CC BY
13
УДК 517.977.1
Е.Н. Хайлов1
О ПАРАМЕТРИЗАЦИИ МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ОДНОРОДНЫХ КВАЗИКОММУТАТИВНЫХ БИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
В работе рассматривается множество достижимости однородной квазикоммутативной билинейной системы х = (А + иВ)х со скалярным ограниченным управлением. При определенных предположениях каждой точке множества достижимости отвечает кусочно-постоянное управление, оценка числа переключений которого связана с размерностью фазового пространства системы. Данный факт позволяет использовать переключения таких управлений для описания границы и внутренности множества достижимости рассматриваемой системы. Выделяется такой класс квазикоммутативных билинейных систем, для которого количества переключений, необходимых для описания границы и внутренности множества достижимости, мало отличаются друг от друга. Приводятся примеры однородных билинейных систем, для которых представленный результат имеет место.
Ключевые слова: билинейная система, множество достижимости, параметризация.
Рассмотрим в пространстве Жп однородную билинейную систему со скалярным управлением
'¿(г) = (а + и(г)в)х(г), г е [о,т],
ж(0) = жо, хо ф О,
где А, В — матрицы порядка п х п, АВ ф В А.
Под классом допустимых управлений Р(Т) понимаем всевозможные измеримые функции удовлетворяющие неравенству ^ 1 почти всюду на отрезке [О, Т].
Пусть У есть множество различных действительных матриц порядка п х п.
Обозначим через [С,!)] коммутатор матриц С, Б € У [1]. Тогда, следуя [2], определим матрицы
[В,А]0 = В, [И. Л]( [И. Л]; [/;..%., р.Л|. к > !. (2)
Считаем в дальнейших рассуждениях выполненным предположение, которое в [3] названо условием квазикоммутируемости матриц А, В. Условие 1. Имеют место равенства
[[В,А]к,В] = 0, й = (3)
Обозначим через С^^) = е~*АВе*А, £ € [0,Т], где ев есть экспоненциал матрицы Б € У [1]. В [4] показано, что для произвольного управления и(-) € Р(Т) соответствующее решение х{Ь) системы (1) выписывается по формуле
х(1) = е е0 ж0, ге[0,Т]. (4)
Обозначим через Х(Т) множество достижимости системы (1) из точки ж о в момент времени Т, т.е. множество значений ж(Т) решений (1), отвечающих всевозможным управлениям и(-) € Р(Т). Из равенства (4) вытекает следующее представление множества достижимости:
Х(Т) = I х б Жп : ж = е е0 ж0, «(•) € Р(Т)
Известно [5], что множество Х(Т) является компактным множеством в Жп. Выпуклость множества достижимости Х(Т) исследована в [6].
хФакультет ВМиК МГУ, к.ф.-м.н., доц., e-mail:khailovQcs.msu.su
* Работа поддержана грантами ВШ-7581.2006.1, РНП-2.1.1.1714.
Далее рассмотрим матрицу О = ЕфА — АфЕ, где Е — единичная матрица, а С .1) — кронекерово
I
произведение матриц (7,1) £ У [1]. Пусть к(Х) = ^ I = п2 — п + 1, — характеристический
к= 1
многочлен матрицы О, деленный на Ап_1, в котором щф 0. В [2] для матриц (2) установлено равенство
I
= 0. (5)
к=1
С использованием этого соотношения в [7] для матричной функции (¿(1) найдено представление
1-1
= [В,А]0 t Е [0,Т], (6)
¿=1
где функции Vj(t), j = 1,(1 — 1), удовлетворяют задаче Коши
I h(t) = 1 - (t), Uj(t) = - j = 2,(1- 1),
\^(0) = 0, j = 1,(1-1).
В последующих рассуждениях считаем также выполненными следующие предположения. Условие 2. Ранг матрицы, составленной из векторов [В,А\^хо, к = 0,(1 — 1), равен п. Условие 3. Матрица А имеет вещественные собственные значения.
В [2] условие 2 называется условием управляемости в точке xq. В [1] доказано, что при выполнении условия 3 многочлен h(X) имеет только вещественные корни.
