О параллельных алгоритмах решения задач рассеяния электромагнитных волн на проводящих тонких экранах в слоистых средах Текст научной статьи по специальности «Математика»

И. Е. Плещинская, Н. Б. Плещинский

О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМАХ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАССЕЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ПРОВОДЯЩИХ ТОНКИХ ЭКРАНАХ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Ключевые слова: задачи дифракции, слоистые среды, интегрально-сумматорное тождество, параллельные алгоритмы.

Задачи дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах в слоистых средах сводятся к парным сумматорным уравнениям относительно коэффициентов разложения искомого поля по собственным волнам волноводной структуры. Эти уравнения методом интегрально-сумматорного тождества преобразуются в регулярные бесконечные системы линейных алгебраических уравнений, приближенное решение которых находится методом усечения. Показано, что распараллеливание алгоритма возможно на всех шагах расчетной схемы.

Keywords: diffraction problems, layered media, integral-summatorial identity method, parallel algorithm.

Electromagnetic waves diffraction problems on conducting thin screens in layered media are reduced to the pair summatorial equations for coefficients of decomposition of a required field by eigen waves of the waveguide structure.

These equations are transformed by method of integral-summatorial identity to regular infinite sets of the linear algebraic equations. Its approximate solution is constructed by a truncation method. It is shown that parallelization of algorithm is possible on all steps of the numerical scheme.

Введение

В работе [1] была исследована двумерная задача дифракции электромагнитной волны на слоистом композите с периодической проводящей решеткой. В [2] было показано, что слоистая пластина, армированная тонкими проводящими включениями, может быть использована в качестве сканирующего экрана при получении дополнительной информации о неоднородностях в волноводных структурах.

Задачи дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах относятся к классическим задачам электродинамики [3]. Если электромагнитное поле в волноводной структуре может быть разложено в ряд по полному набору собственных волн, то задачи дифракции равносильны бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ) относительно коэффициентов таких разложений. Приближенные решения БСЛАУ строятся как решения конечных СЛАУ, полученных методом усечения.

Системы линейных алгебраических уравнений, возникающие при численном решении задач дифракции волн на экранах, имеют полностью заполненные матрицы коэффициентов. Размерность их может быть достаточно большой при сложной конфигурации дефектов в волноводной структуре, особенно в трехмерном случае.

В данной работе на примере координатных задач дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах показано, как вычислительный алгоритм естественным образом разделяется на независимые подзадачи и, следовательно, может быть эффективно реализован на многопроцессорном вычислительном комплексе.

Постановка задачи дифракции

Пусть часть координатной поверхности в трехмерном пространстве - бесконечно тонкая идеально проводящая пластина (экран) М.

Обозначим через N оставшуюся часть поверхности 5. Для простоты рассуждений предположим, что пространство вне М заполнено однородной изотропной средой.

Пусть вне экрана имеется источник, возбуждающий гармоническую электромагнитную волну. Нужно найти поле, возникающее при дифракции этой волны на экране.

Математическая формулировка задачи дифракции состоит в следующем. С каждой стороны от нужно найти решения системы уравнений Максвелла для комплексных амплитуд

электромагнитного поля

гсАН = /соеоеЕ, ю1Е = (1)

(предполагается, что зависимость составляющих

поля от времени имеет вид ), удовлетворяющие условиям на бесконечности, граничным условиям на М и условиям сопряжения на N. Граничные условия и условия сопряжения стандартные: на проводящей поверхности касательные

составляющие вектора должны обращаться в нуль, на границе раздела двух сред (даже условной) касательные составляющие векторов и

должны быть непрерывны.

Одна из координатных осей является положительной нормалью к поверхности . Положительное и отрицательное полупространства будем помечать индексами + и - соответственно. В положительном полупространстве будем искать решения положительной ориентации

(соответствующие волнам, переносящим энергию в направлении нормали, или затухающие в этом направлении), а в отрицательном полупространстве - противоположной ориентации.

Декартова система координат

Рассмотрим систему уравнений (1) в декартовой системе координат. Выберем в качестве поперечного сечения открытой волноводной

3S

структуры плоскость Пусть в этой плоскости

имеется двоякопериодическая система экранов, в данном случае М - экран (экраны) в прямоугольнике периодов, а дополнение до всего прямоугольника.

Будем искать решения системы уравнений (1) как квазипериодические функции вида (волны Флоке)

А*,У.г*т.Ат,»?*тк'''у.

т п

2 2 Рт = ^т + а’ Чл +

р, 7 - периоды, а,(3 - параметры Флоке,

суммирование ведется по всем целым значениям переменных.

Касательные (по отношению к плоскости составляющие электрического вектора имеют

вид

т п т п

и коэффициенты Флоке вектора -

Н

х,т,п

\РтЯпат,п + ^ Рр Рт,п]’

ыР0РУт,п

Н

у,т,п

'[ ^ Яп ПРт.п п ртЯпЬт.п\і

ь>№Ут,п

где

Ут,п =^2 ~Рт ~Я2п-Будем вычислять корни из комплексных выражений

так, чтобы частным решениям вида соответствовали бы волны положительной ориентации по отношению к оси г.

