О периодических группах Шункова, насыщенных простыми трехмерными унитарными группами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

К. А. Филиппов

О ПЕРИОДИЧЕСКИХ ГРУППАХ ШУНКОВА, НАСЫЩЕННЫХ ПРОСТЫМИ ТРЕХМЕРНЫМИ УНИТАРНЫМИ ГРУППАМИ*

Доказано, что периодическая группа Шункова, насыщенная множеством ЭТ всех простых трёхмерных унитарных групп размерности три и3 (д), локально конечна и изоморфна и3 (0 для некоторого локального конечного поля Q.

Ключевые слова: группа Шункова, насыщенность.

Пусть ЭТ - множество всех простых трёхмерных унитарных групп из (д) над конечными полями. Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Периодическая группа Шункова, насыщенная группами из ЭТ, локально конечна и изоморфна из ^) для некоторого локального конечного поля Q.

Для доказательства данной теоремы используем следующие результаты.

Предложение 1. Пусть В = (а)') - конечный

полудиэдр, а4п = г2 = 1, а1 = а2п-1. Тогда:

1) г = а2п - центральная инволюция. Если п = 1, то В = а х - абелева группа порядка 8;

2) пусть / е(а). Элементы вида / имеет порядок либо 4 и / = ак, где к - нечетное число, (/г)2 = г; либо 2 и / = ёк, где к - четное число;

3) имеет место разложение В = ()х(к))х('), где V = (у} - циклическая 2-группа, Н = (к) - циклическая группа нечетного порядка. В частности, подгруппа НX является конечным диэдром, а подгруппа V/) - конечным полудиэдром;

4) если п Ф1, то центр 2 группы В содержится в (а), при этом, если п - нечетное число, то центр

2 = (ёп^- подгруппа порядка 4, если п- нечетное,

то 2 = (г};

5) любая циклическая подгруппа из В , порядок которой больше четырех, лежит в (а) ;

6) пусть А - абелева подгруппа группы В по-

рядка > 4 . Тогда А либо циклическая, либо элементарная абелева группа (г) х порядка 4, либо, в слу-

чае когда п - нечетное, абелева подгруппа {ап^х(’) порядка 8;

7) пусть В1 и В2 - полудиэдральные группы.

|В2|

Вложение В, < В2 возможно, только если т т - не-

1 2 N

четное число. В частности, полудиэдральная 2-группа не содержит собственных полудиэдров [1].

Пусть 5 - переменная, принимающая значения +

или -. Через ¿3(Рп) обозначается группа Ь3(рп),

если 5 = + и группа и3 (рп), если 5 = - .

Предложение 2. Пусть периодическая группа О

насыщена группами из М = |/з' (р’’ )1 ’ = 1,2,..., т} .

Тогда группа О изоморфна группе ¿3 (РУ) для некоторого 1 < ] < т [2].

Предложение 3. Пусть д нечетно. Если д +1 не делится на 4, то силовская 2-подгруппа группы и = и3 (д) изоморфна полудиэдральной группе

от+1 о о 1 I ''¡т „Л

£В(т) = {а,Ь | а = Ь = 1, а = а }, где 2 делит д -1, 2т+1 не делит д -1. Если (д +1) делится на 4, то силовская 2-подгруппа из и изоморфна спле-

2т 2™ 2

тенной группе Wr (т) = {а1, а2, Ь | а1 = а2 = Ь = 1,

а1, а2 = а2 а1, аЬ = а2, а\\ = а1}, где 2т делит д +1, 2т+х не делит д +1. В любом случае и содержит элемент порядка 8 и любая 2-подгруппа из и порядка > 32 содержит элемент порядка 8 [3].

Доказательство. Доказательством теоремы 1 служат непосредственные вычисления.

Пусть О - противоречащий пример. Тогда по предложению 2, | Р п £ |>| В | - бесконечное множество.

Пусть ЭТ(О) - множество тех групп, которые изоморфны подгруппам из О .

Лемма 1. Возможны только следующие ситуации:

1) ЭТ(О) < {и3 (д) | д четно};

2) ЭТ(О) < {и3(д)| д нечётно и д +1 не делится на 4};

3) ЭТ(О) < {и3 (д) | д нечётно и д +1 делится на 4}.

*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 10-01-00509-а).

