О новых возможностях метода эллипсометрии, обусловленных "нулевой" оптической схемой. Эллипсометрия реальных поверхностных структур. 5. Углы полной поляризации в эллипсометрии поглощающих сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2006, том 16, № 2, c. 46-57

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК535.5.511: 531.7

© А. И. Семененко, И. А. Семененко

О НОВЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ МЕТОДА ЭЛЛИПСОМЕТРИИ, ОБУСЛОВЛЕННЫХ "НУЛЕВОЙ" ОПТИЧЕСКОЙ СХЕМОЙ. ЭЛЛИПСОМЕТРИЯ РЕАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ СТРУКТУР. 5. УГЛЫ ПОЛНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ В ЭЛЛИПСОМЕТРИИ

ПОГЛОЩАЮЩИХ СРЕД

Разработан общий подход к исследованию всего комплекса углов полной поляризации для однослойных поглощающих систем. Этот подход нетрудно распространить на многослойные среды. Доказано также, что основные особенности в поведении поляризационных углов V и А , проявляющиеся на углах полной поляризации и в процессе перехода от одного вида ступеньки для А к другому, сохраняются и для случая поглощающих сред.

ВВЕДЕНИЕ. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

В работе [1] рассмотрены особенности в поведении поляризационных углов V и А для однослойной прозрачной отражающей системы, обусловленные наличием углов полной поляризации различных типов и проявляющиеся при изменении угла падения ф0 светового пучка в полном интервале (0, 90°) . Углы полной поляризации проявляются при различных толщинах прозрачной пленки, поэтому характер зависимостей ¥(ф0) и А(ф0) существенно меняется с изменением толщины пленки. Это очень важное обстоятельство, непосредственно связанное с решением обратной задачи эллипсометрии не только для однослойной, но также и для многослойных отражающих систем (см. [2]).

В данной работе решается та же проблема, что и в работах [1, 2], но только для поглощающих сред. Использованный в этих работах подход к изучению углов полной поляризации непосредственно связан с прозрачностью отражающей среды, имеет по этой причине частный характер и поэтому не может быть использован для общего случая поглощающих сред. Здесь мы развиваем общий подход, позволяющий провести исследование всего комплекса углов полной поляризации и обусловленных ими особенностей в зависимостях Т(ф0) и А(ф0) для любых сред, прозрачных и поглощающих, однослойных и многослойных.

Особо отметим, что углы полной поляризации рассматриваются нами не в связи с возможностью реализации однослойных или многослойных поляризаторов или изменения отражательной и про-

пускной способностей различных структур. Этим вопросам посвящено достаточное число работ (см. [3]), в которых изучается поведение интенсивности отраженного или прошедшего светового пучка. Нас интересуют особенности в поведении поляризационных углов Т(ф0) и А(ф0), непосредственно связанные с решением обратной задачи эл-липсометрии как для сверхтонких, так и относительно толстых прозрачных и поглощающих пленок и нарушенных поверхностных слоев на различных материалах. Очевидно, для этого необходимо использовать основное уравнение эллипсо-метрии, которое определяет поляризационные углы V и А через отношение комплексных амплитудных коэффициентов отражения Френеля. По этой причине и весь набор углов полной поляризации мы определяем, используя не выражения для интенсивностей светового пучка, а комплексные амплитудные коэффициенты отражения Френеля. Если иметь в виду только задачу выявления углов полной поляризации и определения значений толщин слоев, при которых углы полной поляризации проявляются в идеальной форме, то такой метод гораздо более прост, физически прозрачен и содержит максимальную информацию, что позволяет провести наиболее полное исследование рассматриваемой проблемы. По нашему мнению, данный подход предпочтительнее использовать также и для решения других (указанных выше) задач, особенно если речь идет об использовании многослойных структур. Большим преимуществом этого подхода при исследовании однослойной системы является и возможность разделения соответствующего комплексного уравнения на два, одно из которых действительно, не содержит тол-

щины слоя и позволяет определить полную совокупность углов полной поляризации. Второе же уравнение содержит фазу, непосредственно связанную с толщиной слоя, и позволяет очень просто определить те значения толщины слоя, при которых реализуются в идеальной форме соответствующие углы полной поляризации. Это преимущество сохраняется и для многослойных систем, если толщина одного выделенного слоя варьируется, а толщины остальных слоев фиксируются.

Основной целью данной работы является разработка общего подхода к исследованию всего комплекса углов полной поляризации для поглощающих сред. Кроме того доказывается, что основные особенности в поведении поляризационных углов V и А , проявляющиеся на углах полной поляризации и в процессе перехода от одного вида ступеньки для А к другому, сохраняются и для случая поглощающих сред.

