О поглощении излучения ламинарным пограничным слоем при наличии в нем примеси инородного газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII 1977 М3

УДК 532 526.011:533.694.71/72

О ПОГЛОЩЕНИИ ИЗЛУЧЕНИЯ ЛАМИНАРНЫМ ПОГРАНИЧНЫМ СЛОЕМ ПРИ НАЛИЧИИ В НЕМ ПРИМЕСИ ИНОРОДНОГО ГАЗА

В. П. Провоторов

Исследуются вопросы, связанные с поглощением излучения ламинарным пограничным слоем. При этом рассматривается обтекание пластины потоком воздуха и предполагается, что нормально к ее поверхности падает узкий пучок излучения, а через поверхность пластины вдувается инородный газ.

Приводятся асимптотические решения указанной задачи при наличии в пограничном слое малой примеси инородного газа. Эти решения сравниваются с результатами численного расчета, полученного конечно-разностным методом.

1. В последнее время стали актуальными вопросы, связанные с радиационногазодинамическим взаимодействием. Одной из таких задач является задача

о поглощении падающего излучения ламинарным пограничным слоем при наличии в нем примеси инородного газа. Впервые экспериментальное и теоретическое исследование вопроса о поглощении излучения с длиной волны 10,6 мк пограничным слоем воздуха при вдуве в него шестифтористой среды 5Рв было проведено в работах [1—3]. В работе [1], в частности, экспериментально получен коэффициент поглощения смеси воздуха и ЭРв в зависимости от парциального давления и температуры смеси.

Теоретическое исследование указанного вопроса в случае термодинамического равновесия проведено в работе [2]. При этом в последней работе приведен пример численного решения уравнений бинарного пограничного слоя с учетом поглощения излучения при ступенчатом распределении вдуваемого вещества и излучения. В работе [3] приведена в наиболее общем виде система уравнений, описывающая поглощение излучения пограничным слоем при наличии термодинамической неравновесности смеси газов с возбужденными внутренними степенями свободы. Кроме того, в [3] рассмотрены возможные постановки задач в зависимости от порядков величин энергетического параметра [4] и некоторого параметра 5, характеризующего колебательную неравновесность в газе, вызванную излучением [5].

В настоящей работе, в отличие от [2], рассматривается следующий режим течения: 1) на внешнюю границу пограничного слоя падает узкий пучок излучения с относительной шириной = й)1 < 1 (й — ширина пучка, I — длина пластины); 2) распределение вдуваемого вещества вдоль пластины имеет произвольный вид. При этом, как и в [2], предполагается, что числа М набегающего потока порядка единицы и всюду вблизи поверхности пластины, включая и область падающего излучения, течение описывается системой уравнений для термодинамически равновесного пограничного слоя, т. е. согласно [3, 5], полагается я <С 1.

Таким образом, рассматриваются такие мощности падающего излучения, которые вызывают в пограничном слое относительные изменения энтальпии, а следовательно, и возмущения давления, значительно меньшие по порядку величины единицы, т. е. ДА — Д/з <С 1, что приводит к следующему ограничению на

относительную ширину пучка: е С X « 1, где е=(рс0и00 %») 1/2, Р» > ««,. ^оо — плотность, скорость и вязкость невозмущенного потока соответственно.

Итак, ниже предполагается, что X—где 0<^<[1, и что расчет уравнений пограничного слоя и поглощения излучения независимы, т. е. согласно [3, 4], рассматриваются значения энергетического параметра значительно меньшие единицы. Последнее обстоятельство в предположении, что характерная длина поглощения излучения имеет порядок толщины пограничного слоя (для 5Р6 это справедливо на небольших высотах полета), приводит к следующему ограничению на интенсивность падающего излучения:

>/Ро

,Аоо = 0(вОТ)«еТ. (*>')•

(1.1)

Здесь 1чаз— интенсивность падающего излучения, — энтальпия набегающего потока.

