CC BY
29
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 3 (2013)
УДК 512.543
О ПОЧТИ АППРОКСИМИРУЕМОСТИ КОРНЕВЫМИ КЛАССАМИ ОБОБЩЕННЫХ СВОБОДНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ И HNN-РАСШИРЕНИЙ групп
Д. В. Гольцов (г. Иваново)
Аннотация
Для некоторых обобщенных свободных произведений и HNN-расширений групп получены критерии почти аппроксимируемости корневым классом.
Ключевые слова: почти аппроксимируемость корневым классом групп, обобщенное свободное произведение групп, HNN-расширение.
ON THE VIRTUAL RESIDUALITY ROOT-CLASS RESIDUALITY
OF GENERALIZED FREE PRODUCTS
AND HNN-EXTENSION OF GROUPS
D. V. Goltsov
Abstract
The necessary and sufficient conditions of virtual root-class residuality for some generalized free products and HNN-extensions are obtained.
Keywords: virtually root-class residuality, generalized free product of groups, HNN-extension.
1. Введение
Пусть K — непустой класс групп.
Группа G называется аппроксимируемой классом K (или, короче, K-аппро-ксимируемой), если для любого неединичного элемента а группы G существует гомоморфизм группы G на некоторую группу из класса K, при котором образ элемента а отличен от 1. Группа G называется почти K-аппроксимируемой, если она содержит некоторую K-аппроксимируемую подгруппу конечного индекса.
Пусть группа G почти K-аппроксимируема. Рассмотрим семейство (Hi)i&i всех K-аппроксимируемых подгрупп конечного индекса группы G. Число
n = min[G : Hi] iei
будем называть индексом почти K-аппроксимируемости группы G.
Пусть как и выше K — непустой класс групп. Класс K называется корневым [1], если выполнены следующие три условия:
1. Если группа A принадлежит классу K и B — подгруппа группы A, то группа B также принадлежит классу K.
2. Прямое произведение любых двух групп из класса K принадлежит классу
K.
3. Если 1 < C < B < A — субнормальный ряд группы A такой, что факторгруппы A/B и B/C принадлежат классу K, то в группе A существует нормальная подгруппа D такая, что D С C и A/D принадлежит классу K.
Примером корневого класса может служить класс F всех конечных групп и класс Fp всех конечных р-групп.
Здесь рассматривается аппроксимируемость обобщенных свободных произведений групп корневыми классами.
В [2, с. 429] приводится следующий результат К. Грюнберга: для того, чтобы любое свободное произведение групп аппроксимируемых данным корневым классом K само было K-аппроксимируемой группой необходимо и достаточно, чтобы любая свободная группа была K -аппроксимируемой.
В [3] Д. Н. Азаров и Д. Тьеджо доказали, что любая свободная группа аппроксимируема любым корневым классом. Поэтому свободное произведение любого семейства групп, аппроксимируемых корневым классом K, само является K-аппроксимируемой группой. Здесь мы доказываем следующее утверждение.
Теорема 1. . Пусть (Aa)a^ — некоторое семейство групп и пусть A = *asaAa — свободное произведение групп Aa. Группа A почти аппроксимируема корневым классом K тогда и только тогда, когда все Aa почти K-аппроксимируемы и индексы почти K-аппроксимируемости групп Aa ограничены.
Рассмотрим теперь свободное произведение P групп A и B с объединенными подгруппами H и K. Если группы A и B аппроксимируемы корневым классом
К, то группа Р уже не обязана быть К-аппроксимируемой. Большинство результатов о К-аппроксимируемости группы Р получены в случае, когда К совпадает с классом всех конечных групп или с классом всех конечных p-групп. Оба эти класса являются корневыми. Наиболее исследованным аппроксимаци-онным свойством обобщенных свободных произведений является финитная аппроксимируемость, т. е. аппроксимируемость классом Т всех конечных групп. Исследования в данном направлении как правило представляют собой доказательство финитной аппроксимируемости свободного произведения Р групп А и В с объединенными подгруппами Н и К при определенных ограничениях на группы А и В и объединяемые подгруппы Н и К. Так, например, Г Баумслагом в [4] доказано, что свободное произведение двух финитно аппроксимируемых групп с конечной объединенной подгруппой является финитно аппроксимируемой группой. Аналогичный результат для аппроксимируемости корневым классом уже не имеет место, поскольку, например, обобщенное свободное произведение двух конечных р-групп не обязано быть Тр-аппроксимируемой группой. Тем не менее, если К — некоторый класс конечных групп, являющийся корневым, то свободное произведение двух К-аппроксимируемых групп с конечными объединенными подгруппами является почти К-аппроксимируемой группой. Данное утверждение является частным случаем доказанной ниже теоремы. Эта теорема будет доказана в более общей ситуации — для свободного произведения произвольного семейства групп с одной объединенной конечной подгруппой.