1. УРАВНЕНИЯ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УГЛЫ ПОЛНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ p- И s- ТИПА ДЛЯ ОДНОСЛОЙНОЙ ПОГЛОЩАЮЩЕЙ СТРУКТУРЫ

Основное уравнение эллипсометрии в его самой общей форме имеет вид

д

^ V ехр(/А) = Д

(1)

J 2

1

ф0 П2 -

^ п1 к1

0

П0 к0

Схематическое изображение однослойной отражающей системы

где Яр и Я,, — это комплексные амплитудные коэффициенты отражения Френеля для световой волны р- и Б-типа, зависящие от угла падения ф0 и длины Я световой волны, а также от оптических параметров отражающей системы и толщин слоев этой системы. Для конкретной отражающей системы существуют такие значения угла падения ф0 и толщин слоев, при которых один из коэффициентов Яр и Д, обращается в ноль. В этом случае

световая волна оказывается полностью поляризованной, причем линейно. При Яр = 0 волна поляризована вдоль Б-направления (перпендикулярно плоскости падения), а при Я, = 0 — вдоль р-на-правления (в плоскости падения). Тем не менее

удобно определять тип поляризации не по ее виду, а по типу обращающегося в ноль коэффициента отражения. Таким образом, углы полной поляризации р-типа определяются условием

Яр = 0, или V = 0,

(2)

а углы полной поляризации ,-типа Я = 0, или V = 900.

условием

(3)

Детально исследуем углы полной поляризации для поглощающей однослойной системы (см. рисунок). В этом случае коэффициенты Яр и Я, после несложных преобразований (см. [1]) запишутся следующим образом:

Я = (£2^1 - ^Х^с + £00 + С?2£1 + ^Х^с - £0£1)ехр(-2гА) (4) р (^ + ^Х+ ^0£1) + (§2£1 - ^Х^С - ^0£1)еХр(-2г'51) '

Я, =(£ 2- &)( а + go) +(£ 2 + &)( а - £ 0) ехр(-2А) (5) (£2 + £1)(£1 + £0) +(£2 - £1)(£1 - £0) ехр(-2^^1) ' 2п

81 =г ^ ^ (6)

где d1 — толщина слоя.

Входящие в формулы (4) и (5) диэлектрические постоянные подложки (£0), однородного слоя (£) и внешней среды (£2) выразим через указанные на рисунке оптические постоянные:

£0 (П0 /к0) £01 /£02, £1 =(п -ikl)2 = £ - /£12, £2 = п2 = 1;

(7)

£ = п2 - к], £2 = 2п]к], (] = 0,1), (8)

а затем, используя формулы (7) и (8), преобразуем величины go, gl и #2:

(9)

=4£] - ^ ^0 = - О/ 2, (] = 0 1), #2 = >£2 - эт2 Ф0 = соэ^;

£,1 =-1=^(£л - 81п2 Ф0)2 + ] + £ - 81п2 ф0) ,

2 - ^ ^ + £2 - £ - Фo),

(] = 0,1).

Величины #02 и #12 легко связать с #01 и :

(10)

£02 £12 а =-а =-12602 2 ' 612 2

2 #01 2 #11

(11)

Используя (6) и (9), преобразуем также показатель экспоненты из выражений (4) и (5) для коэффициентов Лр и

тс г . г 4^ 4П

2^1 = £-/п, аи. &2. (12)

Формулы (12) для £ и п представим в виде

А

п = ■

Д0 #11

где

Д =

А 2

(13)

(14)

но, строго говоря, уже не совсем для углов V и А (см. ниже).

Теперь, используя формулы (7)—(10) и (12), представим коэффициенты Лр и определяемые выражениями (4) и (5), в более компактной форме:

^ =

^ =

= (^р21 -/ур21) + (ир12- / Ун) ехр(-п) ехр(-/^)

р12 р12

(Цр11 -/Урн) + (Цр22 - /Тр22)ехр(-п)ехр(-/£)

(иэ21 -/Уэ21) + (иэ12 -гуЭ12)ехр(-П)ехр(-/^)

(15)

(16)

(иэ11 -'УЭи) + (иэ22 -г'у822)ехр(-П)ехр(-/^) Величины ирк и Ур/к (/к = 11,12,21,22) из формулы (15) определяются соотношениями

и = а(+)а(+) - Л+V" р11 р р р р

и = а (+) а (-) - Л(+) Ь( р12 р р р р

ир21 = ар-) ар+) -

и = а(_)а(-) - к(-)Ь р22 р р р

рр

(

рр

Ур11 = ар+) ьр+) + Лр+' ар

Ур12 = ар+)ьр-) + Л+) ар-Ур21 = ар-) Ь+)

'„(+)„(-

р21

„ + Л(-) а(+ р р р р

= а(-) ь(-) р22 р р

+ Л 'а.

. )а(-рр

(17)

которые непосредственно следуют из следующих представлений:

(# 2£1 ± #1) = ар ±) - Л± (#1£0 ± #0£1) = а( ±) - /ь(^

(±) — +

ар = # 2 £11 ± #11, ±) = #2£12 ± #12;

,(±) _

(#11£01 #12£02) ± (#01£11 #02£12),

Ьр (#11£02 + #12£01 ) ± (#01£12 + #02£11 ).