Кроме того, из доказательства леммы 6 из работы [8] следует, что при выполнении условий 1, 2 в рассматриваемой билинейной системе (1) матрица В имеет единственное вещественное собственное значение.
Установим теперь справедливость утверждения.
Теорема 1. Каждой точке х границы множества достижимости Х(Т) отвечает кусочно-постоянное управление u(t), t Е [О,Т], принимают,ее значения { —1;+1} и имеющее не более (I — 1) переключений на отрезке [О, Т].
Доказательство. Поскольку точка х является граничной точкой множества Х(Т), то, как следует из принципа максимума [5], существует нетривиальное решение ip(t) сопряженной системы
m = -(A+U(t)B)Tm, (8)
для которой имеет место соотношение
( + 1, если L(t) > О,
V« Е [-1; +1], если L(t) = 0, (9)
-1, если L(t) < О,
где L(t) = ([В, A)Qx(t),^(t)), t Е [0,Т], и знак т означает транспонирование. Функцию L(t) называют функцией переключений, поскольку она определяет вид управления u(t) в соответствии с выражением (9).
Привлекая системы уравнений (1), (8) и формулы (2), (3), вычислим производные функции переключений L(t). Имеем равенства
LW(t) = ([B,A]kx(t),,/>(t)), t Е [О,Т], k^l. (10)
Из соотношения (5) и формул (10) находим, что функция L^l\t) удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению
I
5>*£(fc)(i) = o (и)
fc=i
порядка (Z — 1) с постоянными коэффициентами.
Покажем теперь, что функция переключений L(t) не может обращаться в нуль на интервале А С [0,Т]. Предположим противное. Пусть L(t) = 0 для всех t Е А. Тогда все производные L^(t),
к = 1,1, также равны нулю на интервале А. Из дифференциального уравнения (11) вытекает, что функция £(£) и ее производные к = 1,1, обращаются в нуль на всем отрезке [0,Т]. Значит,
имеют место равенства
([В,А]*а;о,^(0)) = 0, к = 0, (* - 1).
Из этих соотношений и условия 2 немедленно следует равенство ф(0) = 0, которое вместе с системой (8) приводит к противоречивому соотношению ф(1) = 0, £ € [О, Т]. Значит, предположение неверно и желаемый факт установлен. Из него и формулы (9) вытекает, что управление и(1) является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения { —1;+1}.
Оценим число переключений управления и(1), I € [О,Т]. Для этого, как следует из (9), требуется оценить число нулей функции Ь(1). Используем с этой целью дифференциальное уравнение (11). Для него соотношение /г(А) = 0 является характеристическим уравнением, а потому в силу условия 3 функция Ь^^) имеет не более (I — 2) различных нулей на отрезке [0,Т]. Тогда, привлекая теорему Ролля, заключаем, что функция переключений Ь(Ь) имеет не более (/ — 1) различных нулей. Требуемый факт установлен. Обоснование утверждения завершено.
Далее, в [7] построена параметризация множества Х(Т) (его границы и внутренности) с помощью кусочно-постоянных управлений, принимающих значения { —1; +1} и имеющих не более 2(1 — 1) переключений.
Значит, из теоремы 1 и результатов работы [7] вытекает, что граница множества достижимости Х(Т) описывается при помощи кусочно-постоянных управлений с не более (/ — 1) переключениями, а внутренность этого множества задается кусочно-постоянными управлениями с не более 2(1 — 1) переключениями. Поэтому хотелось бы найти такой класс однородных билинейных систем (1) с ква-зикоммутирующими матрицами, для которого количества параметров, необходимых для описания границы и внутренности множества Х(Т), не отличались бы так сильно друг от друга. Изучению такого класса билинейных систем и посвящена настоящая работа.
Рассмотрим следующий класс однородных билинейных систем (1), подчиненных условиям 1-3. Он определяется следующим предположением.
Условие 4. Для матриц (2) имеют место равенства
[В,А]р-[В,А]д = 0, (12)
Приведем примеры таких билинейных систем (1) при п = 2 и п = 3, ранее представленных в [8].
