О первом интеграле обобщенного уравнения Абеля второго рода специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Серия «Математика» 2014. Т. 7. С. 124—132

Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia

ИЗВЕСТИЯ

Иркутского государственного университета

УДК 517.946

О первом интеграле обобщенного уравнения Абеля второго рода специального вида *

Э. И. Семенов

Институт динамики систем и теории управления СО РАН

Аннотация. Исследование различных математических моделей, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений с частными производными, во многих случаях путем специальных преобразований сводится к изучению некоторых нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. В данной статье объектом такого сведения и исследования выступает уравнение Абеля второго рода. В работе при некоторых предположениях на коэффициенты уравнения построено общее решение (первый интеграл) обобщенного уравнения Абеля второго рода специального вида.

Ключевые слова: уравнения Абеля второго рода, первый интеграл.

1. Введение

В статье при некоторых предположениях на коэффициенты уравнения строится общее решение (первый интеграл) обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка следующего вида

'п—1 п

(х)ук у' = ^ ¡к(х)ук, п > 2, у = у(х). (1)

_к=0 \ к=0

Здесь и далее штрих означает производную по аргументу х. Будем называть это уравнение — обобщенным уравнением Абеля второго рода, мотивируя тем, что частным случаем уравнения (1) при п = 2 является классическое уравнение Абеля второго рода [1], большое число точных решений которого приведены в справочниках [1, 2]. Конкретные случаи

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-5007.2014.9)

уравнения (1) возникали и рассматривались в работах [3-5]. Отметим, что уравнение (1) частным случаем уравнения Аппеля [6]

т п

(х)ук У = Е ¡к(х)Ук• _к=0 \ к=0

В данной работе мы будем предполагать, что функции /п(х) и дк(х) не равны нулю для всех к = 0,1, 2,..., п?1.

2. Основные результаты

Докажем основной результат данной работы.

Теорема 1. Если существуют константы Хк, (к = 1,... ,п- 1),п > 2, такие, что справедливы соотношения

_ п Рп{х) дп-2(х) _ п Рп{х) дп-3(ж)

п~1 П - 1 Рп-\(х) дп-\{хУ п~2 п-2 Рп-2(х) дп-1(х)'

^ = пРп{х) дк-1{х) к к Рк {х) дп-1 (х)'

пРп(х) д\(х) Рп(х) до(х)

Л2 = ~ , . -г, Л\ = П-

2 Р2(х) дп-\(х) Р\(х) дп-\(х)

то уравнение (1) имеет общее решение (первый интеграл)

Рп (х)уп + Хп-\Рп-\(х)уп-1 + ... + Хк Рк (х)ук + ...+ \2Р2{Х)У2 + \1Р1{Х)У = П [ РП{Х) (IX + С,

J дп-1(х)

где

Рп(х) = ехр (—п [ —^ф—йх ) , V } дп-1 (х) )

Рп-х{х) = ехр \-{п - 1) [

\ } дп-2(х) )

Рк(х) = ехр (-к [

V 1 дк-1

дп-2(х)

¡к(х)

-\(х)

Ых)=ехр (-2 / Ш,ь)'=ехр (- / Ш'1-"

(3)

(1х) , (4)

Доказательство. Умножив обе части уравнения (1) на функцию Рп(х), получим

Рп(х)до(х)у'+Рп(х)дх(х)уу'+Рп(х)§2(х)у2у'+.. .+Рп(х)дп-1(х)уп-1у' =

Рп (х)Мх) + Рп(х)Ь(х)у + ... + Рп(х)и (х)уп. Из первой формулы (4) следует соотношение

Рп(х)/п(х) = -^дп-1{х)Р'п{х),

с учетом которого последнее равенство преобразуем к виду

^дп-г(х) (Рп(х)упУ + Рп{х)д0{х)у' + Рп{х)д1{х)уу' + ... +

Рп(х)дп-2 (х)уп-2 у' = Рп (х)Мх) + Рп(х)Ь (х)у + ... +

Рп (х)и-г(х)уп-1. (5)

Теперь, умножим обе части равенства (5) на функцию Рп-1(х). Получим следующее соотношение

^дп-1(х)Рп-1(х) (Рп(х)упУ + Рп_1(х)Рп(х)д0(х)у'+

+Рп-1(х)Рп(х)д1(х)уу' + ... + Рп-1(х)Рп (х)дп-2 (х)уп-2 у' =

Рп-1 (х)Рп (х~) ¡0 (х) + Рп-1(х)Рп (х)^(х)у+

... + Рп-1(х)Рп (х)/п-2(х)уп-2 + Рп-1(х)Рп (х)и-1(х)уп-1.

