О нулях одного класса гармонических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал январь-март, 2007, Том 9, Выпуск 1

УДК 517.537

О НУЛЯХ ОДНОГО КЛАССА ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Коробейник Ю. Ф.

В работе доказывается один критерий того, что некоторая гармоническая в полуполосе П0 : 0 < Ке х < 2, 0 < т х < то функция не имеет в ней нулей. С помощью этого результата устанавливается (в различных формах) критерий, при выполнении которого не имеет нулей в По мнимая часть некоторой функции Е, аналитической всюду в замкнутой полуполосе 0 ^ Ке х ^ |, кроме точки х = 2, в которой Е(х) имеет простой полюс.

1. Перед тем, как рассмотреть основной объект настоящей работы, установим одно простое вспомогательное утверждение, которое будет играть существенную роль в дальнейшем изложении.

Пусть г = а + iА, 5 £ (0, 2); По — полуполоса 0 < И,ег < 2, 0 < тг < Щ — область, ограниченная положительной мнимой полуосью ¿1, отрезком ¿2 : 1ш г = 0, 0 ^ И,ег ^ 5, четвертью окружности Сз : (а — 2 )2 + А2 = 52, 0 ^ А < 5 ^ а ^ 2, и лучом ¿3 : Яе г = 2, 1ш г ^ 5.

Обозначим символом НС (По) класс всех функций, гармонических в По и непрерывных в каждой конечной точке контура Го, ограничивающего По, кроме точки а = 2, А = 0. При этом Го состоит из полуоси ¿1, отрезка А = 0, 0 ^ а ^ 2, и луча I0 : а = 2, 0 < А < Далее, НС(Щ) (0 < 5 < 2) — это множество всех функций, гармони-

ческих в Щ и непрерывных в каждой конечной точке контура Г 2 = ¿1 и ¿2 и С 2 и ¿3, ограничивающего область П3.

Для любой функции д(а, А) из НС (По) и любого А £ (0, введем характеристику ад := шах{д(а, А) : 0 ^ а ^ 2}.

Предложение 1. Пусть 5 £ (0, д £ НС(По) и

д(а,А) < 0 Vг £ По.

(1)

Тогда выполняются соотношения

V г £ ¿1 и

0, 2) , д(а,А) < 0;

(2)

Vг £ ¿о 2^ 0;

Иш sup аА ^ 0;

з 5о £ ( 0, 2 ) : V5 £ (0,5о), Vг £ Сз д(а, А) < 0.

(3)

(4)

(5)

© 2007 Ю. Ф. Коробейник

Обратно, если выполнены условия (2)—(5), то справедливо неравенство (1).

< 1. Импликация (1) ^ (5) очевидна. Далее, в силу непрерывности д(а, А) в каждой конечной точке Го, кроме (2,0), из неравенства (1) следуют соотношения (2), (3) и неравенство: ал ^ 0 для любого А £ (0, откуда, в свою очередь, вытекает (4).

2. Пусть теперь д £ НС (По) и выполнены условия (2)-(5). Зафиксируем 5 £ (0, ¿о) и

произвольно малое е > 0. Тогда существует Ао £ (5, такое, что ал < е для А ^ Ао.

Пусть А ^ 5 и вл = тах{д(а, : (а, £ Т^}, где Т^ — замкнутый контур, состоящий

из 12, С и трех отрезков {(0, : 0 ^ ^ ^ А}, {Г, : 5 ^ ^ ^ А}, {(а, А) : 0 ^ а ^ Г}.

Тогда вл ^ тах{0,ал} < е для А ^ Ао. Заметим, что величина вл не убывает с

ростом А, и потому существует Л = Ит вл, причем Л ^ е и Л ^ вл для А ^ 5. Так как

л^+те

число е > 0 можно взять как угодно малым, то Л ^ 0 и подавно вл ^ 0 для А ^ 5. Для любого фиксированного А ^ 5 функция д(а, А) гармонична в области Ол, ограниченной контуром Т^, и не превосходит нуля в любой точке Т§.