Наконец, отметим, что указанные выше интенсивности излучения, вызывая малые изменения параметров течения, могут привести лишь к локальному отрыву потока в окрестности области падения излучения, однако в основном порядке отрыв не повлияет на течение во внешней области пограничного слоя и, следовательно, на поглощение излучения.

2. Систему уравнений ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии вдува инородного газа запишем в виде [6]:

дри , дри „ )

~дх

= 0,

aдJLл-v

дх

да

~ду

йр . д йх ду

ди

I —

ду

ир- =--тг- • (/=1*2)

дх ду } ду

дх

+

дТ

ду

1=1, 2

дТ_

ду

(2.1)

)

Здесь и, V — компоненты скорости вдоль и по нормали к поверхности соответственно; р — плотность; р — давление; /,• — диффузионный поток г-го компонента,

дс1

который будем определять используя закон Фика у,-= — рО]2 с/ — массовая

концентрация г-го компонента; Т — температура; [х — вязкость; X — теплопроводность; ср — удельная теплоемкость смеси; £>12 — коэффициент бинарной диффузии.

При решении системы уравнений (2.1) используем уравнение состояния,

соотношение, связывающее вязкость и температуру, а также следующие гранич-

ные условия:

у = 0: и = 0, у = ит(х), Т=Тт(х),

А ни + (р*0и( С1IV = (2.2)

у — со: и — ие, Т = Те, сх = 1.

В силу предложения Х=й//<^1 и ограничения (1.1) система уравнений пограничного слоя с относительной погрешностью 0(^а~^ т) не зависит от уравнения переноса излучения, которое в предположении, что единственным радиационным процессом является поглощение, примет вид

где /„ — локальная интенсивность излучения, а ач — коэффициент линейного поглощения смеси газов. На внешней границе пограничного слоя в интервале / х < I й (см. фиг. 1) величина / —постоянная заданная величина.

Интегрируя уравнение переноса излучения, получим

= ехР

йу

(2.3)

В данной работе коэффициент поглощения смеси воздуха и 5Р6 берется

согласно данным работы [2]: (

о, = Р5ра(5,67-104 — 98,5 Т). (2.4)

Здесь оч = 0 при Т >573 К, [с»ч] = м—*, Р5р — парциальное давление 8Р6, [Р5р] =

= Па; [ Т] = К. 6 “

Перейдем в системе уравнений пограничного слоя (2.1) и соответствующих граничных условиях (2.2) к переменным Дородницына — Лиза;

У

£ = х\Ц т] = “е. | рйу, ф* = (2х ре ие [хе)1/25

(2.5)

/' = 9 = Т/Те, N = р(х/ре^е.

Здесь Ь — некоторая характерная длина, а индексом ,е' обозначены соответствующие величины на внешней границе пограничного слоя.

Фиг. 1

Тогда система уравнений пограничного слоя и граничные условия примут вид (ниже штрих обозначает производную по т), а точка — по £):

(ЛГ) + //" = 2 6 (/'/' -//"),

(ГТГ~ ^ )' +А* = П{Г~с1- /е\). С! + с2 = 1,

ср срх ~ °Р

+ -г-/в'+—і— Ч л.

А^Ье

-рр- С! в' + ЛЩ"2 =

Т^2 6(Я»-/0*).

(2.6)

1 = 0: / = /«,(&). /'=0, 0 = 6., с;) +21^М*С1то = о,

V Рг 7я, 4**

и) = о&: = в = сі = 1.

(2.7)

Здесь к = (и — 1) М*, Ье—число Льюиса, Рг—число Прандтля, а индекс относится к величинам на поверхности пластины.

Выберем характерную длину Ь из условия

— РвН? (Рв Г*-98,5-/?5р. )-*,

IV '•

тогда уравнение (2.3) с учетом (2.4) примет вид

/,//,„ = ехр [-в (6, 1)], (2.8>

где

СО

о (I Г)) = Г2У | с2 6 - 0) а-п, (2.9)

1 е

причем подынтегральное выражение при 0 > 573/7^ полагается равным нулю.

