CC BY
10
УДК 519.865.3
Н. П. Пильник1'2'3, С. А. Радионов1'2'3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» 2Вычислительный центр им. А. А. Дородницына ФИЦ ИУ РАН
3Центр перспективного финансового планирования, макроэкономического анализа
и статистики финансов НИФИ
О новых подходах к идентификации блоков моделей
общего равновесия
В работе на примере модели банковской системы Российской Федерации представлена технология идентификации параметров на статистических данных отдельных блоков моделей общего равновесия. Данная технология включает переход от непрерывной временной шкалы к дискретной, смягчение условий дополняющей нежесткости, численное разрешение части уравнений системы, подбор параметров модели за счет минимизации функционала специального типа. В основе модели лежит задача макроэкономического агента «банк», который моделируется в соответствии с принципами агрегированного описания, принципа оптимальности и полного предвидения. На данной модели опробован метод многошагового прогноза, который, насколько нам известно, ранее встречался только в эконометрических моделях. После идентификации представленная модель успешно воспроизводит ключевые показатели деятельности банковской системы, такие как суммарные кредиты, депозиты, расчетные счета и т.д. Кроме того, в модели наблюдается магистральный эффект.
Ключевые слова: общее равновесие, банковская система, оптимальное управление, идентификация, магистральный эффект.
N.P. Pilnik1'2'3, S.A. Radionov1'2'3
1National Research University Higher School of Economics 2Dorodnicyn Computing Centre, FRC CSC RAS 3Financial Research Institute of the Ministry of Finance of the Russian Federation
On new approaches to the identification of blocks of general equilibrium models
The technology of parameters identification in separate blocks of general equilibrium models using statistical data is presented on an example of the model of the Russian banking system. This technology includes the transition from a continuous time scale to a discrete one, relaxation of complementary slackness conditions, the numeric solution of some equations of the system, parameter selection based on the minimization of some special function. The model is based on the problem of a macroeconomic agent «bank»which is modeled according to the principles of aggregated description, optimality and perfect foresight. The method of multistep forecasting is used for this model, which, as far as we know, is earlier used only for econometric models. After identification, the presented model successfully reproduces main indicators of the banking system, such as total loans, deposits, settlement accounts etc. Moreover, the model exhibits a turnpike property.
Key words: general equilibrium, banking system, optimal control, identification, turnpike property.
© Пильник Н.П., Радионов С. А., 2017
© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017
1. Введение
Данная работа продолжает исследования, представленные в [2,3,6], посвященные моделированию банковской системы Российской Федерации, обзор состояния которой можно найти в [1, 5]. Мы строим и исследуем новое описание макроэкономического агрегата «банк», который решает оптимизационную задачу максимизации полезности от выплачиваемых дивидендов на конечном временном интервале в условиях полного предвидения. Далее на примере описанной модели банковской системы продемонстрирована более общая технология идентификации параметров на статистических данных отдельных блоков моделей общего равновесия.
Данная технология включает переход от непрерывной временной шкалы к дискретной, смягчение условий дополняющей нежесткости, численное разрешение части уравнений системы, подбор параметров модели за счет минимизации функционала специального типа.
В работе используются статистические данные о деятельности российской банковской системы, основанные на публикуемых Банком России данных оборотной ведомости по счетам бухгалтерского учёта (101-й форме) и отчёте о финансовых результатах (102-й форме). Значения модельных рядов формируются из данных, представленных в этих формах, в соответствии с принципами, изложенными в [2,6].
Рассматриваемая задача банка, постановка которой описана в разделе 2, содержит следующие основные ряды переменных: суммарные кредиты и депозиты в банковской системе, а также обороты по ним, и расчетные счета. Возникающие в модели оптимизационные задачи решались методом двойственных переменных Лагранжа, что заставило решать вопрос о выборе способа смягчения условий дополняющей нежесткости, см. [3]. Подробнее данные вопросы изложены в разделе 3.
