д(1)) - f (у(1),о(1 ))№
|| ■ || +|| ■ ||<
t t
Цх(1) - у(1)||Л I ^ мща)) - f (у(1),о(1))]А
ь ■ +|| ■ 11 .
Здесь (в силу условия X (Ое [0,1]) Ь=Ь0+Ц, где Ь0 и Ь1 - постоянные Липшица
t
^(У(1 Щ1)) - ^у(1),о(1))]А
функций : и ^ соответственно. Оценим | | ■ 11 , исходя из
заданной разметки промежутка [0,Т]: 0 0,0 1,...0 п. Пусть ш=шах|0< к< п: 0 к< 1} Тогда t т-1 0 к+1
[^(уашю)-^уаыюда X ![Пу(1Ш1))-пм ),о(1т ■ = к= ■ 0 к +
t (1) ^(у(1 Щ1)) - f (у(1),о(1))]сИ
0 т .
Для того чтобы оценить члены суммы в правой части, учтем, что "1е [0,Т]
Ду£ Н(у,о )=(X -о ^(уЖо -X )fo(y)=(X -о )[fl(y)-fo(y)]=(X -о Жу), где И(у)=:1(у)-:0(у). Функция у(1) непрерывно дифференцируема, как решение
дифференциального уравнения у' =Ду,о ) с непрерывной правой частью. Поэтому функция г(1)=И(у(1;)) непрерывно дифференцируема. Имеет место утверждение
[Шилов 1972] "1е [0,Т] "те Я: 1+те [0,Т] || г(1+т )-т г' (1)-г(0| | < 11 г' (1+т )-г'
(1)|| |т| .
Так как г' (1) равномерно непрерывна на [0,Т], то "е >0 3 8 >0:
(1е[0,Т]лте ЯЛ+те [0,Т]л|т| <8 ) ^>|| г(1+т )-т г' (1)-г(1;)| | < е |т| . Поэтому для
достаточно малых 8 можно определить функцию:
. ^ +т) -тг'ДО - ад
ю (z,8) = sup
гт
даг]лте°а8) 11 , где О (1,8 )=|те Я: 0<| т |
<8л 1+те [0,Т]}.
11т
Для этой функции имеет место равенство 8—0ю (г,8 )=0.
Пусть параметр разметки меньше А и для каждого промежутка разметки средняя в промежутке разность между X и о меньше 8 . Оценим 0 к+1 0 к+1
1к = |[ПУ(1 )Л(1» - Пу(1),о(1))]А I Ь1(у(1)) • (XII)-о(1))А
0к = 0к .
Обозначим w(t,т )= г(1+т )-т г' (0-г(1), АX (1 )=X (1 )-о (1 ). Имеем
0 к+1 0 к+1
^(1)-о(1))• И(у(1))с1 IАX(1) ^(0к) + (1-0k)z'(0к) + w(0к, 1-0к)]сИ 0к = 0к
0 к+1 0 к+1 0 к+1
|АX(1) • 40 к)сИ |АX(1) • (1-0 к)^(0 к)с& |АX(1) • w(0 к,1-0 к)^
= 0 к + 0 к + 0 к
0 к+1 ^(1)01 0 к
0 к+1 0 к+1
-(0 к) ^(1) • (1-0 к)^(0 к)с& I АX(1) • w(0 к,1-0 к)с
+ 0к + 0к
с1 = тах |^(1 )|| С2 = тах р'(1)|| С3 = тах ||АX(1)|| Далее, обозначим 1е[0,Т] , 1е[0,Т] , 1е[0,Т] . Все
эти максимумы достигаются в силу непрерывности г, г' и кусочной непрерывности
А X .
Пусть разметка удовлетворяет условию теоремы. Тогда с учетом принятых обозначений имеем 0 к+1
-о(1)) • Ку(1))с1 С2СЗ Сз
|| 0к ||< с18 (0 к+1-0 к)+ 2 (0 к+1-0 к)2+ 2 ю (г,Л )(0 ,,1-
С2С3 с3 С2С3 с3
0 к)2=
[с18 + 2 (0 к+1-0 к)+ 2 ю (г,А )(0 к+1-0 к)](0 к+1-0 к)< [с18 + 2 А + 2 ю (г,А )А ]
(0 к+1-0 к).
Просуммировав по к, получим т-1 0 к+1
X ![Пу(1 )Л(1)> - Пу(1),о(1))]А ед Сз
|| к=0 0к ||< [с18 + 2 А + 2 ю (г,А )А ]Т
t t
)) - f(y(1 ),о(1))]А I АX(1) • h(y(1))cx
Далее: || 0т || =|| 0т ||< с1су
есть
- ^у(1Ы1))]а ед сз
|| 0 ||< [с18 + 2 А + 2 ю (г,А )А ]Т+с1с3А .