Для п = 2 имеем
г. 1 ^
А — ^ д1 д2^ ; В ~ ^ ; х0 ~ (жО;жо)
где «1, й2, Ь, Жд, Жд — действительные числа; а\, «2, Ь, Жд ф 0. Для п = 3 имеем
3\Т
В = О Ь О I , ж0 = (xq.Xq.Xq)
\о о ь)
где «1, й2, аз, «4, Ь, Жд, Жд, Жд — такие действительные числа, что выполняются условия 2, 3.
г
Вычисляя экспоненциал матрицы / и(!;)(д(!;) с использованием равенств (12) и представления
о
(6), перепишем соотношение (4) в виде -«"•'......
о о
Из этой формулы для множества достижимости Х(Т) вытекает следующее представление:
т Т Т
Х(Т) = |ж е Жп : ж = етле°и(0^'В (^Е ^ J «(£) ■ В + J и(ОЯ(О^х0, «(•) € Р(Т)
о о
Как и в [7], будем описывать множество Х(Т) с помощью переключений кусочно-постоянных управлений, принимающих значения { —1; +1} и имеющих конечное число переключений. С этой целью для каждого фиксированного значения о € [-Т, Т] рассмотрим множество
т т т т
0 0 о
«(•)€Р(Т)|. (13)
Из результатов работы [5] следует, что множество
г г
ГЛТ) = |ж е Жп : х= I а= I «(£) «(•) € Р(Т)| (14)
о о
является выпуклым и компактным множеством в Жп. Из сравнения соотношений (13), (14) видим, что множества Ха(Т), Уа(Т) отличаются лишь линейным преобразованием и сдвигом. Поэтому при каждом фиксированном значении а € [—Т, Т] множество Ха(Т) также является выпуклым и компактным множеством в Жп.
Из определений множеств Ха(Т), Х(Т) вытекает соотношение
Х(Т) = и Ха(Т). ае[-т,т]
Из него следует, что требуемая параметризация множества Х(Т) основывается на параметрических описаниях множеств Ха(Т), а € [—Т,Т).
Для значений а = ±Т множества Ха(Т) состоят из единственной точки, отвечающей постоянным управлениям и(1) = ±1, £ € [О, Т] соответственно. Поскольку в качестве параметров описания множеств Ха(Т) выступают переключения кусочно-постоянных управлений, принимающих значения { —1;+1} и имеющих конечное число переключений, то параметризации множеств Ха(Т), а = ±Т, уже построены.
Далее рассматриваем множества Ха(Т) для значений а € (—Т,Т). Построение параметрических описаний будем проводить для множеств Уа(Т), а € (—Т,Т).
Из формулы (7) для множества ¥а(Т) следует представление
г-1 т т
УЛГ) = {я€ Ж": х = ^ I а = { и(-) € Р(Т)}, (15)
о о
где 1/0(¿) = 1, г € [0,Т]. _
Определим величину Ф(£) = (щ^), ..., ^_ 1 (¿))^, £ € [0,Т], где функции ] = 1, (/ — 1),
подчиняются задаче Коши (8). С помощью функции Ф(£) введем множество
г
Из [5] вытекает, что множество Е(Т) является выпуклым и компактным множеством в Жг.
Изучим свойства множества Z(T). Установим справедливость утверждения.
Лемма 1. Для произвольного вектора ф € Жг, ф ф 0, функция = (Ф(1),ф) не обращается тождественно в нуль на интервале (^оо,+оо).
Доказательство данного факта проведем от противного. Пусть нашелся такой вектор ^об!', фо Ф 0, что соответствующая функция Б(1) обращается в нуль для всех £ € (—оо, +оо). Это означает выполнение равенства
(Ф(г),^0) = о, г б (-оо, +оо). (16)
Введем матрицу П порядка I х I вида
/0 0 0 . . 0 0 \
п = 1 0 0 0 1 0 0 . 0 . 1 . ООО _ а 1 а< а 2 «3
\0 0 0 . . 1 оц '
Тогда систему дифференциальных уравнений (7) перепишем следующим образом:
Ф(г) = ПФ(г). (17)
Последовательно дифференцируем равенство (16), подставляя при этом каждый раз соотношение (17). Находим равенства
(п''Ф(*),^о) = о, ге(^оо,+оо), j = 1,(1-1).
