CC BY
27
28
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. № 8(74)
УДК 512.547.214, 512.743.7
О НОСИТЕЛЯХ ХАРАКТЕРОВ УНИТРЕУГОЛЬНОЙ ГРУППЫ
© 2009 М.В. Игнатьев1
Для произвольной конечной группы О и произвольного ее неприводимого комплексного характера х множество 8ирр(х) = {д € О | х(д) = 0} называется носителем характера х.
Пусть О = и — унитреугольная группа (группа унипотентных треугольных матриц) над конечным полем достаточно большой характеристики. В работе вводится понятие ¿-регулярных характеров группы и, обобщающее регулярный и субрегулярный случаи, и дается описание носителей 2-регулярных характеров в терминах коэффициентов миноров характеристической матрицы.
Ключевые слова: унитреугольная группа, носитель характера, ¿-регулярные характеры.
Введение
Пусть п € М, р — произвольное простое число, ц = рг для некоторого г ^ 1 и к = Fq — конечное поле из ц элементов. Обозначим через и = иТ(п, к) унитреугольную группу — группу всех нижнетреугольных матриц с единицами на главной диагонали с элементами из поля к; тогда и = Ые(и) = и — 1п. Мы везде будем предполагать, что р ^ п; в этом случае стандартные отображения ехр: и м и и 1п: и м и корректно определены, взаимно однозначны и взаимно обратны. Согласно методу орбит [5, 6], существует взаимно однозначное соответствие между коприсоединенными орбитами и и ее неприводимыми комплексными характерами. Оно устанавливается формулой О м- х, где
здесь в: к м С* — произвольный фиксированный нетривиальный гомоморфизм.
хИгнатьев Михаил Викторович ([email protected]), кафедра алгебры и геометрии Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Полная классификация орбит для произвольного п неизвестна и представляется крайне сложной задачей. В то же время для отдельных серий орбит, допускающих точное описание, возникает задача получения замкнутой формулы для характера. Цель настоящей работы — определить носитель 2-регулярного характера (точные формулировки см. в § 1; основной результат сформулирован в теореме 2.4). Отметим, что соответствующие таким характерам орбиты представляют частный случай орбит, ассоциированных с инволюциями [9].
1. Определение ¿-регулярных характеров
Мы будем отождествлять и* с и*, используя невырожденную на д1п(к) форму (А, Б) = ^(АБ); при этом коприсоединенное представление принимает простой вид х./ = рг(х/х-1), где х € и, / € и*, а через рг обозначена проекция д1п(к) ^ и* вдоль и. Положим Ф+ = {(г^) | 1 ^ ] < г ^ п} (назовем это множество множеством положительных корней). Для произвольного / € и* набор положительных корней вида Яирр(/) = {(г,]) € Ф+ | /(еч) = 0} будем называть носителем формы /.
Пусть теперь а € Бп — произвольная инволюция, то есть а2 = 1ё. Тогда ее можно однозначно представить в виде произведения независимых 2-циклов: а = (¿1,л) ■... ■ (ц,3г) (будем считать, что ц > ]г и jl < ... < jt). Носителем инволюции а мы назовем множество {(г1, jl), . . . , (ц^г)} С Ф+. Для произвольного г определим инволюцию аг по правилу
аг = (п — 1,1)(п — 2,2)... (п — г, г)(п, г + 1) х
х(п — г — 1,г + 2)(п — г — 2, г + 3)... (п — п0 + 1, по),
где по = [п/2]. В частности, ао — самый длинный элемент в группе Бп, рассматриваемой как группа Вейля типа Ап-1, и аг = ап0 для любого п0 ^ г ^ п.
Определение 1.1. Орбиту О = Ог любого элемента / € и*, для которого Яирр(/) = Яирр(аг), и соответствующий ей неприводимый характер X = Хг будем называть г-регулярными. Сам элемент /г будем называть канонической формой на орбите Ог.
Действуя, как в [4, § 3], легко показать, что на каждой г-регулярной орбите лежит ровно одна каноническая форма.
