CC BY
25
64
И.Е. Захаренкова, А.Ф. Лаговский, И.И. Шагимуратов
Список литературы
1. Larkina V.I., Nalivayko A. V., Gershenzon N.I. et al. Observation of VLF emission related with seismic activity on the Intercosmos-19 satellite // Geomagn. Aeron. 1983. Vol. 23. P. 684-687.
2. Гайворонская Т.В., Зеленова Т.И. Анализ вариаций критических частот foF2 во время землетрясений 1976 и 1984 гг. в Средней Азии: Препринт № 5 (831). М.: ИЗМИРАН, 1989.
3. Липеровский В.А., Похотелов О.А., Шалимов С.А. Ионосферные предвестники землетрясений. М.: Наука, 1992.
4. Пулинец С.А., Легенька А.Д., Зеленова Т. И. Зависимость сейсмо-ионосфер-ных вариаций в максимуме слоя от местного времени // Геомагнетизм и аэрономия. 1998. Т. 38. № 3. С. 178.
5. Pulinets S.A., Legen'ka A.D., Gaivoronskaya T.V., Depuev V.Kh. Main phenomenological features of ionospheric precursors of strong earthquakes // Journal of Atmospheric and Solar-Terrestrial Physics. 2003. Vol. 65. P. 1337-1347.
6. Pulinets S.A., Boyarchuk К.А. Ionospheric Precursors of Earthquakes. Springer, 2004.
7. Краткосрочный прогноз катастрофических землетрясений с помощью радиофизических наземно-космических методов: Тез. докл. конф. / Под ред. В.Н. Страхова, В. А. Липеровского. М.: Изд-во ОИФЗ, 1998.
8. Houminer Z., Soicher H. Improved short-term predictions of f0F2 using GPS time delay measurements // Radio Science. 1996. Vol. 31. № 5. Р. 1099-1108.
9. Krankowski A., Baran L.W., Shagimuratov I.I. Modeling and forecasting of TEC obtained with IGS Network over Europe // Proceed. Workshop&Simposium, 10 years IGS, March 01-05, 2004. Berne, Switzerland, 2004.
10. Ruzhin Yu.Ya., Oraevsky V.N., Shagimuratov I.I., Sinelnikov V.M. Ionospheric precursors of earthquakes revealed from GPS data and their connection with "sea-land" boundary // Proceed. 16th Wroclaw EMC Symposium, 2002.
11. Baran L.W., Shagimuratov I.I., Tepenitsina N.J. The Use of GPS for Ionospheric Studies // Artificial Satellites. 1997. Vol. 32. № 1. P. 49 — 60.
12. Dobrovolsky I.R., Zubkov S.I., Myachkin V.I. Estimation of the size of earthquake preparation zone // Pure and Applied Geophisics. 1979. Vol. 117. P. 1025-1044.
Об авторах
И.Е. Захаренкова — асп., РГУ им. И. Канта.
А.Ф. Лаговский — канд. техн. наук, проф., РГУ им. И. Канта.
И.И. Шагимуратов — канд. физ.-мат. наук, ЗО ИЗМИРАН.
УДК 519.615.5
А.А. Буздин, Е.А. Васильева, К.С. Латышев
О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ ДВУХЧАСТОТНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
Предлагается метод решения больших систем линейных уравнений, основанный на неполном блочном разложении блочных трехдиагональных матриц, обладающий следующим свойством: пусть N — число неизвестных в блоке матрицы системы. Тогда при выборе логарифмической последовательности раз-
Вестник РГУ им. И. Канта. 2006. Вып. 10. Физико-математические науки. С. 64 — 69.
ложений k = O(log N) оценка для энергетической нормы оператора перехода не будет зависеть от числа блоков.
We present a method for solving large systems of linear equations, which is based on the incomplete block decomposition for block tridiagonal matrices and has the following property: let N be a number of unknowns in the block of the system matrix. Then if we choose a logarithmical sequence of decompositions k = O(log N), the estimate for the energy norm of the iteration operator will be independent of the number of blocks.
