О подгруппах свободной двупорожденной бернсайдовой группы периода пять Текст научной статьи по специальности «Математика»

ного обеспечения с использованием методов анализа сетей // Вестник СибГАУ. 2009. Вып. 1 (22). Ч. 2. С. 55-60.

2. Царев М. Ю., Царев Р. Ю., Шевчук С. Ф. Модификация ГЕРТ-сети для анализа временных характеристик сетевых моделей // Вестник СибГАУ. 2009. Вып. 1 (22). Ч. 2. С. 74-78.

3. Ковалев П. В., Капчинский И. А., Гриценко С.

Н. Графоаналитический метод анализа мультиверси-онных архитектур программного обеспечения // Вестник СибГАУ. 2009. Вып. 3 (24). С. 37-39.

4. Ковалев И. В., Письман Д. М., Слободин М. Ю. Модели оценки времени выполнения задачи на кластере с последовательной и параллельной архитекту-

рой обмена данными // Системы упр. и информ. технологии. 2005. № 3 (20). С. 58-62.

5. Condor Version 6.6.10 Manual [Electronic resource]. URL: http://www.cs.wisc.edu/condor/manual/ v6.6/ (date of visit: 10.10.2012).

6. К вопросу формирования мультиверсионного программного обеспечения с учетом ресурсных ограничений / П. В. Ковалев, И. А. Капчинский, А. Н. Лай-ков, С. Н. Гриценко // Вестник СибГАУ. 2009. Вып. 2 (23). С. 70-74.

7. Письман Д. М. Сравнение производительности прямого и обратного алгоритмов расчета модифицированной ГЕРТ-сети // Фундамент. исслед. 2006. № 2. C. 45-47.

R. Yu. Tsarev, A. V. Shtarik, E. N. Shtarik, M. A. Kochergina, T. A. Panfilova

ANALYSIS OF PROBABILISTIC AND INTERIM CHARACTERISTICS OF FAULT TOLERANT SOFTWARE OF DISTRIBUTED COMPUTING SYSTEMS

The paper presents description of developed software system for analysis of probabilistic and interim characteristics of the fault tolerant software of distributed computing systems with the use of GERT-networks.

Keywords: fault tolerant software, distributed computing, GERT-network.

© Царев Р. Ю., Штарик А. В., Штарик Е. Н., Кочергина М. А., Панфилова Т. А., 2012

УДК 512.54

А. А. Шлепкин

О ПОДГРУППАХ СВОБОДНОЙ ДВУПОРОЖДЕННОЙ БЕРНСАЙДОВОЙ ГРУППЫ ПЕРИОДА ПЯТЬ

Получены достаточные условия существования в B(2, 5) двупорожденных подгрупп, не изоморфных B(2, 5).

Ключевые слова: проблема Бернсайда, вычислительная теория групп.

Одной из известных проблем теории групп является проблема Бернсайда о периодических группах фиксированного периода [1]. Эта проблема была поставлена английским математиком У. Бернсайдом в 1902 г. в следующей форме: пусть G - группа, порожденная m элементами, в которой каждый элемент в степени п равен единичному элементу группы. Будет ли такая группа конечной? Впоследствии эти группы получили название свободных бернсайдовых групп и обозначение B(m, п).

Перечислим известные к настоящему времени результаты по данным группам. Группа B(m, п) конечна для п = 2 (тривиальный случай), п = 3 [1], п = 4 (т = 2) [1], для m > 2 [2], п = 6 [3]. Группа В(т, п) бесконечна для нечетных п > 665 [4] и для достаточно больших четных п [5; 6].

В 1950 г. В. Магнусом была поставлена еще одна проблема, известная как ослабленная проблема Бернсайда. В ней требовалось выяснить, существует ли максимальная конечная периодическая группа В0(т, п) с данным числом порождающих элементов т и фиксированным периодом п. Связь ослабленной проблемы

Бернсайда с основной проблемой сводится к тому, что если бы не существовало бесконечных периодических групп, то В(т, п) была бы максимальной конечной периодической группой при этих т и п.

Решение ослабленной проблемы Бернсайда для периода 5 приведено в [7]. Для других показателей, наименьший из которых п = 5, вопрос о конечности остается открытым.

