О подходах к анализу устойчивости нелинейных динамических систем с логическими регуляторами

Дружинина Ольга Валентиновна; Масина Ольга Николаевна

УДК 004.356.2

Дружинина О.В. 1 Масина О.Н.2

1 Федеральный исследовательские! центр «Информатика и управление» РАН, г. Москва, Россия 2 Елецкии государственныи университет им. И.А. Бунина, г. Елец, Россия

О ПОДХОДАХ К АНАЛИЗУ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

С ЛОГИЧЕСКИМИ РЕГУЛЯТОРАМИ

Аннотация

Рассмотрены вопросы моделирования и анализа устойчивости нелинейных динамических систем с логическими регуляторами. Охарактеризованы подходы к исследованию устойчивоподобных свойств указанных систем. Описаны аспекты применения полученных результатов аналитического моделирования для разработки алгоритмов исследования устойчивости и стабилизации и проведения численных экспериментов с использованием современного программного обеспечения.

Ключевые слова

Нелинейные динамические системы, устойчивость, стабилизация, аналитическое моделирование, инструментальные средства.

Druzhinina O.V. 1, Masina O.N.2

federal Research Center Computer Science and Control of the Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia

2Bunin Yelets State University, Yelets, Russia

ON APPROACHES TO THE STABILITY ANALYSIS OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS

WITH LOGICAL CONTROLLERS

Abstract

The problems of modeling and of the stability analysis of nonlinear dynamic systems with logic controllers are considered. Approaches to research of stability-like properties for these systems are characterized. The aspects of application of the obtained results of analytical modeling for the development of algorithms for stability and stabilization research and for performing numerical experiments using the modern software are described.

Keywords

Nonlinear dynamic systems, stability, stabilization, logic controller, analytical modeling, tools.

Введение

Развитие техники и новые компьютерные технологии, разработка программного

обеспечения и систем сбора и обработки данных определяют значительное усложнение структуры проектируемых технических систем. В связи с этим возникает проблема системного анализа сложных управляемых систем, позволяющего определять условия устойчивого их функционирования с обеспечением заданного режима работы, влияние параметров системы на ее устойчивость [1, 2]. Значительное место в исследовании этои проблемы занимает разработка математических методов аналитического моделирования процессов, в том числе процессов в детерминированных системах со случайными начальными условиями. Кроме того, к актуальным направлениям аналитического моделирования

можно отнести моделирование систем с неопределенностями, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями, нечеткими дифференциальными уравнениями и дифференциальными включениями [3-7]. Результаты моделирования таких систем и свойства логических регуляторов могут быть использованы для построения управляемых систем с учетом различных особенностей, таких как структура, неполнота информации о состоянии окружающей среды и параметрах системы, запаздывание в обработке этои информации. Системы управления с неполной информацией, в том числе моделируемые с помощью логических регуляторов, применяются в случаях, когда объект управления достаточно сложен для его точного описания и существует дефицит априорной информации о поведении системы. Вопросам

алгоритмического конструирования и

устойчивости систем управления с неполной информацией посвящены, в частности, работы [832].

Во многих технических задачах структура управляемых динамических систем и ее параметры известны с некоторой погрешностью. Следовательно, необходимым требованием к управляемым динамическим системам является их устойчивость (в том или ином смысле) по отношению к структурным и внешним возмущениям. Построение алгоритмов

исследования устойчивости позволяет проводить анализ влияния различных проектных параметров на качество функционирования сложного технического объекта.

Одним из эффективных методов исследования устойчивости и других качественных свойств динамических систем является классический и обобщенный методы функции Ляпунова. Метод функции Ляпунова получил развитие в [3-5, 2123] и многих других работах. В настоящее время обобщенный второи метод Ляпунова стал одним из важнейших методов качественного исследования устойчивости движения

динамических управляемых систем. В [22] с помощью обобщенных функции Ляпунова получены необходимые и достаточные условия устойчивости динамических управляемых систем. В [21] развиты методы анализа устойчивости и управляемости динамических систем, задаваемых дифференциальными уравнениями различных типов. В [32] дан обзор известных результатов по применению разрывных функции Ляпунова к изучению устойчивости систем управления.

В системах с логическими регуляторами знания о взаимодействии регулятора с объектом (процессом) управления представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО (ответная реакция). Часть ЕСЛИ (предпосылки или условия) означает сопряжение логических операции, а часть ТО (решение, вывод, заключение) представляет собои указание лингвистической величины для выходного воздействия (управляющего воздействия на объект управления) логического регулятора.