1. Введение
Пусть блочная матрица Ke Rnmxnm системы уравнений
K y = f, y, fe Rnm; (1.1)
K = blockdiag {Li-1, Di, Li}. (1.2)
Полное блочное разложение для матрицы K имеет вид
K = (L+T) T-1 (U+T), (1.3)
где L, U — соответственно нижняя и верхняя блочнотреугольные матрицы, а T — блочнодиагональная матрица T = blockdiag {Ti, ..., Tn},
T1 = D1, Ti = Di - Lia1 Ti-11 Li-1, i > 1. (1.4)
Неполное блочное разложение получается, если в (1.3 —1.4) заменить Ti-i или Li-1 Ti-1 Li-1 их некоторой аппроксимацией. Существуют
различные возможности аппроксимации Ti. Рассмотрим одну из них
[7].
Матрица M3 легко обратима, если система линейных уравнений
М3 y = х, где вектор x e Rn, решается за O(n) арифметических действий.
Определение 1.1. Пусть задана система линейных уравнений (1.1) с регулярной матрицей K. Назовем легкообратимую матрицу М3 (сильным) фильтром, где 3 с Rn, если справедливо равенство М3 e = K e, V e e 3, а 3 называется тестовым подпространством.
Для блочнодиагональных матриц вида (1.2) можно построить фильтры М3 при помощи неполных блочных разложений (см. [7]). Эти разложения имеют вид, аналогичный полному разложению K:
М3 = (L + T) T1 (LT + T), где L и U соответственно нижняя и верхняя блочнодиагональные матрицы; T = blockdiag{ T}; T1 = D1, Ti = Di - 0i_1, i > 1. При этом ленточная k x k матрица 0i.1 удовлетворяет условию фильтра
®i-i qj = Li-1 ¥¿1 Ui-1 q (1.5)
для тестовых векторов q/ еЭТ, j = 0, ... , p, с Rk.
Построенные таким образом матрицы М3 удовлетворяют условию фильтра (1.5) на тестовом подпространстве
3 := span {e0, ... , ep}, e/ = x ® q/, где x e Rm,
x ® y = (X1y1, X1y2, ... , X1yk, X2y1, X2y2, ... , Xmy1, Xmy2, ... , Xmyk ) .
65
66
А.А. Буздин, Е.А. Васильева, К.С. Латышев
При выборе тестовых векторов qí в виде Цу = эт (V/ п х), где 1 ^ V/ 5 ^ к, V' е М получаем метод, который при V' и 1 сильно подавляет гладкие части ошибки, а при V' и к приобретает сглаживающие свойства.
В работах [1; 2] были построены и исследованы упрощенные фильтры М3, названные касательным и двухчастотным разложениями. Хотя они и не удовлетворяют точечным условиям фильтрации (1.5), но обладают фильтрующими свойствами в слабом смысле.
Определение 1.2. Будем называть легкообратимую матрицу M3 слабым е- фильтром по отношению к 3 с Ип, если
а) ||83е||^1, Ъ) ||83е||^б||е||, V е еЗ, е < 1, где = ^М^К.
То что двухчастотное разложение является слабым е-фильтром, позволяет, как это будет доказано в дальнейшем, по аналогии с [1; 6; 7], построить последовательность двухчастотных разложений MV со следующими характеристиками сходимости. Пусть т — число неизвестных в блоке матрицы К. Тогда, если выбрать, как и в работе [7], логарифмическую последовательность разложений к = 0(1^ т), энергетическая норма составного оператора перехода ограничена и не зависит от числа блоков.
2. Двухчастотное разложение
Пусть блочная матрица K системы уравнений Ku = f имеет вид
K = Ь1оскШШа^{^, D, -Ь}, (2.1)
где ^ L е Ит т; L = ЬТ; D = БТ; ^ L > 0; D > 2L.
Приведем определение и основные свойства двухчастотного раз-
1
ложения. Отметим, что матрицы Т можно записать в виде Т = Ь2 ^(С)
1 11 Ь2, где С = Ь2 D Ь2, а £(Х) — некоторые рациональные функции.
