CC BY
9
Литература
1. Peherstorfer F., Yuditskii P. Asymptotic behavior of polynomials orthonormal on a homogeneous set [Журнал] // Journal d'Analyse Mathématique. - 2003 г. - 1: Т. 89. -стр. 113-154.
2. Widom H. Extremal polynomials associated with a system of curves in the complex plane [Журнал] // Advances in Mathematics. - 1969 г. - стр. 127-232.
3. Кононова А. А. О компактных возмущениях конечнозонных операторов Якоби // Зап. научн. сем. ПОМИ. - СПб.: ПОМИ, 2009 г. - Т. 366. - стр. 84-101.
О пополнениях по ультрафильтрам Болжиев Б. А.
Болжиев Бурас Асанбекович /Boljiev Buras Asanbekovich - кандидат физико-математических наук, Институт теоретической и прикладной математики, Национальная академия наук Кыргызской Республики (НАН КР), г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: вводятся новые понятия сильной (слабой) Р-секвенциальной полноты равномерного пространства, и устанавливаются различные связи с пространствами, обладающими соответствующим типом компактности. Ключевые слова: равномерное пространство, пополнение, ультрафильтр.
Все рассматриваемые пространства предполагаются быть тихоновскими. Греческими буквами т и у будем обозначать бесконечные кардинальные числа.
Символом N (л) будем обозначать семейство всех окрестностей точки X £
Если т является кардинальным числом, то посредством ¡3(т) будем обозначать Стоун-Чеховское расширение дискретного пространства т ассоциируемое с
множеством всех ультрафильтров на т , и её нарост т* = /3(т) \ т ассоциируется с множеством всех свободных ультрафильтров на т .
Каждое равномерное пространство (Х,и) будет рассматриваться заданным в терминах покрытий, и топология, порожденная равномерностью и, будет обозначаться символом 5и. Если (X, 5) - топологическое пространство и (X, и) -равномерное пространство, то, говорят, что равномерное пространство (X,и) или равномерность и совместима с 5 , если 5и = 5 . Пусть 0 Ф Р ст'.
Определение 1. т -последовательность (ха )а<т в равномерном пространстве (X, и) называется сильной Р -последовательностью Коши (сокращенно sP -последовательностью Коши), если для любого равномерного покрытия а £ и найдётся А £ а такое, что {а : ха £ А} £ р для произвольного р £ Р.
Определение 2. т -последовательность (ха )а<т в равномерном пространстве (X, и) называется слабой Р -последовательностью Коши (сокращенно оР -последовательностью Коши), если для любого равномерного покрытия а£ и найдётся А £ а такое, что {а: ха £ А} £ р для некоторого р £ Р .
Пусть p ет , тогда говорят, что точка л е X является p -предельной точкой т -последовательности (ха )а<г в X и пишется х = p — lim ха, если для любой окрестности V точки X {а : ха е V} е p. Понятие p -предельной точки было
впервые введено Бернштейном [1] для случая Т = СО и позже было распространено на любой кардинал Саксом [4].
Определение 3. Равномерное пространство (X, U) называется сильно P -
секвенциально полным, если для любой sP -последовательности Коши (ха )а<т найдётся точка X е X , такая, что X = p — lim ха для любого p е P.
Определение 4. Равномерное пространство (X, U) называется слабо P -секвенциально полным, если для любой oP -последовательности Коши найдётся точка X е X такая, что для любого W е N(х) найдётся элемент p е P, так что {а : х„ е W} е p .
В равномерном пространстве (X, U) для произвольных а е U и A с X положим а(A) = ^{B : B еал AоB Ф 0}.
Предложение 1. Пусть в равномерном пространстве (X, U) точка X является p -предельной точкой sP - последовательности Коши (Xa)а<т для некоторого p е P, тогда X является q -предельной точкой Т -последовательности (Xa )а<т для произвольного q е P .
Доказательство. Пусть в равномерном пространстве (X ,U) точка X = p0 — lim Xa для некоторого p0 е P и некоторой sP -последовательности Коши (X« )а<т . Для любого O е N ( x) найдётся а eU такая, что а(а( X)) с O [2]. Из определения 1 следует, что найдётся элемент V еа таким образом, что {а : ха eV} е p для всякого p е P и, следовательно, для p0. Очевидно, что V пересекает всякое открытое множество, содержащее X. Таким образом, {а : ха е O} е p для произвольного p е P.
Следствие 1. Равномерное пространство (X, U) является sP -секвенциально полным, если всякая sP -последовательность Коши обладает p -предельной точкой для некоторого p е P.
Напомним, что фильтр в топологическом пространстве (X,5) называется дискретным, если для всякого X существует V е N(х) такое, что V о B = 0 для некоторого B е^.
Предложение 2. Пусть щ является дискретным фильтром в топологическом пространстве (X,5) . Тогда найдётся одноточечное расширение (X* ,5*), так что
>g< sfc Ж а$е sie
фильтр щ будет сходиться к точке х , где х = X \ X и (X , 5 ) тоже является тихоновским.
Доказательство. Пусть х является произвольным объектом вне X и X = X ^ {х }. Символ S обозначает множество всех конуль множеств пространства (X, 5) такие, что для произвольного V е S найдётся B ещ,
удовлетворяющее следующему условию: f (B) = 0, f (X \ V) = 1 для некоторой непрерывной функции f: X ^ [0,1]. Снабдим множество X топологией т .
