CC BY
24
УДК 519.6
В. И. Пагурова1
О ПРЕДЕЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК В ВЫБОРКЕ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА
Рассмотрено асимптотическое распределение максимальной и промежуточной порядковых статистик, построенных по выборке случайного объема.
Ключевые слова: порядковые статистики, выборка случайного объема, слабая сходимость.
1. Введение. Пусть .V i.....Хп — независимые и одинаково распределенные величины, копии
случайной величины X, F(x) = ~Р{Х ^ ж}, Х^ — порядковая статистика в вариационном ряду
(п) (п)
Х{ ' ^ ... ^ Хп , построенном по величинам Х\,..., Хп. Для различных классов распределений F(x) исследуется предельное распределение при п ^ оо максимальной порядковой статистики
мп = хы (1)
и промежуточной порядковой статистики
Кп = 0 < а < 1, (2)
при детерминированном и случайном объеме выборки, где [ж] — целая часть числа ж.
Порядковые статистики имеют важные применения при построении статистических критериев и оценок неизвестных параметров. Например, экстремальные значения X^ возникают при статистическом изучении наводнений и засух, а также в задачах изучения прочности на разрыв в про-
(п) (п)
блемах, связанных с усталостью материалов. Хорошо известно, что размах Хц — Х^ является быстро вычисляемой оценкой среднеквадратического отклонения и находит широкое применение в задачах контроля качества. Экстремальные отклонения являются основным инструментом
(п)
при обнаружении выбросов, большие величины Хц указывают на присутствие аномальных наблюдений. Испытания на продолжительность жизни дают идеальную иллюстрацию преимуществ порядковых статистик для цензурированных данных, так как в этом случае стандартные методы оценивания становятся трудоемкими или неудовлетворительными. В тех случаях, когда распределение не имеет математического ожидания и дисперсии, наилучшие оценки неизвестных параметров строятся на основе порядковых статистик.
Исследованию сходимости случайных последовательностей со случайными индексами посвящены работы [1, 2].
2. О предельном распределении Мп. Введем шр = sup{a; : F(x) < 1} и рассмотрим три класса распределений:
класс А\ : 1 — F(x) ~ аж7 ехр{—Ьх^) при х оо, а, b, ß > 0;
класс А2 : 1 — F(x) ~ а(1пх)7х~^ при х ^ оо, а, ß > 0;
класс : 1 — F(x) ~ а(шр — х)^ при х шр, а, ß > 0, шр конечно.
Следуя классической теории экстремальных порядковых статистик [3-6], получим следующие предельные соотношения: 1) для класса Ai
lim Р{(Мп — Ъп)/ап ^ х} = ехр(^е~ж), |ж| < оо,
п—>оо
1 flu n\(1~ß)/ß _ flu n\1/ß (Л 7 In In n
an~bß{~) ' n V ßlnn У"
1 Факультет BMK МГУ, ст. науч. сотр., к. ф.-м. н., e-mail: pagurovaQyandex.ru
(сьть(111ть\^ ^^
-п- I )
р7 /
3) для класса А3
lim Р{(Мп — Ьп)/ап ^ ж} = ехр(^Ы'3), ж < О, Ьп = шр, ап = (ап)~1^.
П^гОО
Введем неотрицательную целочисленную не зависящую от Xi,..., Хп случайную величину Nn, такую, что
^Ас при 71 У оо, Р{£ > 0} = 1, (3)
и рассмотрим вопрос о предельном распределении при п ^ оо нормализованной максимальной порядковой статистики Мдтп, где Мп определяется соотношением (1), построенной по выборке Xi,..., XNn случайного объема Nn с теми же коэффициентами а,п > 0 и Ьп, что и в случае детерминированного объема выборки п.
Лемма 1. Соотношение lim Р{Мп ^ ип} = е~Т, 0 ^ г ^ оо, имеет место тогда и только
п—о
тогда, когда выполняется условие lim nil — F(un)) = т.
п—о
Р d d
Лемма 2 [4]. Пусть Zn, Nn независимы, Nn —у оо, Zn —у Z при п —У оо, тогда Zj^n —у Z при п оо.