Для упрощения полученного выражения воспользуемся второй из формул (4), которую для удобства запишем в виде

Рп-1(х)/п-1(х) = - ^1_^дп-2{х)Р'п_1{х), с учетом этого равенства последнее соотношение приведем к виду

-дп-^Рп-^х) (Рп(х)упУ + дп-2(х)Рп(х) (Р„_1(ж)г/га~1)' + п п — 1

Рп-1 (х)Рп (х)до (х)у' + Рп-1 (х)Рп (х)д1 (х)уу' + ...+

Рп-1(х)Рп (х)дп-з (х)уп-3у' = Рп-1(х)Рп (х)1о(х)+ Рп-1(х)Рп (х)Ь(х)у+

... + Рп-1(х)Рп (х)и-з(х)уп-3 + Рп-1(х)Рп (х)/п-2(х)уп-2. (6)

Затем, умножим обе части формулы (6) на функцию Рп-2(х) и упростим полученное выражение с помощью соотношения

Рп-2(х) ¡п-2(х) = - 2^дП-з(х)Р^_2(х).

О ПЕРВОМ ИНТЕГРАЛЕ ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ 127 Продолжив эту процедуру, в конце концов мы придем к формуле

Прм(р»МупУ + 11 р "11 (Рп-Л^-1)'+

= \п Рп(х) п - 1 Рп-\(х)

1 п— 1

Разделив обе части равенства (7) на функцию —дп-\{х) Рк{х) ф О,

п к=1

получим

п Рп(х) дп_з(ж) , уп-2\>+ таРга(ж) , 2у

Рп(х) до(х) . . . у /о(х) Р1(х) дп—1(х) дп—1(х)

Предположим, теперь, что следующие величины

Рп{х) дп-2{х) Рп{х) дп-з(х) Рп—\(х) 9п—\(.х)' Рп-2{х) дп-1{хУ

Рп{х) д\{х) рп{х) д0(х) Р2{х) дп-1{хУ Р\{х) дп-1 (ж)'

есть некоторые отличные от нуля постоянные. Другими словами, если существуют константы Хк, (к = 1, 2,...,п — 1), п > 2, определяемые формулами (2), то соотношение (8) преобразуется к выражению

(Рп(х)упУ + Хп—1 {Рп—1(х)уп—1 У + ... + Хк (.Рк(х)ук)' + ... + л2 (Р2(х)У2У + А! (Р^у)' = п^^-Рп(х),

дп—1(х)

интегрируя которое, окончательно имеем

Рп (х)уп + Хп—1Рп—1(х)уп—1 + ... + Хк Рк (х)ук + ...+

А2Р2{х)у2 + \1Р1{х)у = п [ Рп{х) йх + С,

J дп—1(х)

где С - постоянная интегрирования. Теорема доказана. □

Замечание 1. Соотношения (4) можно преобразовать, соответственно, к следующим формулам

1 [(п - 1)/п-г(х) +д'п-2{%)] = ——71л [П1п{х)+д'п- Лх)] ,

дп-2(х) п дп-1(х)

1 [к/к(х) +д'к_1{х)] = 1 [п/п(х) +д'п-1{х)] ,

дк-1(х) дп-1(х)

1 Шх)+9о(х)] = 1 [п/п(х) +д'п_1{х)] .