При решении задач управления системами на основе логических регуляторов возникает проблема исследования устойчивости этих систем. В ряде промышленных нормативов в России и за рубежом заложено требование обеспечения устойчивости системы управления. Это требование рассматривается как необходимое условие для использования системы управления. Имеется много прикладных задач, для которых проверка устойчивости управляемой системы оценивается как важнейшая задача. К этим задачам относятся задачи проектирования управляемых систем, влияющих на безопасность

людеи (стабилизация полета самолета и т.п.), проектирования управляющих дорогостоящих объектов, изучения сложных технических процессов, подверженных потере устойчивости. Вопросы алгоритмического конструирования и устойчивости динамических систем с логическими регуляторами рассматривались в [2, 11, 15-19, 24] и в других работах. Несмотря на то, что литература по теории динамических систем с логическими регуляторами весьма обширна, вопросы устойчивости и стабилизации указанных систем требуют дальнеишеи разработки [23].

Современным подходом к изучению динамических систем с логическими регуляторами является переход к интеллектному управлению [2]. Использование интеллектных систем ведет к более высокои степени автоматизации для сложных, плохо структурированных процессов и в ряде случаев сокращает время разработки технических систем. Интеллектное управление оказывается полезным в случаях, когда технологические процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов или когда доступные источники информации интерпретируются неточно или неопределенно.

Многие управляемые объекты управления в силу своеи динамики представляют собои различные виды маятниковых установок (а в некоторых случаях и их комбинацию), соблюдение устойчивости для которых является обязательным требованием их эксплуатации. Динамические модели перевернутого маятника используются в задачах управления техническими средствами с гироскопическим устройством, в робототехнике, в ракетостроении. Многозвенные перевернутые маятники служат упрощенными примерами шагающих роботов. В связи с многообразием физических эффектов, нестационарностью объекта и наличием неконтролируемых возмущающих воздействий процессы,

протекающие в маятниковых системах, в ряде случаев являются сложными для получения их адекватного математического описания с помощью классических методов

моделирования [24]. Для решения даннои научнои проблемы существуют подходы, базирующиеся на правилах логического вывода и логическом регуляторе, синтезируемом для стабилизации системы. В одном из наиболее эффективных подходов построение модели управляемой системы осуществляется при наличии хотя бы приближенной математической модели, заданной в виде дифференциальных или разностных уравнении. С помощью универсальной аппроксимации исходная модель приводится к виду модели Такаги-Суджено (ТС-модели).

Общеи идееи большинства исследовании по устойчивости и стабилизации ТС-моделеи

является использование метода функции Ляпунова и сведение решения вопроса об устойчивости к анализу свойств линейных матричных неравенств, к которым применимы методы численного решения. Линейные матричные неравенства требуемого вида обычно получают на основе достаточных условии устойчивости (асимптотической устойчивости) в терминах функции Ляпунова. Вид линейных матричных неравенств зависит как от структуры применяемой функции Ляпунова, так и от ограничении, накладываемых на эту функцию. Основные трудности в конкретных задачах устойчивости, решаемых с помощью прямого метода, возникают при построении функции Ляпунова, и на ослаблении требовании к указанным функциям базируется один из подходов к дальнеишеи разработке условии устойчивости. Несмотря на большой интерес исследователей к данной области, развитие систематических методов изучения устойчивости динамических систем с логическими регуляторами остается малоизученным направлением в теории управляемых систем.

Базирующиеся на правилах логического вывода и логических регуляторах ТС-модели находят приложения в промышленности, в естествознании, в инженерной практике. Указанные модели применяются в задачах управления механическими транспортными средствами, управления подъемными и мостовыми кранами, управления роботами-манипуляторами.

В настоящей работе охарактеризованы известные и разработанные авторами подходы к исследованию устойчивости динамических систем с логическими регуляторами. Подходы базируются на развитии метода функции Ляпунова, дивергентного, спектрального-бифуркационного и других методов, а также на представлении нелинейных систем с помощью ТС-моделеи. Указанные методы позволили получить конструктивные условия устойчивости и стабилизации некоторых классов управляемых систем.

Некоторые подходы к исследованию устойчивости систем с логическими

регуляторами

Одним из эффективных подходов к исследованию устойчивости и других качественных свойств динамических систем является подход на основе метода функции Ляпунова и его обобщении [3]. В настоящее время прямои метод Ляпунова стал одним из важнейших методов качественного исследования

управляемых динамических систем.

В случаях, когда объект управления достаточно сложен для его точного описания и существует дефицит априорнои информации о поведении системы, обычно используют неклассические

методы теории управления (в частности, методы интеллектного управления) либо сочетают неклассические методы с классическими. Основы построения, методы анализа и примеры использования в технике и промышленности систем интеллектного управления представлены в [2]. В системах с логическими регуляторами знания о взаимодействии логического регулятора с объектом (процессом) управления представляются в форме правил вида: ЕСЛИ (исходная ситуация), ТО (ответная реакция). Современным подходом к изучению динамических систем с логическими регуляторами является сочетание интеллектного управления с использованием традиционных алгоритмов, базирующихся на уравнениях динамики.