При достаточно малом А ю (г,А )<с2. Если обозначить а =с1Т, Ь =с2с3Т+с1с3, t
|[f(y(1 )) - ^У(1),а(1 ))]А
получим: 11 0 11 < а 8 +Ь А и, как следствие,
t
Ц|х(1) - у(1)||с1
|| х(1)-у(1)||< Ь0 +а8 +ЬА
Отсюда, согласно утверждению 6,
|| х(1)-у(1)|| < (а 8 +ЬА )еЬ1 и || х-у||< (а 8 +ЬА )еЬТ.
Таким образом, для того, чтобы выполнялось условие 11 в(8,о )-G(s,X )| | <е , нам достаточно по е >0 выбрать такие А и 8 , чтобы выполнялись неравенства ю (г,А )<с2 и (а 8 +Ь А )< е-ЬТе .4
Если управление о имеет точку разрыва первого рода в момент 10е [0,Т], то функция y=G(s,о ) не дифференцируема в 10, и тогда, если 10е [0 к,0 к+1], при оценке 0 к+1
1к = |[f(y(1).X(1)) - Г(у(1),о(1))]А
интеграла 0 к уже нельзя использовать приближение
у(0 линейной функцией. Но если число точек, в которых такое приближение невозможно, конечно, то их роль пренебрежима, и теорема 1 допускает следующее обобщение.
Теорема 2. Пусть (Х,^: - бинарно управляемый объект, причем : и ^ непрерывно дифференцируемы, (X,: - соответствующий управляемый объект. Пусть выбраны начальное состояние sе X, длительность управления Т>0, кусочно-непрерывное управление о :[0,Т]®[0,1] и натуральное число N>0. Тогда для любого е >0 найдутся 8 >0, А >0, зависящие от s,T,о Д и обладающие следующим свойством. Если для кусочно-непрерывного управления X :[0,Т]®[0,1] найдется такая разметка [0,Т] с параметром, меньшим А , что число промежутков разметки, в которых средняя за промежуток разность между X и о больше 8 , не превышает N то расстояние между реакциями объекта на X и о в равномерной норме меньше е .
ЗДоказательство отличается от доказательства теоремы 1 оценкой 11
t
![Пу(1 )) - ^У(1),о(1 ))]А
0 11 исходя из заданной разметки промежутка [0,Т]
0 0,0 1,...0 п. Сохраним все обозначения из доказательства теоремы 1. Пусть о имеет р точек разрыва и л :0,р+1®Т0,Т] - разметка о , то есть л 0=0, Л Р+1=Т и ^ |1р -монотонная нумерация точек разрыва. Для каждого ке0.,р в промежутке [Л к,Л к+1] функция г(1) непрерывно дифференцируема, если производные г' (1) в точках 1=Л к, 1=Л к+1 рассматривать как производные справа и слева соответственно. Если обозначить через гк' (1) непрерывное продолжение производной г' (1) (где 1е (л к,Л к+1)) на отрезок
[Л к,Л к 1], то можно уточнить смысл константы с2:
С2 = max max ||zrk(1)||
ke0,p1e[hk,h k+1]
Для ke (0p можно определить функцию
w k(z,8) = sup
te[h k'hk+l]AXeW k(t,§)
z(t + t) -xz'k(t) - z(t)
где Ок(1,8 )=|те Я: 0<|т| <8/ 1+те [л к,Л к+1]}.
Ит
Для каждой функции ю к имеет место равенство 8®0ю к(г,8 )=0.
Соответственно, для функции ю (г,8 )=0.
w(z,5) = max w k(z,8)
ke0,p
имеет место равенство
lim
5® 0
Рассмотрим сумму Б=
m-1 e k+i
L |[f(y(1).X(1))-f(y(1),s(1))]d1
k= 0 e.
из правой части 0 к+1
I АX(1 )с1 >8 0
равенства (1). Пусть А - параметр разметки 0 , 8 >0, К8 ={ке 0, т-1: к },
К0=|ке 0, т-1: [0 к,0 к+1] содержит точку разрыва о }. Пусть число элементов К8 не превышает N. Разобьем сумму Б на два слагаемых: 8=81+82, где
0 к+1
Sl = X !ПУ(1 )4(1)) - Пу(1),о(1))]А
кеК0 и К 8 0 к
e
k+1
S2 = X Ш1>) - ^у(1),о(1))№
ке0,т-1\(К0и Кд) 0к
В сумме Б1 не более 2p+N слагаемых (некоторые точки л к могут принадлежать сразу двум соседним отрезкам разметки 0 ), поэтому можно утверждать, что | Б1|
< (2р+^с^3А . Каждый отрезок, по которому берется интеграл в сумме Б2, лежит внутри некоторого отрезка разметки л с номером ]. Поэтому
0 к +1
- пу(1 ),о(1))]А
0к <
С2С3 Сз С2С3 Сз
[с18 + 2 А + 2 ю/г,А )А ](0 к+1-0 к)< [с18 + 2 А + 2 ю (г,А )А ](0 к+1-
0 к).
Сумма разностей 0 к+1-0 к для ке 0, т-1\(К0иК8) меньше Т, поэтому,
с2сз Сз
просуммировав по ке 0 ,т-1\(К0иК8), получим | Б2| < [с18 + 2 А + 2 ю (г,А )А ]Т.