Также в процессе исследования был поставлен вопрос о выборе наиболее адекватного критерия подгонки статистических данных. За основу был выбран стандартный критерий минимизации суммы квадратов взвешенных отклонений, но в силу значительной неоднородности статистических рядов возник вопрос о выборе наиболее адекватного набора взвешивающих коэффициентов. Впрочем, в процессе исследования было показано, что при всех разумных значениях взвешивающих коэффициентов результаты получаются примерно одинаковыми. Кроме того, был предложен альтернативный критерий подгонки, основанный на идее о том, что главным желаемым свойством модели является высокое качество строимых с ее помощью прогнозов на заданное количество периодов. В соответствии с этим решалась задача минимизации взвешенных сумм квадратов ошибок прогнозов на заданное количество периодов, вычисляемых для каждого рассматриваемого момента времени. Аналогичный подход, насколько нам известно, ранее использовался только в эко-нометрических моделях в рамках концепции multistep forecasting, см., например, [9].
С использованием метода Монте-Карло были найдены параметры модели, минимизирующие вышеописанные функционалы ошибок. Для найденных параметров был проведен ряд тестов. В частности, проверялась устойчивость к малым возмущениям, точность out-of-sample прогнозов, чувствительность к изменениям экзогенных переменных. Кроме того, было показано, что в моделях наблюдается магистральный эффект. Все описанные выводы поясняются в разделе 4.
2. Постановка задачи банка
Далее мы будем рассматривать модель всей банковской системы. В результате исследования этого описания мы сведем его к обычной динамической модели, определяющей спрос банковской системы на депозиты и предложение ею кредитов в зависимости от текущего состояния, а также от складывающихся на рынке процентов и других внешних факторов.
Рассмотрим банк, который к моменту t привлек депозиты S(t) и выдал ссуды L(t). Средние сроки, на которые привлекаются депозиты и выдаются кредиты (дюрации), обозначим соответственно через 1/f3s(t) и 1/fj[(t). Сами переменные Ps(t) и fj[(t) далее мы
будем называть обратными дюрациями и трактовать как средние частоты возвратов депозитов и кредитов соответственно. Тогда процесс изменения кредитов и депозитов (остатков) описывается уравнениями
С С
-Щ) = к (г) - вг (г)Щ, ]Б (г) = V (г) - №Б(г), (1)
где
к (г ) ^ о, V (г) ^ о (2)
— потоки вновь выданных кредитов и вновь привлеченных вкладов. Считаем, что по выданным кредитам банк получает процентные платежи п(г) Ь(г), где п (г) — эффективная ставка процента по кредитам, а за привлеченные средства банк платит проценты т3(г) Б (г), где т3(г) — эффективная ставка процента по депозитам.
Кроме депозитов Б (г) банк привлекает еще средства в виде беспроцентных остатков расчетных счетов N (г). Для величины этих остатков нет регулирующей величины типа процента и банк должен просто ориентироваться на предложение со стороны клиентов. Поэтому эту величину считаем заданной экзогенно:
N (г) = ып(г), (3)
где Nn(t) — известное банку предложение остатков расчетных счетов.
Ликвидные активы банка
А(г) > о (4)
увеличиваются при получении процентов п(г) вкладов V(г), приращении остатков
N (г) и возврате ссуд /Зг(£)Ь(£), а уменьшаются при выдаче кредитов К (г), выплате процентов т3(г) Б (г), возврате депозитов /33(г)Б (г), а также за счет средств Z (г), выводимых из круга собственно банковской деятельности и прочих расходов банка, которые в модели учитываются через экзогенную переменную ОС0(г), которые непосредственно в модели не моделируются, но позволяют далее сопоставить модельные соотношения и статистические данные:
сс
-А(г) = п(г) ь(г) + ШЩ - к (г) - т3(г) Б (г) - в8 (г) Б (г) + ^ (г) - z (г) - ос0(г). (5)
Поток Z(г) включает прежде всего дивиденды собственникам. Эти потоки не связаны напрямую с активами и пассивами банка, и мы попытаемся построить модель, не вдаваясь в подробное описание структуры потока Z(г). Мы будем трактовать этот поток как извлекаемую из банковской деятельности прибыль, которую банк стремится максимизировать.
