О нижних оценках спектрального радиуса вещественной симметрической матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512

О НИЖНИХ ОЦЕНКАХ СПЕКТРАЛЬНОГО РАДИУСА ВЕЩЕСТВЕННОЙ СИММЕТРИЧЕСКОЙ МАТРИЦЫ

© В.И. Фомин

Ключевые слова: спектральная матричная норма; спектральный радиус матрицы; вещественная симметрическая матрица; доминирующее собственное значение; евклидова векторная норма.

Рассматривается задача о локализации спектра матрицы; предлагаются некоторые оценки снизу спектрального радиуса вещественной симметрической матрицы, в силу которых можно указать двустороннюю оценку спектрального радиуса такой матрицы.

ВВЕДЕНИЕ

Дальнейшее развитие теории матриц, несмотря на ее кажущуюся завершенность, обусловлено следующими факторами: а) как известно из линейной алгебры [1], исследование произвольного линейного преобразования конечномерного линейного пространства над некоторым полем, в частности над полем вещественных или комплексных чисел, сводится к изучению свойств матрицы этого преобразования из кольца матриц над данным полем; б) матричный анализ плодотворно применяется в других областях математики, например, в теории дифференциальных уравнений при изучении устойчивости систем линейных дифференциальных уравнений используется матрица Гурвица [2], в теории случайных процессов при изучении цепей Маркова используется матрица переходных вероятностей [3]; в) матричный аппарат успешно применяется в различных приложениях, например, в теоретической и прикладной экономике при построении межотраслевой модели Леонтьева используется матрица расходных коэффициентов [4], при решении задач оптимизации используется матрица Гессе [5].

При исследовании структуры линейного преобразования и-мерного линейного пространства важную роль имеет информация о спектре ст(А) матрицы А этого преобразования, т. е. о множестве корней ее характеристического уравнения | А — X11 = 0 , которое представляет собой алгебраическое уравнение и-й степени относительно X . Однако корни такого уравнения находятся легко лишь в случае и = 2 и некоторых частных случаях при и > 3 . При и = 3 , и = 4 известны формулы для нахождения корней [6], однако эти формулы настолько громоздки, что их применение затруднительно. Более того, Абель доказал, что при и > 5 не существует формул, выражающих корни алгебраического уравнения и-й степени через его коэффициенты [6]. Поэтому информацию о спектре ст(А) приходится получать окольными путями. Например, записывают коэффициенты характеристического многочлена | А — X11 через суммы главных ми-

норов матрицы А [7], а затем используют формулы Вьета, связывающие корни многочлена с его коэффициентами [6], и проводят анализ полученных соотношений. Другой подход - это локализация спектра ст(А) . Такую локализацию спектра произвольной квадратной матрицы с комплексными элементами можно осуществить, например, с помощью кругов Гершгорина [7]. Приемлемые верхние оценки спектрального радиуса р(А) матрицы А можно получать с помощью известного неравенства р(А) < || А || [8] за счет удачного подбора матричной нормы.

При решении конкретных задач приходится иметь дело с матрицами, обладающими теми или иными свойствами. Эти дополнительные свойства матрицы можно использовать при получении нижних оценок ее спектрального радиуса. Например, для неразложимой неотрицательной матрицы А порядка п справедлива

теорема Фробениуса-Перрона: ЭХ* є ст(А) | X* > 0,

р(А) = X* . В работе [9] этот результат доказан для позитивных матриц, которые допускают наличие отрицательных элементов. Нижние оценки для доминирующего собственного значения X* получены в работе [10]. Для нормальных матриц аналогичный результат получен в работе [11].

В данной работе указываются некоторые оценки снизу спектрального радиуса вещественной симметрической матрицы.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Пусть С - поле комплексных чисел, Сп - комплексное п-мерное арифметическое пространство векторов х = (х}-), || • ||е - евклидова норма в Сп ,

Спхп - полное кольцо матриц А = (а^) порядка п

над полем С, || • ||х - спектральная норма в Спхп ,

/ ч ^ (Г* пхп (ГЛ пхп

р(-) - спектральный радиус на С , См - мно-

Спхп ТТГ) п

, м -

множество всех вещественных векторов из сп, <•,•> - скалярное произведение в Мп , М^ - множество всех вещественных симметрических матриц из

С ПХП

Теорема. Для произвольной матрицы А £ М

I nxn

(< ак, аг >)”=1

р(A) > max -

1< к < П

\\аь\\e ^0

(1)

где М - произвольное множество векторов X с || X ||е = 1, содержащее х(0).

Пусть А £ М^хп . Тогда все собственные векторы матрицы А можно выбрать вещественными [13]. Так как М ”ХП ^ С, то, в силу (4),

p(A) = max

xeSj(0)

f 2 N

2 2txiJxJ

i V j )

(5)

где а, = а)”=, 1 < i < n .