Наибольший интерес представляют двупорожден-ная группа периода 5 (группа В(2, 5), поскольку эта группа имеет наименьший показатель и наименьшее число порождающих элементов в сравнении с другими бернсайдовыми группами, конечность которых не определена. Отметим два вопроса о подгруппах группы В(2, 5), поставленные Б. Б. Симсом [8], ответы на которые до настоящего времени не известны:

- вопрос 1: существуют ли в В(2, 5) нециклические конечные подгруппы;

- вопрос 2: существуют ли в В(2, 5), при условии ее бесконечности, бесконечная двупорожденная подгруппа периода 5, не изоморфная В(2, 5)?

В [8] приведенные ниже соотношения длины 30 были получены как необходимое условие существования в В(2, 5) конечных нециклических подгрупп порядка 25. Однако сами эти подгруппы там не были указаны. А. А. Кузнецовым в теореме 11 [9] приведен ряд соотношений, минимальное из которых имеет длину 47, являющихся достаточными условиями существования в В(2, 5) нециклических подгрупп порядка 25, причем для каждого из данных соотношений указана соответствующая группа.

Автором получено достаточное условие положительного ответа по крайней мере на один из упомяну-

тых выше двух вопросов. Обозначим через 0, 1 порождающие элементы В(2, 5).

Положим V = 01, V = 10 и рассмотрим в В(2, 5) подгруппу Н = ^, '№>. В [10; 11] представлены все соотношения до длины 36 включительно, доказать которые в В(2, 5) не удается, а невыполнение любого из них влечет бесконечность В(2, 5).

В табл. 1 приведены все соотношения из [10; 11], которые являются соотношениями в подгруппе Н в образующих V, V (табл. 2), с сохранением нумерации указанных соотношений из [12].

Таблица 1

Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения до замены V = 01, = 10

1 Длина 30: 2 соотношения 011010010110010101100101101001= 101010011001101010011001101010

2 010101100110010101100110010101= 100101101001101010011010010110

22 Длина 32: 16 соотношений 01010110011010100110100101100101= 10010110010110100110010101100110

23 01011001011010011010100110010101= 10011001010110011010010110010110

25 01011010010110011010011010011001= 10010101101010010101100110100110

26 01100101100110101001010110101001= 10011001011001011001101001011010

27 01100110100101101001011010011001= 10011001011010010110100101100110

28 01100110100110100110010110100101= 10011010011001010110101001010110

29 01101001100101101001011001101001= 10010110011010010110100110010110

30 01101010010101101010011001011001= 10100101101001100101100101100110

33 01100110100110011001011001101001= 10011001011001101001011010010110

34 01101001100101100110011010011001= 10010110100101101001100101100110

36 01011010011001101001100110100101= 10010101101010010110101001010110

42 01100101101010010110101001011001= 10100101100110010110011001011010

44 01100110100110010110100101101001= 10011001011001100110100110010110

45 01101001011010010110011010011001= 10010110011010011001100101100110

46 01100110101001100101101001101001= 10100110100101100101011001101010

47 01101001101001011001101010011001= 10101001100101011001011010011010

223 Длина 34: 23 соотношения 0110011010100110010110010110100110= 1001011010011010010101100110101001

225 0101100110101001100110101001100101= 1010100110010101100101011001101010

228 0110101001100101011010011010010110= 1001101001011001011001101010011001

232 0101100101101001101010011010100110= 1001101010011010010110100110100101

233 0101100110101001100110011010100110= 1001101010011010011010100110010101

234 0101101001101001011010011010100110= 1001101010011010100110100101100101

235 0101011001101010011010011010100110= 1001101010011001100110101001100101

248 0110010101100110010101100110100101= 1010100101011001101010011010100110

249 0110010101100101011001101010010101= 1010010110011010100110011010100110

250 0110010101100101100101101001100101= 1010011001011010011010011010100110

251 0101100110100101100101100101011001= 1001101010011010011010010110011010

252 0101101001100101011001100101011001= 1001101010011010100110010101101010

253 0101010110100110100101100101011001= 1001101010011001011010011010011010

254 0101011010100110010101100101011001= 1001101010011001101010011001011010

266 0101101001010110011001010110100101= 1010010110101001100110101001011010

274 0110010101100101011001011010011010= 1010010110010110100101100101011001

276 0110010101100101101001011001011010= 1010011010010110010101100101011001

Продолжение табл. 1

Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения до замены V = 01, м> = 10

