CC BY
45
30
Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. Серия: Социальные науки, 2015, № 2 (38), с. 30-34
УДК 330.42;519.865.5
О НОВЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ
© 2015 г. А.И. Рузанов, П.А. Рузанов
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского [email protected]
Поступила в редакцию 05.05.2015
Анализируются подходы и методы моделирования поведения социально-экономических систем в условиях воздействия различного рода шоков. В связи с этим необходима адаптация и модификация ранее применяемого инструментария с целью более адекватного описания экономических процессов. В качестве методов и подходов, более точно отражающих специфику экономических отношений и широко применяемых в настоящее время, отмечаются вычислимые модели общего равновесия, системный анализ экономики, агентоори-ентированное моделирование. Значительное внимание в статье уделяется развитию и обобщению метода производственных функций. Оно заключается в использовании инвестиционных производственных функций, функций комплексных переменных и конструировании композитных производственных функций. Основными результатами, представленными в статье, являются описание новых подходов в экономических исследованиях с использованием производственных функций, анализ достоинств, недостатков этих подходов.
Ключевые слова: шоки предложения, шоки спроса, метод производственных функций, инвестиционные, композитные производственные функции, моделирование производственных издержек.
В настоящее время в экономике России имеют место колебания и даже устойчивый спад некоторых важных экономических показателей, таких как объемы производства, уровень деловой активности, занятость, доходы. Основными причинами такого положения являются воздействия на экономику различного рода шо-ков, приводящих к определенным сломам экономических отношений, к изменению правил экономического поведения. В первую очередь следует отметить шоки предложения, в состав которых входят необходимость диверсификации экономики, технологических изменений, падение мировых цен на сырьё. Разновидностью шоков предложения являются финансовые шоки, возникшие в результате запоздалой, а зачастую не совсем верной денежной и кредитной политики финансовых и производственных корпораций.
Определенную роль сыграли политические шоки, которые появились в результате макроэкономических решений, принятых в последнее время властями РФ. Сюда же, по-видимому, можно отнести разного рода санкции. Серьёзное влияние на показатели экономической динамики оказали шоки спроса частного сектора, выразившиеся в изменениях его инвестиционных и потребительских расходов.
Такое положение дел ставит перед экономико-математическим моделированием задачу
разработки и использования новых инструментов исследования социально-экономических объектов и явлений. Необходима адаптация и модификация ранее применяемого инструментария с целью более адекватного моделирования и прогнозирования экономических процессов. За последние годы сформировалось и получило распространение новое направление: вычислимые и стохастические модели общего равновесия, которые основываются на экономическом поведении агентов, учитывают взаимодействия агентов между собой и обладают элементами вычислимых моделей общего равновесия и эконометрических моделей [1, 2]. Одним из основных в данных моделях является понятие экономического агента - экономической структуры, выполняющей определенную функцию в процессах производства, обращения, потребления (производитель, потребитель, торговец, банк, регулирующие органы, правительства, торговые союзы). Корректное представление агента достигается методами агрегирования исходных макроэкономических описаний. Производственные возможности агентов-производителей, как правило, задаются с помощью производственных функций (ПФ). Изменение состояния экономических агентов описывается уравнениями материальных и финансовых балансов, они и определяют структуру связей между агентами.
Во многом похожий инструментарий, позволяющий моделировать экономические процессы, разрабатывается в Отделе математического моделирования экономических систем ВЦ РАН. Он назван как «Системный анализ развивающейся экономики» [3], предметом исследований являются национальная экономика, экономика региона и др.
В вычислимых моделях общего равновесия экономика представлена детальнее, подробнее дана отраслевая структура производства или учитывается разделение экономики на регионы, но в них экономические агенты - это «черные ящики», а взаимодействия агентов представлены стандартной моделью конкурентного равновесия. В моделях системного анализа развивающейся экономики достаточно много внимания уделяется теоретическим исследованиям, для того чтобы на основе результатов математической экономики, экономической теории строить модели, более точно отражающие специфику экономических отношений.