Пусть (Од)х^А — некоторое (возможно бесконечное) семейство групп.
И пусть
О = (*\елС\, Н)
— свободное произведение групп Од с одной объединенной подгруппой Н. В работе [5] Д. Н. Азаровым доказано следующее утверждение, обобщающее упомянутый выше результат Баумслага.
Пусть для каждого А Е Л группа Од финитно аппроксимируема и подгруппа Н конечна. Тогда группа О = (*\&аО\, Н) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда для каждого А Е Л в группе Од существует нормальная подгруппа конечного индекса, тривиально пересекающая Н, и такая, что индексы [Од : иД] ограничены в совокупности.
В [5] получен аналогичный критерий для аппроксимируемости группы О классом Тр всех конечных р-групп. Здесь мы рассмотрим свойство почти аппроксимируемости такого свободного произведения корневым классом К. Нами получен следующий результат.
Теорема 2. Пусть группа О = (*\£аО\, Н) финитно аппроксимируема и подгруппа Н конечна. Группа О тогда и только тогда почти аппроксимируема корневым классом К, когда для каждого А Е Л группа Од почти К-аппрокси-мируема и индексы почти К-аппроксимируемости групп Од ограничены в совокупности.
Отсюда и из упомянутого выше результата Г. Баумслага вытекает следующее утверждение.
Следствие 1. Пусть Р = (А * В, Н = К) — свободное произведение групп Л и Б с конечными объединенными подгруппами И и К. Если группы Л и Б финитно аппроксимируемы и почти аппроксимируемы корневым классом К, то и группа Р почти К-аппроксимируема. В частности, если группы А и В почти аппроксимируемы корневым классом К, состоящим из конечных групп, то группа Р почти К-аппроксимируема.
А. Л. Шмелькин в работе [6] доказал, что произвольная полициклическая группа почти Тр-аппроксимируема для каждого простого числа р. Поэтому частным случаем следствия 1 является следующее утверждение.
Следствие 2. Свободное произведение любых двух полициклических групп с конечными объединенными подгруппами является почти Тр-аппроксимируемой группой для каждого простого числа р.
Хорошо известно, [7] что НКЫ-расширение финитно аппроксимируемой группы с конечными связанными подгруппами само является финитно аппроксимируемой группой. Простые примеры показывают, что этот результат не может быть распространен с финитной аппроксимируемости на аппроксимируемость произвольным корневым классом, но тем не менее, нам удалось доказать следующий результат.
Теорема 3. Пусть С* = (С,Ь,Ь-1Ш = К) — ИИИ-расширение группы С с конечными связанными подгруппами И и К. Если группа С финитно аппроксимируемы и почти аппроксимируемы корневым классом К, то и группа С* почти К-аппроксимируема. В частности, если группа С почти аппроксимируемы корневым классом К, состоящим из конечных групп, то группа С * почти К-аппроксимируема.
Отсюда и из отмеченного выше результат А.Л. Шмелькина следует, что НКЫ-расширение полициклической группы с конечными связанными подгруппами является почти Тр-аппроксимируемой группой для каждого простого числа р.
2. Доказательство теоремы 1
Пусть К — некоторый корневой класс групп, пусть (Ад)дед — некоторое семейство групп и пусть
А = *лелАл
— свободное произведение групп Ал.
Очевидно, что если группа О почти К-аппроксимируема, то любая подгруппа этой группы почти К-аппроксимируема, и ее индекс почти К-аппроксими-руемости не превосходит индекса почти К-аппроксимируемости группы О. Поэтому, если группа А почти К-аппроксимируема, то ее подгруппы Ал почти К-аппроксимируемы, и индексы почти К-аппроксимируемости групп Ал ограничены индексом почти К-аппроксимируемости группы А. Таким образом, необходимость в теореме очевидна. Для доказательства достаточности сначала докажим следующую лемму.
