О положительности функций Грина функционально-дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Kuterin Fedor Alekseevich, Nizhny Novgorod State University named after N.I. Lobachevskiy, Nizhny Novgorod, the Russian Federation, Assistant, e-mail: [email protected]

УДК 517.929.7

О ПОЛОЖИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ГРИНА ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

© С.М. Лабовский

Ключевые слова: функция Грина; функционально-дифференциальное уравнение. Рассматривается двухточечная краевая задача для функционально-дифференциального уравнения. Получено необходимое и достаточное условие отрицательности функции Грина в терминах собственных чисел двух вспомогательных краевых задач.

Задача

Результат данной работы обобщает результаты, полученные в [1] в случае п = 3 . Рассматривается задача об условиях отрицательности функции Грина двухточечной краевой задачи

I

Си(х) := и(п)(х) - У и(з)й3т(х, в) = /(х), х € [0,1], (п ^ 3) (1)

0

В(и) := (и(0), и'(0),..., и(п-2)(0), и(1)) = 0, (2)

(символ := означает равно по определению) в предположениях, приведенных ниже. Отметим, в частности, предположение неубывания функции т(х, в) по второму аргументу, что для случая сосредоточенных отклонений

1 т

/ u(в)dsт(x,в) = ^ Рг(х)и(Нг(х)), (3)

0

означает неотрицательность коэффициентов р ^ 0 .

Аналог задачи в случае п = 2 рассматривался в [2], а также в случае запаздывания в [3-5].

Основной результат - необходимые и достаточные условия отрицательности в терминах наименьших собственных чисел для вспомогательных краевых задач. Эти числа могут быть эффективно оценены, и получены эффективные условия отрицательности. Для уравнения с запаздывающим аргументом задача рассматривалась в [6]. Помимо основной задачи, которую можно записать в виде

Си = /, В(и) = 0

будем рассматривать и неоднородную задачу

Си = /, В (и) = а. (4)

В случае однозначной разрешимости (4) решение имеет вид

u = Gf + Ua.

При этом G имеет интегральное представление Gf (ж) = /0 G(x,s)f (s)ds, а отрицательность G(x, s) ^ 0 функции Грина эквивалентна импликации f ^ 0 ^ Gf ^ 0. Аналогичное свойство может иметь отображение U. Это свойство назовем положительной разрешимостью, что означает положительность оператора-пары (G, U) . Однако для задачи с вектор-функционалом B(u) краевых условий, определенным равенством (2), это свойство не имеет места, и мы будем понимать положительную разрешимость в более узком смысле, согласно следующему определению.

Определение! Задача (4) частично положительно разрешима, если она однозначно разрешима при любых допустимых правых частях, и из

n-2

f < 0, a = (С.70, an-i, an) ^ 0

следует неотрицательность u ^ 0 ее решения (т.е. u(n-2)(0) ^ 0, u(1) ^ 0, u(0) = u'(0) = = ••• = u(n-3)(0) = 0 ).

Предположения

Примем, что г(ж, s) не убывает по s для почти всех ж € [0,1] , г(ж, 0) = 0, г(ж, s) измерима по ж € [0,1] для всех s € [0,1] , и г(ж, 1) интегрируема на [0,1] . Функция f(ж) интегрируема на [0,1] . Решение ^ж) есть функция с абсолютно непрерывной производной u(n-1) , удовлетворяющая (1) почти всюду на [0,1] .

В случае (3) рДж) интегрируема по Лебегу на [0,1] , а функции Л^(ж) измеримы (если Л,(ж) € [0,1] , u(h^)) = 0). Условие неубывания г(ж, s) означает неотрицательность коэффициентов рДж) ^ 0 .

Результат

Уравнение

I

Lau := ^"'(ж) — Л J u^d^r^, s) = 0 о

будет задачей о собственных значениях при краевых условиях

B0(u) := (u(0), u'(0),..., u(n-1)(0)) = 0

и

B|(u) := (u(0), u'(0),..., u(n-3)(0), u(1), —u'(1)) = 0.

Пусть Л(0) и л« наименьшие положительные собственные значения задач {Lau = = 0, B0(u) = 0} и {Lau = 0, B0(u) = 0} соответственно3. Если одно (или оба) из них не существует, оно принимается равным плюс бесконечности. Собственные числа

Л(0)

и Л(0 могут быть эффективно и точно оценены с помощью теорем об интегральных и дифференциальных неравенствах (см., например, [7, 8]. Двухточечная задача рассмотрена в сингулярном случае в [9].

3Каждая из этих задач эквивалентна задаче о собственных значениях для компактного положительного оператора. В [10] показано, что наименьшее собственное число просто, положительно и 1/А = р , где р -спектральный радиус оператора.

Основной результат представлен в следующей теореме. Теорема1. Условие

(А(0) > 1) Л (A(i) > 1)

необходимо и достаточно для того, чтобы задача (4) была частично положительно 'разрешима, причем если — f0 f (x) dx + an-1 + an > 0 , то u(x) ^ cxn-1(l — x) для некоторого c> 0 .