Доказательство. Если ЭТ(О) содержит группу и3 (д), где д нечётно и д +1 не делится на 4, то в соответствующей подгруппе из О силовская 2-подгруппа £ является полудиэдральной (предложения 1 и 2). Легко понять, что £ - силовская 2-подгруппа в О (в противном случае £ - собственная подгруппа в полудиэдральной или сплетённой 2-подгруппе, что невозможно). Так как £ конечна, то все силов-ские 2-подгруппы из О сопряжены с £ и по предложению 3 мы попадаем в ситуацию 2. Можно считать, что ЭТ(О) состоит из групп и3 (д), д чётно или д +1 делится на 4. Предположим, что есть и другие. Пусть подгруппы £, Т и О выбраны так, что силовская 2-подгруппа в и < О, Т - силовская 2-подгруппа в V < О, и и и3(2п), V и и3(д), д нечётно.

Поскольку ситуация 1 уже рассматривалась в [1], дальнейший анализ распадается на оставшиеся две ситуации из леммы 1.

Ситуация 2. О насыщена группами и3(д), где д +1 не делится на 4.

Ситуация 3. О насыщена группами и3 (д), где д нечётно, д +1 делится на 4.

Поскольку £ периода 4, то по предложению 3 | £ п Т |< 32. Выбираем £ и Т так, чтобы порядок В = £ п Т был наибольшим из возможных. Ясно, что £ Ф В Ф Т . Пусть аВ - инволюция в £ / В, ЬВ -инволюция в Т / В . Подгруппа Е = (а, Ь, В) конечна и поэтому содержится в Н и и3 (г). Предположим, что г чётно. Тогда (Ь, В)< Р, где Р - силовская группа 2-подгруппа в Н и | Р п Т >| В |, что противоречит выбору. Точно так же, если г нечётно, то (а, В)< Р , и | Р п £ |>| В |. Лемма доказана.

Лемма 2. Группа Шункова, в которой все конечные подгруппы коммутативны, обладает абелевой периодической частью.

Доказательство. Действительно, пусть а - произвольный элемент конечного порядка из О. Предположим что | а | - простое число. Тогда < а, ак > -конечная абелева группа для любого g е О. Следовательно, < ag > - абелева нормальная подгруппа группы О . В силу произвольного выбора а как элемента простого порядка, получаем, что все элементы простых порядков из О порождают абелеву нормальную подгруппу N группы О . Далее по индукции. Лемма доказана.

Лемма 3. Все элементы порядка 4 в О сопряжены. Если / - элемент порядка 4 из О, то в случае А -СО (/) является абелевой счётной группой, а в случае В - СО (/) содержит подгруппу Е = (/) х(/), где / - элемент порядка 4 и СО (Е) - коммутативная счётная группа. Далее, ЫО (Е) / СО (Е) - £3 и ЫО (Е) содержит силовскую 2-подгруппу из О . В частности, ЫО (Е) локально конечна.

Доказательство. Пусть а ,Ь е О | а |=| Ь |= 4. Так

г'' 2 -1/2

как все инволюции в О сопряжены, то а = g Ь g для некоторого g е О. Так как О - группа Шункова, то (а, Ь) - конечная группа. По условию насыщенности, (а, Ь9)с Ь — и3(д), а в и3(д) все элементы

порядка 4 сопряжены. Следовательно, а = Ь для некоторого g е Ь . Рассмотрим СО (/).

Случай 2: пусть а, Ь е СО (/) и аЬ Ф Ьа . Предположим, что | а | - простое число. Тогда конечная

группа {/, а,..., аЬ^ с Ь — и3 (д). Следовательно,

(а) = (а)Ь и в силу леммы 2 этот случай доказан.

Случай 3: очевидно, такое /1 найдётся. Предположим, что Е = (/) х(/1) , элементы а, Ь е СО (Е), конечная группа ^Е, а, аЬ ^ < Ь — Ь3 (д). Следовательно, (О) = (а)Ь и по лемме 2 этот случай доказан.

Далее, существует такое К , что и К — £3 и, следовательно, ЫО (Е) = СО (Е). Лемма доказана.

Лемма 4. Если / из леммы 3, то Со (/2) - расширение Ь и £Ь2 ^) посредством локально циклической группы и СО (Ь) - подгруппа индекса 2 в

СО(/2). Здесь Q - некоторое локально конечное поле нечётной характеристики.

Доказательство. Пусть К - конечная подгруппа СО (/2). По условию насыщенности,

(^К, /2 ^ с Ь — £Ь2 (д) • (Ь), где Ь - группа порядка д +1, получаем утверждение леммы. Несложно показать, что все (р) образуют локально циклическую

подгруппу В в СО (/2). Фактор-группа СО (/2) / В

насыщена £Ь2 (д) и по [3] изоморфна £Ь2 ^) для подходящего локально конечного поля Q . Отсюда вытекает следующая факторизация: Со (/2) = В х БЬ2 ^). Лемма доказана.