При построении и анализе динамических систем с логическими регуляторами используются методы качественной теории динамических систем и теории управления. В [21-23] разработан ряд методов исследования устойчивости динамических систем с логическими регуляторами, а именно: спектрально-бифуркаци-онньш метод, дивергентный метод, комбинированный метод функции Ляпунова с использованием свойств линейных матричных неравенств. Подход к анализу устойчивости на основе дивергентного метода подробно изложен в [33].

Спектрально-бифуркационный метод

базируется на совместном использовании критерия Ляпунова и бифуркационной картины поля состоянии системы. С помощью указанного метода авторами получены условия устойчивости, определено понятие «запас устойчивости» и разработан алгоритм нахождения запаса устоичивости [22]. Посредством дивергентного метода, основанного на совместном использовании функции Ляпунова и дивергентных функции поля скоростеи, авторами получены условия равномерной устойчивости состоянии равновесия управляемых систем [22].

Развит подход, базирующиеся на совместном использовании прямого метода Ляпунова и техники линеиных матричных неравенств (ЛМН) [25-29]. С применением указанного подхода получены условия устойчивости дискретных и непрерывных управляемых систем с синглтон-выходом, систем Такаги-Суджено (ТС-систем) при наличии и отсутствии запаздывания [20, 25, 34-36] . Описание процессов с помощью ТС-систем эффективно применяются в задачах управления механическими транспортными средствами, в задачах управления подъемными и мостовыми кранами, а также роботами-манипуляторами [2, 18, 23].

Общеи идееи большинства исследовании по устойчивости и стабилизации ТС-систем, базирующихся на правилах логического вывода и

нечетких регуляторах, является использование метода функции Ляпунова и сведение решения вопроса об устойчивости к анализу свойств ЛМН, к которым применимы методы численного решения [18]. ЛМН требуемого вида обычно получают с помощью достаточных условии устойчивости в терминах функции Ляпунова с учетом их структуры и ограничении. В [24] изучены условия стабилизации ТС-систем и их модификации на примере стабилизации обобщенных моделеи перевернутого маятника. Построены ТС-системы управления перевернутым маятником, выполнено численное моделирование управляемых маятниковых систем на основе применения алгоритма Лоусона. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для изучения динамики управляемых маятниковых систем, проведены серии компьютерных экспериментов и выполнена проверка согласованности теоретических результатов с результатами численного исследования.

Динамические ТС-модели и их стабилизация

В ряде задач управления изучаемые нелинейные явления описываются с помощью ТС-моделеи, базирующихся на правилах логического вывода и нечетких регуляторах.

Как известно [16-18], ТС-модель задается следующими правилами двух видов (динамической части и выхода соответственно): П1: ЕСЛИ г^) есть М\ и ... и есть М\,

ТО = Ах(0 + Ви(0, . = 1,2, ..., г; (1)

П2: ЕСЛИ г^) есть М\ и ... и есть Шь

ТО у(() = С х(г), где хй, и(£), у(£), г(£) - фазовый, входной, выходной векторы и вектор параметров соответственно. Через М) обозначается нечеткая функция, отвечающая ;-му правилу и у-му параметру. В общем случае функции могут быть функциями фазовых переменных, внешних возмущении и времени.

В ТС-модели применяемые правила являются нечеткими только в части ЕСЛИ, тогда как в части ТО содержатся функциональные зависимости. Каждому ;-му правилу П,- соответствуют функции Wi(z(t)) и ^(гй) вида

1 / \ , (2 (t))

«ьп мШ, "<2()}=р^),

где г - число правил. Предполагается, что Wi > 0, а Ь нормированы.

Обозначим через г(£) вектор с компонентами г^), ..., Zp(t). Предполагается, что исходные переменные не являются функциями от входящих переменных Каждое последующее линейное уравнение, представленное в виде Лхй + Ви(1), называется подсистемой. Векторы х(0 и y(t) представимы в виде

X ,(^ )){Ах(Г) + Бх(Г)} *(<) =--г-, (2)

X ,(2(1))

1=1

X ,,(2(Г))С х(Г)

у(0 = -

Так как

X,.())

I=1

г

X w¡ (г (г))>0, где w¡ (г (г))>0,

.= 1,2,..., г , то X¥^(0) > 0, где Щ(х(1)) > 0, 1=1

.= 1, 2,..., г .

Как известно [18], для построения логических регуляторов, стабилизирующих систему (1), используется понятие параллельнои

распределенной компенсации. Регулятор задается равенством вида

X ,,(2(/)){А,х(/) + Б х(г)} г «(*) = -г-= "XЬ ,(3)

X ))

.= 1,2,..., г.