(18)

(19)

(20)

Аналогичным образом определяются величины ик и (/к = 11,12,21,22) из формулы (16). Их можно получить из формул (17)—(20) путем элементарного формального перехода

В случае прозрачных пленок величина Д0 играет роль периода по толщине для поляризационных углов V и А . В случае же поглощающих пленок эта величина также играет роль периода,

р

£0 £1 £01 £11 1, £02 £12 0 . (21)

Углы полной поляризации р-типа

Они определяются условием (2) для коэффициента отражения Лр. Учитывая формулу (15), за-

пишем это условие в конкретном виде, приравняв нулю числитель дроби

(Цр21 -/Гр21) + (Цр12 -/Тр12)ехр(-^)ехр(-/^) = 0 . (22)

Комплексное уравнение (22) определяет для однослойной системы углы полной поляризации р-типа и соответствующие им значения толщины пленки. Исследуем это уравнение. Найдем из него комплексную экспоненту:

ехр(-/£) = -

(ир21 - ^ Ур21 ) ( ) -и—^г ехр(П =

(ир12 - г^р12)

и2 + V2 ^р12 р12

-х

ехр(-/^) = Мр ехр(-г'вр):

(24)

где

Мр = М 0р ехр(п),

М 0р =

Ж

0р

и2 + V2

р12 р12

ж =

0р

8Ш Я =

-(и V - и V )

р12 р21 р21 р12

(25)

Ж

0р

СОБ вр =

-(и,12ир21 + Ур12Ур21 )

Ж

0р

0 < вр < 2п .

(26)

Из комплексного уравнения (24) непосредственно следуют два действительных уравнения

(27)

(т = 0,1,2,...). (28)

Мр = 1,

I = вр + 2п т,

М 0рехр

^ 2п41 £12 ^ А, £11

=1 ,

1- = вр + 2пт, (т = 0,1,2,...). (30)

Подставив 41 из формулы (30) в (29), получим уравнение, определяющее для поглощающей однослойной системы углы полной поляризации р-типа и уже не связанное с толщиной пленки:

(31)

где

М0р7р = 1,

7р = ехр((вр + 2п т)£12 / £п).

(32)

х[-(ир12ир21 + Vpl2Vp2l) + 1(ири^21 - ир21 ^р12 )] х Хехр(п). (23)

Преобразуем выражение (23), представив его комплексную правую часть в экспоненциальном виде:

Выражение (30) определяет толщину пленки, причем существенным моментом является то, что оно определяет те значения толщины 41, которые обеспечивают реализацию полной поляризации р-типа светового пучка на соответствующих углах падения, следующих из уравнения (31). Для угла полной поляризации р-типа введем обозначение ф0р, а для соответствующей толщины — Ц

Формула для величины Др , очевидно, запишется:

Ар = <

1р

+ Б0т, (т = 0,1,2,...)

1р

1

2п

V У

А

0 < 4, < А,

(33)

Запишем эти уравнения подробнее, используя (13) и (25):

где 41р — начальное значение толщины Др. В первом периоде (т = 0) Др = 41р, причем величина 41р определяется углом ф0р, найденным из уравнения (31), в котором параметр ур также отвечает

первому периоду (т = 0). Для следующих периодов (т > 0) толщина Др отличается от начальной

толщины 41р на величину В0т , но при этом надо иметь в виду, что и соответствующий угол ф0р находится из уравнения (31), в котором ур отвечает тому же значению т . В общем случае поглощающих пленок угол полной поляризации ф0р зависит также (через зависимость параметра ур) и от номера периода т .

Углы полной поляризации 8-типа

Они находятся из условия (3) для коэффициента отражения Д,. Запишем данное условие в конкретном виде, приравняв нулю числитель дроби из формулы (16), определяющей величину Я, для поглощающей однослойной системы:

(29) (и,21 - + (и,12 -iVsl2)exp(-ц)exp(-i^) = 0 . (34)

Комплексное уравнение (34) определяет для однослойной системы углы полной поляризации ,-типа и соответствующие им значения толщины

пленки. Преобразуя уравнение (34) аналогично тому, как это было сделано для уравнения (22) предыдущего случая, придем к уравнению, определяющему углы полной поляризации Б-типа:

где

MoY = 1, (35)

у. = ехр((Д + Inm) gj gn), (36)

A. = dis + D0 m

(в-1

2n

v J

D0

(m = 0,1,2,...) 0 <di. < Do.

(37)

Все рассуждения предыдущего случая, касающиеся начальной толщины и влияния номера периода т, очевидно, сохраняют свою силу и здесь.

2. ОБЩНОСТЬ ПОДХОДА: ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРОЗРАЧНОЙ ОДНОСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ

Уравнения (31) и (35) должны обеспечивать строгий предельный переход к случаю прозрачной однослойной системы, допускающему полное аналитическое рассмотрение. Имеет смысл подробнее рассмотреть этот переход, т. к. излагаемый здесь общий подход позволяет получить основные уравнения, отвечающие прозрачной системе, более естественным путем.

Для прозрачной однослойной системы имеем:

= £12 = 0 7р =7, = I

2

,oi =J~n2 - sin2

h ±)) = ь( ±)) = о.

p(s) p(s)

С учетом (38) V = 0

gii =\ln1 - sin2 Ф0

(38)

(ik = ii,i2,2i, 22)

(39)

к предельному случаю прозрачной системы становится весьма неудобной и даже трудоемкой. От этого можно избавиться, если, учитывая положительность левой и правой частей уравнений (31) и (35), возвести их в квадрат. В итоге уравнения (31) и (35) приводятся к окончательному виду. Их целесообразно записать, введя функции и Fs :

М0, и в, находятся из формул (25) и (26), в которых надо сделать переход р ^ 8 . Толщина пленки , обеспечивающая полную поляризацию ,-типа светового пучка на соответствующих углах падения , следующих из уравнения (34), определится формулой, аналогичной формуле (32):

Fp = M0>р2 -1 = 0, F = M02)Y)2 -1 = 0.