Лемма 5. В О есть подгруппа Н , пересекающаяся с СО (/2) по подгруппе индекса 3 в Н и содержащая СО (/2) (соответственно СО (/)).

Доказательство. Проводится аналогицно доказательству для конечного множества ЭТ [1].

Теперь с помощью башни конечных подгрупп в СО (/2), объединение которой совпадает с Со (/2), и этой подгруппы Н строим башню подгрупп, каждая из которых изоморфна элементу из ЭТ , такую, что

объединение и этой башни содержит Со (/ 2). Понятно, что тогда и = О . Теорема доказана.

Библиографические ссылки множеством конечных простых групп // Сиб. матем.

1. Тухватулина Л. Р., Шлёпкин А. К. О периодиче- журт. 2008. Т. 49, № 2. С 395-400.

ских группах, насыщенных полудиэдрами // Журн. 3. Alperin J. L^ Brauer Gorenstein D. Finite

СФУ. Математика и физика. 2008. Т. 1. № 3. С. 329-334. groups with quasi-dihedral and wreathed Sylow

2. Лыткина Д. В., Тухватулина Л. Р., Филиппов К. А. 2-subgroups // Trans. AMS. 1970. Vol. 151. № 1.

О периодических группах, насыщенных конечным P. 1-261.

K. A. Philippov

THE PERIODIC SHUNKOV GROUPS SATURATED WITH SIMPLE THREE-DIMENSIONAL UNITARY GROUPS

It is proved that a periodic Shunkov group, saturated with the set of all simple three-dimensional unitary group

of dimension three U3 (q), locally finite and isomorphic to U3 (Q) for some locally finite field Q.

Keywords: group Shunkov, saturation.

© Филиппов К. А., 2012

УДК 681.34

Р. Ю. Царев, Д. В. Капулин, А. В. Штарик, Е. Н. Штарик

СИНТЕЗ И УПРАВЛЕНИЕ РАЗВИТИЕМ КЛАСТЕРНЫХ СТРУКТУР ААТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ КОСМИЧЕСКИХ СИСТЕМ*

Предложена оптимизационная модель планирования развития кластерной структуры АСУ космической системы. Представлено описание разработанного программного комплекса анализа надежности и управления развитием кластерной структуры АСУ космических систем.

Ключевые слова: космическая система, кластерная структура, автоматизированная система управления.

Жизнеспособность автоматизированных систем управления (АСУ) космическими системами (КС) в равной мере определяется как аппаратно-программными компонентами системы (надежностью их функционирования, сетевым и ресурсным обеспечением), так и информационными потоками и их возможностями. Очевидно, что информационное пространство АСУ КС должно выполнять роль средства, объединяющего пространственно разобщенные подразделения и службы, включая космический сегмент [1; 2].

Следовательно, коммуникационные и информационные технологии проектируемого пространства должны быть такими, чтобы, по меньшей мере, обеспечивать полноценный информационный обмен между структурными компонентами, такими как региональные станции, пункты контроля и управления, центральная станция и т. п.

Существенно, что ресурсы на создание компонентов структуры АСУ КС могут выделяться в разные периоды времени, т. е. допустимо поэтапное финансирование и поэтапная реализация системы без противоречия ее характеристикам полезности [3]. Таким образом, в связи с проектированием и созданием информационной среды для поддержки управления АСУ КС все большее значение и актуальность приоб-

ретает решение задачи синтеза и планирования развития ее структуры.

Постановка задачи. Управление развитием информационно-технической инфраструктуры АСУ КС требует разработки модельно-алгоритмических и программных средств, обеспечивающих формирование оптимального плана развития [4], и заключается в определении моментов ввода типов кластеров, формирующих структуру АСУ КС.

Рассматриваемая структура информационного пространства АСУ КС в рамках предлагаемой обобщенной модели включает в себя совокупность информационных центров (ИЦ), функционально соответствующих региональным/центральной станциям, и структурных подразделений, участвующих в информационном пространстве на правах пунктов управления (ПУ - пункты или устройства управления различных модификаций), связанных между собой коммуникационными каналами, обеспечиваемых сетью высокой готовности (для дисковых массивов предоставляется связь непрерывного доступа).

Каждый ИЦ характеризуется величиной потребности своих узлов в информационно-технических ресурсах и категорией катастрофоустойчивости для кластерной архитектуры в каждый период планирования развития кластерной инфраструктуры АСУ КС [5; 6].

*Исследования выполнены в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.