(4)

где Fi - коэффициенты усиления.

При отсутствии и(£) система (5.2) имеет вид

г

) = X Ь (^)М,-х(0.

1=1

Достаточные условия асимптотической устойчивости в целом системы (4) формулируются следующим образом [18, 23].

Теорема 1 Состояние равновесия системы (4) асимптотически устойчиво в целом, если существует общая положительно определенная матрица Р такая, что выполняются неравенства

АТРА,- Р < 0, ; = 1, 2, ... г, то есть общая матрица Р должна существовать для всех подсистем.

Подставляя (3) в (2), получим систему вида

т = XXК №){4 - Б ^ }х(/). (5)

Уравнение (5) запишем в виде

*(0 =X Ь ((2{1 ) +

+2]Т X Ь (2($))Н} (2(Г)) | 0 + С}'1 \ х(Г), 1=1 1< } [ 2

(6)

где О у = А,- Б .Р} .

Достаточные условия асимптотической устойчивости в целом системы (6) даются следующей теоремой [18].

Теорема 2. Состояние равновесия системы (6) асимптотически устойчиво в целом, если существует общая положительно определенная матрица Р такая, что выполняются неравенства

1=1

1 =1

G + G

11 11 1 Р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ОтиРО.. -Р <0 G + G

X (А, - ВД )т X-1(А1 - ВД )Х - X < 0,

У 1

- Р < 0, i <], h ¡ПhjФ0 .

X

( А, - ВД, + А, - ВД Л

Если число г правил ЕСЛИ...ТО велико, то нахождение общеи матрицы P, удовлетворяющей условиям теоремы 2, является затруднительным. В [18, 23] приведены условия устойчивости, ослабляющие условия теоремы 2. Одно из таких условий формулируется следующим образом.

Теорема 3. Пусть число правил, выполнимых для всех ^ меньше или равно s, где 1 < s < г. Состояние равновесия системы управления (6) асимптотически устойчиво в целом, если существует общая положительно определенная матрица P и общая положительно полуопределенная матрица Q такие, что выполняются неравенства

GTlPGll - Р + ^ -1)0 < 0,

(G + G У (G + G Л , , „

I 11 1 I Р| ] 1 I - Р - 0 < 0, i </, h¡nhJФ0 ,

где s > 1.

Задача построения управления заключается в том, чтобы определить коэффициенты Fj (/ = 1, 2, ..., г), удовлетворяющие условиям теорем 1 и 2, с общеи для подситем положительно определенной матрицей Р. Если такие коэффициенты Д существуют, то система (2) называется стабилизируемой. Поиск положительно определенной матрицы Р долгое время считался сложным процессом. В [18] приводится процедура построения общеи матрицы Р для нечетких систем второго порядка. Показано, что задачу нахождения общеи матрицы Р можно решить численно, т.е. условия устойчивости в теоремах 1 и 2 можно выразить в виде линейных матричных неравенств.

Как известно, линейное матричное

неравенство можно представить в следующем виде:

Д (х) = Д + ^ хД > 0 ,

где хт = (х1,х2,...,хт) и симметрические матрицы Д = ДТ е R"х", i= 0, ..., т заданы.

Нетрудно показать, что условия устойчивости в теореме 5.1 можно сопоставить со свойствами соответствующих линейных матричных неравенств: для заданных матриц А1 GRnхп, 1=1,...,г , необходимо наити матрицу Р, удовлетворяющую линейным матричным неравенствам

Р > 0, АТРА , - Р < 0, i = 1, 2, ... г, или установить, что такои матрицы Р не существует.

Задача построения логического регулятора, стабилизирующего систему управления, формулируется с учетом теоремы 2 следующим образом:

х X "

2

( А, - ВД, + А, - ВД Л

(7)

X - X < 0.

2

ч /

При М,= Д X , X > 0 имеем Д = М X-. Подставляя последнее выражение в неравенства (7), получим

X - (А, - В,М, )Т X- (А, - В М,) > 0,

X - X

( АЛ - ВМ,, + АЛ - ВЫ, \

2

(8)

х X-

( А,X - ВЫ, + А X - В М,, Л

X > 0.