Дополним полученную совокупность соотношением (16). Положим в каждом равенстве новой совокупности £ = 0. Имеем соотношения
(О^Ф(О), =0, з = 0, (/-1). (18)
Поскольку вектор фо ф 0, то из выражений (18) следует линейная зависимость векторов 0-^(0), 3 = о, (1-1).
С другой стороны, привлекая начальные условия из задачи Коши (7), непосредственно вычисляем векторы Г^'Ф(О), ] = 0, (/ — 1). Получаем совокупность линейно независимых векторов, образующих базис декартовой системы координат пространства Жг.
Имеем противоречие. Значит, предположение неверно. Утверждение доказано.
Оценим теперь число нулей функции Имеет место следующее утверждение.
Лемма 2. Для произвольного вектора ф € Жг, ф ф 0, число различных нулей функции Б(1) = (Ф(1),ф) на интервале (—оо, +оо) не превосходит величины (I — 1).
Доказательство. Из системы дифференциальных уравнений (17) и равенства (5) следует, что функция Б^^) удовлетворяет дифференциальному уравнению (11). Дальнейшие рассуждения повторяют соответствующую часть обоснования теоремы 1. Утверждение доказано.
Из лемм 1, 2 и результатов работы [5] вытекают следующие свойства множества Z(T).
Теорема 2. Множество Z(T) является строго выпуклым и компактным множеством в Жг, имеющим непустую внутренность.
Теорема 3. Каждой точке z границы множества Z(T) отвечает единственное управление и(1), I € [О,Т], которое является кусочно-постоянной функцией, принимающей значения { —1;+1} и имеющей не более (I — 1) переключений на отрезке [О, Т].
Далее, из леммы 2 и результатов работы [9] заключаем, что имеет место утверждение.
Лемма 3. Компоненты {У]^)}1,^ вектор-функции Ф(£) образуют на интервале (—оо,+оо) систему функций Чебышева. Более того, существует такая функция ^¡(1), что система функций также образует систему функций Чебышева на этом же интервале.
Теперь построим параметризацию множества Z(T). Для этого определим множество
ЫТ) = = ек1 : <02 < ...
Затем для произвольной точки ■& € Л;(Т) введем управление щ(-) € Р(Т) по формуле
( + 1, если 0 ^ £ ^ $1,
(—1)^"—если < г < з = %],, (19)
(^1)г, если < г < Т,
и на множестве Л;(Т) зададим отображение П(-,Т) : Ш1 —> Ш1 с помощью равенства
г
П(0,Т) = I
о
Обозначим через int V, dV внутренность и границу компактного множества Fctf. Тогда справедливо следующее утверждение. Теорема 4. Имеет место равенство
П (At(T),T) = Z(T),
при этом выполняются соотношения
П (ÖA|(T),T) = dZ(T), n(intA,(T),T) = int Z(T).
Более того, сужение отображения П(-,Т) на множество intAj(T) является взаимно однозначным.
Доказательство этого факта проводится по следующей схеме. Сначала из теоремы 3 вытекает, что граница множества Л;(Т) отображением П(-,Т) переводится на границу множества Z(T). Затем, используя результаты теорем 2, 3 и леммы 3, с помощью геометрического подхода к построению главных представлений точек моментного множества в L-проблеме Маркова [9] обосновывается взаимная однозначность отображения П(-,Т) : intA^(T) —> int Z(T).
Для линейных систем со скалярным ограниченным управлением подобные результаты изложены в [10].
Из теоремы 4 вытекает, что множество Л;(Т) и отображение П(-,Т) образуют требуемую параметризацию множества Z(T) (его границы и внутренности).
Кроме того, для каждого фиксированного значения а € [—Т,Т] одновременно построено параметрическое описание множества
г г
Za(T) = jz е Жг : z = I Ф(£ММ, а= I «(•) € Р(Т) }. (20)
о о
Это означает, что существует выпуклое подмножество Af(T) С Л;(Т), для которого справедливо равенство
П(Л f(T),T) = Za{T).
Действительно, его образуют переключения $ € h.f(T) управлений щ(1), заданных формулой (19), интеграл от которых по отрезку [0,Т] равен значению а. При этом выполняются соотношения
Л«(Т)= U Af(T), Z(T)= и Za(T).