до(х) дп-1(х)

В частном случае п = 2, последние соотношения сводятся к одному равенству

^ [2Мх) +д[(х)] = [Ш +д'0(х)] . (10)

Таким образом, если имеет место равенство (10), то уравнение Абеля второго рода

[до(х) + д1(х)у] у' = ¡о(х) + ¡1(х)у + ¡2(х)у2, в силу теоремы 2 обладает первым интегралом

([' ¡ (х) \

—2 / ——с1х ). Отметим, что данный случай приве-

У д1(х) )

ден в справочнике [1].

Замечание 2. В частном случае п = 2, из теоремы 1 следует результат, полученный в работе [7].

Теорема 2. Если в ОДУ (1) коэффициенты уравнения связаны соотношениями

= + Э'а-Лх)) -д'о(х),

дп-1(х)

к{х) = 2д1^(х) + э'а-Лх)) - ^д'Лх),

/п-Лх) = {п^]_1{х) Шх) + 9'п-Лх)) - 2{х),

то уравнение (1) обладает общим решением (первым интегралом) следующего вида

уп { п 9п-2(ж) га_1 | | пдк-\{х) к | +

п — 1 дп—1(х)'

к дп—1(х)'

где

и(х) =

п

п д1(х) 2 д0(х) , ,

у 1 ' -у2 + п Д у = и(х),

2 дп—1(х)'

дп—1(х)'

/о (ж)

1п(х)

9п-\{х) ^¿х +С

йх

/п(ж)

йх

(12)

(13)

С - произвольная постоянная; (к = 1, 2,...,п — 1), п > 2.

Доказательство. Легко проверить, что функция и(х) вида (13) является общим решением линейного неоднородного ОДУ первого порядка следующего вида

и, = п/п(х) ^ п/0(х)

дп—1(х) дп—1(х)'

(14)

Таким образом, чтобы убедиться в справедливости теоремы достаточно показать, что функция и(х), определяемая левой частью равенства (12), удовлетворяет ОДУ (14) в силу уравнения (1) и соотношений (11).

Итак, вычислив производную от левой и правой частей формулы (12), имеем

+ — (М4У уп-1+п^г\уп-2у' + ... + ^ (9-^Щ)'ук

" дп—1(х) -

п — 1 V дп—1(х)

к \дп—1(х)

+...+1 У1+ПЩ-УУ>+П (щл' у

дп—1(х)'

2 \ дп—1(х) до(х) ,

+п

дп—1(х)

дп—1(х)' у' = и' (х).

дп—1(х)

Сгруппировав в левой части последнего равенства слагаемые содержа-

щие производную у , получим

п1

п

дп—1(х)

Едк(х)ук

к=о

у' + Я(у)\ = и'(х).

(15)

п

п

е

где Q(y) — многочлен следующего вида

/->л.л _ 9п-1{х) (дп-2{х) У,.га_1 , , 9п-Лх) (дк-х{х)\ пк ,

^ Уу1 + 9п-Лх)(Щ,)'у. (16)

2 \дп-1(х)) \дп-1(х)

Заменив производную и'(х) правой частью ОДУ (14), формулу (15

перепишем в виде

'п-1

дк(х)ук

1к=0

у' + Q(y) = ¡п (х)и + ¡о(х).

Здесь, в свою очередь, заменим функцию и(х) левой частью равенства (12)

п— 1

дк(х)ук

к=0

у' + Q(y) = ¡п (х)уп + Р (у) + ¡о(х), (17)

где Р(у) - многочлен следующего вида

Р(,л = (9п-2(ж) га-1 9к- 1{х) к

[У) дп.^Уп- 1У к У +

д1(х)„ .2

2

у2 + до(х)у . (18)

Найдем теперь разность многочленов Р (у) и Q(y), которые определяются формулами (18) и (16) соответственно. После несложных преобразований получим

п-1

к

Р (у) — Q(y) = Yl Ьк (х)у к=1

где функции Ьк (х) имеют следующий вид

п^(х)до(х) — д'0 (х)дп-1(х) + до(х)д'п-1(х)

Ь1 (х) = Ь2(х) =

Ьк(х) =

дп-1(х)

п/п(х)д1(х) -д'1(х)дп-1(х)+д1(х)д'п_1(х) 2дп_1(х)

п/п(х)дк- 1(х) - д'^^дп-Лх) + д^^д'^^х) кдп-\{х)