Лемма 1. . Пусть все группы Ал конечны и их порядки ограничены. Тогда существует гомоморфизм группы А на конечную группу, инъективный на всех Ал.
Доказательство. Так как порядки групп Ал ограничены, то все эти группы с точностью до изоморфизма исчерпываются конечным набором групп В1, В2, Вп. Для каждого А Е Л обозначим через фл изоморфизм группы Ал на
одну из групп В г. Тогда изоморфизмы фл можно продолжить до гомоморфизма ф группы А на прямое произведение групп В1, В2,Вп. Этот гомоморфизм является искомым. Лемма доказана.
Пусть теперь для каждого А Е Л группа Ал почти К-аппроксимируема и индексы почти К-аппроксимируемости групп Ал ограничены. Покажем, что свободное произведение А групп Ал почти К-аппроксимируемо.
По условию для каждого А Е Л в группе Ал существует К-аппроксимируемая подгруппа Вл такая, что индексы [Ал : Вл] ограничены. Без потери общности можно считать, что для каждого А Е Л подгруппа Вл является нормальной в группе Ал. Пусть
С = *л&лАл/Вл.
— свободное произведение фактор-групп Ал/Вл. И пусть е — гомоморфизм группы А на группу С, продолжающий естественные гомоморфизмы Ал ^ Ал/Вл. Так как порядки групп Ал/Вл ограничены, то по лемме 1 существует гомоморфизм р группы С на некоторую конечную группу О инъективный на всех Ал/Вл. Обозначим через Ь ядро гомоморфизма ер. Тогда Ь — нормальная подгруппа конечного индекса группы А и для каждого А Е Л Ал П Ь = В л. По теореме Куроша Ь раскладывается в свободное произведение некоторой свободной группы Г и некоторых подгрупп вида
х-1Алх П Ь = х-1(Ал П Ь)х = х-1Влх,
где х Е А. Д. Н. Азаров и Д. Тьеджо [3] доказали, что свободное произведение любого семейства групп, аппроксимируемых корневым классом К, является К-аппроксимируемой группой. Кроме того в [3] доказано, что свободная группа аппроксимируема любым корневым классом. Так как свободная группа Г и подгруппы х-1Влх = В л являются К-аппроксимируемыми, то и группа Ь также К-аппроксимируема. Таким образом, группа А почти К-аппроксимируема.
3. Доказательство теоремы 2
Пусть К — некоторый корневой класс, пусть О = (*л&лОл, Н) — свободное произведение групп Ол с конечной объединенной подгруппой Н, и пусть группа О финитно аппроксимируема.
Предположим, что группа О почти К-аппроксимируема, т. е. содержит К-аппроксимируемую подгруппу индекса п. Тогда все Ол почти К-аппроксими-руемы, и их индексы почти К-аппроксимируемости ограничены числом п.
Наоборот, пусть группы Ол почти К-аппроксимируемы и индексы почти К-аппроксимируемости групп Ол ограничены числом п. Так как группа О финитно аппроксимируема и Н — конечная подгруппа группы О, то в группе О существует нормальная подгруппа N конечного индекса такая, что N П Н = 1. По теореме Х. Нейман [8, с. 122] подгруппа N раскладывается в свободное произведение некоторой свободной группы Г и некоторых подгрупп вида
х-1Олх П N = х-1(Ол П N)x,
где х Е О. Группы х-1(Ол П N)х изоморфны некоторым подгруппам в группах О л. Отсюда из того, что группы О л почти К-аппроксимируемы и их индексы почти К-аппроксимируемости ограничены, следует, что аналогичным свойством обладают и подгруппы х-1(Ол П N)х.
Так как свободная группа Г является К-аппроксимируемой группой, группы х-1(Ол П N)х почти К-аппроксимируемы и их индексы почти К-аппроксимируемости ограничены, то по теореме 1 группа N почти К-аппроксимируема. Отсюда и из того, что индекс подгруппы N в группе О конечен, следует, что и группа О почти К-аппроксимируема.