Граничные условия и условия сопряжения при сводятся к равенствам

Е+ - -Е® Е+ - -Е® Е~ - -Е® Е~ - -Е®

СХ - СХ’ су - СУ’ СХ - СХ’ су - су

на ,

Ех - Е-, Еу - Е-у, Н +х - Н~х, Н +у - Ну на N . Легко получить, что

а/7?,/7 - ат,п - ат,П’

Ь/77,/7 - &гп,п - Ьт,П-Введем искомые векторы-строки

ст,п ~ ^т,п^т,п )

Пусть волна от внешнего источника - также волна Флоке с коэффициентами п. Тогда первая

часть парного сумматорного функционального уравнения (ПСФУ)

2 2 /—тх+/—пу

ЕЕ

т п

ст,пе

Я

.277 .277

„ /—тх+/—пу

= -^ст>пе р V на М. (2)

/77 /7

Из остальных условий сопряжения на N следует равенство

2 2

і—тх+і—пу

^1і^1іст,пГт,пе ^ Я = о у\/,

т п

Г,

т,п

( , 2 2\

РтЯп к -Яп

к2-Рт РтЯп

(3)

Методом интегрально-сумматорного

тождества [4, 5] ПСФУ (2), (3) сводится к БСлАу

,0

РЯс],к — У,У,ст.пїт-і.п-к +

/77 /7

У,Уст.п,т.пПт.п, /п —0,+ 1,... (4)

РЯ

т п

где

^т,п — У У Г. т-т',п-п'^т'~і,п'-к >

т' п'

.2тт , .2тт . ... . / — тх +1 —пу 'х йу

!т,п-\е Р *

м

(5)

.277 , .277 , , ,

/ — тх +/—пу ёхёу

/ — \ О Р Я

и т,п —

N

Очевидно, что Уо,0 — РЯ-І0,0 и ^т,п — -1т, п при /77/7 ^ 0.

Цилиндрическая система координат

В случае цилиндрической системы координат выберем в качестве сечения

волноводной структуры цилиндрическую поверхность г — /?. Каждую компоненту векторов Е и Н разложим в ряд Фурье по переменной а вида

А <(,а,Е )— уАп {,г )з'па. п

Тогда коэффициенты Фурье с номером п искомых функций должны удовлетворять системе уравнений

т

Н2,п-

дН.

а,п

іп дЕ,

---^ 7 П

д

а

г 'г'п дг

дНГ,П дН2,П

д

д

—

— -ішр0рНгп, = ішє§єЕап,

дЕГ,П дЕ2,П

д

д

— -ішр<зрНап,

1 д . и . іп .

~~д~ К^а,п ) ^г,п - /Ш£0£Ег,П’

д

1 3 ,с , 1п г- ■ и

—^Фа,п )--------Ег,п--1ШРорНг,гт

г ог г

В частном случае, когда поле не зависит от координаты г, система уравнений (6) распадается на независимые подсистемы. Любое решение представляет собой сумму двух решений -перпендикулярной поляризации и параллельной поляризации

Еп = Р,0,Ег>п . Нп - <Ьг,п,нап )

Для неориентированного решения параллельной поляризации

У V УЬпН. V \е/па,

п

здесь и далее н$\) и н.\) - функции

Ханкеля. Слагаемые с коэффициентами определяют волны отрицательной ориентации относительно внешней нормали к сечению, а слагаемые с коэффициентами - волны

положительной ориентации.

Если внутри цилиндрической поверхности нет источников, то для этой области ап - Ьп. Для

плоской волны, возбуждаемой удаленным источником,

-И<х V / ; (I / и,- \Jnci

Е%=е

= X -І^п рун*

п

здесь Jn () - функции Бесселя.

Будем искать возмущение поля от экрана в виде (приводим только потенциальные функции) Jna с- _ v о / Una

= XanJn

Е+—уЬпНЇЦг$іп

п п

Из граничных условий и условий сопряжения на цилиндрической поверхности тем же способом, что и в случае декартовой системы координат, выводится ПСФУ

Успеіпа— -уипкЄ на М, п п

(7)

п

Н,

?)

2) )

= на (S)

относительно новых неизвестных

— ап^п )= Зр^п № ) ■ Эквивалентная

ПСФУ (7), (8) БСЛАУ структуры (4) также может быть получена методом интегрально-сумматорного тождества.

Если система экранов на цилиндрической поверхности является периодической, то можно искать компоненты поля как квазипериодические функции переменной г. При этом суммы в ПСФУ вида (7), (8) становятся двойными, и БСЛАУ задачи дифракции существенно усложняется. Но, как и в случае декартовой системы координат, она распадается на независимые подсистемы, если, например, тонкие проводящие экраны образуют периодическую систему соосных колец.