Условия (8) представимы в виде линейных матричных неравенств

( X XAT - МТВТ" 1АЯ - В М , X

> 0,

X

4X + А X - ВМ] - В}М ,

4X + А¡X - ВМ] - В3М , 2

X

> 0,

Задача построения логического регулятора, стабилизирующего систему управления (2), сводится к следующей задаче: наити X > 0 и М¡, I = 1,..., г, удовлетворяющие условиям

( X XAT - МТВТ ' (АX-В М , X

>0

X

А X + А X - В М - ВМ

1_]_1 ]_] 1

А X + А X - В М - ВМ

1_1_1 ]_] 1

2

X

> 0,

i </, h ¡nhjФ0 , где X = Р -, М1 = Д X . Соответственно матрица Р и стабилизирующая обратная связь задаются следующим образом:

Р = X, Д = М, X,

Пх: ЕСЛИ Zl(t) есть Мх и ... и zI(t) есть М.

Вопросы построения и устойчивости логических регуляторов с помощью модифицированных линейных матричных неравенств в случае ограничении по входам и выходам управления, а также при выполнении условия независимого начального состояния рассмотрены в [17-23] и в других работах.

Как известно, большинство разработанных методов и алгоритмов построения управлении рассчитаны на линейные системы, однако эти методы в ряде случаев могут быть модифицированы для изучения нелинейных систем, что оказывается удобным при решении практических задач ввиду трудноприменимости

т

т \

т

2

или недостаточности нелинейной теории. Именно поэтому различные методы сведения нелинеинои задачи к линеинои получают широкое распространение в современной теории управления.

В ряде задач управления изучаемые нелинейные системы удобно описывать с помощью ТС-моделеи, причем нечеткие множества и правила нечеткого вывода здесь используются для описания глобальной нелинеинои системы в терминах множества локальных линейных систем, гладко связанных между собои посредством функции нечеткои принадлежности [18]. Таким образом, в результате редукции к ТС-модели исходная нелинеиная модель представляется (возможно, лишь в некоторой области) в виде выпуклои комбинации нескольких линейных систем. Универсальность подхода на основе ТС-моделеи заключается в том, что любая гладкая функция (представляющая, например, правую часть дифференциального уравнения) может быть на выпуклом множестве с любои степенью точности приближена указанной комбинацией [16-18]. Таким образом, использование ТС-моделеи приводит к альтернативному подходу в описании нелинейных систем.

В ТС-модели каждому 1-му правилу П,-

соответствует функция И,(х) вида \(х) = П1(Х1). Предполагается, что И, нормированы, т.е. Л (х) = 1 и X К( х) = 1. С помощью центроидного метода,

используемого в процедуре дефаззификации, можно представить модель в виде

У = ф(х) = Х Л (х)а х .

Для нелинеинои функции /(х): R" ^ R, определенной в компактной области D с Rn, удовлетворяющей следующим условиям:1) /(0) = 0 ; 2) / е С2, структура алгоритма ТС-аппроксимации и его особенности описаны в [18, 24].

Аппроксимация модели управляемой системы

* - /{-v) + ¿{.v)

Рис. 1. Схема аппроксимации модели управляемой

динамической системы Для аппроксимации функции Дх) синтез ТС-модели можно осуществить таким образом, чтобы ошибка аппроксимации в(х) = /(х) -ф(х) и ее производная дв / дх были достаточно малыми для всех х е Б .

Модель управляемой системы вида

х = /(х) + g(х)и может быть аппроксимирована с помощью перехода к ТС-модели, содержащей

х = Х=1 Ь1(х)(А[(х) + Вы^)). Схема аппроксимации

модели управляемой динамической системы приведена на рис. 1.

Преимущества подхода к аналитическому моделированию нелинейных систем, основанного на применении ТС-моделеи для аппроксимации нелинейных систем, по сравнению с некоторыми классическими подходами заключаются в следующем:

1) возможен анализ качественных свойств изучаемых моделей не только в локальном, но и в глобальном смысле;

2) возможна редукция базы правил без потери информации о модели;

3) условия устойчивости представляются в достаточно компактном виде, удобном для вычислительных процедур.

Указанные преимущества использованы авторами в ряде работ, посвященных анализу устойчивости моделеи ряда классов систем естествознания и техники [23, 24].

Аспекты применимости условий

устойчивости и алгоритмов стабилизации для проведения численных экспериментов с использованием современного программного обеспечения

Для ряда классов нелинейных управляемых систем с логическими регуляторами, представленных ТС-моделями, в [23-26] на основе полученных условии устойчивости разработаны конструктивные алгоритмы исследования стабилизации, реализация которых возможна с применением современного программного обеспечения. С помощью условии устойчивости, полученных в [36], могут быть построены алгоритмы стабилизации нелинейных систем с каскаднои структурой.