(40)

(41)

Что касается формул (33) и (37), определяющих толщины Др и Д8, то они, очевидно, остаются

без изменения.

Для прозрачной системы уравнения (40) и (41) после элементарных преобразований с учетом единичных значений параметров ур и у, (см. (38)) примут вид:

Fp =■

i

U,

(Up2i + Upi2)(Up2i - Upi2) = 0

pi2 '

pi2

F =■

U2

(U.2i + U.i2)(U)2i - U)i2) = 0.

(42)

(43)

Уравнение (42) распадается на систему из двух более простых уравнений, которые с учетом (38) запишутся

(Up2i + Upi2) = 2gii£ii(g2£0i - g0i) = 0 (Up2i - Upi2) = 2(g2g0i^i2i - gn£0i ) = 0.

(44)

(45)

и, следовательно, под знаками корней, определяющих М0р и М0, (см. (25)), находятся полные

квадраты соответствующих величин, которые могут менять знаки. Это означает, что, освобождаясь от корней, мы должны иметь дело с модулями этих величин. В результате процедура перехода

Уравнение (44), преобразующееся к более простой форме путем умножения на (g2£0i + g0i) > 0 , определяет угол полной поляризации р-типа, совпадающий с углом Брюстера для прозрачной однородной подложки. Как и следовало ожидать, для этого случая формула (33) совместно с формулами (25) и (26) определяет в пределах первого периода (m = 0) нулевую толщину пленки (уравнение (44) дает U =-Upi2 и, следовательно, cos вр = i, т. е.

вр = 0 и dip = 0). Уравнение же (45) после умножения на (g2g0iei2i + gi2ie0i)>0 совпадает с уравнением, которое в работе [i] использовано для определения остальных углов полной поляризации р-типа для прозрачной системы. В рамках общего подхода легко и совершенно естественно определяется толщина слоя Dip, отвечающая каждому

углу ф0р из этого комплекса. Из уравнения (45) следует

Up2i = Upi2 , (46)

а в этом случае (см. формулы (25), (26) и (33)) имеем:

cos вр =-1, вр =п,

1 (47)

Ар = 2 А(Фср) + А(Фор)т (m = 0,1,2, •••),

что согласуется с работой [1].

Обратимся теперь к уравнению (43), определяющему углы полной поляризации s-типа. Оно уже не распадается на два уравнения, т. к. первая скобка в нем отрицательна при любом угле падения, но вторая скобка дает простое уравнение

Us21 - Us12) = 2( g 2 g 01 - g2) = 0,

(48)

совпадающее после умножения на (#2#01 + #121) с соответствующим уравнением из работы [1]. Толщина слоя Д, отвечающая углу ф0з, определится формулой, аналогичной формуле (47).

Вернемся к уравнениям (40) и (41). В общем случае поглощающих сред они уже не допускают чисто аналитического рассмотрения. Корни функций ^р(ф0) и Fs(ф0) находятся путем использования методов вычислительной математики, однако общие предварительные выводы можно сделать, изучая значения функций Fp и ^ на краях полного интервала для угла падения ф0, т. е. в точках ф0 = 0 и ф0 = 90°. Если ^((0) и ^»(90°) имеют одинаковый знак, то функция Fp(ф0) имеет четное число корней или же вообще их не имеет. Если же ^р(0) и ^р(90°) имеют разные знаки, то функция

^р(ф0) имеет нечетное число корней (по крайней

мере один корень). То же самое можно сказать и о функции Fs(ф0). Очевидно, в число корней функции Fp(ф0) для прозрачной системы входит и угол

Брюстера (см. (44)).

Для прозрачной системы, используя (38), (42)-(45) и (48), находим

*р(0) ~ (п2 - П0), Fp (90°) > 0, (49)

^(0) ~ (П12 - П0), ^(90°) > 0. (50)

Вид соотношений (49) и (50), если учесть роль величины (п12 - п0) при рассмотрении различных частных случаев в работе [1], является вполне естественным.

В математической программе, созданной для расчета поляризационных углов V и А, предусмотрены процедуры, предназначенные для определения корней функций Fp(ф0) и Fs(ф0) (углов

полной поляризации ф0р и ф08) и отвечающих им

толщин Д1 и £)1з, построения графиков этих функций, а также для расчета величин ^р(8)(0) и ^р(3) (90°) с целью построения графиков их зависимости от коэффициентов поглощения и показателей преломления.

Ниже мы рассмотрим два частных случая, относящихся к поглощающей однослойной системе.

3. ОДНОСЛОЙНАЯ СИСТЕМА: ПОГЛОЩАЮЩАЯ ПОДЛОЖКА—ПРОЗРАЧНАЯ ПЛЕНКА

Для данной однослойной системы сохраняются следующие формулы из (38):

£12 = g12 = 0 7р = 7s = 1

еи = ^ gn=4n - sin2 %, =о.

(51)

Остальные же величины или перестают быть нулевыми, или усложняются; в частности, отличаются от нуля и Ур(8),к (/к = 11,12,21,22). В результате основные уравнения (40) и (41) запишутся:

F =

2 [(^р221 - Uр12) + (Ур21 - *£)] = 0, (52)

Uр212 + Ур12

F =

п2 + V2 [(^^21 - UL) + (Vs21 - *£)] = 0.