Значительные успехи как в популяризации, так и в развитии достигнуты в агентоориенти-рованном моделировании [4, 5]. Систему называют агентоориентированной, если в ней имеется достаточно большое множество взаимодействующих агентов. В качестве агентов здесь могут быть вирусы, животные, роботы, люди, автомобили, инфраструктура, города, страны, совокупности однотипных объектов, а не только некие усредненные и обобщенные экономические сущности. Это позволяет использовать агенто-ориентированное моделирование как на микроуровне, так и на макроуровне. Агентное моделирование дополняет традиционные аналитические методы, а также ограниченно включает в себя некоторые подходы математического моделирования, поскольку последние могут применяться «внутри» агентной модели при формализации ее отдельных объектов или моделей. К настоящему времени по названным направлениям насчитываются сотни публикаций. Каждое направление может быть предметом самостоятельных исследований, поэтому в рамках настоящей статьи ограничимся вышесказанным.
Далее рассмотрим математико-статисти-ческие модели, к которым можно отнести эко-нометрические модели и метод производственных функций. Эти подходы могут использоваться и в условиях воздействия различного рода шоков, поскольку они базируются, как правило, на реальных статистических данных. Следует отметить, что прогнозная сила, особенно эконометрических моделей, в таких условиях несколько понижается.
Производственные функции являются моделями экономических объектов разного масштаба: предприятий (фирм), отраслей, региональных и национальных экономик. Наряду с функциями полезности, ПФ представляют собой принципиально новые инструменты математического моделирования объектов, не встречающихся в природе и технических системах [6]. Метод ПФ относится к «высоким технологиям» количественного анализа, он широко применялся в СССР в исследовательских работах и планировании на союзном, региональном и отраслевом уровнях [7]. Метод продолжал развиваться и в новых российских условиях, отличающихся деиндустриализацией и переходом на торгово-сырьевую экономику [8-11]. Следует отметить, что ПФ используются и в разработке понятийного аппарата инновационных технологий, в частности для уточнения определения инновационных технологий, показателей оценки их эффективности.
При построении и практическом использовании ПФ возникли определенные трудности, характерные для современных российских условий. Одним из факторов, учитываемым в наиболее часто используемых ПФ, является стоимость основных и оборотных средств, которую называют капиталом. В качестве другого фактора традиционно рассматривают труд, возможны также такие факторы, как промежуточное потребление, сырьевые ресурсы, энергия и т.д. Эконометрическая задача построения ПФ решается на основе наблюдений значений выпуска и производственных факторов за исследуемый период. Для российской экономики последнего времени характерна низкая загруженность основных фондов в большом числе несырьевых отраслей промышленности и сельского хозяйства. Более доступной характеристикой, связанной с капиталом и определяющей его динамику, являются инвестиции в основной и оборотный капитал. Инвестиции представляют собой, как правило, реально используемую в производстве часть капитала, а их динамика соответствует рыночной конъюнктуре. В связи с этим в современных условиях используют инвестиционные ПФ, отличающиеся от традиционных капитальных заменой фактора капитала на текущие инвестиции. Дополнительно формулируются уравнения динамики производственных фондов с учетом амортизации и лага (задержки освоения) инвестиций, что несколько усложняет задачу оценки параметров инвестиционной ПФ, но делает ее более адекватной проблеме моделирования производства и позволяет оценить реально используемый капитал [9].
Определенное развитие получают экономико-математические методы, использующие теорию функций комплексных переменных. Этот математический аппарат уникален и успешно применяется во многих областях науки и техники. В экономике он использовался редко - в основном комплексные переменные вводятся в тех случаях, когда возникает необходимость вычисления корней характеристических уравнений или в экономической динамике (преобразования Лорана). В последнее время этот аппарат стал использоваться и в моделировании производственных функций [11].