Вышеприведенные соотношения представляют собой ограничения, наложенные в рамках модели на возможности банка выбирать значения своих планируемых переменных (управлений):
Б (г),ь(г),А(г),к(г)^(г)^(г). (6)
Согласно принципу рациональных ожиданий, лежащему в основе моделей межвременного равновесия, при планировании своих управляющих переменных банк может рассчитывать на точный прогноз информационных переменных:
п (г),п (г), Ш, т,^(г),оСо(г). (7)
В результате выбор планируемых переменных банком фактически задает предложение им кредитов, а также его спрос на привлеченные и ликвидные средства как функцию от текущих и будущих значений информационных переменных (в первую очередь процентов).
Банк максимизирует ожидаемую дисконтированную полезность дивидендов Z(г) с учетом заданного дефлятора р(г):
т
Т I /7и\\!-в
У 1 - в\р(г);
ш
(Щ^т) е-нссг - тж, в> 0
по переменным (6) при ограничениях (1) — (5) на некотором интервале [¿0,Т], заданных в начальный момент значениях фазовых переменных 5(¿0), Ь(Ь0), А(Ш) и заданных траекториях изменения экзогенных величин (7).
Для разрешимости задачи ограничения надо дополнить терминальными условиями, которые, как показано в [7], естественно задавать как условия роста некоторой линейной формы фазовых переменных:
(Ь(Щ - 5(¿0) + А(Ш)) е^т< Ь(Т) - 5(Т) + А(Т), (9)
коэффициенты которой уточняются в процессе решения задачи.
3. Решение задачи банка и преобразование итоговой системы
3.1. Решение задачи банка в непрерывном времени
Задача (6) при ограничениях (1) — (5), (9) относится к весьма трудному классу задач оптимального управления. Это линейная неавтономная задача со смешанными ограничениями. Класс задач, подобных (1) — (9), как с формальной, так и с содержательной точки зрения был изучен в [4,8]. В распоряжении авторов имеется также оригинальная система ЭКОМОД [4], которая частично автоматизирует аналитическое исследование задачи.
В результате, из (1) — (9) была выведена сравнительно простая и правдоподобная модель поведения банковской системы. Подробно ее вывод описан, например, в [3]. Здесь же лишь коротко опишем основные этапы исследования и преобразования задачи.
Каждому из ограничений (1) — (5), (9) ставится в соответствие двойственная переменная (неотрицательная — к неравенству и произвольного знака — к равенству), составляется функционал Лагранжа и выписываются условия его седловой точки, которые представляют собой систему достаточных условий оптимальности. Эти условия распадаются на 4 группы:
1. исходные дифференциальные уравнения (1), (5), начальные условия для которых считаются заданными;
2. сопряженные дифференциальные уравнения для переменных, двойственных к (1), (5);
3. условия трансверсальности, которые определяют терминальные условия для сопряженных дифференциальных уравнений;
4. условия дополняющей нежесткости для неравенств (2), (4). Например, для первого неравенства в (2) они имеют вид
К(¿) ^ 0, Ф2(4) ^ 0, Ф2{Ь)К(¿) = 0. (10)
3.2. Переход к дискретной системе
Следует отметить, что если в предыдущем разделе мы использовали вполне стандартные методы, предназначенные для решения задач такого рода, то дальнейшие шаги будут во многом специфичными и разработанными специально для перехода от привычных задач в непрерывном времени к пригодным для сопоставления со статистическими данными задачам в дискретном времени.
Основной трудностью использования уравнений в непрерывном времени при работе со статистическими данными является наличие в этих уравнениях производных прямых и двойственных переменных по времени. В рамках нашего подхода мы заменяем такие производные приращениями. Причем, для прямых переменных используется запаздывающие приращения, а для двойственных переменных - опережающие приращения. Это же
приводит к необходимости рассматривать часть прямых переменных не в текущий, а в предыдущий момент времени. Так, например, будем считать, что
d d
-L(t) = L(t) - L(t - 1), -Ф2(г) = Ф2(г + 1) - Ф2(г).