Но тогда по принципу максимума для гармонической функции д(а, А) ^ 0, в О л. При этом, если функция д(а, А) отлична от постоянной, то д(а, А) < 0 в О л. Если же д(а, А) — постоянная, то она в силу условия (5) должна быть отрицательным числом. Таким образом д(а, А) < 0 в Ол для 5 £ (0, 5о), откуда следует неравенство (1). >

Следствие. Пусть д(а, А) — функция из НС (По), удовлетворяющая условиям (2), (4), (5). Тогда (1) ^ (3).

Предложение 2. Пусть д £ НС (По) и выполнены условия (2), (4), (5). Тогда неравенство (3) равносильно (1), а также эквивалентному ему утверждению: 1) д(а, А) не имеет нулей в По.

< По следствию предложения 1 (1) ^ (3). Далее, очевидно, что (1) ^ 1). Пусть, обратно, функция д(а, А) не имеет нулей в По. Тогда эта функция сохраняет постоянный знак в По. Если бы это было не так, то в По нашлась бы пара точек (а1, А1) и (а2, А2) таких, что д(а1,А1) < 0, д(а2,А2) > 0. Тогда на отрезке прямой, соединяющей эти две точки, имеется хотя бы один нуль функции д(а, А), что противоречит 1). Итак, д(а, А) сохраняет постоянный знак в По. Но в силу условия (5) этот знак может быть только минусом, и условие (1) выполнено. Таким образом 1) ^ (1) и окончательно 1) ^ (1) ^

(3). >

2. Рассмотрим один пример довольно общего характера. Для любого в £ Но : = {0,1, 2,...} обозначим символом Ы8 множество всех функций / : [1, ^ Ж, непрерывных в промежутке [1, вместе со своими производными до порядка в включительно и таких, что

— 1п |/(Л(ж)| 1

Ит —Ц—^ < —, 7 =0,1,...,в.

ж^+те 1п х 2

Введем функцию

те

1 1 С 3 1

р!(*0 = "5-Г + 1 / /(х)х-4(х2 + х-2) ¿х = —-Г + Фf (г).

- г 2 Г - Г

Если / £ Мо, то Фf £ А(П), где П — полоса | Яе< \ и А(О) — пространство функций, голоморфных в области О. Более того, Ф^ аналитична в окрестности любой точки множества П := {г : | Яе^ Г}. Что же касается функции Ff, то она аналитична в П, имеет простые полюсы в точках ± 2 и регулярна в достаточно малой окрестности любой из остальных точек границы П.

Считая, что f £ Mo, преобразуем выражение для Ff с помощью замены переменной x = в интеграле, представляющем Фf, и последующего разделения вещественной и мнимой частей. После проведения этих операций получим

Ff (z) = (Ai + Bi)+ i(A2 + B2),

где

со со

/а" A" Г

f (e*)e4 ch "2" cos — di = 2 / f (e2t)e2 ch at cos Aid", o o

со

A2 = 2^ f (e2t) sh ai sin Aid";

Bi = -A2-i + , B2 = -2£ Д :=

1 A ' 2 Д '

a - 2У+*

*+2V+л»

В дальнейшем мы сосредоточим свое внимание на мнимой части функции :

со

1ш = «а-А) := — [(а — 2 )2 + А2Ша + 2 )2 + А2] + 2 / '^)е 2 Л ™ А4*

0 < а < 1, 0 < А < +то.

(6)

Заметим прежде всего, что ^(0, А) = 0, А £ (—то, +то); ^(а, 0) = 0, а £ [0, 2).