Лемма 3. Пусть случайная величина £ удовлетворяет соотношениям (3). Если выполнены
условия лемм 1 и 2, то lim PiMjy si ип} = Еехр(^т£).
n—too
Лемма 4. Пусть lim Р{(Zn — Ь„)/ап ^ ж} = G(x). В условиях леммы 2 имеем:
п—юо
Ьп ~ Ьнп + апх
aNn
(It} X
0'Nn
lim P{(ZN — bn)/an ^ ж} = lim EG
n—too n n—too
lim P{(Zn — bff )/an ^ x} = lim EG
n—>oo n—о
Используя леммы 3 и 4, получим следующее Утверждение 1. Справедливы соотношения:
1) для класса А\
Ii = lim P{(Mjv — Ъп)/ап ^ х} = Еехр(^£е~ж), |ж| < оо,
п—>оо
lim P{(Mjv« — Ьп)/амп ^ ж} = Еехр(^£е~ж), |ж| < оо,
п—>со
lim Р{(Мм — Ъмп)/ап ^ х} = ехр(^е~ж), |ж| < оо;
п—>оо
2) для класса А2 I2 = lim P{Mw/an ^ ж} = Еехр(^£ж-^), ж > 0;
п—>оо
3) для класса А3 /3 = lim Р{(Мдг — Ьп)/ап ^ ж} = Еехр(—£Ы ж < 0.
п—>со
Рассмотрим частный случай распределения величины Nn. Пусть Nn имеет отрицательное биномиальное распределение Ь(т, 1/п), т.е.
k fl\m ( l\fc PR = к} = Ст+к_1 ( ~ ) \ ' к = 0,1,... .
(4)
Тогда величина определенная в (3), имеет гамма-распределение с плотностью
Мх) = 7—"ТП"' х>0-(т — 1)!
Выражения /1. /•_> и /3 из утверждения 1 получают особенно простой вид
1 / ж'3 1
^ = (1 + е~х)т' |Ж|<°°; ' Ж>0; /з= (|ж|^ + 1)™' ж<0-
9 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
3. О предельном распределении Кп. В работе [7] исследовано предельное распределение
при п ^ оо статистики Тп = (Кп — <1п)/сп, где Кп определяется соотношением (2), и указан выбор
постоянных с„ > 0 и 4, при котором предельное распределение Тп является невырожденным.
х
Введем ар = т£{ж : Р(х) > 0} и обозначение 5п = (ап1~а) л . Для исследования распределения статистики Тп рассмотрим следующие классы распределений: класс В\\
Р(х) ~ а|ж|7 ехр(^Ь|ж|Л) при х —> ^оо, а, Ь, А > О, (1 — а) 1пп\ 1//Л
с =
класс В2'. класс В3:
dn = -1 ^ а4 7
1
.д
7 In In п + In с Ь J V ' А2(1 — а) Inn (lnn)(i-«)/«
c«, —
F(x) ~ a\x\ Л при x ^oo,
< n
dn — ^ !■
-I, l = l(a, b, А, a, 7) > 0;
Sn
Cn —
А л/п"'
а, А > 0;
класс /1(:
F(a;) ~ а(х — а,р)А при х ар, dn = ар + 8, ар конечно, а, А > 0;
F(x) ~ а(1п|ж|)~Л при х —> —00, d,n = ^ехр(5п), а, А > 0, 2/(2 + А) < а < 1.