Отдельного обсуждения требуют условия дополняющей нежесткости типа (10). По сути, они представляют собой вырожденные функциональные зависимости, график которых очерчивает границы первой четверти, а, следовательно, оптимальные решения нашей системы будут «прыгать по углам». С экономической точки зрения УДН описывают бесконечно эластичные функции спроса или предложения агента. Но с точки зрения последующей калибровки модели эти соотношения представляют собой существенную трудность, на порядок увеличивая неустойчивость оценок коэффициентов и, как следствие, построенных по модели прогнозов.
Тем не менее с помощью вполне естественных предположений о чередовании режимов, определяемых способом разрешения условием дополняющей нежесткости, оказывается возможным перейти к более регулярным и удобным с точки зрения калибровки модели соотношениям. В случае приведенного выше примера (10) в систему будет добавлено соотношение
ßi (Kit - ^ = a2 - Ь2 (-Р (t) - Ш + ri (t)) ф2 (t). (11)
В соотношении (11) одна из переменных, K (t), используется как зависимая переменная, вторая, Ф2 (t),— как независимая. При этом обе переменные специальным образом нормируются. Зависимая переменная K (t), представляющая собой объем вновь выданных кредитов, нормируется на ßi (t) L (t - 1), то есть объем возвращенных кредитов — переменная, которая растет схожими темпами с K (t). Независимая переменная также нормируется Ф2 (t) на некоторое выражение, полученное после преобразования уравнений на двойственные переменные, в результате чего в (11) появляется скобка (-р (t) - ш + ri (t)). Далее две полученные нормированные переменные связываются линейным соотношением, определяемым коэффициентами a2, Ь2. В данной постановке ш — специальный параметр, обеспечивающий совместность смягченных условий дополняющей нежесткости. Необходимо отметить, что описанные приемы нормировки и линеаризации условий дополняющей нежесткости не произвольны, а являются результатами аналитических преобразований, возможными в рамках идеи о частой смене режимов внутри наблюдаемых временных интервалов.
Предварительный анализ данных показал, что в части рядов присутствует явная сезонная компонента. Такими переменными являются S(t), V(t), демонстрирующие явные пики в конце каждого года. В рамках нашего подхода мы не проводим предварительную корректировку такой сезонности, а вместо этого, где это необходимо, вводим поправку на специальную фиктивную переменную Dum (t), принимающую единичные значения каждый декабрь и равную нулю во всех остальных точках.
После всех описанных преобразований мы переходим к следующей системе:
L (t) - L (t - 1) = K (t) - ßi (t) L (t - 1),
S (t) - S (t - 1) = V (t) - ßs (t) S (t - 1),
0 = -K (t) + ßi (t) L (t - 1) + ri (t) L (t - 1) + V (t) - ßs (t) S (t - 1) - rs (t) S (t - 1) + + Nn (t) - Nn (t - 1) - OCo (t) - Z (t),
K (t) = (a2 - Ф2 (t) Ь2 (-ш - р (t) + ri (t))) ßi (t) L (t - 1), V (t) = (a1 - Ф4 (t) Ь1 (-ш + р (t) - rs (t))) ßs (t) S (t - 1)+(c1Dum (t) + c2Dum (t - 1)) S (t - 1)
-Ф4 (t + 1) - ш + р (t) - rs (t)
Ф6 (t) =
-1 - р (t) - ßs (t) ,
-Ф2 (t + 1) - и - р (t) + ri (t) -1 - р (t) - Pi (t), Ф6(Т + 1) = 0, Ф2(Т + 1) = 0.