278 0101100110010110010110011001011010= 1010100101100110010101011001100101

279 0101100110010101011001100101101010= 1010010110011001011001011001100101

284 0110100101100101101010011001010110= 1001100101011001101001101001011001

295 0110010110100110100110010101100110= 1001010110011010100101100101101001

296 0101011001101010011010100110010101= 1010011001010110011001010110011010

297 0110100101011010011010010101101001= 1001010110100110011001101001010110

1733 Длина 36: 48 соотношений 010101101001011001100101100101100110= 100110010101011001100101101010010101

1734 010101101010010110011001010101100110= 100110010110010110011001011010010101

1755 010110010110100101100101101010011001= 101010011001100110101001101010011010

1757 011001011001101001011010010101011010= 100110011001011001011001101010010101

1758 010101100101101001011001101010011001= 100101101001011010010110010101011010

1764 011001101010011001011010010110010101= 101001010101100101101001011010010110

1780 011001101010010110010110100101100101= 101001101010011010100110011001101010

1781 010101101010011001011001011001100110= 101001010101101001011010011001011001

1797 010101011010011010010110100101101001= 101001011010011001010110011001010110

1798 010110010110010110011010100110011001= 100101100101011001011010010110011010

1799 010110010110100101100101011001101010= 101010011001010110010101100101101001

1801 011010010110010101100101011001101010= 101010011001010110010110100101100101

1805 010101101001010110101001101010010101= 101001010101101001011001100101100110

1806 010101101010011010100101011010010101= 100110010110011001011010010101011010

1822 010101101001011010100110011010100101= 101001010110011001010110100101101010

1823 010110101001100110101001011010010101= 101010010110100101011001100101011010

1845 010101011001010110010101011001010110= 100110100101011010100101011010011001

1846 010110100110011010011010010101101001= 101001010110100110010101101001100110

1850 011001100101101010011001011010100101= 100101101010010110010110011001011010

1853 010101011010011001011010011010011010= 100110011010100110100101100101011001

1855 010110011010100110011001010110011010= 100101011001101010010101100110101001

1856 010110011010100110011010010110010110= 101001011001011010010101100110101001

1857 011001101010010110100101011010100101= 101001010110101001011010010101100110

1859 011001011010011010011010100110010101= 101010011001010110010110010110100110

1860 011010011010010110011001010110011010= 100101011001101010010110100110100101

1861 011010011010010110011010010110010110= 101001011001011010010110100110100101

1862 011010011010100110011001010110010110= 100101011001011010010110100110101001

1891 010110101001011001101010010110011001= 101001011001100101100101101010010110

1893 010101100110101001101001101001011001= 100110100101100101100101011001101010

1894 010110100110100101101001011001011010= 100101100101101001100101101001101001

1895 010110100110100101101010011001010110= 101001100101011001100101101001101001

1896 010110101001010110100101101010011001= 100110010101101001011010100101011010

1900 011001010110010110100110101001100110= 101001101001101001011001101001010101

1901 011010100110010101101001011001011010= 100101100101101001100110101001100101

1902 011010100110010101101010011001010110= 101001100101011001100110101001100101

1903 011010100110100101101001011001010110= 100101100101011001100110101001101001

1906 011001101001010110101001010110100110= 100101011001010101100101011001010101

1907 011010010101101001101001100110100101= 100110011010010101100110100101011010

1933 010101100110101001101001011010011010= 100101101001101010011010100110010101

1934 010101100110101001101010011010010110= 101001101001011010011010100110010101

1935 011001101010011001011001101010011001= 100110101001100101010110011010100110

1936 011010011001101001011010011001101001= 101001100110100101010110100110011010

Окончание табл. 1

Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения до замены V = 01, м> = 10

1981 010110100101101001011010100110100110= 101001011010010110011010011010011001

1997 010101011001011010010110100101100101= 101010011001101010011001011010010110

1998 010110101001101001101010010110101001= 101001010101100101100101010110010110

2027 010101011001100101100101100110100101= 100101100110101001010110101001101010

2035 010101011010010110011001011001100101= 100101101010010110101001011001101010

2036 011010100101101010011010011010100101= 100101100101010110010110010101011010

Таблица 2

Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения после замены V = 01, м> = 10