-1
П 1
5,
-1
Сп —
Сп —
Ау/п"'
¿п ехр(^) Ау/п"
Выбор классов /ii мотивирован тем, что невырожденный предел для распределения статистики Тп определяется значениями F(x), близкими к нулю. Для всех этих классов статистика Тп при п ^ оо является асимптотически нормальной с параметрами (0,1). Введем следующие величины:
к
Хк п = —; к = к(п) —>00, А/; п 0 при п ^ оо. (5)
п
В работе [8] показано, что необходимым и достаточным условием асимптотической нормальности порядковой статистики Х^ является условие
lim (рп - Xk,n)Vk/Xk,n = х Ух,
п—>оо
где рп = F(cnx + dn). Для абсолютно непрерывных распределений величины dn и Сп 0 определяются из соотношений
1
F(dn) = Afc,n, F(cn + dn) = Xk,n 1 + —7= •
Класс /1| рассмотрен в качестве примера распределений, для которых предельное нормальное распределение статистики Тп имеет место лишь при указанном ограничении на а. Используя результаты работы [9], получим для этого класса при а = 2/(2 + А) предельное соотношение
А 1п|ж|
lim Р\Кп ^ ехр(5п)ж} = Ф
д/д
при х < 0,
где Ф(ж) означает функцию стандартного нормального распределения. Это соотношение легко получить, используя известное представление Р{Х|П) < ж} = Р\Zn 2 к} , где Zn имеет биномиальное распределение с параметрами (п, F(x)), и применяя теорему Муавра-Лапласа к распределению величины Z„.
Как и в п. 2, рассмотрим удовлетворяющую соотношению (3) и не зависящую от Х\,... ,Хп неотрицательную целочисленную случайную величину Nn. Исследуем предельное поведение при п ^ оо величины Ьп = — dn)/cn, где Кп определяется соотношением (2), а величины сп > 0
и dn взяты теми же самыми, что и для вышеуказанных классов В\—В±. Применяя лемму 4 и используя выражения для нормирующих величин сп > 0 и dn для каждого из классов, получим следующие утверждения.
Утверждение 2. Для классов В\ -В.4 предельное распределение статистики Ln при п —У сю является вырожденным. При этом исключается тривиальный случай, когда Р{£ = 1} = 1.
Утверждение 2 является следствием того факта, что \dn\/cn ^ oo при п ^ сю.
Утверждение 3. Верны следующие представления: 1) для класса В\ lim Р{(Кдг„, — dpfn)/cn ^ х} = ЕФ (х(а^2);
Если предположить, что величина имеет отрицательное биномиальное распределение (4), как и в п. 2, можно получить явные выражения для распределений, указанных в утверждении 3.
Все изложенное выше для порядковой статистики Кп, удовлетворяющей соотношению (2), с очевидными изменениями можно распространить на порядковую статистику ранга к, удовлетворяющего соотношению (5).
1. Королёв В. Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами.
I // Теория вероятн. и ее примен. 1994. 39. № 2. С. 313-333.
2. Королёв В.Ю. Сходимость случайных последовательностей с независимыми случайными индексами.
II // Теория вероятн. и ее примен. 1995. 40. № 4. С. 907-910.
3. Галамбош Я. Асимптотическая теория экстремальных порядковых статистик. М.: Наука, 1984.
4. Embrechts Р., Kluppelberg С., Mikosch Т. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin; New York: Springer, 1997.
5. Лидбеттер M., Ротсен X., Лингрен Г. Экстремумы случайных последовательностей и процессов. М.: Мир, 1989.
6. Пагурова В. И. Моделирование экстремальных событий и смежные вопросы. М.: МАКС Пресс, 2012.
7. Чибисов Д.М. О предельных распределениях для членов вариационного ряда // Теория вероятн. и ее примен. 1964. 9. № 1. С. 159-165.
8. Смирнов Н. В. Предельные законы распределения для членов вариационного ряда // Тр. МИАН им. В. А. Стеклова. 1949. 25. С. 5-59.
9. Смирнов Н. В. О сходимости к нормальному закону распределений членов вариационного ряда // Известия АН УзССР. 1966. 3. С. 24-32.
2) для класса В2
3) для класса В3
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Поступила в редакцию
13.04.16
10 ВМУ, вычислительная математика и кибернетика, № 4
ON A LIMIT DISTRIBUTION OF ORDER STATISTICS IN A SAMPLE OF A RANDOM SIZE Pagurova V. I.
A limit distribution of maximal and intermediate order statistics in a sample of a random size is considered. Keywords: order statistics, sample of a random size, weak convergence.