Таким образом, множество 2(1ш) всех нулей ^(а,А), лежащих в П, содержит «нулевой! крест», составленный из мнимой оси и перпендикулярного к ней интервала (— 2, + 2). Далее, ^(а, А) = (а, А) для (а, А) £ П, где

со

^ (а, А) := — 77-1 )2 + ^ + 1 )2 + А2] + 2 / /(е*)е2* а*^'^

[(а — 2)2 + А2][(а + 2)2 + А2] о А4

При — 212 = (а — 1 )2 + А2 ^ 0 первое слагаемое последней суммы, эквивалентное — ^—1 )2+а2|(1+а2) , стремится к —то. В то же время абсолютная величина второго сла-

(р-1 )2+Л2](1+Л2)'

гаемого не превосходит при а £ [0, 2] конечного числа E := 2 J |f (e2t)|e2tsh | dt =

f lf (e2t)|t(ei — 1) dt. Поэтому lim ^(а, А) = —то, и следовательно, существует 0 z^ 2 ,^бПо

¿1 £ (0, +то) такое, что ^(а, А) < 0, если (а — 2)2 + А2 < 6Ь а £ [0,1 ], А £ (0, +то).

Таким образом, условие (5) выполняется при всех 6 £ (0, 6i) для функции g(a, А) = ^(а, А), и для применения предложений 1 и 2 осталось убедиться в справедливости соотношения (4).

3. Предварительно докажем, возможно известное, обобщение одной теоремы А. Лебега (см., например, [1, с. 240-241]).

Предложение 3. Пусть функция ф(£, а) непрерывна на множестве [0, +то) х [0, 2] и абсолютно интегрируема на [0, +то) по t при всех а из [0, 1 ]. Пусть, далее, функция

Ф^, а) удовлетворяет следующим условиям:

fsup{|0(i,<7)| : 0 < а < 2} =: М*) £ Li([0,

1 sup{|ф(t, а)| : (t, а) £ [0, х [0, 2]} = v <

(7)

(8)

(Vе > 0) (VT £ (0, (3пт > 0) |ф(*1, а) - ф(*2,а)| < е,

если а £ [0,1/2], |*i - *21 < Пт, tj £ [0,T], j = 1, 2.

Предположим еще, что семейство непрерывных на [0, функций {Лд(*) : А £ [0, равномерно ограничено:

и, кроме того,

sup{|hA(t)| : А £ [0, t £ [0, +^)} = Ho <

С

lim / hÄ(t)dt = 0 V c £ (0, J

(9)

(10)

Тогда Пт J ф(4, а)Лл(£) = 0, причем стремление к пределу равномерно относительно л^+те о

параметра а из [0, 2]• Этот факт будем обозначать следующим образом

те [о,2]

/ ф(£,а)Лл(£) ^ 0 при А ^

Доказательство предложения 3 проводится по той же схеме, как и доказательство соответствующей теоремы Лебега. Именно, задав произвольное е > 0, найдем То такое, что

^(t, а)||hA(t)| dt < Ho J |Ф(*,7)| dt < Ho J ^(t) dt < 4 Vа £

0,

То То То

Далее разделим отрезок [0, То] точками ¿о = 0 < ¿1 < ... < = То на столь малые отрезки, что на каждом из них колебание функции ф(4, а) < 4ТдЯ0 при любом а из [0, 2]. Тогда

To

m— 1

ifc+1

m—1

ifc+1

fc=0

tfc+1

11 о— j. p 11 о— _L p

0(t,7)hA(t) dt / [0(t,7) - 0(tfc,7)]hA(t) dt 0(tfc, 7) I hA(t) dt.

' o ^ k=0 ^

4To£Ho • Ho(tfc+i - tfc), откуда

Но / [Ф(*, 7) - 0(tfc,7)]hA(t) dt tk

<

m—1 tk+1

J] / [Ф(*,7) - ф(4,7)]hA(t) dt k=o tk

V 7 £

4

1 2

tfc+1

Далее, в силу (10) Пт J Лл(£) = 0, к = 0,1,... ,т — 1. Учитывая еще второе из л^+те **

т—1 ¿к+1

соотношений (7), находим, что Пт ^ |ф(4&, а)| / Лл(£)

л^+те к=о ífc

= 0, причем стремление

к пределу (нулю) равномерно относительно параметра а из [0, 2]. Следовательно, существует А2 такое, что для любых А £ [А2, и а £ [0, 2]

^+1

m—1 "к+1

,а) / hA(í) dt < 4. k=0 tfc

Окончательно J 0(t, a)h\(t) dt 0

< e для любых а £ [0, 2] и А > А2 (е).