U s12 + Vs12

(53)

Среди формул (51) наиболее важным является условие для параметров ур и у5. Равенство единице этих величин (при любом номере периода) означает, что в случае прозрачных пленок углы Ф0р и Ф08, а также отвечающие им начальные

толщины ё1р и d1s не зависят от номера периода,

что находит свое отражение и в уравнениях (52) и (53). Это означает периодичность эффекта полной поляризации по толщине с периодом Д0.

Мы не будем определять оптические постоянные поглощающей подложки и прозрачной пленки конкретными значениями. Физические соображения, обусловленные результатами работы [1], и предварительные численные расчеты позволяют сформулировать некоторые общие закономерности. Для коэффициента поглощения подложки к0 предусмотрено изменение в широких пределах, начиная от нуля. В работе [1] количество и тип углов полной поляризации определяются поведени-

ем величины п - п0, ее знаком или равенством нулю. В соответствии с этим для показателя преломления прозрачной пленки сначала будем иметь в виду значения

_ (54)

П > V п0 ,

которые вместе с п0 удовлетворяют условию

п2 - П > 0,

*р(0) = ^(0), ^р(,)(90°) > 0.

Рр (0) > 0.

*р(0) > 0, (90°) > 0, (60)

которые обеспечивают четное число корней для ^р(ф0) и ^ (ф0) или их отсутствие. Как и в случае прозрачной системы при выполнении условия (55), для ^р(ф0) имеем два угла ф0р, а для Fs(ф0)

отсутствие корней (углов ф0з). Если же

(55)

к > к

Л0 Л00 5

определяющему количество углов полной поляризации при к0 = 0.

Случай п12 - п0 > 0

Это условие является частью более общих условий для величин Fp(s) (0) и Fp(s) (90°).

Полная поляризация ,-типа при выполнении условия (55) и нулевом к0 не проявляется, проявляется только поляризация р-типа. Ситуация изменяется с ростом к0 . В этом случае общие выводы относительно числа углов полной поляризации или их отсутствия можно сделать, изучая соотношение знаков величин Fp (0) и Fp (90°). Что касается величин Fs (0) и Fs (90°), то их можно не рассматривать, т. к. они повторяют знаки ^р,(0) и Fp(90°) соответственно; более того, имеют место соотношения

то

Fp(0) < 0, Fp(90°) > 0,

(61)

(62)

(56)

Учитывая (56), будем изучать поведение величины Fp(0) при изменении коэффициента поглощения подложки от значения к0 = 0. При к0 = 0, согласно (49) и (55), имеем

(57)

Для каждого п1 из (54) существует такое к0 = к00, при котором

-^р(0) = 0. (58)

Параметр к00 с увеличением п от значения ^П^ (см. (54)) увеличивается, начиная от нуля. Нулевое значение к00 обусловлено тем, что при п1 = ^П^ и к0 = 0 Fp(0) = 0 (см. (49)). Для всех к0 из интервала

0 < к0 < к00 (59)

(крайние точки интервала не включаются) выполняются условия

что обеспечивает нечетное число корней для Fp(ф0) иFs(ф0) . Конкретно для рассматриваемого случая при выполнении (61) и (62) имеем по одному углу полной поляризации ф0р и ф0,. Таким

образом, просматривается полная аналогия со случаем прозрачной отражающей системы. Величина Fp (0) в случае поглощающей подложки играет такую же роль, как и величина (п12 - п0) для прозрачной системы, но в любом случае надо исходить из начального условия для (п12 - п0) (см. (54) и (55)). Особо отметим, что для случая поглощающей подложки и прозрачной пленки с ростом к0 величина ^р,(0) уменьшается, что и обеспечивает существование критического значения к00 .

В соответствии с условием (54) п1 проходит через значение п0. В случае прозрачной среды это не сказывается принципиально на углах полной поляризации, но непосредственно связано с поведением ступеньки для поляризационного угла А при росте толщины пленки 41, зависящим от того, какое из неравенств п1 < п0 или п1 > п0 имеет место [1]. В случае поглощающей подложки прохождение через п0 связано также и с поведением углов полной поляризации при изменении к0 . По этой причине условие (54), определяющее область изменения п1 , разобьем на два:

(63)

(64)

п0 < п < п0,

П > п0.

Оба этих условия, очевидно, не противоречат условию (55). Относительно точки п1 = п0 мы сделаем отдельное замечание.

Изучая условие (55), рассмотрим сначала интервал (63). При к0 = 0 на нулевой толщине наблюдается угол Брюстера ф0Ь. При очень малых

значениях к0 положение угла Брюстера практически не меняется, но отвечающая ему толщина пленки (в пределах первого периода) скачкообразно увеличивается, приближаясь снизу при к0 ^ 0 к величине периода Д. Как указано выше, это связано с поведением ступеньки для А . В следующей работе, посвященной решению обратной задачи эллипсометрии для поглощающих отражающих сред, мы остановимся на этом подробнее. Положение второго угла (0р, которому при к0 = 0

отвечает равная половине периода толщина (см. (47)), при малых к0 также практически не меняется, как почти не меняется и отвечающая ему толщина.