Пусть O с X, тогда O е 8 если и только если O е 8. Предположим, что x е O, тогда O е 8 , если и только если O о X е 8 и O о X содержит некоторое V е S . Нетрудно заметить, что таким образом построенное (X* ,8*)
ж
является тихоновским пространством, и что фильтр сходится к x .
В [5] Савченко обобщила Комбаровское понятие компактности по множеству ультрафильтров [3] на произвольные кардиналы.
Определение 5. (Савченко). Пусть 0 Ф P ст и X является пространством. Тогда X называется квази P -компактным, если любая т -последовательность (x« )а<т обладает p -предельной точкой для некоторого p е P.
В случае P = {p} квази p -компактность совпадает с p -компактностью [4], и понятия sp -последовательности Коши и wp -последовательности Коши совпадают так же, как и соответствующие им понятия sp -секвенциальной полноты и wp -секвенциальной полноты, и в этом случае мы просто говорим о p -последовательности Коши и p -секвенциальной полноте.
Предложение 3. Пусть (X, 8) является квази P -компактным пространством. Тогда всякое равномерное пространство (X, U) , совместимое с 8 , является p -секвенциально полным.
Доказательство. Предположим, что (X,U) не является SP -секвенциально
полным для некоторой равномерности U, совместной с 8 . Тогда найдётся sP -последовательность Коши, которая в силу Предложения 1 не обладает p -предельной точкой для всякого p е P, что противоречит квази P -компактности пространства
(X ,8).
Рассмотри случай, когда P является замкнутым и, следовательно, компактным подмножеством т и пусть (X,8) является таким пространством, что всякое равномерное пространство (X, U), совместное с 8 , является sP -секвенциально полным. Предположим, что (X, 8) не является квази P -компактным. Тогда найдётся т -последовательность (xa )а<т, не имеющая p -предельной точки для всякой p е P. Пусть Fp = {A с X :{а : xa е A} е p} для любого p е P. Фильтр F будет называться ассоциируемым с P . Покажем, что этот фильтр F является дискретным. Предположим противное, и пусть x является точкой прикосновения фильтра F. Тогда V О A Ф0 для любого V е N (x) и всякого A е F . Ясно, что семейство G = {{<% : xa еVо A},V е N(x), A е Fp} является центрированной в P , которое компактно. Поэтому существует некоторое q е o{[B]: B е G}, что, в свою очередь, влечёт x = q — lim xa и тогда q е P, что противоречит предположению. По предложению 2 найдётся пространство X = X ^ {x}, в котором фильтр F сходится к x . Пусть B будет произвольной равномерностью на X , совместной с 8 . Положив U = B |х, легко заметить, что (X, U) совместна с
S , и что в равномерном пространстве (X , B) Т -последовательность (ха )а<т p -сходится к х для любого p е P и таким образом (ха )а<т является sP -последовательностью Коши в (X, U), не обладающее p -предельной точкой в X для любого p е P. Поэтому (X, U) не является sP --секвенциально полным. Совмещая этот результат с предложением 3, мы получим следующую теорему.
Теорема 1. Пусть P замкнуто в т . Тогда пространство (X, S) является квази P -компактным если и только если (X, U) является sP -секвенциально полным в любой равномерности U , совместной с S .
ж
А. П. Комбаров [3] показал, что слабая w -компактность эквивалентна счетной
ж
компактности, которая, в свою очередь, эквивалентна w -компактности или квази
ж ж
w -компактности. Ясно, что sw -последовательность Коши совпадает с обычной последовательностью Коши, и мы получим следующее следствие:
Следствие 2. Топологическое пространство (X, S) является счетно компактным тогда и только тогда, когда оно является секвенциально полным в любой равномерности, совместной с S .
Следствие 3. Топологическое пространство (X, S) является p -компактным если и только если оно p -секвенциально полно в любой равномерности, совместной с S .
Литература
1. Bernstein A. R. A new kind of compactness for topological spaces, Michigan Math.J. 15 (1968), р. 313-320.
2. Borubaev A. A. Uniform topology. Bishkek, 2013, 337 p.
3. Kombarov A. P. Compactness and sequentiallity with respect to a set of ultrafilters, Moscow Univ. Math. Bull. 40 (1985), 15*18.
4. Saks V. Ultrafilters invariant in topological spaces. Trans. Amer. Math. Soc. 1978. V.241, р. 79-97.
5. Savchenko I. A. Convergence with respect toultrafilters amd the collective normality of products, Moscow Univ. Math. Bull. 43 (1988), р. 45-47.
О некоторых свойствах р - секвенциальных пространств
Болжиев Б. А.
Болжиев Бурас Асанбекович /Boljiev Buras Asanbekovich - кандидат физико-математических наук, Институт теоретической и прикладной математики, Национальная академия наук Кыргызской Республики (НАН КР), г. Бишкек, Кыргызская Республика
Аннотация: в данной статье изучаются свойства р — секвенциальных пространств для произвольного свободного ультрафильтра р на множестве мощности Т Ключевые слова: р — секвенциальное пространство, р — компактное пространство, тихоновское пространство, ультрафильтр.
