О почти периодичности преобразования Бохнера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.4

М. В. Кретов, Н. В. Виноградова, О. В. Воротникова О ПОЧТИ ПЕРИОДИЧНОСТИ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БОХНЕРА

Найдено необходимое и достаточное условие почти периодичности преобразования Бохнера в банаховом пространстве.

Necessary and the sufficient condition almost periodicity of conversion of the Bodmer in Banach space is found.

Ключевые слова: почти периодическая функция, банахово пространство, преобразование Бохнера, компактность, равномерная непрерывность, относительная плотность, е-почти период.

Key words: almost periodic function, Banach space, conversion of the Bochner, compactness, uniform continuity, the relative density, e-almost the period.

Пусть дано банахово пространство E [1] и банахово пространство CE всех непрерывных и ограниченных функций f (t) (t е (-да, да)) в пространстве Е. Элемент в CE, соответствующей

функции f (t) (-да < t <да), обозначим через /. Норма элемента в CE вводится следующим образом:

C = sup ||f(t)||E .

E -да<К+да

Положим f (s) = {f (t + s); t, s е (-да; да)}. Преобразованием Бохнера называется отображения s ^ f(s), то есть отображение из (-да, да) в CE, при этом /(0) = f. Область значений преобразований Бохнера обладает следующими свойствами:

1) состоит из точек сферы, так как

||/(s)||c = Sup IIf (t + s)llE = su p IIf (t^1E HIf(0)||C ;

11 CE -w<t <да -да<Кда 11 CE

2) сохраняет расстояние, так как

11.%(s+т) - f (s)C = sup iif(t+s+т) - f(t+s)|E =

11 CE -да<t<да

= sup ||f(t + t) - f(t|e =|f (t) - f (0)C ;

-да<^да E

3) функция f (t) почти периодична тогда и только тогда, когда почти периодична функция f (s) с тем же почти периодом;

4) из определения Бохнера [2] почти периодической функции со значениями в банаховом пространстве следует, что для того, чтобы функция f(s) была почти периодической, необходимо и достаточно, чтобы область значений преобразований Бохнера была относительно компактный.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Для того чтобы преобразование Бохнера f(s) было почти периодической функцией, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая относительно плотная на действительной оси последовательность чисел {sn}, для которой соответствующая последовательность {f (sn)} была относительно компактной.

Доказательство. Необходимость следует из того, что область значений преобразований Бохнера относительно компактна, то есть любая последовательность {f (sn)} относительно компактна.

Докажем достаточность. Сначала докажем, что для любого числа е > 0 множество е-почти периодов {т}е относительно плотно.

Так как последовательность {f (sn)} относительно компактна, то существует k значений, зависящих от е: f (s10), f (s2 0),..., f (sk,0) таких, что для любого натурального числа справедливо

Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2010. Вып. 10. С. 160—162.

%(вп) є и(%(ві,о)' є) і=і

где (%, є) обозначает открытую сферу с центром % и радиусом є.

Разобьем последовательность {%(эп)} на к подпоследовательностей {% (э^п)} таких, что для

любого числа І ||/Ц п ) - %Ц,о)||^ <є.

Согласно свойству 2 области значений преобразований Бохнера это означает, что ||/Ц,п) - %Ц,о) - %(0)||с <Є значит, хі,п = віп - ві о есть почти период.

Докажем, что множество и {т у * } есть относительно плотное множество чисел. Пусть число

у=1

й > 0 — длина интервала, в каждом из которых есть член последовательности {эп}. Положим

m = min(-s,0}, M = max{-sj0}, e = M - m + d.

іє[1,к] j0 іє[1,к] j ,0

Рассмотрим интервал (а < а + 1), где число а произвольно. Интервал (а - т, а - т + й) содержит хотя бы одну точку последовательности {эп}, следовательно, из равенств (6) следует: а - т + т

і S ■ —S ■ „ S

h'ni Зі*®

f a-m + d + M, то есть, учитывая (5), получаем а <.н s' а +1. Значит, множество U {т І ,n } —

i=1

относительно плотное множество чисел.

Докажем теперь, что функция f(s) непрерывна. Из свойства 2 области значений преобразований Бохнера следует, что для этого нужно доказать, что функция f (t) равномерно непрерывна. Для этого положим Д = {—d > С <_ d}. Пусть z = C (Д, £) есть непрерывное преобразование всех функций z(Z) из промежутка Д в банахово пространство E, следовательно,

г = {г(С}; С є д}/ |И|ё = max||r(Q|| . Положим^ = {f(Q+sJ; Qe А}. Так как ||r„ -rm||£ ^ ||/(s„)-/(sB

Д E E то последовательности {zn} и {f(sn)} относительно компактної. Так как функция f (t) непрерывна, то функция f(Z+ sn) равномерно непрерывна на отрезке Д, значит, каждому числу є> 0

соответствует число 5S, 0 д.. <[ такое, что для любых чисел Iі и сиз промежутка Д и любого

натурального числа и из неравенства |С'-С"| ^ следует неравенство ||/(C,+sn)_/(C"+s,,)||£ ^є.

Выберем произвольное число t є (-да; да), тогда существует число sn є^ t -d, t +d j,

следовательно, t = C + s-, где |c| Пусть теперь имеет место неравенство |f - f | и положим

t = "-+S-. Тогда будут выполняться неравенства |^| d и |С - С | = |f - f | ^ 8S, откуда следует ||/(0-/(0||£ = ||/(С + s-)-/(С +s-)||£ ^s. Значит, функция /(f) равномерно непрерывна на

рассматриваемом промежутке. Теорема доказана.^

Эта теорема позволяет упростить определение Бохнера [2] почти периодической функции со значениями в Банаховом пространстве.

Список литературы

1. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М., 19б8.

2. Кретов М. В. О почти периодических функциях со значениями в банаховом пространстве // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. Вып. 4. 2010. С. 1б2 — 1бб.

Об авторах

Михаил Васильевич Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., РГУ им. И. Канта, e-mail: kretov200б200б@yandex.ru

Наталья Викторовна Виноградова — ст. преп., РГУ им. И. Канта, e-mail: [email protected]

Ольга Владимировна Воротникова — ст. преп., РГУ им. И. Канта, e-mail: [email protected]

Authors

Dr Michail Kretov — assistant professor, IKSUR, e-mail: kretov20062006@ yandex.ru Natalya Vinogradova — high instructor, IKSUR, e-mail: [email protected] Olga Vorotnikova — high instructor, IKSUR, e-mail:[email protected]