че[-Т,Т] <тЕ[-Т,Т]
Из сравнения формул (15), (20) видим, что заданными параметрически тогда оказываются и множества Ya(T), а € (—Т,Т). Поэтому построены параметрические описания множеств Ха(Т), а € (-Т,Т).
Определим на множестве Л;(Т) отображение F(-,T) :Ш1 с помощью формулы
т Т Т
тпг О rm ТА ¡u*(Odt;-B
F(i9,T) = е е°
Е-f щ(0 • В + j u#(0Q(0dtJx о,
где для точки <д € Л;(Т) управление щ(-) € Р(Т) задается соотношением (19).
Тогда в силу рассуждений, представленных ранее, имеет место главное утверждение настоящей работы.
Теорема 5. Каждой точке х множества достижимости Х(Т) отвечает кусочно-постоянное управление щ(1), принимают,ее значения { —1;+1} и имеющее не более I переключений на отрезке [О, Т]. При этом справедливо равенство
Р(А1(Т),Т)=Х(Т).
Таким образом, множество Л;(Т) и отображение F(-,T) образуют требуемую параметризацию множества достижимости Х(Т). Более того, из теорем 1 и 5 следует, что граница множества Х(Т) описывается при помощи кусочно-постоянных управлений с не более (/ —1) переключениями, а внутренность этого множества задается кусочно-постоянными управлениями с не более I переключениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996.
2. Hajek О., Loparo К. A. Bilinear control: geometric properties of reachable sets // Advances in Optimization and Control. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems. 1988. 302. P. 262-273.
3. Брокетт P. У. Алгебры Ли и группы Ли в теории управления // Матем. методы в теории систем. М.: Мир, 1979. С. 174-220.
4. Brockett R. W. System theory on group manifolds and coset spaces // SIAM J. on Control. 1972. 10. N 2. P. 265-284.
5. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы оптимального управления. М.: Наука, 1972.
6. Топу но в М. В. О выпуклости множества достижимости квазикоммутативной билинейной системы // Автоматика и телемеханика. 2003. № 8. С. 44-53.
7. Хай лов Е. Н. О параметризации множества достижимости однородной билинейной системы с квазиком-мутирующими матрицами // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2004. № 1. С. 37-42.
8. Celikovsky S. On the global linearization of bilinear systems // Systems and Control Letters. 1990. 5. N 15. P. 433-439.
9. Крейн M. Г.,Нудельман А. А. Проблема моментов Маркова и экстремальные задачи. М.: Наука, 1973. 10. Хай лов Е. Н. Об аналитической параметризации множества управляемости в линейной задаче управления // Матем. заметки. 1988. 44. № 3. С. 405-406.
Поступила в редакцию 01.04.08
УДК 519.872
Н.К. Бакиров1, М.В. Сначев2, В.Е. Бенинг3
ТОЧНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАЯВОК, ОБСЛУЖЕННЫХ ОДНОКАНАЛЬНОЙ СМО С ОТКАЗАМИ НА ЗАДАННОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ
Получена явная формула для среднего числа заявок, обслуженных одноканальной СМО с отказами на заданном интервале времени, что позволяет, в частности, точно рассчитывать показатели эффективности работы СМО на произвольном промежутке времени.
Ключевые слова: среднее число заявок, одноканальная система массового обслуживания, отказ.
Введение. Пусть задана одноканальная система массового обслуживания (СМО) с отказами и пуассоновским входным потоком заявок с интенсивностью А и экспоненциальным распределением длительности их обслуживания с параметром /х. Для установившегося, т. е. предельного при больших временах, режима обслуживания известно, что количество заявок, пропускаемых СМО обслуженными на интервале времени длиной //. равно в среднем
А + /х
Целью настоящей работы является получение неасимптотических формул для среднего количества заявок, обслуженных на произвольном временном интервале [Т^Ту, а также для близких по смыслу
1 Институт математики Уфимского научного центра РАН, д.ф.-м.н., в.н.с., е-таП:Ьакшэупк€1гатЫег.ге
2Институт математики Уфимского научного центра РАН, асп., е-таП:8АУа^€1гатЫег.га
3Факультет ВМиК МГУ, д.ф.-м.н., проф., e-maihbeningQyandex.ru