ПФ представляется в виде зависимости комплексного производственного результата от комплексной переменной производственных факторов:
G + iC = F(K + iL). (1)
Для степенной ПФ с действительными коэффициентами a и b зависимость (1) примет вид:
G + iC = a(K + iL)b, (2)
где G, C - некоторые выходные переменные, представленные действительными числами; K, L - входные переменные, характеризующие затраты производственных ресурсов; i — мнимая единица.
Для того чтобы использовать подобный математический аппарат при объединении двух экономических показателей в одну комплексную переменную, нужно, чтобы эти показатели были характеристиками одного процесса и имели одинаковые размерности. Эти условия выполняются, в частности, если затраты капитала и труда измерены в денежных единицах или приведены к безразмерным величинам (так называемая индексная форма ПФ). Исследования модели (2) показывают, что при росте K и уменьшении L действительная часть G увеличивается, а мнимая часть C уменьшается. В реальных экономических системах так ведут себя валовая прибыль и суммарные издержки производства.
Таким образом, с использованием степенной ПФ при изменении ресурсов K, L моделируется поведение сразу трех показателей производства: валовой прибыли G, суммарных издержек C, валового дохода G + C, т.е. исследователь получает более подробную информацию о сути процесса.
Наиболее известными и применяемыми в практике моделирования экономических процессов являются классы линейных ПФ, Кобба -Дугласа, ПФ Леонтьева, ПФ с постоянной эластичностью замещения факторов (CES), транслоговые ПФ. CES-класс и транслоговые производственные функции можно рассматри-
вать как включающие в себя более простые классы, получаемые предельными переходами в пространстве параметров. Предлагаются и исследуются обобщения упомянутых ПФ, в том числе ПФ с линейной эластичностью замещения факторов, с переменной эластичностью замещения факторов, трансцендентальные [6, 10, 12].
Все эти классы предполагают фиксированное аналитическое представление ПФ в пространстве значений факторов. Кроме того, предположение постоянства параметров ПФ не всегда сочетается с изменчивостью исследуемой связи результирующего показателя производственной деятельности экономических объектов с динамичной совокупностью производственных факторов. Возможности достаточно точно моделировать такую связь с помощью ПФ из выбранного класса ограничены, что особенно может проявиться при прогнозировании. Такие возможности расширяются, если рассматривать композитные ПФ, получаемые комбинированием производственных функций из базовых классов, с предположением о применении нескольких технологий, между которыми распределяются основные производственные ресурсы [12].
Композитная ПФ определяется как максимум выпуска при использовании ряда технологий, между которыми распределяются некоторые объемы ресурсов. Для этого необходимо решить следующую оптимизационную задачу:
max
xgB
m i \
S Fj lXj1, Xj 2, ••• Xjn ),
(3)
j=1
где у — номер базовой технологии (у = 1,...т), характеризуемой ПФ ¥ у (ху1, ху- 2,... хуп ); г - номер производственного ресурса (г = 1, ...п);Я = Яг -заданный набор используемых ресурсов; B(R) -множество неотрицательных распределений ресурсов между технологиями, заданное в виде:
B(R) : Sxji = R,, i = 1,2,... n; xjt > 0.
(4)
j=i
Множество B(R) представляет собой многогранник в ^х^-мерном пространстве, определяемом набором ресурсов R.
Решением задачи (3), (4) будет являться набор функций = gji(Я1,Я2,...Яп) от объема
ресурсов и композитная производственная функция:
т , , /(Я) = тах£¥у (ху1, ху2, • • • хп) " У=1
т
¥ (g]l(Я),... g]n (Я)).
У=1
Задача решается с использованием метода множителей Лагранжа. Решение задачи при любых заданных базовых ПФ, как правило, не представляется в виде простых функций от ресурсов, а может быть получено только численными методами.