Эффективные условия положительной разрешимости могут быть получены с помощью теорем об оценке спектрального радиуса положительного оператора. Такие теоремы известны, см., например, [7]. В нашем случае удобно использовать их варианты из [8, 9].

Теорема 2. Пусть существует неотрицательное решение неравенств Lu = ф ^ 0, Bo(u) 0 .

Тогда А(0) > 1.

Теорема 3. Пусть существует неотрицательное решение неравенств Lu = ф ^ 0, Bi(u) ^ 0 , причем либо /0 ф(s)ds > 0 , либо Bi(u) = 0 . Тогда А(1)) > 1. Следствие! Пусть

/ i\ n!

ess sup r(x, l) < —.

n!

Доказательство. Пусть ess sup r(x, l) = in(1 + ) . Полагая в теореме 2 u(x) =

Тогда А(0) > 1 . Доказа

= xn + exn-11, имеем

n! — t (sn + esn-1l)dsr(x, s) ^ n! — ln(1 + e) 0

n! 0.

ln(1 + e)

Для получения оценки A(i) используем теорему 3. С л е д с т в и е 2. Пусть

ess sup r(x, l) ^

4(n — 2)n-2 ln'

i n!nn

Тогда A(i) > 1, исключая случай J u(s)dsr(x, s) = -2)n-^nu(x0), где x0 = (n—2)l/n .

Доказательство. Положим в теореме 3 u(x) = xn" ~2(l — x)2 . Так как

max{xn-2(l — x)2: 0 < x < l} = 4(n 2 ln,

Lu = n! — t sn-2(l — s)2dsr(x, s) ^ n! — 4(n — 2)n 2 lnr(x, l) ^ 0.

0 nn

ЛИТЕРАТУРА

1. Labovskiy S., Volinsky I. On positivity of Green functions for a functional-differential equation // Functional Differential Equations. 2014. №21 (1-2). P. 17-30.

2. Labovskiy S. On positivity of the Green operator for functional differential equation // Functional Differential Equations. 2012. №19 (3-4). P. 323-333.

3. Лабовский С.М. О дифференциальных неравенствах для уравнения с запаздывающим аргументом // Труды Московского института химического машиностроения. 1975. № 64. C. 40-45.

4. Лабовский С.М. О сохранении знака вронскиана фундаментальной системы, функции Коши и функции Грина двухточечной краевой задачи для уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференциальные уравнения. 1975. №11(10). C. 1780-1789.

5. Симонов П.М., Чистяков А.В. О некоторых признаках сохранения знака функции Грина для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: Московский физико-технический институт (государственный университет), 1999.

6. Лабовский С.М. О линейных дифференциальных неравенствах. PhD thesis, Математический институт им. Размадзе. Тбилиси, 1975.

7. Krasnosel'skii М., Lifshits Е., Sobolev А. Positive linear systems. The method of positive operators. Transl. from the Russian by Jurgen Appell. Berlin: Heldermann-Verlag, 1989. Zbl 0674.47036.

8. Лабовский С.М. О положительных решениях линейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1984. №20(4). C. 578-584.

9. Лабовский С.М. Положительные решения двухточечной краевой задачи для сингулярного линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1988. №24(10). C. 11161123.

10. Крейн М.Г., Рутман М.А. Вполне непрерывные операторы, оставляющие инвариантным конус в пространстве Банаха // Успехи математических наук. 1948. №1(23). C. 3-95.

Поступила в редакцию 9 июня 2015 г.

Labovskiy S.M. ON POSITIVENESS OF GREEN FUNCTIONS OF A FUNCTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION

We consider the two-point boundary value problem for a functional-differential equation. A necessary and sufficient condition for the negativity of the Green function in terms of the eigenvalues of two auxiliary problems is obtained.

Key words: Green function; functional differential equation.

Лабовский Сергей Михайлович, Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, г. Москва, Российская Федерация, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, e-mail: [email protected]

Labovskiy Sergei Mikhailovich, Moscow State University of Economics, Statistics and Informatics, Moscow, the Russian Federation, Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of the Higher Mathematics Department, e-mail: [email protected]

УДК 519.6

ОБ ОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ПОТЕНЦИАЛА В НЕЧЕТНО-ПЕРИОДИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

© Е.Б. Ланеев, М.Н. Муратов, Е.Ю. Пономаренко

Ключевые слова: некорректно поставленная задача; обратная задача потенциала; метод регуляризации Тихонова.

Получено устойчивое решение линейной обратной задачи потенциала для для бесконечно тонких плоских тел в случае, когда поле потенциала задано на неплоской поверхности.

Как известно, обратная задача потенциала [1] некорректно поставлена. Ее решение может не существовать, существующее решение может быть не единственным и неустойчивым в естественных постановках. В данной работе рассматривается постановка линейной обратной задачи потенциала для бесконечно тонких плоских тел, сводящаяся к линейной задаче продолжения поля потенциала [2]. Устойчивое решение строится с использованием метода регуляризации Тихонова [3]. Задача рассматривается в рамках периодической модели