4. Калибровка задачи банка
Стандартным методом решения такого рода задач является подстановка выражений для K(t),V(t),L(t),S(t) в финансовый баланс (5), который в результате сведется к уравнению на p(t). Далее найденное из этого уравнения значение p(t) позволяет при заданных параметрах найти значения всех прямых и двойственных переменных. Такой подход, однако, не лишен недостатков. Во-первых, в более сложных вариантах модели p(t) получается неединственным, откуда возникает нетривиальный вопрос о том, какое значение следует выбирать. Во-вторых, траектория получается сильно неустойчивой и может радикально меняться при малой вариации параметров. В связи с этим был предложен альтернативный подход, основанный на идее о том, что финансовый баланс может сводиться с некоторой погрешностью, аналогично расхождениям между модельными и статистическими значениями эндогенных переменных. Тогда весь набор р = (р(0),..., р(Т)) включается в набор калибруемых параметров, но при этом в функционал должно быть добавлено соответствующее слагаемое, характеризующее ошибку в финансовом балансе. Таким образом, задача калибровки модели сводится к минимизации функционала ошибок по векторам x и р, где
x = (a1, a2, b1, b2, c1, c2, и). В качестве функционала ошибок использовалось следующее выражение:
т
Err =
t=0
Здесь переменные без индекса — результаты модельных расчетов, с индексом «st» — статистические данные. Таким образом, мы одинаково штрафуем расхождения в переменных K(t),V(t),L(t),S(t), а ошибку в финансовом балансе штрафуем в сто раз сильнее. Рассматривались и другие наборы весовых коэффициентов, но, как выяснилось, разумные их значения приводят к похожим результатам.
Модель калибруется на временном промежутке с января 2009 г. по декабрь 2015 г. Для калибровки различных вариантов модели банковской системы России использовался компьютерный пакет MATLAB. Поскольку в описываемой версии модели параметры могут принимать любые значения, рассматриваемая задача есть задача безусловной оптимизации. Она решалась с помощью команды lsqnonlin. Поиск параметров модели осуществлялся методом Монте-Карло - компоненты начальной точки предполагались распределенными равномерно в отрезках, взятых из априорных соображений об их порядке, после чего начальная точка передавалась команде lsqnonlin. После большого числа итераций метода Монте-Карло формировался набор точек, обеспечивающих достаточно высокое качество воспроизведения статистики. Далее проверялось соответствие этих точек априорным представлениям о порядке параметров, способность порождать правильные ответы модели на изменение экзогенных переменных и ряд других свойств. В результате был выбран следующий вектор параметров:
x = (1.009549, 1.038949, 217.518, 172.695 ,0.010993, 0.014607, 0.009375).
Вектор р мы не приводим для экономии места. Далее мы продемонстрируем работу модели при данной калибровке. Качество подгонки статистики проиллюстрировано на рис. 1. Сплошная линия — статистические данные, точки — модельные расчеты.
Ф2 (t) =
100
N(t) - Nst(t) Nst(t)
2
+
и e{K,y,L,s]
U (t) - Ust (t)
Ust(t)
mm.
x,p
2
Рис. 1. Точность калибровки основных переменных модели
Ответ модели на изменение экзогенных параметров показан на рис. 2. Рассматривается поведение модели при росте величины обратной дюрации ^(Ь) на 0.02 начиная с 40-го периода и во все последующие. Вектор х берется тот же, который был найден при калибровке, вектор р пересчитывается в соответствии с новыми экзогенными рядами.
Рис. 2. Проявление магистрального эффекта в модели
На графике сплошная линия — модельный расчет К(¿) при старых значениях ^(Ь), пунктирная — при новых. Графики остальных показателей не приведены, поскольку их изменения невелики. Как видим, модель правильно реагирует на изменение экзогенных параметров — увеличение вь(Ь) ведет к росту К(¿). Действительно, если траектория кредитов не меняется, а частоты возвратов возрастают, то и объемы вновь выданных кредитов тоже должны расти.