Применим предложение 3 к функции (6), положив h-A(t) = sin At, 0(t, а) = t 00

2f (e2t)e2 sh at и считая, что f £ M0. В данном случае ^(t) = 2 J |f (e2t| (e¿ — 1) dt,

0 ^ sup{2|f(e2í)|ef: t £ [0, < Условие (10), очевидно, выполняется.

Таким образом

^^ i

[о. 2 ]

2J f (e2t)e 2 sh at sin Atdt ^ 0 0

при A ^ и

lim sup < f (e )sh at sin Atdt : a £

A^+ю |

0

Далее, Ит т-——г^Ь—Л2—= 0, причем стремление к пределу равномерно по а из л^+те [(Ь— 2> +л ][(Ь+ 2) +л ]

[0, 2]. В итоге мы установили, что в рассматриваемой ситуации условие (4) выполнено,

и применимы предложения 1,2.

Учитывая, что ^(а, А) < 0, если — Г| < 5о и г £ По, используя предложения 1, 2

при сколь угодно малом 5 из (0, 5о), получаем, что если функция / £ Мо, то функция

^(а, А) = т F^ (г) не имеет нулей в По тогда и только тогда, когда выполнено неравенство

< 0.

Ф(А):= ,a) = — + А2) + | f (e2í)(eí — 1) sin Atdt < 0 V А £ (0, (11)

0

Заметим, что условие (11) равносильно такому

00

А(1 + A2) J f (e2t) (e* — 1) sin Atdt < 1, A £ (0, (12)

или, что то же самое,

sup | A(1 + A2) J f (e2t) (e* — 1) sin At dt : A £ [0, < 1.

(13)

Таким образом, справедлива

Теорема 1. Если / £ Мо, то функция т F^ не имеет нулей в П тогда и только тогда, когда выполняется любое из трех равносильных условий (11)-(13).

оо

1

0

2

оо

оо

4. При некоторых дополнительных предположениях на функцию / критерий (11) можно представить в другой форме, а именно, свести его к некоторой простой по формулировке проблеме для косинус-преобразования Фурье.

Предположим, что f £ М^ Тогда соотношение (11) равносильно неравенству

J [/(e2t)(e* - 1)]'cos Atdt ^ ^^^, A G (0,

(14)

Но, как хорошо известно (см., например, [2, с. 39]),

1

= I e 1 cos At dt.

1 + A2

о

Поэтому неравенство (14) равносильно такому:

J{[/(e2í)(ef - 1)]' - e-í} cos Atdt < 0, A G (0, +то).

(15)

Сформулируем полученный результат.

Теорема 2. Если f £ Mi, то функция im Ff не имеет нулей в П в том и только том случае, если выполнено неравенство (15).

К сожалению, нам не удалось найти в какой-либо из довольно многочисленных работ по теории преобразования Фурье критерий справедливости соотношения (15).

Замечание. Обозначим для любого s ^ 1 символом M0s+i множество всех функций

f из M2s+i, удовлетворяющих условиям (f(ef)e4)02j 1) = — 41-2j, j = 1,...,s. Тогда нетрудно показать, что если f £ Mg, то соотношение (15) равносильно следующему:

со

V А £ (0, J {[f (e2i)(ef — 1)]' — [f (e2i)(ef — 1)]'"} cos Atdt < 0.

о

5. Возвращаясь к теореме 1, остановимся немного подробнее на критерии в форме (12). Считая, что f £ M3, при h(t) := f(e2i)(ef — 1) получим

J h(t) sin At dt = Ay h'(t) cos At dt = - A^ J h''(t) sin At dt =

h''(0) A3

1

A3

J h/"(t)cos At dt = - KA3)

где A3 ■ ^ 0 при A ^

Отсюда lim А(1 + A2)/ h(í) sin Aídí = -h''(0) = -4f '(1) - f (1).