Сферическая система координат

Система уравнений Максвелла (1) в сферической системе координат превращается в систему из шести уравнений с частными производными относительно шести

комплекснозначных функций

Ег, Ед, Еа, Нг, Нд, На от трех пространственных переменных. Каждая из искомых функций может быть разложена (в любой области, ограниченной сферами с центром в начале координат) в ряд Фурье по переменной а вида

+і»

А(,в,а)— уАт(,в)з'та,

т—-<х>

сходящийся в классическом (или в обобщенном) смысле.

Если граничные условия и условия сопряжения в задаче дифракции могут быть разделены на независимые условия для коэффициентов Фурье компонент составляющих поля, то эта задача распадается на систему независимых подзадач.

Вторая возможность распараллеливания задачи связана с тем, что любое решение системы уравнений для коэффициентов Фурье можно представить в виде суммы двух частных решений: магнитного типа при Ег — 0 и электрического типа при Нг — 0.

Пусть идеально проводящий экран - часть сферы 5 радиуса Н с центром в начале координат. В осесимметричном случае легко найти методом разделения переменных частные решения потенциальных уравнений поля.

Для волны, возбуждаемой внешним источником, при г > /? и при Г<Р?

и 1

и

+Un №Hn+1/2

/кг

) -*г )

D

v

+Ю i/“

=

1

-о

Vn

1

yfkr

нП+\і2*г У

-о

+ vn

1

_____/-/ d )

^"/7+1/2

<D

0/7 @ )- Рп[ '(соэ в ) , ' - присоединенные

функции Лежандра. Эта волна может содержать как приходящие с бесконечности сферические гармоники, так и уходящие на бесконечность гармоники.

Уходящие от сферы волны определяют потенциальные функции

7ю—_ 1

и-Е^-Тгт"/7+1/2

/7-1 <КГ

+ю

/7=1 <КГ

Искомые потенциальные функции поля внутри сферы имеют вид

+1»

^ (’в > Уип^!='-1п7\12 Ьг Фп $ ) ■

+ л

г’в> '^ип~ггипхМ2 Рп Ф

п-1 №

7» л

^ > Ъу7-гГ ип+М2 ЬгФп$) ■

п-1 №

Из условий при г = Я следует, что

иТ+М2 ^ ^ ип'-1пхМ2 У- СП’

здесь сп - новые искомые коэффициенты. Эти коэффициенты должны удовлетворять парному сумматорному уравнению

+да

+да

+ и)

ХСП^П @ )= X ==

^■П+І/г ^ К П/ 6^ М.

+да

Xvnnn®nQ y%Q*N,

=

НП+/12.1 \ ) Н/7+1/2І 2 )

(9)

=

(10)

Здесь М - {6^,6^ и Л/ - отрезок, дополняющий М до [0,п].

В работах [6, 7] показано, что методом интегрально-сумматорного тождества парное уравнение (9), (10) может быть преобразовано в регулярную бесконечную систему линейных алгебраических уравнений с коэффициентами вида

1т,п\р,д - '^т,п @’а $р,Я @’а (11)

где 5/77 п @,а ) - сферические функции.

Выводы

Вычислительный эксперимент показал, что можно выделить четыре шага общего алгоритма, когда целесообразно использовать параллельные вычисления.

Во-первых, если электрическая и магнитная составляющая поля могут быть вычислены независимо друг от друга. Во-вторых, если коэффициенты условий сопряжения на сечении волноводной структуры не зависят от одной из координат. В-третьих, если усеченная система линейных уравнений достаточно велика, то для ее численного решения может быть использован один из параллельных методов.

Но наибольший эффект от распараллеливания достигается на этапе вычисления вспомогательных интегралов вида (5), (11), по которым вычисляются элементы матрицы коэффициентов линейной системы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ и АН РТ, грант 12-01-97012-р-поволжье-а.

Литература

[1] И.Е. Плещинская, Н.Б Плещинский, Вестник Казанск. технол. ун-та, №11, 147-153 (2010).

[2] И.Л. Александрова, И.Е. Плещинская, Н.Б

Плещинский, Вестник Казанск. технол. ун-та. №7, 3739 (2012).

[3] Х. Хенл, А. Мауэ, К. Вестпфаль, Теория дифракции. Мир, Москва, 1964. 428 с.

[4] Н.Б. Плещинский, Модели и методы волноводной электродинамики. Казан. гос. ун-т, Казань, 2008. 104 с.

[5] И.Е. Плещинская, Н.Б. Плещинский, Ученые записки Казан. гос. ун-та, 147, 3, 4-32 (2005).

[6] Н.Б. Плещинский, Супервычисления и

математическое моделирование. XII Международный семинар (Саров, Россия, 11-15 октября 2010). Тез. докл. Саров, 2010. С. 66-67.

[7] E.M. Karchevskiy, N.B. Pleshchinskii, Proceedings of PIERS 2012 in Moscow, 131-134 (2012).

© И. Е. Плещинская - канд. физ.-мат. наук, доц. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, [email protected]; Н. Б. Плещинский - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной математики К(П)ФУ, [email protected].

4І