Пример 1.2. Согласно [7], регулярные орбиты (то есть орбиты максимальной размерности) — это 0-регулярные орбиты, и только они. Описание соответствующих характеров было получено не так давно К. Ан-дре [1]. В то же время 1-регулярные орбиты относятся к субрегулярным (то есть имеют предмаксимальную размерность) [4]. Соответствующие характеры описаны в [3]. Заметим, что субрегулярные орбиты не исчерпываются 1-регулярными.
Для произвольного характера х группы и через Яирр(х) обозначим его носитель — множество классов сопряженности, значение х на которых не равно нулю. Основной результат данной работы — получение явных уравнений, описывающих классы сопряженности, попадающие в носитель произвольного 2-регулярного характера.
2. Основная теорема
Нам понадобится несколько предварительных определений и обозначений.
Определение 2.1. Для произвольных 1 ^ ^ п будем называть " = = {(¿,Ь) | 1 ^ Ь < ¿} и С = {(а,,?') | j < а ^ п} соответственно 1-й строчкой и j -м столбиком Ф+. Следуя [1], подмножество В С Ф+ назовем базисным, если В имеет не более одного общего элемента с каждым " и С^.
Отметим, что для любого г носитель а г является базисным подмножеством. В то же время Ог не совпадает с базисным подмногообразием, и*, определенным в [2]. Для любого подмножества В С Ф+ обозначим для краткости Ев(г,^) = {(¿,,?')} и {(а, Ь) € В | Ь > j и а < ¿}.
Обозначение 2.2. Пусть ж = (ж^-) € Ма1(п,к). Через Д^''"'^ (д) обозначим минор матрицы х, натянутый на строки ¿1,..., ¿г и столбцы ^ ..., ^ для любых 1 ^ I ^ п, 1 ^ ¿1,..., ¿г,^1,... ^ п (строки и столбцы берутся в указанном порядке). Мы будем использовать обозначение Д^(х) = = Д^ь ' ' ' ¿¡!}(ж), где У есть множество пар вида {(¿1,..., (¿г,;'г)}, а а,т — перестановки, располагающие каждый из наборов индексов в неубывающем порядке. Если В С Ф+, ) € Ф+, то для краткости будем писать (ж) вместо ДДл (г'^)(х).
Определение 2.3. Пусть В — произвольное подмножество Ф(п). Корень (¿,_7) € Ф(п) называется В-регулярным,, если (¿,1) € В и (1,^) € В для любого ъ > I > Обозначим через Е(В) объединение В с множеством всех В-регулярных корней (см. [1]).
Для произвольных 2 ^ j ^ по и по ^ 2 ^ п — 3 рассмотрим следующие многочлены (их можно считать функциями на и или же элементами к [и]):
п— 1 по
а (ж) = ^ Жп'4Ж^, в! (ж) = ^ Хг,4Х4'Г, Г = 1, 2, ж = (Хг^) € и.
4=п—по + 1 4=г+1
Пусть теперь х = х2 — произвольный 2-регулярный характер группы и и В С 5 = Яирр(а2) \ (С1 и С2 и"п) (подмножество В обязательно является базисным). Введем следующие обозначения:
В1 = В и (п — 1,1), В2 = В1 и (п — 2, 2), В3 = В1 и (п, 3), Во = В2 и (п, 3), Ва = Ви(п, п — 1)и(3,1),Ва = В1 и(п, п — 1)и(3, 2)и(п — 2, 2),Вв = В1 и(3, 2) (отметим, что Ва и Ва уже не будут базисными подмножествами).
Наконец, для любого отображения р: В ^ к* определим следующие подмногообразия в и:
К = {х € и | аг(х) = /Зг(х), (г^) € В}, г = 1,2, &ьа = {х € и | £ь,п-ьхз,ь = £п,зхЩп-а}, 1 ^ а,Ь ^ 2, К3В(р) = {х € и | (х — 1) = 0, (г^) € R(Вs)}, в = 0,1,2,3, КГ(р) = {х € и | (х — 1) = 0, (г,;) € R(Вra)}П Кг П Ц(р), г = 1,2, (Р) = {х € и | (1г,3(х — 1) = 0, (г^) € R(Dв)} П К П ЛЦр).