!ПУ(1 Щ1)) - Пу(1),о(1))]А
Следовательно, || 0 ||< | Б1| +| Б2| +с1сзА <
с2сз Сз
< [с18 + 2 А + 2 ю (г,А )А ]Т+(2р+^1)с^3А .
Если обозначить а =с1Т, Ь =c2c3T+(2p+N+1)c1c3, то при достаточно малом А (когда ю (г,А )<с2) получим, как и при доказательстве теоремы 1,
t
Щх(1) - у(1 )||сИ
|| х(1)-у(0||< Ь0 +а8 +ЬА .
Из последнего неравенства следует заключение теоремы. 4
Сформулируем теперь частный вариант теоремы 2 применительно к случаю, когда в качестве приближений о рассматриваются только бинарные управления X .
Определение 8. Шагом бинарного управления назовем пару (д,х ), в которой де|0,1}, х >0. Циклом бинарного управления назовем тройку (д,х 0,т 1), в которой де|0,1}, х 0>0, х 1>0. Величину х 0+х 1 назовем длиной цикла. Цикл (д,х 0,х 1) назовем 01-циклом, если с (д,к)=0 и 10-циклом, если с ^,к)=1. Следуя технической терминологии, коэффициентом заполнения импульса (КЗИ) в цикле (д,х 0,х 1) назовем величину
$^,х.,х^)
х1
х + х1
х ■
х + х1
еслиq = ■ еслиq = 1
Если X - бинарное управление с разметкой 0 длины п+1 и (д,х ) - его представление выдержками, то будем говорить, что управление X включает п+1 шагов
( п +1 аИ —
и V ^ / полных циклов управления (“еп1” - целая часть). При этом к-ый шаг управления есть пара (% (ч,к),х к), цикл, начинающийся к-ым шагом (к< п-1), - это тройка: (с (ч,к),х к,х к+1). Соответственно, будем говорить, что шаг (% ^,к),х к) выполняется в промежутке [0 к,0 к+1] и цикл (с ^,к),х к,х к+1) выполняется в
промежутке [0 к,0 к+2].
Определение 9. Пусть X :[0,Т]—®|0,1} - бинарное управление с разметкой 0 длины п (то есть имеющее п-1 точек разрыва). Разметку л :0,т—Т0,Т] назовем разметкой циклов управления X , если выполняется одно из следующих условий: 1) "0< к< т л к=0 2к; 2) "0< к< т-1 л к=0 2к ; 3) "1< к< т л к=0 2к-1.
По определению разметки 0 0=л 0=0 и 0 п=л т=Т. Условия, определяющие разметку циклов, рассматривают три случая. В первом случае п=2т, управление имеет целое число циклов и в каждом промежутке [Л к,Л к+1] выполняется цикл управления в смысле определения 8. Во втором и третьем случаях п=2т-1, управление включает т-1 полных циклов и еще один шаг управления. Во втором случае разметка выбрана так, что этот лишний шаг выполняется в последнем промежутке [Л т-1,Л т], а в третьем случае -
в первом промежутке [Л 0,Л 1]. В любом случае для каждого полного цикла
коэффициент заполнения импульса есть среднее значение X в промежутке выполнения данного цикла управления. Поэтому итоговая теорема будет иметь такую формулировку.
Теорема 3. Пусть (Х,:^) - бинарно управляемый объект, (X,: -
соответствующий управляемый объект. Пусть выбраны начальное состояние sеX, длительность управления Т>0 и кусочно-непрерывное управление о :[0,Т]—[0,1]. Тогда для любого е >0 найдутся 8 >0, А >0, зависящие от о ^,Т и обладающие следующим свойством. Если бинарное управление X :[0,Т]—(0,1} имеет разметку циклов с параметром, меньшим А , и в каждом промежутке разметки, кроме, быть может, начального и конечного, КЗИ X отклоняется от среднего о меньше, чем на 8 , то расстояние между реакциями объекта на X и о в равномерной норме меньше е .
ЗЕсли для заданных А >0, 8 >0 бинарное управление X :[0,Т]——[0,1}
удовлетворяет всем условиям, сформулированным в заключении теоремы 3, то данное управление (как кусочно-непрерывное) удовлетворяет всем условиям, сформулированным в заключении теоремы 2 с параметром N=2. 4
Библиографический список
Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 430с.
Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1975. -
240 с.
Волович Г.И. Динамика вентильных источников вторичного электропитания постоянного тока. - М.: Энергоатомиздат, 1991. - 192 с.
Козаченко В.Ф. Микроконтроллеры: руководство по применению 16-разрядных микроконтроллеров Ше1 МСБ-196/296 во встроенных системах управления - М.: ЭКОМ, 1997. - 688 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч.1-2. - М.: Наука, 1969. - 528 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 3. - М.: Наука, 1970. - 352 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ. Функции нескольких вещественных переменных. Ч. 1-2. - М.: Наука, 1972. - 622 с.