4. Доказательство теоремы 3
Пусть С — группа, Н и К — подгруппы группы С, ф —изоморфизм подгруппы Н на подгруппу К. И пусть
с * = (с,р, г-1ы = кф(к е н ))
— НКЫ-расширение группы С со связанными подгруппами Н и К. Будем предполагать, что подгруппы Н и К конечны. И пусть группа С финитно аппроксимируема и почти аппроксимируема корневым классом К. Покажем, что группа С* почти К-аппроксимируема.
Так как группа С почти К-аппроксимируема, то в ней существует подгруппа и конечного индекса аппроксимируемая классом К. Без потери общности можно считать, что подгруппа и нормальна в С. Так как группа С финитно аппроксимируема, а подгруппы Н и К конечные, то в группе С существует нормальная подгруппа V конечного индекса такая, что V П Н = 1 и V П К = 1.
Пусть M = U П V. Тогда M — нормальная подгруппа конечного индекса группы C, M П H = 1, M П K = 1 и группа M аппроксимируема классом K.
Так как HПM = 1 = KПM, то отображение фм подгруппы HM/M = {hM : h Е H} группы C/M на подгруппу KM/M = {kM : k Е K} группы C/M, сопоставляющее каждому элементу hM из HM/M элемент h^M из KM/M, является изоморфизмом. Поэтому можно рассматривать HNN-расширение
CM = (CM , t; t-1ht = Ъфм (h Е HM/M) )
группы CM = C/M со связанными подгруппами HM/M и KM/M. Так как группа CM конечная, то группа CM финитно аппроксимируема [7].
Очевидно, что существует гомоморфизм pM : C* —> CM, продолжающий естественный гомоморфизм £M : C —> CM и такой, что tpM = t. Тогда для каждого элемента a из C выполняется apM = aM.
Так как группа CM* финитно аппроксимируема и ее подгруппа CM конечна, то существует гомоморфизм а группа CM на конечную группу C, иньективный на подгруппе CM. Тогда произведение pM а является гомоморфизмом группы C* на конечную группу C. Поэтому ядро L гомоморфизма pM а является нормальной подгруппой конечного индекса группы C* .
Поскольку C П Ker pM = M и а инъективен на подгруппе CM = CpM, то C П Ker pMа = M, т. е. L П C = M. Тогда L П H = L П C П H = M П H = 1. Таким образом, подгруппа L тривиально пересекаются со связанной подгруппой H. Поэтому в силу теоремы А. Карраса и Д. Солитера [8, с. 288] подгруппа L раскладывается в свободное произведение свободной группы F и некоторых подгрупп вида
L П x-1Cx = x-1(L П C)x = x-1 Mx,
где x Е C *. Поскольку группа F и подгруппы L П x-1Cx аппроксимируемы классом K, то и группа L аппроксимируема классом K. Отсюда и из того, что L является подгруппой конечного индекса в группе C* , следует, что группа C* почти K-аппроксимируема.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. GruenbergK. W. Residual properties of infinite soluble groups // Proc. London Math. Soc. 1957. Vol. 7. P. 29—62.
2. Магнус К., КаррасА, СолитэрД. Комбинаторная теория групп. М.: Наука, 1974.
3. Азаров Д. Н., ТьеджоД. Об аппроксимируемости свободного произведения групп с объединенной подгруппой корневым классом групп // Науч. тр. Иван. гос. ун-та. Математика. 2002. Вып. 5. С. 6—10.
4. Baumslag G. On the residual finiteness of generalized free products of nilpotent groups // Trans. Amer. Math. Soc. 1963. Vol. 106, №2. P. 193—209.
5. Азаров Д. Н. О финитной аппроксимируемости свободных произведений групп с одной объединенной подгруппой // Сиб. мат. журн. 1997. Т. 38. С. 3—13.
6. Шмелькин А. Л. Полициклические группы // Сиб. мат. журн. 1968. Т. 9. C. 234—235.
7. Baumslag B., Tretkoff M. Residually finite HNN-extensions // Commun. in Algebra. 1978. Vol. 6, № 2. P. 179—194.
8. Линдон Р., ШуппП. Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.
Ивановский государственный университет Поступило 18.09.2013