(1)
Здесь / = (^) € О = О2 — каноническая форма на 2-регулярной орбите, соответствующей характеру X. Теперь все готово для того, чтобы сформулировать основной результат работы.
Теорема 2.4. Пусть х — 2-регулярный характер группы и, О С и* — соответствующая орбита. Элемент х € и содержится в Яирр(х) тогда и только тогда, когда для какого-нибудь В С Б выполнено ровно одно из следующих условий:
1. хз,2 = 0,хп,п-1 =0 и х € Ка2(р).
2. хз,2 = 0,хп,п-1 =0 и х € Ка1(р).
3. хз,2 = 0,хп,п-1 =0 и х € (р).
4. х3,2 = 0,хп,п-1 =0 и х € (р) для какого-нибудь 0 ^ в ^ 3.
Схема доказательства. Применим к группе и метод Макки полупрямого разложения (см., например [8]). Положим
и1 = {х € и | хгз = 0 при 2 ^ j <г ^ п}, V = {х € и | хц = 0,2 < г < п}.
Тогда и = UlV, и П V = {1} и и1 <и; другими словами, и = и х V — полупрямое произведение, причем подгруппа и абелева. Рассмотрим неприводимый характер и1 вида
ф: и ^ С: х ^ 0(^1,п-1хп-1,1).
Здесь, напомним, в: к ^ С* — произвольный нетривиальный фиксированный гомоморфизм.
Легко проверить, что централизатор характера ф в группе V имеет вид
V' = {х € V | хп-1,з =0, 2 < j < п — 2}.
Структура этой подгруппы, в свою очередь, очень проста: V' = Vl х и, где, по определению, V1 = {1п + Аеп,п-1, А € к} и и = {х € V' | хп,п-1 = 0}. Очевидно, что V1 = к и ¿7 ^ иТ(п — 2, к).
Согласно методу Макки, это означает, что
^и
где т, х — некоторые неприводимые характеры групп У1,и соответственно. Здесь и далее если О = А х В, то каждый элемент д € С однозначно представляется в виде д = аЬ, а € А, Ь € В; поэтому для произвольного характера ^ группы А или В мы можем писать просто ^(д), имея в виду ^(а) или ^(Ь) соответственно. Используя метод орбит (рассматривая поляризации), можно показать, что т = 1, а х — субрегулярный характер группы и = иТ(п — 2, к), соответствующий орбите О = п(О). Здесь через п: и* ^ (Ые(и))* обозначено отображение, соответствующее проекции и ^ [/. Это позволяет использовать описание носителя субрегулярного характера х, полученное в [3, теорема 2.8].
Рассмотрим, например, случай жз,2 = 0,жп,п— 1 = 0 (на самом деле, это технически самый сложный случай). Легко видеть, что множество Т = = {£ € и | ¿г. =0 при j = п — 1} можно выбрать в качестве полной системы представителей и/^У'. Применяя стандартную технику индуцированных характеров и простые матричные вычисления, можно показать, что
х(ж) = с ^ ^Ых^ (2)
{¿ет ^е^у'}
где ж^ = £ а с € к* — некоторая константа. Более того, (ж^)». = ж.
при { ^ п — 2, в то время как для любого 2 ^ j ^ п — 2
(3)
(ж^п—1. — жп—1. ^^ ¿=.7+1 ¿п—1,гжг'^,
(ж4)п,^ — жп'. + жп'п— 1£п— 1'..