Также примечательно, что данное свойство можно считать свидетельством наличия в модели магистрального эффекта. Изменение обратной дюрации в 40-й период даже в усло-
виях полного предвидения со стороны не приводит к сколько-нибудь существенному изменению траекторий прямых переменных до этого момента. Изменения других экзогенных параметров также приводят к разумным реакциям модели. Таким образом, модель подходит для описания динамики рассматриваемых финансовых агрегатов на данном временном промежутке. Однако уже при построении прогнозов на следующие периоды модель демонстрирует невысокую точность. По-видимому, это связано с тем, что в следующих периодах происходило резкое изменение курсов валют и соответственно резкое изменение структуры финансовых агрегатов, которое рассматриваемая модель воспроизвести не может. Поэтому для моделирования актуальных показателей банковской статистики необходима модель с разбивкой агрегатов на рублевую и валютную части.
Такая модель была построена и откалибрована на данных с января 2009 г. до марта 2016 г. При калибровке данной версии модели использовалась методология, которая ранее. насколько нам известно, использовалась только в эконометрических моделях. Для каждого периода г € 0,..., Т— 1 строится прогноз на фиксированное количество периодов. Параметры модели подбираются так, чтобы минимизировать суммарную ошибку всех прогнозов:
т-1
ЕЕ
4=0 7=1
ам
N (г, г + т) — ы8г(г + т) Nst (г + т)
+
+ ^ аи
и (г,г + т) — и8г(г + т) Мг + т)
^ шт.
х,р
Здесь и (г, г + т) есть значение прогноза, вычисленного из периода времени г для периода г + т .В отличие от предыдущей главы, мы вводим более сложный набор весов: ам = 10, аи = 1, и € [К, V, Ь,Б],аи = 4,и € [уК, уУ, уЬ, уБ] (префикс V означает валютную часть соответствующего финансового агрегата). Причина этого состоит в том, что, как показали симуляции, валютные величины ведут себя менее регулярно, чем рублевые, и соответственно для получения высокой точности модели ошибки в воспроизведении валютных величин должны штрафоваться сильнее.
Т аб л и ц а 1
Точность прогноза модели вне обучаемого интервала
2
2
Горизонт 1 2 3 4 5 6
0.6% 0.9% 0.9% 1.8% 1.4% 0.6%
Ь 1.3% 2.4% 3.2% 2.9% 2.5% 2.0%
К 3.7% 4.6% 4.5% 2.3% 1.9% 1.0%
V 2.0% 1.5% 1.0% 4.3% 0.5% 1.1%
юБ 1.0% 0.2% 0.3% 2.1% 1.7% 1.3%
юЬ 0.9% 4.1% 5.8% 6.6% 5.7% 5.2%
юК 1.0% 5.2% 7.8% 7.2% 7.0% 5.1%
vV 2.2% 1.1% 0.5% 4.8% 1.0% 0.9%
В качестве длины прогноза аналогично стандартным прикладным моделям взяты шесть месяцев или расстояние до конца периода калибровки: т(г) = шт{6, Т — г]. Как и в вышеописанной модели, мы допускаем ошибку в финансовом балансе. Снова с помощью метода Монте-Карло было получено некоторое количество наборов параметров модели, дающих приемлемую точность, которые затем были протестированы на устойчивость к малым возмущениям, на правильную реакцию модели на изменения экзогенных переменных и на наличие магистрального эффекта. Был найден набор параметров, обладающих всеми этими свойствами. Более того, при таком наборе параметров модель позволила получить приемлемое качество прогнозов, характеристики которого представлены в табл. 1. Можно видеть,
что модуль относительного отклонения модельного прогноза от факта для всех переменных, кроме имеющих отношение к валютным кредитам (ьК,ьЬ), составляет порядка 2%.
5. Заключение
В работе описаны технология идентификации модели банковской системы Российской Федерации. Рассмотрен процесс тестирования найденных наборов параметров. Показано, что найденные параметры обладают рядом важных свойств, делающих возможным прикладное использование этих моделей. Предложен метод калибровки моделей, предназначенных для построения прогнозов на заданное количество периодов.
Исследование выполнено при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00432).