Определение 2.1. Для блочной трехдиагональной симметричной матрицы К вида (2.1) ее двухчастотное разложение для точек (частот) Х(1), Х(2)
М = (Ь + Т) Т-1 (I/ + Т), (2.2)
((•! (2)) _ С (V'1))
Т =b1ockdiag{Т}, Т = С, Т = £(Х(1))I + 1( 1 ‘( ;(С _ Х(1)1), 1 > 1. (2.3)
V _ V
Параметры С (А,(г)) при I = 1, 2 удобно вычислять по формулам: £1(Х(г)) = Х(г), С(Х(г)) = Х(г) _ 1Д-1(Х(г)), I > 1.
Определение и доказательство существования двухчастотного разложения для матриц более общего вида можно найти в работах [2 — 4].
В [2] была получена оценка скорости сходимости двухчастотного разложения для задачи (2.2 — 2.3). Приведем основные лемму и теорему.
Л 1 1 ^ 1 1
Обозначим через § = Ь2 Б Ь2, К = Ь2 К Ь2 модифицированные опера-
тор перехода и матрицу системы соответственно.
Лемма 2.1. Пусть Vа) = Х(1) - 2, v(2) = Х(2) - 2, С = С - 21, С = Ьіоск-diagonal{ С }. Тогда для модифицированного оператора перехода Б ЦБи
^ ||Б1 иК, где Б1 = (С -V(1)I) (С -V(2)I) ^С + Л(1У2)I^ 2.
Норма оператора перехода удовлетворяет неравенству
Нк^ (с-у0)ї) (с - у(2)і) [с+т
Для того чтобы получить наилучшую скорость сходимости, мы должны выбрать параметры v(1) и v(2) таким образом, чтобы
ч-2
(С -v(1)I) (С -v(2)I) ) + •/
V(1)V(2) I
= Ш1П .
(2.4)
Пусть vmin/ vmax — соответственно минимальное и максимальное собственные значения (или их оценки) матрицы С . Тогда задача минимизации (2.4) эквивалентна поиску параметров V(1), V(2), при которых
(2.5)
тах Ги^іу,) = т1п,
vm1n — V — Vmax
rv(1)/v(2)
,<2)(У)|:
(v-v(1) )(v-v(2) )
і2
Теорема 2.1. Пусть у0 =-
-, 8о =
1 -тІУо V1 + л/ь ,
^0 = 0 + ^/Ро — 1 ) , V = VVт1пVтах .
, во =
2-5п
Тогда оптимальные параметры для задачи минимизации (2.5) равны
(1)
Орі = а
(2)
= а 0 v 0, <рі =v о/а о.
Минимизируемая величина є = тах
*т1п — v — vm
Поэтому для нормы оператора перехода справедлива следующая оценка:
5о
(2.6)
Замечание 2.1. Пусть N — число неизвестных в блоке матрицы системы К. Тогда для модельной задачи (уравнение Пуассона) оценка скорости сходимости |5|к = 0(1 / N имеет тот же порядок, что и для методов переменных направлений и последовательной верхней релаксации.
Замечание 2.2. Двухчастотное разложение — это слабый є-фильтр: позволяющий аналогично работам [1; 6; 7] построить последовательность двухчастотных разложений М^, с такими же свойствами сходимости.
3. Последовательности двухчастотных разложений
Построим последовательность двухчастотных разложений М^, и получим оценки для скорости сходимости исследуемой составной итерации.
67
2
2
2
г
А.А. Буздин, Е.А. Васильева, К.С. Латышев
68
Лемма 3.1. Пусть М^",М^ М^1^24
х<!>
последователь-
ность двухчастотных разложений. Обозначим через Б оператор перехода,
соответствующий М
я(2!-1)д(2! >
. Тогда для нормы оператора Бп = П;=1 Б
7п| ІК
П (с -v(2г-1)I) (с -^ Г С + лМ2г-1У2г) I У ;=1 Г у
, где V(^ = Х( і) - 2 .