1 Длина 30: 2 соотношения vwwvvwvvvwvvwwv = wwwvwvwwwvwvwww

2 = wvvwwvwwwvwwvvw

22 Длина 32: 16 соотношений vvvwvwwwvwwvvwvv = wvvwvvwwvwvvvwvw

23 vvwvvwwvwwwvwvvv = wvwvvvwvwwvvwvvw

25 vvwwvvwvwwvwwvwv = мп'ут'ммттт'мпт

26 vwvvwvwwwvvvwwwv = упт'тптт'ттт

27 vwvwwvvwwvvwwvwv = wvwvvwwvvwwvvwvw

28 vwvwwvwwvwvvwwvv = wvwwvwvvvwwwvvvw

29 vwwvwvvwwvvwvwwv = wvvwvwwvvwwvwvvw

30 vwwwvvvwwwvwvvwv = wwvvwwvwvvwvvwvw

33 vwvwwvwvwvvwvwwv = wvwvvwvwwvvwwvvw

34 vwwvwvvwvwvwwvwv = wvvwwvvwwvwvvwvw

36 vvwwvwvwwvwvwwvv = wvvvwwwvvwwwvvvw

42 vwvvwwwvvwwwvvwv = угмп'тптттптт

44 vwvwwvwvvwwvvwwv = wvwvvwvwvwwvwvvw

45 vwwvvwwvvwvwwvwv = wvvwvwwvwvwvvwvw

46 vwvwwwvwvvwwvwwv = wwvwwvvwvvvwvwww

47 vwwvwwvvwvwwwvwv = wwwvwvvvwvvwwvww

223 Длина 34: 23 соотношения vwvwwwvwvvwvvwwvw = wvvwwvwwvvvwvwwwv

225 vvwvwwwvwvwwwvwvv = wwwvwvvvwvvvwvwww

228 vwwwvwvvvwwvwwvvw = wvwwvvwvvwvwwwvwv

232 vvwvvwwvwwwvwwwvw = wvwwwvwwvvwwvwwvv

233 vvwvwwwvwvwvwwwvw = wvwwwvwwvwwwvwvvv

234 vvwwvwwvvwwvwwwvw = wvwwwvwwwvwwvvwvv

235 vvvwvwwwvwwvwwwvw = wvwwwvwvwvwwwvwvv

248 vwvvvwvwvvvwvwwvv = wwwvvvwvwwwvwwwvw

249 vwvvvwvvvwvwwwvvv = wwvvwvwwwvwvwwwvw

250 vwvvvwvvwvvwwvwvv = wwvwvvwwvwwvwwwvw

251 vvwvwwvvwvvwvvvwv = wvwwwvwwvwwvvwvww

252 vvwwvwvvvwvwvvvwv = wvwwwvwwwvwvvvwww

253 vvvvwwvwwvvwvvvwv = wvwwwvwvvwwvwwvww

254 vvvwwwvwvvvwvvvwv = wvwwwvwvwwwvwvvww

266 vvwwvvvwvwvvvwwvv = wwvvwwwvwvwwwvvww

274 vwvvvwvvvwvvwwvww = wwvvwvvwwvvwvvvwv

276 vwvvvwvvwwvvwvvww = wwvwwvvwvvvwvvvwv

278 vvwvwvvwvvwvwvvww = wwwvvwvwvvvvwvwvv

279 vvwvwvvvvwvwvvwww = wwvvwvwvvwvvwvwvv

284 vwwvvwvvwwwvwvvvw = wvwvvvwvwwvwwvvwv

295 vwvvwwvwwvwvvvwvw = wvvvwvwwwvvwvvwwv

Окончание табл. 2

Порядковый номер соотношения в массиве [12] Вид соотношения после замены V = 01, м> = 10

296 vvvwvwwwvwwwvwvvv = угмтттттттм/

297 vwwvvvwwvwwvvvwwv = wvvvwwvwvwvwwvvvw

1733 Длина 36: 48 соотношений vvvwwvvwvwvvwvvwvw = мпттттпт'м'мпт'

1734 тмт'ттптттпт = wvwvvwvvwvwvvwwvvv

1755 vvwvvwwvvwvvwwwvwv = wwwvwvwvwwwvwwwvww

1757 умп'тптмпт'тттт = мттптптптм'мпт'

1758 vvvwvvwwvvwvwwwvwv = у/ут'мпт'мптпттт

1764 vwvwwwvwvvwwvvwvvv = wwvvvvwvvwwvvwwvvw

1780 vwvwwwvvwvvwwvvwvv = wwvwwwvwwwvwvwvwww

1781 vvvwwwvwvvwvvwvwvw = wwvvvvwwvvwwvwvvwv

1797 vvvvwwvwwvvwwvvwwv = wwvvwwvwvvvwvwvvvw

1798 vvwvvwvvwvwwwvwvwv = wvvwvvvwvvwwvvwvww

1799 vvwvvwwvvwvvvwvwww = мгм'мптуутттптмп'