При проведении численного моделирования управляемых систем возникает ряд трудностей, связанных с представлением условии устойчивости линейными матричными неравенствами и большим их количеством. Однои из главных трудностей является наличие дифференциальных уравнении с разрывнои правои частью. В таких случаях целесообразным является применение алгоритма Лоусона решения систем линеиных и квазилинейных дифференциальных уравнении [37, 38]. Указанный алгоритм сводится к преобразованию исходной системы дифференциальных уравнении в систему дифференциальных уравнении относительно новои неизвестной функции с помощью специальной замены, после чего полученная система может быть решена традиционными методами численного интегрирования. Алгоритм

Лоусона решает ее методом Рунге-Кутты, при этом одновременно с решением производится обратное преобразование от новой введенной функции к исходной функции. Эффективность используемого алгоритма для исследования управляемых маятниковых систем с ПИД-регуляторами описана в работе [38], а для управляемых маятниковых систем, представленных ТС-моделями, в работах [24, 26, 39, 40].

Для верификации синтезированной ТС-модели перевернутого маятника разработан комплекс программ в вычислительной среде Matlab. Комплекс содержит модули для ввода данных, для вывода результатов, для графической иллюстрации результатов, модуль основной программы, объединяющей работу двух правил, а также две подпрограммы и модуль-справки, в котором дается описание используемых обозначении. Нахождение решении

дифференциальных уравнении, входящих в описание ТС-модели перевернутого маятника, осуществляется с помощью алгоритма Лоусона, реализованного в виде расширения для Matlab, и использующего подпрограммы: right.m -вычисляет значение функции в правои части модельного уравнения, rightj - вычисляет соответсвующую матрицу Якоби.

Построение стабилизирующего логического регулятора выполняется с учетом значении матриц, входящих в сответствующие линейные матричные неравенства и вычисляемых для каждого начального условия. Значения функции принадлежности определяются с помощью редактора функции принадлежности Membership Function Editor пакета Fuzzy Logic Toolbox среды Matlab.

Результаты компьютерного моделирования перевернутого маятника представлены в виде графиков отклонении и угловои скорости. Графики демонстрируют эффективность применения построенного логического регулятора при достаточно больших углах отклонения маятника, даже в случае, когда модель теоретически является неуправляемой

С помощью алгоритма Лоусона и разработанного комплекса программ проведено исследование решении системы

дифференциальных уравнении модели

перевернутого маятника. На рис. 2 представлены некоторые из фазовых траектории.

Из графиков видно, что при t ^<х> траектории приближаются к точке равновесия х=0 и определяют состояние равновесия устоичивыи узел. Аналогичные результаты численного анализа ТС-модели перевернутого маятника получены и для других начальных условии. Показано, что численные результаты полностью согласуются с полученными результатами аналитического исследования.

0

-0.5

-1.5

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

о -2 !

й -2.5 -3 -3.5

-4.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 х1 , рад

Фазовая траектория при х=рб, 0) 0-,-

-0.2-

-0.4-

-0.6-

I

X™ -0.8-

-1-

-1.2-

-1.4-1-

0.6 0.7

х1 , рад

Рис. 2. Фазовая траектория для х(0) = (ж/2 0)Т и х(0) = (ж/6 0)т

Авторами изучены условия стабилизации ТС-систем и их модификации. Построены обобщенные ТС-системы управления перевернутым маятником, выполнено численное моделирование

управляемых маятниковых систем на основе применения алгоритма Лоусона. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для изучения динамики управляемых маятниковых систем, проведены серии компьютерных экспериментов и выполнена проверка согласованности теоретических результатов с результатами численного исследования.

Преимущества программного комплекса, разработанного для изучения динамики ТС-модели перевернутого маятника, состоят в следующем.

1. Комплекс программ с учетом универсальной аппроксимации ТС-моделью позволяет исследовать широкий класс моделеи управляемых динамических систем не только в окрестности положения равновесия, но и в глобальном смысле.

2. При разработке комплекса программ для изучения динамики моделеи управляемых маятниковых систем предложено использовать алгоритм Лоусона решения систем линеиных и квазилинейных дифференциальных уравнении. Указанный алгоритм позволяет эффективно

Фазовая траектория при x=(pi/2, 0)

x. , рад

выполнять вычислительные процедуры и для случая разрывных правых частеи.

3. В процессе создания и применения комплекса показана согласованность аналитических и численных результатов на примере моделирования перевернутого маятника, в частности, согласованность результатов об устойчивости.

Отметим, что перспективой дальнейших исследовании является синтез и анализ устойчивости ТС-моделеи с переменными параметрами, в частности, ТС-моделеи

параметрических маятников. Для указанных целеи потребуется дальнейшая разработка научного программного обеспечения. Ряд перспективных

направлении отмечен также в [39, 40].

Рассмотренные подходы демонстрируют эффективность применения методов Ляпунова в сочетании с другими методами для анализа устойчивости управляемых систем с логическими регуляторами, а также эффективность использования полученных на основе этих методов критериев устойчивости и алгоритмов стабилизации.