Изменяющийся с ростом к0 угол Брюстера (угол р-типа) будем называть эффективным углом Брюстера (0Ьэф. При прохождении к0 интервала

(0, к00) (см. (59) и (60)) эффективный угол Брюстера увеличивается, а второй угол (0р, меньший при к0 = 0 угла (0Ь, уменьшается, достигая при к0 = к00 значения (0р = 0. При дальнейшем увеличении к0 возникает взамен второго угла (0р угол 8-типа ( (равный нулю при к0 = к00), который вместе с углом (0Ьэф при выполнении условия ( <Ф0Ьэф стремится при к0 ^^ к 90°. При этом толщина Др, отвечающая углу (0Ьэф, снова стремится (в пределах первого периода) к величине периода Д ((0Ьэф), а толщина для угла (

к величине -2 Д((0з).

Аналогичным образом рассматривается условие (64). Возникающая здесь ситуация несколько отличается от той, которая наблюдается для интервала (63). Толщина пленки Др , отвечающая углу ф0Ьэф, с ростом к0 увеличивается, начиная от нуля, а для второго угла (р0р по-прежнему изменяется, начиная от середины периода на этом угле. Кроме того, угол ( 0Ьэф при сохранении условия

(0Ьэф < (0р уменьшается, достигая нуля при к0 = к00 и переходя при этом в угол (, также равный нулю при данном значении к0 . При этом угол ( 0р растет. При дальнейшем увеличении к0 углы (0р и(0з при сохранении условия ( <(0р растут, стремясь при к0 ^^ к 90° . Предельные толщины Др и для (0р и ( такие же, как и для углов (0Ьэф и ( , отвечающих интервалу (63).

Остановимся на предельном значении показателя преломления пленки

п1 = п0. (65)

При сколь угодно малом отклонении п1 от п0 и сколь угодно близком к нулю к0 наблюдаются отмеченные выше закономерности в поведении углов полной поляризации р-типа. На первый взгляд предельный переход к случаю однородной прозрачной подложки, который и должен наблюдаться при отмеченных выше сколь угодно малых отклонениях, нельзя осуществить. Однако это не тот случай, когда предельное значение функции получается прямой подстановкой предельного значения аргумента. Да и в качестве самой функции в данном случае надо выбирать не соответствующее поведение углов ( 0р , а поведение поляризационных углов V и А, прежде всего угла А. В процессе предельного перехода угловые интервалы для (0, в пределах которых наблюдается для самых разных толщин пленки близкое к скачку поведение А , причем не только на углах ( 0р (см.

[1]), стремятся к нулю. А вне этих интервалов А стремится к типичным для прозрачной однородной подложки значениям 180°, 0 и 360° . Учитывая эквивалентность значений 0 и 360°, нетрудно понять, что тем самым осуществляется предельный переход к случаю однородной прозрачной подложки. Просто надо иметь в виду очевидный факт: пленка с теми же оптическими постоянными, что и подложка, становится частью подложки.

Но в связи с таким предельным переходом возникает и еще один вопрос, как ведут себя углы полной поляризации при п1 = п0 и к0 Ф 0 . Анализ показывает, что поведение углов полной поляризации, наблюдающееся при росте к0 , здесь точно такое же, как и в случае, когда п1 удовлетворяет условию (64) и к0 тоже растет.

Рассмотрим теперь пленку, показатель преломления которой удовлетворяет условию

п12 - п0 < 0 .

Случай п12 - п0 < 0

(66)

Как было указано выше, с ростом к0 величина ^р(0) уменьшается, т. е. в случае (66) только при

п = ^1% и к0 = 0 (0) = 0 , а при к0 > 0 для всех значений п (п1 < ^/п") Fp (0) < 0 . Это означает, что при любом п1 из (66) и любом к0 существует один угол р-типа, совпадающий с углом Брюстера

ф0Ь при к0 = 0, и один угол ,-типа ф0,, равный нулю только при п1 и к0 = 0. При увеличе-

нии к0 от нуля угол ф0Ь, превратившийся в ф0Ьэф, растет, достигая предела в 90° при к0 ^^ . То же самое происходит и с углом ф0,, но здесь есть одна особенность. При изменении к0 от 0 до некоторого критического значения к0кр, зависящего от п1 , выполняется неравенство

фс, <ф0Ьэф . (67)

При к0 = к0кр оно переходит в равенство, а при к0 > к0кр — в противоположное неравенство

ф0, >ф0Ьэф . (68)

Если неравенство (66) усиливается, т. е. п1 убывает (от значения ), то к0кр также убывает, достигая 0 при каком-то значении п = п10 Ф 0 . При этом имеет место следующее соотношение:

при п1 < п10 и к0 ^ 0: Фсs > ф0Ьэф . (69)

Сделанное выше замечание о поведении углов и ф()Ьэф при к0 ^^ имеет общий характер,

различия проявляются лишь в относительном расположении этих углов. Что касается толщин Д1р

и Ди, то при к0 > 0 они ведут себя согласно усло-

^ =

Д

1р

и2 + ,, 2 [(Грир221 - ир22) + (УХ221 - Vp22)] = 0, (70) и р12 + р12

F =

и2 + V2

^12 ^ К 812

[(/.2и,221 - и22) + (Г2^221 - Vs22)] = 0, (71)

ДМьэф ),

вию п < п0, а при к0 ^^

А, ^ 2 А^Х

В случае прозрачной отражающей системы, когда выполняется условие (66), могут существовать не один, а три угла ф01р, включая угол Брюстера

(см. [1]). Для реализации этих двух дополнительных углов р-типа требуется особый подбор оптических постоянных пленки и подложки. Такая ситуация в принципе может встретиться и в случае поглощающей подложки, когда выполняется условие (62).