В приложениях могут быть полезны частные случаи композитных ПФ, в которых решение находится в явном виде. В этих случаях композитные ПФ получаются в виде непрерывных сплайнов, образуемых частями изоквант базовых ПФ и линейных ПФ, порождаемых в композиционных режимах распределениями ресурсов [12]. Конструкция композитной ПФ может рассматриваться как частный и достаточно простой пример генерирования неявных ПФ в экономических моделях. Такой подход дает исследователю новые возможности, позволяющие преодолевать ограниченность гипотез постоянства формы и значений параметров, используемых базовых ПФ, поскольку в Г(Я) может реализоваться механизм приспособления производственной системы к внешним условиям функционирования.
Потенциал метода ПФ не ограничивается их явным анализом. Эти функции используются как субмодели в более сложных структурных моделях рыночного поведения фирм, предприятий, отраслей и стран. Стационарные ПФ применяются в моделях максимизации прибыли и минимизации издержек. В результате решения этих задач можно определить функции факторного спроса и предложения на рынке производственных факторов, а также функции прибылей и издержек. Эти функции являются неявными характеристиками производственных функций, они могут оцениваться независимо и использоваться для отбора наиболее подходящих ПФ.
В настоящее время на самом высоком уровне признано необходимостью изменение на инновационной основе структуры производства и переход от существующей экономики к современной - диверсифицированной. Следует отметить, что связанные с этим модернизация и инновации должны сокращать издержки и повышать качество: именно тут скрыт определенный источник их финансирования. Для обоснования этого достаточно проанализировать некоторые итоги развития наиболее инновационных отраслей по всему миру. За последние 10 лет стоимость компьютера в расчете на единицу памяти жесткого диска сократилась более чем в 40 раз, передача данных через Интернет подешевела почти в 30 раз, став практически бесплатной, а цена услуг мобильных операторов упала более чем в 6 раз. В этой связи актуаль-
ной является задача математического моделирования издержек производства. Данной проблеме в экономико-математической литературе уделяется недостаточно внимания. Будучи базой цены и основой для расчета прибыли и рентабельности, себестоимость продукции выступает в качестве определяющего показателя эффективности производства. Величина себестоимости продукции есть функция множества регулируемых и случайных факторов.
В зарубежной литературе под функциями издержек подразумеваются модели, описывающие соотношение между уровнем издержек на производство какого-либо одного продукта или массы продуктов и произведенным количеством этого продукта. Такая трактовка предполагает использование лишь однофакторных моделей вида:
7 = / (х),
где у — величина издержек производства, х — объем производства.
Более общий подход подразумевает под функциями издержек многофакторные модели вида:
X = И(У, А),
где У - вектор объемов выпуска продукции, X - вектор затрат производственных ресурсов, А - вектор параметров функции производственных затрат.
Выбор математической формы конкретной функции издержек представляет достаточно сложную проблему. При описании зависимости величины себестоимости продукции от уровня концентрации масштабов производства, степени его специализации или интенсификации производства эмпирически наиболее обоснованы зависимости вида:
Ь а2 ах + Ь
у = а + -, 7 = —, 7 =-—.
х 2х а2 х + Ь2
Подобные модели описывают тенденцию постепенного снижения уровня себестоимости в расчете на единицу продукции в случае увеличения масштабов производства при условии, что это увеличение идет не только экстенсивным путем. В некоторых случаях возможно временное увеличение издержек производства при увеличении его масштаба. В этом случае могут быть использованы показательные и степенные функции:
2
у = ае^ , у = ахЬесх .
Функции такого вида позволяют обнаружить точку перегиба, то есть отразить моменты, когда издержки производства возрастали с ростом
масштабов производства и до каких пределов. Такие формы зависимости следует использовать в том случае, когда от вложенных затрат или от реорганизации производства нельзя ожидать очень быстрого эффекта, но который непременно будет по истечении определенного времени.