Благодарности

Авторы выражают благодарность

И.Н. Синицыну за внимание к работе, ценные замечания и поддержку исследователей.

Литература

1. Есупов Н.Д., Пупков К.А. Методы классической! и современной! теории автоматического управления. Синтез регуляторов систем автоматического управления. Т. 3. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

2. Васильев С.Н. К интеллектному управлению // Нелинеиная теория управления и ее приложения. М.: Физматлит, 2000. С. 57-126.

3. Шестаков А.А. Обобщенный прямои метод Ляпунова для систем с распределенными параметрами. М.: УРСС, 2007.

4. Меренков Ю.Н. Устоичивоподобные свойства дифференциальных включении, нечетких и стохастических дифференциальных уравнении. М.: Изд-во РУДН, 2000.

5. Афанасьев В.Н. Управление нелинейными неопределенными динамическими объектами. М.: Изд-во URSS, 2015.

6. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. М.: Логос, 2004.

7. Синицын И.Н., Синицын В.И. Лекции по нормальной и эллипсоидальной аппроксимации распределении в стохастических системах. М.: ТОРУС ПРЕСС, 2013.

8. Пегат А. Нечеткое моделирование и управление. М.: БИНОМ. Лаборатория знании, 2009.

9. Ярушкина Н.Г. Нечеткие системы: обзор итогов и тенденции развития // Искусственный интеллект и принятие решении. 2008. № 4. С. 26-38.

10. Chen G., Pham T.T. Introduction to fuzzy sets, fuzzy logic and fuzzy control systems. Boca Raton: CRC Press, 2001.

11. Driankov D., Hellendorm H., Reich Frank M. An introduction to fuzzy control. Berlin: Springer, 1996.

12. Feng G. Analysis and Synthesis of Fuzzy Control Systems: A Model-Based Approach. New York: CRC Press, 2010.

13. Lam H.-K., Leung F.H.F. Stability Analysis of Fuzzy-Model-Based Control Systems: Linear-Matrix-Inequality Approach. - Berlin: Springer, 2011.

14. Precup R.-E., Tomescu M.-L., Preitl St. Fuzzy logic control system stability analysis based on Lyapunov's direct method / / Int. J. of Computers, Communications & Control. 2009. V. IV. № 4. P. 415-426.

15. Sugeno M. On stability of fuzzy systems expressed by fuzzy rules with singleton consequents // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 1999. V. 7. № 2. P. 201-224.

16. Takagi T., Sugeno M. Fuzzy identification of systems and its applications to modeling and control / / IEEE Trans. Syst., Man and Cybernetics. 1985. V. 15. P. 116-132.

17. Tanaka K., Sugeno M. Stability analysis and design of fuzzy control systems / / IEEE Trans. Fuzzy Syst. 1992. V. 45. № 2. P. 135-156.

18. Tanaka K., Wang H.O. Fuzzy control systems design and analysis: a linear matrix inequality approach. N.Y.: Wiley, 2001.

19. Wang H.O., Tanaka K., Griffin M.F. An approach to fuzzy control of nonlinear systems: stability and design issues // IEEE Trans. Fuzzy Syst. 1996. V. 4. P. 14-23.

20. Шестаков А.А., Масина О.Н., Дружинина О.В. Анализ асимптотической устойчивости и стабилизация некоторых классов систем управления с запаздыванием // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2011. Т.9. №12. С.104-110.

21. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы исследования устойчивости и управляемости нечетких и стохастических динамических систем. М.: ВЦ РАН, 2009.

22. Масина О.Н., Дружинина О.В. Моделирование и анализ устойчивости некоторых классов систем управления. М.: ВЦ РАН, 2011.

23. Дружинина О.В., Масина О.Н. Методы анализа устойчивости динамических систем интеллектного управления. М.: URSS, 2015.

24. Дружинина О.В., Игонина Е.В., Масина О.Н. Моделирование и стабилизация динамических систем с логическими регуляторами / Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ РАН, 2015.

25. Дружинина О.В., Масина О.Н. Алгоритмы стабилизации дискретной управляемой системы с синглтон-выходом // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2012. Т. 10. № 12. С. 35-41.

26. Дружинина О.В., Масина О.Н., Игонина Е.В. Разработка алгоритмов стабилизации управляемых систем на основе свойств линеиных матричных неравенств // Наукоемкие технологии. 2013. Т. 14. № 6. С. 4-8.

27. Еграшкина Ж.Е., Седова Н.О. Устойчивость и стабилизация нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнении в терминах линеиных матричных неравенств / / Нелинеиньш мир. 2015. Т. 13. № 1. С. 3-15.