4. ОДНОСЛОЙНАЯ СИСТЕМА: ПОГЛОЩАЮЩАЯ ПОДЛОЖКА— ПОГЛОЩАЮЩАЯ ПЛЕНКА

В этом случае £12 Ф 0 и, следовательно, параметры ур и у, уже не равны единице (см. (32)

и (36)), поэтому основные уравнения (40) и (41) запишутся:

где ур и у, зависят также и от номера периода. Такой характер ур и у, означает, что в случае поглощающих пленок углы ф0р и ф^, а также отвечающие им начальные толщины 41р и зависят

и от номера периода, из чего следует отсутствие периодичности эффекта полной поляризации по толщине.

Схема анализа углов полной поляризации здесь точно такая же, как и в предыдущем случае. Однако надо иметь в виду, что в данном случае влияние коэффициента поглощения к1 пленки на величину Fp(0) носит противоположный характер. С ростом к1 при заданных к0 и номере периода величина ^р(0) увеличивается. То же самое происходит и с ростом номера периода при заданных к1 и к0. Исходя из этого, а также из общих результатов предыдущего случая, можно описать поведение углов полной поляризации и в этом случае. Остановимся на наиболее важных результатах.

При соблюдении (55) условие (60) на величины Fp (0) и Fp (90°) за счет роста к1 и номера периода

может быть только усилено, т. е. оно не перейдет в условие (62). Если же соблюдается условие (62), то за счет роста к1 или номера периода оно обязательно перейдет в условие (60). То же самое происходит и в случае, когда п0 и п1 удовлетворяют неравенству (66). Здесь существует огромное разнообразие вариантов, обусловленных влиянием друг на друга коэффициентов к0 и к1 . Проведенный выше анализ позволяет успешно разобраться во всех конкретных случаях. Мы остановимся только на самых общих результатах.

При росте к1, когда зафиксирован номер периода, например нулевой период, величина Fp(0) увеличивается, увеличивается и положительная величина F>(90°), а это означает, что кривая

Fp(ф0) поднимается вверх и при некотором к1 будет располагаться над осью ф0, не пересекая ее. В этом случае функция Fp(фс) уже не имеет корней, т. е. отсутствуют углы полной поляризации.

При любом kJ Ф 0 за счет перехода в более высокие периоды можно добиться того же самого. Можно сказать иначе: при увеличении толщины пленки до некоторого значения происходит исчезновение углов полной поляризации. При данном значении толщины пленки dJ два угла (0р становятся равными по величине и исчезают. Если это происходит за счет роста kJ, то надо отметить, что совпавшим углам (р0р отвечают одинаковые толщины. При дальнейшем росте к или увеличении толщины dj, очевидно, углы полной поляризации не отмечаются. С физической точки зрения это понятный процесс. С увеличением kj или dj пропускающая способность пленки уменьшается, и в конце концов пленка начинает играть роль поглощающей подложки, на которой углы полной поляризации не реализуются.

Остановимся на одном важном моменте. При любой подложке и прозрачной пленке уравнения (40) и (41) дают полный набор углов полной поляризации, включая угол Брюстера, истинный на прозрачной подложке и эффективный на поглощающей. То же самое наблюдается и в случае, когда поглощают и подложка, и пленка. Однако ситуация меняется для случая прозрачной подложки и поглощающей пленки. Происходит следующее. При kj >+0, т. е. начиная со сколь угодно малых kj, возникает угол (0р, играющий во всех остальных случаях, включающих в себя поглощающую подложку, роль эффективного угла Брюстера

(оьэф . пРи ki ^ 0: (ор ^ (оь . Но угол Брюстера (0ь для прозрачной подложки не может зависеть от параметров поглощающей пленки, т. е. он играет в этом случае самостоятельную роль и не входит в полный набор, определяемый основными уравнениями (40) и (41). Это вполне согласуется с отмеченными выше свойствами поглощающей пленки и предельным переходом к случаю прозрачной пленки.

5. ОСНОВНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ УГЛОВ Т И А НА УГЛАХ ПОЛНОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ

Рассмотрим особенности в поведении Т и А, которые наблюдаются на углах полной поляризации (0р и (0,, а значит, и при тех толщинах пленки Djp и Djs, которые обеспечивают реализацию

этих углов. Об особенностях Т можно не говорить, они носят тривиальный характер (см. (2) и (3)). Что касается А, то речь пойдет не только о ступеньках высотой в 180° на углах падения

(0 = (0р(з), причем для общего случая поглощающих сред, но и о ступеньках высотой в 360°, которые передвигаются (с ростом толщины пленки ё1) в процессе перехода от одного вида ступеньки для А к другому [1].