1801 vwwvvwvvvwvvvwvwww = wwwvwvvvwvvwwvvwvv

1805 vvvwwvvvwwwvwwwvvv = мгмптт'мп'тмптт'

1806 vvvwwwvwwwvvvwwvvv = wvwvvwvwvvwwvvvvww

1822 vvvwwvvwwwvwvwwwvv = wwvvvwvwvvvwwvvwww

1823 vvwwwvwvwwwvvwwvvv = wwwvvwwvvvwvwvvvww

1845 vvvvwvvvwvvvvwvvvw = wvwwvvvwwwvvvwwvwv

1846 vvwwvwvwwvwwvvvwwv = wwvvvwwvwvvvwwvwvw

1850 vwvwvvwwwvwvvwwwvv = wvvwwwvvwvvwvwvvww

1853 vvvvwwvwvvwwvwwvww = wvwvwwwvwwvvwvvvwv

1855 vvwvwwwvwvwvvvwvww = wvvvwvwwwvvvwvwwwv

1856 vvwvwwwvwvwwvvwvvw = wwvvwvvwwvvvwvwwwv

1857 vwvwwwvvwwvvvwwwvv = wwvvvwwwvvwwvvvwvw

1859 vwvvwwvwwvwwwvwvvv = wwwvwvvvwvvwvvwwvw

1860 vwwvwwvvwvwvvvwvww = wvvvwvwwwvvwwvwwvv

1861 vwwvwwvvwvwwvvwvvw = wwvvwvvwwvvwwvwwvv

1862 vwwvwwwvwvwvvvwvvw = wvvvwvvwwvvwwvwwwv

1891 vvwwwvvwvwwwvvwvwv = wwvvwvwvvwvvwwwvvw

1893 vvvwvwwwvwwvwwvvwv = wvwwvvwvvwvvvwvwww

1894 vvwwvwwvvwwvvwvvww = wvvwvvwwvwvvwwvwwv

1895 vvwwvwwvvwwwvwvvvw = wwvwvvvwvwvvwwvwwv

1896 vvwwwvvvwwvvwwwvwv = wvwvvvwwvvwwwvvvww

1900 vwvvvwvvwwvwwwvwvw = wwvwwvwwvvwvwwvvvv

1901 vwwwvwvvvwwvvwvvww = wvvwvvwwvwvwwwvwvv

1902 vwwwvwvvvwwwvwvvvw = wwvwvvvwvwvwwwvwvv

1903 vwwwvwwvvwwvvwvvvw = wvvwvvvwvwvwwwvwwv

1906 vwvwwvvvwwwvvvwwvw =

1907 vwwvvvwwvwwvwvwwvv = wvwvwwvvvwvwwvvvww

1933 vvvwvwwwvwwvvwwvww = wvvwwvwwwvwwwvwvvv

1934 vvvwvwwwvwwwvwwvvw = wwvwwvvwwvwwwvwvvv

1935 vwvwwwvwvvwvwwwvwv = wvwwwvwvvvvwvwwwvw

1936 vwwvwvwwvvwwvwvwwv = wwvwvwwvvvvwwvwvww

1981 vvwwvvwwvvwwwvwwvw = wwvvwwvvwvwwvwwvwv

1997 vvvvwvvwwvvwwvvwvv = wwwvwvwwwvwvvwwvvw

1998 vvwwwvwwvwwwvvwwwv = wwvvvvwvvwvvvvwvvw

2027 vvvvwvwvvwvvwvwwvv = wvvwvwwwvvvwwwvwww

2035 vvvvwwvvwvwvvwvwvv = wvvwwwvvwwwvvwvwww

2036 vwwwvvwwwvwwvwwwvv = wvvwvvvvwvvwvvvvww

Теорема. Пусть в В(2, 5) выполнено хотя бы одно соотношение из табл. 1. Тогда в В(2, 5) существуют двупорожденные подгруппы, не изоморфные В(2, 5).

Доказательство. Если В(2, 5) - конечная группа, то, как показано в [7], ее порядок равен 534 и, следовательно, В(2, 5) содержит нециклические конечные подгруппы. Пусть В(2, 5) - бесконечная группа. Положим V = 01, V = 10 и рассмотрим в В(2, 5) подгруппу Н = ^, w>. Тогда в Н должно выполняться хотя бы одно соотношение из табл. 2.