28. Масина О.Н., Дружинина О.В., Афанасьева В.И. Анализ устойчивости дискретных систем управления на основе функции Ляпунова и своиств линеиных матричных неравенств // Информационно-измерительные и управляющие системы. 2011. Т. 9. № 7. С. 53-62.

29. Петрова С.Н., Дружинина О.В. Синтез и стабилизация нечетких систем управления с помощью параметризованных линеиных матричных неравенств // Труды Института системного анализа РАН. Динамика неоднородных систем. 2010. Т. 49(1). С. 57-61.

30. Талагаев Ю.В. Анализ и синтез сверхустоичивых нечетких систем Такаги-Сугено//Проблемы управления. 2016. №6. С.2-11.

31. Седова Н.О., Еграшкина Ж.Е. Об использовании общеи функции Ляпунова в исследовании устоичивости систем Такаги-Сугено / / Известия Вузов. Математика. 2017. № 5. С. 77-85.

32. Дружинина О.В., Масина О.Н. Анализ устойчивости и стабилизация разрывных систем с помощью обобщенных функции Ляпунова // Нелинеиныи мир. 2014. Т. 12. № 11. C. 12-22.

33. Дружинина О.В. Индекс, дивергенция и устойчивость в качественной теории динамических систем. М.: Изд-во URSS, 2013.

34. Chen C.-W. A Critical Review of Parallel Disributed Computing and the Lyapunov Criterion for Multiple Time-delay Fuzzy Systems // Intern. J. of the Physical Sci. 2011. V.6. № 19. P.4492-4501.

35. Fridman E. Tutorial on Lyapunov-based Methods for Time-delay Systems // European J. of Control. 2014. V.20. P.271-283.

36. Дружинина О.В., Седова Н.О. Анализ устойчивости и стабилизация нелинейных каскадных систем с запаздыванием в терминах линеиных матричных неравенств // Известия РАН. Теория и системы управления. 2017. № 1. С. 21-35.

37. Lowson D. J. Generalized Runge-Kutta processes for stable systems with large Lipshitz constants // SIAM J. Numer. Anal. 1967. V.

4. № 3. P. 372-380.

38. Николаев С.Ф., Тонков Е.Л. О некоторых задачах, связанных с существованием и построением неупреждающего управления для нестационарных управляемых систем // Вестник Удмуртского университета. - 2000.- Т.1. - С.11-32.

39. Дружинина О.В., Масина О.Н. Современные подходы к исследованию устойчивости динамических систем с логическими регуляторами // Тез. докл. XIII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (конференция Пятницкого). Москва, ИПУ РАН, 1-3 июня 2016 г. М.: ИПУ РАН, 2016. С. 143-145.

40. Дружинина О.В., Масина О. Н., Игонина Е.В. Анализ управляемых динамических систем на основе применения ТС-моделеи и модифицированных линеиных матричных неравенств // Материалы 19-и международной конференции «Распределенные компьютерные и телекоммуникационные сети: управление, вычисление, связь» (DCCN-2016). Москва, 21-25 ноября 2016 г. М.: РУДН, 2016. С. 67-74.

References

1. Yesupov N.D., Pupkov K.A. Metody klassicheskoy i sovremennoy teorii avtomaticheskogo upravleniya. Sintez regulyatorov sistem avtomaticheskogo upravleniya. T. 3. M.: MGTU im. N.E. Baumana, 2004.

2. Vasil'yev S.N. K intellektnomu upravleniyu / / Nelineynaya teoriya upravleniya i yeye prilozheniya. M.: Fizmatlit, 2000. S. 57-126.

3. Shestakov A.A. Obob-shchen-nyy pryamoy metod Lyapunova dlya sistem s raspredelennymi parametrami. M.: URSS, 2007.

4. Merenkov YU.N. Ustoychivopodobnyye svoystva differentsialnykh vklyucheniy, nechetkikh i stokhasticheskikh differentsial'nykh uravneniy. M.: Izd-vo RUDN, 2000.

5. Afanas'yev V.N. Upravleniye nelineynymi neopredelennymi dinamicheskimi ob"yektami. M.: Izd-vo URSS, 2015.

6. Pugachev V.S., Sinitsyn I.N. Teoriya stokhasticheskikh sistem. M.: Logos, 2004.

7. Sinitsyn I.N., Sinitsyn V.I. Lektsii po normal'noy i ellipsoidal'noy approksimatsii raspredeleniy v stokhasticheskikh sistemakh. M.: TORUS PRESS, 2013.

8. Pegat A. Nechetkoye modelirovaniye i upravleniye. M.: BINOM. Laboratoriya znaniy, 2009.

9. Yarushkina N.G. Nechetkiye sistemy: obzor itogov i tendentsiy razvitiya / / Iskusstvennyy intellekt i prinyatiye resheniy. 2008. № 4.

5. 26-38.