Используя формулы (1), (15) и (16), запишем основное уравнение эллипсометрии в виде

^ V ехр(/А) = ^ =

= Z0

где

Цра -iVv2j) + (ирл -¿Ур12)ехр(-п)ехр(-/£)

р21'

р12

р!2'

(U,2J - iV,2J) + (U,J2 - iV,J2) еХр(-П) еХр(-/^) '

(72)

^0 =

(u,JJ -iVsjj) + (Us22 -^,22)ехр(-П)ехрН<Р Ujj -/ГрП) + (Uр22 -/Тр22)ехр(-п)ехр(-/^)' (73)

Затем умножим числитель и знаменатель в (72) на (ир12 + /Тр12) и (Ц,12 + /Тз12) соответственно, а коэффициент Z0 разделим и умножим на эти же величины. После этого проведем преобразования, аналогичные тем, которые были использованы для уравнений (22) и (34). В результате получим следующие уравнения:

F + 1 - ехр(-2/(£-Я)) tg Т ехр(/А) = Z-1--- р

F + J - ехр(-2/(£-в,))

Z=

= Z (ир12 - ^12) _ ехр(-?вр) х 0 (UsJ2 - iV,J2) ^НЮ

V M, + ехр(-/(£-Д,))

х-.

Mр + ехрН(£-Д,))

(74)

(75)

Входящие в формулы (74) и (75) величины определены выше.

Рассмотрим один из углов полной поляризации р-типа (0р, имея в виду, что толщина пленки определяется (в первом периоде) формулой (33), вытекающей из формул (28) и (30). С учетом этих формул на угле ( 0р имеем:

Рр(() = 0, £(() -вр((0р) = 0. (76)

Коэффициент Z и знаменатель из уравнения (74) особенностей на угле (0р не имеют; изучать

будем только числитель, для которого введем обозначение

рр = F +1 - exp(-2i(£ - ßp)).

(77)

Введем бесконечно малые отклонения отф^, т. е. рассмотрим углы ф0р ± 0 . Для этих углов величина рр запишется

Ррф ± 0) = Fp(фсp ± 0) + 1 -

-еМ-Щ^ф ± 0) - Ррф ± 0))). (78) Принимая во внимание (76), преобразуем (78): Ррфр ± 0) = ±5^р +1 -е^+^-Звр)) = = ±5^р +1 - 00,(25 - 80р)) + i зт(2(5£ - 8/Зр)), (79)

где 5Fp, 5£, и 5вр — бесконечно малые величины. В формуле (79) учтено, что функции Fp(ф((), ^(ф^ и вp(ф(() в точке ф(( =ф((p имеют монотонный характер. Отбрасывая в (79) величины второго порядка малости, найдем

Рр(ф(р ± 0) = ±5Fp + i,1п(2(5^ - 5вр)). (80)

Как видно из (80), действительная и мнимая части комплексной величины рр (ф0р ± 0), имеющей нулевой модуль в точке ф0 = ф0р, при переходе через эту точку меняют знак, а это означает, что меняют знак действительная и мнимая части правой стороны уравнения (74). На основании этого можно сделать вывод, что при переходе через точку ф0 = ф0р угол А испытывает скачок величиной

180°.

Аналогичным образом, с тем же результатом рассматриваются и углы полной поляризации ,-типа ф0, , но надо иметь в виду, что в данном случае при ф0 ^ ф^ модуль правой части уравнения

(74) стремится к бесконечности, т. е. tg и, следовательно, V ^ 90° .

Точно так же можно рассмотреть и процесс перехода от одного вида ступеньки для А к другому. При этом надо учитывать особенности общего подхода к этому вопросу, описанного в работе [1], но сама математическая процедура, в принципе, остается такой же, как и приведенная выше. Важно, что в этом случае рассматриваются углы падения ф( > ф0р(8) , т. е. величина ^р(3) (ф( ) ф 0. Результатом такого рассмотрения является также установление значений А слева и справа от угла ф0р(,) .

В следующей работе, посвященной обратной задаче эллипсометрии для поглощающих отражающих систем, мы подробно рассмотрим связанные с углами полной поляризации дополнительные особенности в поведении поляризационных углов V и А, обусловленные наличием поглощения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2005. Т. 15, № 3. С. 63-76.

2. Семененко А.И., Семененко И.А. // Научное приборостроение. 2006. Т. 16, № 1. С. 35-46.

3. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1970. 855 с.

Институт прикладной физики НАН Украины, г. Сумы (Семененко А.И.)

Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург (Семененко И.А.)

Материал поступил в редакцию 28.03.2006.

ON THE NEW POTENTIALS OF ELLIPSOMETRY ARISING FROM THE NULL OPTICAL CIRCUIT.

ELLIPSOMETRY OF REAL SURFACE STRUCTURES.

5. POLARIZATION ANGLES IN ELLIPSOMETRY OF ABSORBING MEDIA

A. I. Semenenko, I. A. Semenenko*

Institute of Applied Physics NAS, Ukraine, Sumy Institute for Analytical Instrumentation RAS, Saint-Petersburg

A general approach to study the totality of polarization angles for single-layer absorbing systems is developed. This approach is easily extendable to multilayer media. It is demonstrated that the main features in the behavior of Y and A polarization angles which show up in the angles of polarization and during transition from one A step type to another remain also in the case of absorbing media.