Л—Q

Рассмотрим последовательно три возможных случая.

1. Если h''(0) < -1, т. е., если —h''(0) > 1, то условие (12), очевидно, не выполняется, и тогда функция im Ff имеет нули в П. Легко показать, что в этом случае im Ff имеет в П бесконечное множество нулей континуальной мощности.

эо

оо

оо

оо

оо

оо

о

2. Пусть теперь Л/'(0) > -1, т. е. —Л/'(0) < 1. Тогда существует д < 1 такое, что для любого А > А1 = А1 (д)

со

V(А) := А(1 + А2) J /(е2*)(е* — 1) ^ < д. о

Пусть еще Ао — положительный корень (очевидно, единственный) уравнения

со

х(1 + ^ (в2« )|(в' —1) л = ь

Тогда v(A) < 1 для А £ [0, Ао]. Если Ао ^ Ai, то для любого А £ (0, v(А) < 1, и условие (12) выполнено. Но тогда применима теорема 1, согласно которой im Ff не имеет нулей в П. Если же Ао < А1, то дело сводится к оценке сверху величины 7 : = max{v(А) : А £ [Ао, А1 ]}. Так как [Ао,А1] — конечный сегмент, то такую оценку можно получить обычными методами математического анализа. Если 7 ^ 1, то условие (12) выполнено (и, следовательно, imFf не имеет нулей в П), а если 7 > 1, то оно нарушено, и Z(im Ff) — непустое множество мощности континуум.

3. Последний логически возможный случай h"(0) = —1 наиболее труден для исследования, но зато и наиболее интересен. Как показано в [3], если f £ M3 и Ff имеет бесконечное множество нулей в П, то h"(0) = —1. В частности, так будет, когда

^ _ 2

f = fo := 2шо, где Шо(х) : = ^ e x — функция, использовавшаяся Риманом при

n=1

исследовании дзета-функции ((z). Как хорошо известно (см., например, [4, гл. II, п. 6]), функция Шо(ж) удовлетворяет функциональному уравнению (полученному Риманом)

+ 1, 0 < x < то, из которого, в частности, следует (известное еще Риману) равенство (1) + = — g, равносильное соотношению h" (0) = —1

(пРи f = f).

Случай, когда h"(0) = —1, должен быть объектом отдельного исследования. Отметим здесь лишь то немаловажное обстоятельство, что если бы в случае f = f удалось доказать справедливость хотя бы одного из трех (равносильных) условий (11)-(13), то отсюда следовала бы справедливость знаменитой гипотезы Римана о нулях ((z) в критической полосе. Если же окажется, что при f = f хотя бы одно из этих условий нарушено, то это будет означать, что множество нулей функции im{(n)_zГ(|)Z(z)} в П, бесконечно (и имеет мощность континуума).

В заключение отметим некоторые опечатки в статье [3], затрудняющие ее чтение. На с. 11, 5-я сверху строка, вместо «по лемме 1» должно быть «по предложению 1». На с. 12, в формулировке предложения 1, вместо Z(ReFf) должно быть Z(imFf). На с. 14, вместо f(k)(1) должно быть f(k)(1). На с. 18, 10-я сверху строка, вместо lim должно стоять lim sup. Наконец, на с. 19, 7-я сверху строка, неравенство v(x1,y1) < 0 следует заменить на v (Х1, У1) > 0.

Литература

1. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной.—М.: ГИТТЛ, 1950.—399 с.

2. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. II.—М.: ОГИЗ ГИТТЛ, 1948.—860 с.

3. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе четных мероморфных функций // Известия вузов. СевероКавказский регион. Сер. естеств. наук.—2006.—Т. 41, приложение № 5.—С. 8-20.

4. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана.—М.: Изд-во иностр. лит., 1953.—406 с.

Статья поступила 14 декабря 2006 г.

Коробейник Юрий Федорович, д. ф.-м. н. Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 344090, РОССИЯ; Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, Владикавказ, 362027, РОССИЯ E-mail: [email protected]