Литература
1. Алексеев В.Н. Финансовая структура и ее элементы: концептуальный подход // Научно-исследовательский финансовый институт. Финансовый журнал. 2013. Т. 15, № 1. С. 25-32.
2. Андреев М.Ю., Пильник Н.П., Поспелов И.Г. Моделирование деятельности современной российской банковской системы // Экономический журнал ВШЭ. 2009. Т. 13, № 2. С. 143-171.
3. Андреев М.Ю., Пильник Н.П., Поспелов И.Г. Сильный магистральный эффект в модели рациональных ожиданий современной банковской системы России // Журнал Новой экономической ассоциации. 2009. Т. 1, № 2. С. 70-84.
4. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г., Поспелова И.И., Хохлов М.А. Технология моделирования экономики и модель современной экономики России. М.: МИФИ, 2007. 262 С.
5. Журавлева Т.Л., Леонов М.А. Банковская система России в последние годы: общий и региональный взгляд // Научно-исследовательский финансовый институт. Финансовый журнал. 2015. Т. 28, № 6. С. 47-58.
6. Малахов Д.И., Пильник Н.П., Радионов С.А. Стабильность распределения банков как аргумент в пользу концепции агрегированного агента // Экономический журнал Высшей школы экономики. 2015. Т. 19, № 4. С. 395-422.
7. Пильник Н.П., Поспелов И.Г. О естественных терминальных условиях в моделях межвременного равновесия // Экономический журнал ВШЭ. 2007. Т. 11, № 1. С. 1-33.
8. Петров А.А., Поспелов И.Г., Шананин А.А. От Госплана к неэффективному рынку: Математический анализ эволюции российских экономических структур. The Edwin Mellen Press, Lewiston; Queenston-Lampeter, NY, USA, 1999. 393 p.
9. Marcellino M., Stock J.H., Watson M.W. A comparison of direct and iterated multistep AR methods for forecasting macroeconomic time series // Journal of Econometrics. 2006. V. 135, N 1-2. P. 499-526.
References
1. Alexeev V.N. Financial Structure and Its Elements: Conceptual Approach. Financial Journal. 2013. V. 15, N 1. P. 25-32.
2. Andreyev M.Yu., Pilnik N.P., Pospelov I.G. Modeling of the Modern Russian Banking System. HSE Economic Journal. 2009. V. 13, N 2. P. 143-171.
3. Andreyev M.Yu., Pilnik N.P., Pospelov I.G. On the Strong Turnpike Property in the Rational Expectations Model of the Modern Russian Banking System. New Economic Association Journal. 2009. V. 1, N 2. P. 70-84.
4. Andreyev M.Yu., Pospelov I.G., Pospelova I.I., Khokhlov M.A. The Technology of the Economic Modeling and the Model of Modern Russian Economy. Moscow: MEPhI, 2007. 262 P.
5. Zhuravleva T.L., Leonov M.A. Russian Banking System in the Last Years: General and Regional View. Financial Journal. 2015. V. 28, N 6. P. 47-58.
6. Malahkov D.I., Pilnik N.P., Radionov S.A. The Stability of the Distribution of Banks as an Argument in Favor of Aggregated Agent Concept. HSE Economic Journal. 2015. V. 19. N 4. P. 395-422.
7. Pilnik N.P., Pospelov I.G. On the Natural Terminal Conditions in Intertemporal Equilibrium Models. HSE Economic Journal. 2007. V. 11, N 1. P. 1-33.
8. Petrov A.A., Pospelov I.G., Shananin A.A. From Gosplan to Inefficient Market: Mathematical Analysis of Evolution of Russian Economic Structures. The Edwin Mellen Press, Lewiston; Queenston-Lampeter, NY, USA, 1999. 393 p.
9. Marcellino M., Stock J.H., Watson M.W. A comparison of direct and iterated multistep AR methods for forecasting macroeconomic time series. Journal of Econometrics. 2006. V. 135, N 1-2. P. 499-526.
Поступила в редакцию 11.07.2017