Доказательство. Известно, что для произвольной матрицы A G CN"" [12]

Р(A) = || A ||s . (2)

Для любой индуцированной матричной нормы [12]:

\\A\\ = ^P^^f = max\\Ax\\.

xGCn \\ x \\ xgC="

x ^0 \\x\\=г

В частности, для спектральной матричной нормы, которая, как известно [8], индуцируется евклидовой векторной нормой, имеем:

1

2

\\A\L = max \\Ax\\е = max ” ”

xeC xeC

\\x\\e =1 2 \\xJ2 = 1

J

Следовательно, в силу (2),

где

f 2 ^

2 2 aJxJ

i V j )

f 2 ^

p( A) = max xeCn 2 2ал-

2 \\xj\\2=1 i V j )

(3)

Непосредственно проверяется, что максимум в правой части (3) достигается, например, при х = х(0),

где х(0) = (х(0)).=1 - нормированный по || • ||е собственный вектор матрицы А, отвечающий доминирующему собственному значению Хо : | Х0 | = р(А). Следовательно, вместо (3) можно записать

f 2 N

p(A) = max xgM 2 2(xiJxJ

i V J )

(4)

S,(0) = J x g Rn \2 xj = 1k

Пусть к - некоторое целое число, 1 < к < п , || ак Не ^ 0 , где йк = (ак}-)"=1 - к-я вектор-строка матрица: А. Положим х = х(к) = (х(к) ) = , где

V з /у =1

х(к) =——— , 1 < у < п . Тогда х(к) £ >1(0) и, в

|| ак и

силу (5),

Р( A) >

f V .(к)

2 2

V j )

( V

2 2'

К Не

или, в силу равенства а,а^ =< ак, а, >

J

|| (< ак, а, >)П=11|

Р( A) >' "

аУаЪ V J )

|| йк \\е

Из последнего неравенства следует, в силу произвольности выбора к, оценка (1). Теорема доказана.

Замечание. Выбор х(к) обусловлен тем, что этот вектор доставляет максимум функции

/к(х) = /к (хъ х2>-> хп) = 2 акх1

на множестве >1(0) . Действительно, функция Лагранжа имеет вид:

f \

F (x) = F (xj, x2,..., xn) = 2 akJXJ +^ 1 -2 x2

V J )

Тогда

d F

------= аkJ - 2Xx,, j = 1,2,...,n .

5 x, k J

e

2

2

1

Решая систему

оценку (8) можно записать в виде:

akj- -2Xxj = 0, j = 1,2,...,n,

£

x; =1 ,

получаем стационарную точку x

x(k) = T-j, j = 1,2,..., n

(k):

j iKiie

p(A) >- ii A ii„ n

(10)

Для любой матрицы A £ С "х" и любой матричной нормы || • || справедлива оценка р(А) < || A ||, в

частности, для A £ М [

, nxn

Р(A) < iiAiL

(11)

(X = -2 ii ük iie ). Вычисляя d2F(x(k)), получаем d2F(x(k))=-ii ük iie £(dxt)2 < 0,

следовательно, x(k) - точка максимума функции fk (x) на 51(0).

Следствие. Для A Є Rx”xn

£i < ak, a >i

p(A) max

— шал

n, 1<k<nn ii ük iie

ük II e *0

p(A) > max ii ük iie,

1< k < n

p(A)max £ii.

д/n 1< k < n J

Оценка (6) следует из (1) в силу неравенства:

(6)

(7)

(8)

n 1 J n

£c2 > n£

С n V ci

(9)

где Cj, C2,..., cn - неотрицательные числа. Заметим, что (9) вытекает из неравенства Коши-Буняковского [14]:

nn

С n Л 2

£büiA- <£ üi2 £ b

i=1 i=1

В силу (10), (11), получаем двустороннюю оценку для спектрального радиуса вещественной симметрической матрицы

1

-iiAL < p(A) < ii A ii„ n

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Двусторонние оценки спектрального радиуса матрицы позволяют получать некоторую первичную информацию о расположении ее спектра. Для более детального выяснения величин собственных значений матрицы используются вычислительные методы [15].

ЛИТЕРАТУРА

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М., 2007. С. 111.

2. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. М., 2004. С. 247.

3. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М., 2000. С. 167.

4. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., 1972. С. 124.

5. Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации. М., 2003. С. 230.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М., 1975. С. 234, 240, 158.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М., 2010. С. 80, 395, 339.

8. Хорн Р., Джонсон И. Матричный анализ. М., 1989. С. 359, 358, 356, 359.

9. Фомин В.И. Одно обобщение теоремы Перрона // Вестник ТГТУ. 2010. Т.16. № 4. С. 889-891.

10. Фомин В.И. О линейных оценках спектрального радиуса матрицы // Вестник ТГТУ. 2001. Т. 7. № 1. С. 80-86.

11. Фомин В.И. О нижних линейных оценках спектрального радиуса нормальной матрицы // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2001. Т. 6. Вып. 2. С. 145-146.

12. Ланкастер П. Теория матриц. М., 1982. С. 187, 184.

13. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М., 1969. С. 60.

14. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976. С. 49.

15. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., 1963.

і =1 к і =1 j

при ai = ci, bi = 1 (1 < i < n ). Оценка (7) следует из (1); оценка (8) следует из (7), в силу (9).

Используя строчную матричную норму

IIA L= max £ | |,

1< k < n

j

индуцированную кубической векторной нормой [8]:

II x ||ш= max| Xj I,

1< j<n

Поступила в редакцию 26 апреля 2013 г.

Fomin V.I. ABOUT LOWER BOUNDS ON SPECTRAL RADIUS OF REAL SYMMETRIC MATRIX

The problem of localization of the spectrum of the matrix is considered; some lower bounds of the spectral radius of a real symmetric matrix by virtue of which can be specified a two-sided estimate of spectral radius of this matrix is offered.

Key words: spectral matrix norm; spectral radius of matrix; real symmetric matrix; dominant self-value; Euclidean vector norm.