к , ч _ п/п(х)дп-2(х) - д'п_2(х)дп-1(х) + дп-2(х)д'п_1(х) п~1 {п-1)дп-1{х)

Сравнивая эти формулы с формулами (11), убеждаемся, что справедливы равенства Нк (х) = ¡к(х) для всех к = 1, 2,...,п — 1. Следовательно, разность многочленов Р(у) и Q(y) представима в виде

п-1

P(y) - Q(y) = Y. fk(x)yk

k=1

где функции ¡к(х) определяются формулами (11). Таким образом, формула (17) примет окончательно следующий вид

"га— 1

Yjdk (x)yk

Lk=0

га—1 га

к I f^,га —

к=1 к=0

y' = fo(x) + ^ fk(x)yk + fra(x)yra — £ fk(x)yk

Это ничто иное как искомое уравнение (1), что и требовалось доказать.

□

Список литературы

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М. : Наука, 1971. - 576 с.

2. Зайцев В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. - М. : ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 576 с.

3. Семенов Э. И. Свойства уравнения быстрой диффузии и его многомерные точные решения / Э. И. Семенов // Сиб. мат. журн. - 2003. - Т. 44, № 4. - С. 862-869.

4. Семенов Э. И. О новых точных решения неавтономного уравнения Лиувилля / Э.И. Семенов // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 1. - С. 207-217.

5. Рудых Г.А., Семенов Э.И. Построение точных решений одномерного уравнения нелинейной диффузии методом линейных инвариантных подпространств / Э.И. Семенов // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. Математика.- Т. 6, № 4. - С. 69-84.

6. Appell P. Sur les invariants de quelques equations différentielles // Journal de Math. - 1889. - Vol. 4, N 5. - P. 361-423.

7. Lazhar Bougoffa. New exact general solutions of Abel equation of the second kind / Bougoffa Lazhar // Appl. Math. and Comput. - 2010. - Vol. 216, N 2. - P. 689-691.

Семенов Эдуард Иванович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, тел.: (3952) 453099 (e-mail: [email protected])

E. Semenov

On the First Integrals of the Generalized Abel Equation of the Second Kind of Special Form

Abstract. The study of various mathematical models described by nonlinear systems of differential equations, in many cases by special transformations reduces to the study of some nonlinear ordinary differential equations. In this article, the subject of such reduction and research is Abel equation of the second kind. Under certain assumptions on the coefficients of the equation construct the general solution of the generalized Abel equation of the second kind of special form.

Keywords: Abel equation of the second kind, the first integral.

References

1. Kamke E. Spravochnik po Obyknovennym Differentsial'nym Uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka, 1971. 576 p.

2. Zaitsev V.F., Polyanin A.D. Spravochnik po Obyknovennym Differentsial'nym Uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, FIZMATLIT, 2001. 576 p.

3. Semenov E.I. Properties of the Fast Diffusion Equation and its Multidimensional Exact Solutions. Sib. Math. Jour., 2003, vol. 44, no. 4, pp. 862-869.

4. Semenov E.I. New Exact Solutions of the Non-Autonomous Liouville Equation. Sib. Math. Jour., 2008. vol. 49, no. 1, pp. 207-217.

5. Rudykh G.A, Semenov E.I. The construction of exact solutions of one-dimensional nonlinear diffusion equation by the method of linear invariant subspaces. (in Russian). Izvestiya Irkutskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya «Matematika», V.6, №4, P. 69-84.

6. Appell P. Sur les Invariants de Quelques Equations Differentielles. Journal de Math. 1889, vol. 5, no. 4, pp. 361-423.

7. Lazhar Bougoffa. New Exact General Solutions of Abel Equation of the Second Kind. Appl. Math. and Comput., 2010, vol. 216, no. 2, pp. 689-691.

Edward Semenov, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Senior Researcher, Institute for System Dynamics and Control Theory of Siberian Branch of Russian Academy of Sciences (ISDCT SB RAS), Post Box 292, 134, Lermontov st., Irkutsk, 664033, Russia; tel.: (3952) 453099 (e-mail: [email protected])