Отметим в заключение, что методом ПФ могут исследоваться сложные и очень сложные производственные объекты как «черные ящики». Понятие «черный ящик» широко используется в кибернетике при исследовании процессов управления сложными системами. При этом сложными или очень сложными системами считаются объекты, детальная структура которых чрезмерно сложна или неизвестна исследователю [6, 13-15]. В этом случае предполагается, что задачи исследования могут быть решены на основе анализа не самой системы, а некоторой ее модели, т.е. упрощенного информационного или математического представления. Такие системы в ряде случаев изучаются как «ящики» с недостаточно известным внутренним содержанием, для которых можно наблюдать или задавать разные варианты входных управляющих характеристик и наблюдать выходные результаты.
Список литературы
1. Макаров В.Л., Афанасьев А.А., Лосев А.А. Вычислимая имитационная модель денежного обращения российской экономики // Экономика и математические методы. 2011. Т. 47. № 1. С. 3-27.
2. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р., Сулакшин С.С. Применение вычислимых моделей в государственном управлении. М.: Научный эксперимент, 2007.
3. Петров А.А., Поспелов И.Г. Математические модели экономики России // Вестник РАН, 2009. Т. 79. № 62. С. 492-506.
4. Бахтизин А.Р. Агент-ориентированные модели экономики. М.: Экономика, 2008.
5. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р. Новый инструментарий в общественных науках - агент-ориентированные модели: общее описание и конкретные примеры // Экономика и управление. 2009. № 12. С.13-25.
6. Горбунов В.К. О размерностной проблеме в экономике: производственная функция как псевдочерный ящик // Журнал экономической теории. 2014. № 1. С. 199-212.
7. Клейнер Г.Б. Производственные функции. Теория, методы, применение. М.: Финансы и статистика, 1986.
8. Бессонов В.А. Проблемы построения производственных функций в российской переходной экономике // Бессонов В.А., Цухло С.В. Анализ динамики российской переходной экономики. М.: Институт экономики переходного периода, 2002. С. 5-89.
9. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение производственных функций по данным об инвестициях// Экономика и математические методы. 2012. Т. 48. № 2. С. 95-107.
10. Рузанов А.И. Производственные функции и их использование для описания закономерностей производства // Вестник ННГУ им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 5 (1). С. 212-217.
11. Светуньков И.С., Светуньков С.Г. Степенные производственные функции комплексных переменных // Экономика и математические методы. 2012. Т. 48. № 1. С. 67-79.
12. Ершов Э.Б. Композитные производственные функции // Экономический журнал ВШЭ. 2013. Т. 16. № 1. С. 108-129.
13. Бир С. Кибернетика и менеджмент. М.: Ком-Книга, 2011.
14. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. Словарь современной экономической науки. М.: Дело, 2003.
15. Рузанов А.И., Рузанов П.А. Компьютерное моделирование поведения сложных экономических систем // Вестник ННГУ им.Н.И.Лобачевского. Серия: Социальные науки. 2014. № 4 (36). С. 69-75.
SOME NEW OPPORTUNITIES FOR ECONOMIC MATHEMATICAL MODELLING WITH THE USE OF PRODUCTION FUNCTIONS
A.I. Ruzanov, P.A Ruzanov
Lobachevsky State University of Nizhni Novgorod
The aim of the article is to analyze the approaches and methods for modeling the behavior of socio-economic systems under the impact of various types of shocks. In this connection, it is necessary to adapt and modify some previously used instruments in order to more adequately describe the economic processes. We state that the methods and approaches which more accurately reflect the specifics of economic relations and are widely used at the present time include computable general equilibrium models, a systematic analysis of the economy, and agent - based modeling. Considerable attention is given to the development and generalization of the method of production functions, which involves the use of investment business functions, functions of complex variables and the design of composite production functions. The main results presented in the article include descriptions of the new approaches to economic research with the use of production functions. An analysis of strengths and weaknesses of these approaches is given.
Keywords: supply shocks, demand shocks, method of production functions, investment, composite production functions, modeling of production costs.