Таким образом, задача свелась к интегрированию системы уравнений (2.6) с граничными условиями (2.7) и последующему вычислению интеграла (2.9).

При этом для вычисления термодинамических коэффициентов используем соот-

ношения:

і 1 о ■ ие

Ср ~ Сі Ср і -р С2 Срч\ Ср\ = 2 Ср 2 = 4 /?2 + •

Здесь величина е представляет колебательную энергию молекулы 5Р6, которую можно записать следующим образом: л ^

е = «2 21 тт ,/[ехр (7^ {1Т) - 1],

1=1

где суммирование ведется по шести колебательным модам молекулы 8Р6, а статистические веса gчt и характерные температуры приведены в табл. 1.

Таблица I

Мода

Статистичео* кий вес 1 2 3 3 3 3

Характерная температура, К, 1108 921 1365 884 751 504

Эти данные заимствованы из работы [2].

3. В общем случае при произвольном распределении вдува, но при таких его интенсивностях, когда справедливы уравнения пограничного слоя, решение поставленной выше задачи можно получить только численно. В случае автомодельного вдува задача сводится к решению краевой задачи для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений и последующему вычислению интеграла (2.9). В случае слабого вдува, т. е. при (?) = ех/1т (£), где е, « 1, /, к,(с) = 0 (1), как показано в работах [7, 8], задача о пограничном слое может быть решена при произвольном распределении вдува. При этом в [7] это решение представляется через интеграл Дюамеля, а в [8] в виде рядов по неизвестному распределению /! щ, (5) и производным от этой функции.

В нашем случае выпишем окончательный вид решения при полиномиаль-

N

ном распределении вдува, т. е. при /]а,(?)= — ^ Е1*, где — неизвестные

11=0

коэффициенты полиномиального представления. В этом случае для величин

8 — Ученые записки Кг 5

113

относительной интенсивности излучения, концентрации вдуваемого вещества и трения на поверхности пластины получим следующие простые выражения:

П\

'“V

лг

сг 11) — е1 2 (* + 2 с2|1. ^ >

(1=0

N

/;=/о + ^Х |1=0

°° 573

Здесь 51х = ехр (- <?2 и.)> 02 !1 = | с2 11 е0 (■ту - 00 ) *)•

(3.1)

Значение величин 5^, с2 и fl , которые в интервале Ме =0 -5-1,5 с точностью до 2% не зависят от Ме на поверхности пластины при 7'е = 300 К, вт = ];

Рг = 0,7; Ье = 1 и линейной зависимости вязкости от температуры приведены в табл. 2.

Таблица 2

р С2 (1

0 0,1183 1,6919 0,7230

1 0,4048 1,0309 1,6405

2 0,5362 0,8467 2,3506

3 0,6121 0,7484 2.9663

4 0,6626 0,6840 3,5236

5 0,6990 0,6372 4,0399

6 0,7267 0,6010 4,5250

7 0,7488 0,5719 4,9853

4. Найдем асимптотическое решение поставленной в п. 2 задачи, справедливое на больших расстояниях от области вдува. Прежде всего отметим, что интегрирование уравнения диффузии по к) в интервале от 0 до оо приводит к следующему интегральному условию:

00

§/' С2 сЬ1 --

— /«(6).

(4.1)

На больших расстояниях от области вдува, а именно, в области, где приведенная величина расхода /к, (£)— сопв(/у'£ , соотношение (4.1) указывает на то, что главные члены асимптотического разложения функций /, с2 и 0 имеют вид:

/ = Л) (Ч) + • ■ • , с2 = £+•••• ® ~ ®0 С1)) -(“••••

Причем функции /0(Т|), с2о("»!) и 0о('г1) удовлетворяют следующей системе уравнений (ниже величины с индексом 0 соответствуют главным членам разложения соответствующих величин):

М>/0 )' 4-/о/о =

N.