Условие ж^ € ^У' есть в точности условие совместности системы (ж^)п—1'. =0, 2 ^ j ^ п — 2, которое с учетом [3, лемма 5.1] и критерия Кро-некера - Капелли имеет вид йп—1.(ж) = 0, если 2 ^ j ^ п — 2 и (¿, ) € В. Требуя, чтобы ж^ € 8ирр(х), мы получим, учитывая (3) и используя опять [3, лемма 5.1], что а.(ж) = 0, если (¿,,7') € В. Далее, для любого А € к*, как известно, ^^(пА) = 0. Значит, после того как мы выразим из (3) часть ¿п— 1'. и подставим их в формулу (2), нужно приравнять к нулю коэффициенты при оставшихся ¿п—1.. Отсюда мы получим, что в!(ж) = 0, если (¿, ^ € В, и йгд(ж) = 0, если 2 ^ { ^ п — 2 и (¿, ^ € В. Здесь ключевую роль играет тот факт, что, согласно [3, лемма 5.1],
6'п-2ж3'2 = £з 'п(жп'п—2 + жпп— 1^п—1'п—2), поэтому ¿п— 1'п—2 однозначно выражается через ж»..
То, что ж удовлетворяет остальным уравнениям гарантируется
[3, лемма 5.1]. Остальные случаи разбираются аналогично. □
Отметим, что подмногообразия (1) не являются классами сопряженности: каждое из них, вообще говоря, есть объединение классов сопряженности, уравнения которых можно получить, действуя аналогично [3, § 3]. Обратим внимание на то, что многочлены а. и в! нельзя представить в виде миноров матриц из и (иначе говоря, для описания 2-регулярных характеров миноров недостаточно). На самом деле, эти многочлены можно
получить как некоторые коэффициенты миноров так называемой характеристической матрицы (см. [4]). В терминах коэффициентов таких миноров описываются субрегулярные характеры и орбиты, ассоциированные с инволюциями, а также вообще все орбиты при n ^ Т (см. [3, 4, 9]). Можно предположить, что в этих терминах описываются вообще все характеры и орбиты унитреугольной группы для произвольного n.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю проф. А.Н. Панову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Литература
[1] Andre C.A.M. The basic character table of the unitriangular group // J. Algebra. 2001. V. 241. P. 437-471.
[2] Andre C.A.M. Basic sums of coadjoint orbits of the unitriangular group // J. Algebra. 1995. V. 176. P. 959-1000.
[3] Игнатьев М.В. Субрегулярные характеры унитреугольной группы над конечным полем // Фунд. и прикл. матем. 2007. Т. 13. Вып. 5. С. 103-125 (см. также arXiv: math.RT/0603649v3).
[4] Игнатьев М.В, Панов А.Н. Коприсоединенные орбиты группы UT(7, K) // Фунд. и прикл. матем. 2007. Т. 13. Вып. 5. С. 127-159 (см. также arXiv: math.RT/0603649).
[5] Kazhdan D. Proof of Springer's hypothesis // Israel J. Math. 1977. V. 2В. P. 272-2В6.
[6] Кириллов А.А. Унитарные представления нильпотентных групп Ли // УМН. 1962. Т. 17. С. 57-110.
[7] Кириллов А.А. Метод орбит и конечные группы. М.: МЦНМО; МК НМУ, 199В.
[В] Lehrer G.I. Discrete series and the unipotent subgroup // Compositio
Math. 1974. V. 2В. No. 1. P. 9-19. [9] Панов А.Н. Инволюции в Sn и ассоциированные коприсоединенные орбиты // Зап. науч. семинара ПОМИ. 2007. Т. 349. С. 150-173 (см. также arXiv: math.RT/080l.3022vl).
Поступила в редакцию 2/IX/2009; в окончательном варианте — 2//X/2009.
ON SUPPORTS OF CHARACTERS OF THE UNITRIANGULAR GROUP
© 2009 M.V. Ignatev2
Let G be a finite group and x be its irreducible complex character. The set Supp(x) = {g € G | x(g) = 0} is called the support of x.
Let G = U be the unitriangular group (i.e., the group of unipotent triangular matrices) over a finite field of sufficiently large characteristic. In the paper we introduce the notion of ¿-regular character and describe the support of a 2-regular character in terms of coefficients of minors of the characteristic matrix.
Key words: the unitriangular group, the support of a character, ¿-regular characters.
Paper received 2/IX/2009. Paper accepted 2/IX/2009.
2Ignatev Mikhail Viktorovich ([email protected]), Dept. of Algebra and Geometry, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