Теорема 3.1. Пусть Vmin, Vmax — соответственно минимальное и максимальное собственные значения (или их оценки) матрицы С . Пусть далее
Л. л1/к
5о =
1 -Уго~ 1 +^
Vо = Vmin/ У о =
л2
ч
п У о
(I = 0, к к)
, во =
2
2-5о
(Тр0 /, V? =7^(і=о,1,кк -1).
Если в качестве параметров выбрать = а^ги, vУ,opt = V0 / а0, то
для минимизируемой величины е из (3.2) справедлива следующая оценка:
Д2) - л,о
2-50
= 1 - О
Тогда норму оператора перехода можно оценить следующим образом:
Л 1 л
= 1 - О
Эта теорема описывает качественное поведение нормы операторов перехода в зависимости от числа применяемых разложений. Более реалистичную количественную оценку дает следующая теорема, которую мы приведем без доказательства.
Теорема 3.2. Пусть X тіп Хтах — соответственно минимальное и максимальное собственные значения (или их оценки) обобщенной проблемы собственных значений Би = X Ь и и "^тіп Хтіп 2 Vітах Хтах 2, а к = 2р . Тогда оптимальные параметры Х^ можно вычислить по следующему алгоритму:
V •
1. Вычисляем цр = т1п .
2. Вычисляем Ці по формуле ц =
2л/^
7+1
1 + Ці+1
3. Вычисляем 50 =
1 -УЙ-о~
1+ УІЦ0
4. Вычисляем в0 = 2/(2 - 50).
5. Вычисляем Т = УІ(во - 1)/во.
(і = р -1, р - 2,к ,0).
2
2
. V
Г тах у
ао =
2
V
ь =
V
V тах у
V
V
V тах у
V
тах
2
6. Вычисляем а10) = V^+f} ^ = ^Т+Т) “ НЙХ°д“м 2^ метров а(1+1),b(l+1) при помощи 21 параметров а(1+1),b(l+1) (I = 1, 2, ... , 21):
af+v =1 + «!') (1 + 2W ‘t) ' 2 -^ i+1,
+ + W ÎN « =1 + 2M »!')+, fi1 + 2"M *(° j - H- i+1 ,
bf+1) =1 + bf -J (1+ H- i+1 b(i ) ^ 2 -^ i+1,
b(i+1) 2' +1-1 =1 + 2Й M bf) +1 l(1 + 2M b Г) j - Ц i+1 .
7. Вычисляем оптимальные параметры v<2-1> =vmaxa(p),
v<21>=v bip),
max 1 7
1 = 1,2,... ,2p.
В этом случае энергетическая норма оператора перехода Sn удовлетворяет оценке ||Sn||K =5 Cpß(), где константаС « 1.
Список литературы
1. Buzdin A. Tangential decomposition // Computing. 1998. Vol. 61: Р. 257 —
276.
2. Buzdin A., Wittum G. Two-Frequency Decomposition: Preprint / Universität Heidelberg. 2000.
3. Буздин А.А., Васильева Е.А. Об одном варианте метода неполного блочного разложения // Вестник КГу. Вып. 1 — 2. Сер. Информатика и телекоммуникации, 2005. С. 70 — 76.
4. Они же. Неполное блочное разложение, основанное на аппроксимациях Паде // Математическое моделирование (в печати).
5. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.
6. Wagner C. Tangential frequency filtering decompositions for symmetric matrices // Numer. Math. 1997. Vol. 78: Р. 143 — 163.
7. Wittum G. Filternde Zerlegungen□ Schnelle Löser für grosse Gleichungssysteme // Teubner Skripten zur Numerik. B. 1. Stuttgart: Teubner-Verlag, 1992.
Об авторах
69
А. А. Буздин — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта. Е.А. Васильева — ассист., РГУ им. И. Канта.
К.С. Латышев — канд. физ.-мат. наук, проф., РГУ им. И. Канта.