Рго М +/о6о Т^о/о2 ~ О* Мо 1-ео - V . , - _ „

Рг0 с20/ +/осго + /ос2о - О

(4.2)

Л4

и граничным условиям:

if] = 0: /о ~ / о “ О> во ~ ^20 =

. ; (4.3)

7] ^ ос: /0 = 0О — I; с2О = 0.

Связь с „предысторией* течения осуществляется согласно интегральному условию

00 '

[ /о с20di) = с, = const, (4.4)

о

которое следует из соотношения (4.1). Решение системы (4.2) с условиями (4.3) и (4.4) соответствует задаче об определении плотности распределения электронов в ламинарном пограничном слое для некаталитической поверхности, решенной в работе Блоттнера [9].

Введем обозначения:

с20 = с2 4о (I), во =■• 0«- + (1 — К) ei (■»!) + Ц02 (^)-

Здесь постоянная с2 и выражение для 0О выбраны таким образом, чтобы с^,(0)=0.

а функции 6j (i]) и 02 ("^) не зависели от параметров 0^,, *. и Ме.

Тогда из (2.8), (2.9) и (4.2) получим следующие выражения для относительной интенсивности излучения и концентрации SF6 на поверхности пластины

» = ехр [-<?©], Q(5) = --/2F-£, J (45)

„ = -/„(£)//*. >

СО со

Здесь А — j 0о (т7- ~• 0о) d-ц, a У* — J/0 dij, причем величина А следую-о е о

где

щим образом выражается через интегралы У,- (/=1, 2, ... 6)

573

А = [бщ, + (1 — 0jo) У2 + Т-^з] — [0® + 2 0да (1 — бщ,) У2 + 2 0^7/3 +

V + (1-0в),Л + 7»У6 + 27(1-01Г)Уб],

00 . СО 00

./j = ^ CyQ rf"*], У2 = ^ ^20 01 ^"*1’ = ^ ^20

0 0 О

СО 00 СО

^4 = J* с20 ^5 = J* ^20 02 ^ = ^20 01 02

Значения интегралов У; и У* зависят только от величин JV0> Рг0 и Le0.

Численное интегрирование соответствующей системы уравнений и последующее вычисление интегралов при N0=1, Pro = 0,7 и Le0 = 1 приводит к следующим значениям У,- и У*

yt = 2,3503, У2 = 1,1423, У3 = 0,1546, У4 = 0,7397,

У6 = 0,0120, У6 = 0,0753, У7 = У* = 1,2504.

5. Для определения области применимости приведенных выше линейного приближения (см. п. 3) и асимптотического решения (см. п. 4) сравним их с численным решением задачи при автомодельном вдуве (/да (£) = const) и вдуве, распределенном по закону fw = — ЬР j(a + £)т+1/2. При этом численное 'решеиие-системы уравнений (2.6) с граничными условиями (2.7) найдем конечно-разностным методом И. В. Петухова [10].

Результаты сравнения автомодельного решения и линейного приближения, приведенные на фиг. 1, показывают, что в диапазоне О-^^^О.З (при сравнении полагалось = —fw) максимальная относительная ошибка в определении интенсивности излучения на поверхности пластины, местного трения и концентрации вдуваемого вещества составляет около 10%. Кроме того, полученное в п. 3 решение показывает, что даже при слабом вдуве интенсивность падающего’ излучения с длиной волны 10,6 мк можно значительно уменьшить. Действительно, используя первое из уравнений (3.1), можно оценить длину области вдува, при которой будет поглощаться заданное количество излучения. “

9—Ученые записки 115

Фиг. 2

Фиг. 3

'На фиг. 2 приведено сравнение линейного решения (см. п. 3) и асимптотического приближения (см. п. 4) с точным численным расчетом задачи о поглощении излучения при распределенном вдуве. Численные значения входящих в задачу параметров были приняты равными: 7 = 0; а= 1; 6 = 0,1; Ме = 0; Те = 300 К, вщ, = 1. Сплошная кривая соответствует точному расчету, пунктирная— линейному решению, а штрихпунктирная —асимптотическому приближению. Совпадение вполне удовлетворительное, причем отметим, что в линейном приближении брались первые семь членов соответствующего полиномиального представления указанного вдува. Кроме этого, укажем, что, согласно результатам расчета, влияние числа Ме в диапазоне 0^Ме<;1,5 на относительную интенсивность излучения, концентрацию и трение на поверхности пластины незначительно и не превосходит 2%.