Используя вычисления на основе алгоритма из [13], можно убедиться в том, что левая и правая части любого соотношения из табл. 2 инвариантны, т. е. не меняются, по применению к ним указанного алгоритма. Последнее означает, что в В(2, 5) левая и правая части любого соотношения из табл. 2, поскольку их длины в терминах образующих V и V не превосходят 29, - это различные элементы указанной группы (см. теорему 2) [10]. Таким образом, подгруппа Н не изоморфна В(2, 5) и, следовательно, Н - собственная подгруппа группы В(2, 5). Если Н - бесконечная группа, то утверждение теоремы выполнено.

Пусть теперь Н - конечная группа. Покажем, что она отлична от циклической группы порядка 5. Предположим обратное. Тогда Н = ^, w> = <^> = ^> -циклическая группа порядка 5. Рассмотрим в В(2, 5) автоморфизм ф порядка 2, который на образующих 0,

1 действует следующим образом: ф(0) = 1, ф(1) = 0. Нетрудно видеть, что ф(т) = V и фМ = V и ф(Н) = Н. Так как ф - нетривиальный автоморфизм порядка 2 группы Н, то ф(х) = V-1 = V4. Следовательно, V4 = V и 01010101 = 10. Домножив обе части последнего равенства слева на 01, получим 0101010101 = 0110 = е, где е - единица группы Н. Следовательно, 0-2 = 12 и, как легко видеть, 01 = 10 = е. Таким образом, В(2, 5) -абелева, что невозможно.

Теорема доказана.

Таким образом, в данной статье с использованием вычислений на ЭВМ получен новый результат, дающий достаточные условия существования в группе В(2, 5) двупорожденных подгрупп, не изоморфных В(2, 5).

Библиографические ссылки

1. Burnside W. On an Unsettled Question in the Theory of Distinctions Groups // J. of Pure and Applied Mathematics. 1902. Vol. 33. P. 393-399.

2. Санов И. Н. Решение проблемы Бернсайда для периода 4 // Учен. зап. ЛГУ. Серия математическая. 1940. Т. 10. С. 166-170.

3. Hall M. Jr. Solution of the Burnside Problem for Exponent Six // Illinois J. of Mathematics. 1958. № 2. 764-786.

4. Адян С. И. Проблема Бернсайда и тождества в группах. М. : Наука, 1975.

5. Ivanov S. V. The Free Burnside Groups of Sufficiently Large Exponents // Intern. J. of Algebra and Computation. 1994. Vol. 4. Р. 2.

6. Лысенок И. Г. Бесконечные бернсайдовы группы четного периода // Изв. Рос. акад. наук. Серия математическая. 1996. Т. 60. С. 4-5.

7. Кострикин А. И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для показателя 5 // Изв. АН СССР. Серия математическая. 1955. Т. 19, № 3. С. 233-244.

8. Sims B. B. The Knuth-Bendix Procedure for Strings as a Substitute for Coset Enumeration // J. of Symbolic Computation. 1991. Vol. 12. Р. 438-442.

9. Кузнецов А. А. Комплекс алгоритмов компьютерного моделирования дискретных алгебраических систем : дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Красноярск, 2009.

10. Кузнецов А. А., Шлепкин А. А. Сравнительный анализ бернсайдовых групп B0(2, 5) и B(2, 5) // Тр. Инта математики и механики Урал. отд-ния Рос. акад. наук. 2010. Т. 2. С. 133-138.

11. Кузнецов А. А., Шлепкин А. А. О соотношениях в бернсайдовых группах B(2, 5) и B0(m, n) // Мат. системы. 2011. Вып. 9. С. 95-148.

12. Арзуманян М. С. Симметричность в бернсай-довой группе B0(2, 5) // Мат. системы. 2011. Вып. 9. С. 3-85.

13. Кузнецов А. А., Шлепкин А. А. Сравнительный анализ соотношений бернсайдовых групп B0(2, 5) и B(2, 5) // Тр. Ин-та математики и механики Урал. отд-ния Рос. акад. наук. 2009. Т. 15, № 2. С. 125-132.

A. A. Shlyopkin

ABOUT SUBGROUPS OF FREE BIN-INDUCED BURNSIDE GROUP OF THE PERIOD FIVE

The authors obtain and present sufficient conditions of existence of bin-induced subgroups of non-isomorphic B(2,5) in B(2,5).

Кeywords: Burnside problem, computational group theory.

© Шлепкин А. А., 2012