Прежде чем остановиться на других численных результатах, полученных в работе, отметим, что при аффинном преобразовании продольной координаты 5 = Ца и вдуве вида /да (£) = (£), где g (£) = ат g (?) - однородная функция сте-

пени „т“, и сохранении величины аат, имеет место подобие характеристик пограничного слоя, а следовательно, как это непосредственно следует из соотношений (2.8) и (2.9), и величины (^ча,//,!Х)1/лГ2а ■

Таким образом, при вдуве вида/т — — &?7/а: (а + существует аффинное

преобразование подобия и потому в приведенных ниже расчетах всюду было ■положено а — 1.

На фиг. 3 приведены некоторые результаты расчета при распределенном ■вдуве /а, (£) = — Л;т/( 1 + £)Т + 1/2 и следующих значениях параметров: 7 = 1,

Ь — 1,5 У 3 д, где д полагалось равным <?=0,125; 0,250; 0,375; 0,500; Ме = 1,5; 6№=1;

Те = 300К. На этой фигуре сплошными кривыми нанесены результаты численного расчета, а пунктиром — асимптотические значения величины с2щ). Эти результаты (см. фиг. 3) показывают степень влияния максимальной величины приведенного вдува (величины <?) на относительную интенсивность излучения и концентрацию вдуваемого вещества на поверхности пластины. Кроме того, эти результаты позволяют при заданном ^ определить место максимального поглощения, а также оценить значения величины <7 или а, при которой будет поглощаться заданное количество излучения. Наконец, отметим, что согласно результатам расчета влияние числа М в диапазоне 0<;Ме<;1,5 и в этом случае незначительно и не превосходит 2%.

ЛИТЕРАТУРА

1. Anderson J. D. Jr., W a g n е г J. L. and Knott J. C02 laser radiation adsorption in SF6 — air mixturess, AIAA J., vol. 11, N 10, 1973.

2. Anderson J. D. Jr. Computations of C02 laser radiation adsorption in SFe —air boundary-layers, AIAA J., vol. 12, N11, 1974.

3. Кузнецов В. М. О механизмах усиления и поглощения излучения в задачах релаксационной газовой динамики. Сб. трудов 111 Всесоюзного семинара по моделям механики сплошной среды. Новосибирск, 1976.

4. Агафонов В. П., Вертушкин В. К., Гладков А. А., Полянский О. Ю. Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М.. „Машиностроение", 1972.

5. Басов Н. Г., Ораевский А. Н., Степанов А. А., Шеглов В. А. Неравновесная колебательная кинетика молекул в присутствии поля резонансного лазерного излучения". ЖЭТФ, т. 65, вып. 5, 1973.

6. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М., „Наука", 1969.

7. Libby P. A. The laminar boundary-layer with arbitrarily distributed mass transfer. Inter. Jour, of Heat and Mass transfer, vol. 9, N 10, 1966.

8. Ш к а д о в В. Я., By 3 у н К у а н г. „Пограничный слой на пластине при произвольном законе вдува". Инж.-физ. жур., XXIII,. № 4, 1972.

9. В 1 о 11 n е г F. G. Prediction of the electron number density distribution in the laminar air boundary-layer on sharp and blunt bodies. AIAA Paper N 68-733.

10. Петухов И. В. Численный расчет двумерных течений в пограничном слое. Сб. „Численные методы дифференциальных и интегральных уравнений и квадратурные формулы". М., „Наука", 1964.

Рукопись поступила 6jVII 1976 г.