О неустановившемся движении вязкой, сжимаемой жидкости, вызванном малым начальным возмущением термодинамических параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том III 1972 № 5

УДК 532.516

О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ ВЯЗКОЙ, СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ, ВЫЗВАННОМ МАЛЫМ НАЧАЛЬНЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ

Н. А. Тихомиров, В. В. Третьяков

Рассматриваются одномерные нестационарные течения вязкой, сжимаемой жидкости, обладающие плоской, осевой и центральной симметрией. К подобного рода задачам могут быть отнесены задачи о распаде малого произвольного разрыва в ударной трубе, о нестационарном движении газа в ограниченном объеме после снятия поля внешних сил. В квадратурах получено решение для случая произвольного начального распределения давления. Подробно рассмотрен случай распределения начального давления по линейному >закону. Определен характер движения в зависимости от числа Рейнольдса и оценено время установления стационарного состояния.

Возмущенное движение описывается системой уравнений Навье—Стокса [1] Считая, что начальные отклонения термодинамических параметров мало отличаются от равновесных, эту систему можно линеаризовать и записать в виде

да 1 -*■ ч -*

-)- — grad р — мДи — -g- grad div и = 0;

dp . - „

■ + ро div и = 0; ^

дТ _ 1 dp

dt cp po dt ’

P = R (Ро T + p 7o)-

Здесь u, p, p, T — возмущенные значения скорости, давления, плотности и температуры соответственно, ро, Т0— равновесные значения плотности и температуры, м — кинематический коэффициент вязкости, ср — теплоемкость при постоянном давлении, R—газовая постоянная. Теплопроводность в рассматриваемой постановке отсутствует.

Исключая из уравнений (1) плотность, давление и температуру, получим уравнение для скорости:

д (ди -*\ ! м д 9\ -*■

W[W- уЛи) = {Т- Ж + WgraddivH (2)

или в одномерном случае

-¿■[ж-4-v JFr~aw(rau'>} =cSwr~“w(га“>- <3>

Здесь о = 0 в плоском случае, а = 1—в цилиндрическом, а = 2 — в сферическом.

Введем безразмерные переменные М = и/с0, т = Со (¡г0, £ = г1г0, р* = р/ро и Го— характерный размер задачи, тогда уравнение (3) можно переписать в виде

_д_ [<Ш

дг

(4)

Со'"О

число Рейнольдса.

где Ие

К уравнению (4) необходимо присоединить еще начальные и граничные условия. Если стенки, ограничивающие газ, считаются неподвижными, то

др.м

дМ 1 дх

Мф, г) = Л4(1, т) = 0, М(£, 0) = 0, -дТ

Решение уравнения (4) при условиях (5) имеет вид [2, 3]

,2

,= /(6).

(5)

1-а со

—. ______ 1 Г 4Хд

Л1(?, х) = ?2 £с„е ЗКе выпу -їх 1^+іМ, (6)

п=1 2

где Х„—корни уравнения /а+1 (Хя)=0, '«•И (Х„ 5) —функция Бесселя порядка

1 <х+1

°_____________I__________ * -і V п

' -у8„ 1 ■ ' °л-Лл' 9рР

9Ие2

1 .

В случае, когда />*(£) распределено по линейному закону = 1 + ас, получим:

,Яг п/~г ^1 + 4-') !-«°° (Хл) 7—(Х/,)

2 л Г V 2 / о ЧТ* 2 ^

[ЙЫ|.-Х

П = 1

X-

■У

4А„

'ЭИе2

а+З | Г

\гУ 1

4Х„

(7)

Х„ К * 9Ие2 /»*(6. *)- 1 + ЙЇ + 2 2 «У^г(і+-|-)£-*—г 2

П- 1

X

X

ЗИе '

2Х„

/э Яе*-4Х^

віп 5„ -с + сое 5„ т I — 1

где Яа+1(Х„) —функция Струве [4].

Т •

Заметим, что в плоском и сферическом случаях решение (7) выражается через элементарные функции.

Принимая в (7) а = 0, получим для цлоского случая:

_ 2те» (2/1 —I)2

00 .

М& т)=-

4а

тс2 7

Зйе

4д2 (2и— 1)2

/1=1

8ІП я (2л — 1) у 1 —------д-^е2---т біп я (2я — 1) £

. 1 / 4и2(2и— 1)2

(2п— 1)2 ]/ 1 — дКе2

(8)

Сходимость полученных рядов легко устанавливается по принципу Даламбера.

Из решения (7) и (8) видно, что во всем диапазоне чисел Рейнольдса

2

-я- X, <ГИе <со [Хх — наименьший положительный корень уравнения /а+1(^л)=0] . Т*

движение имеет характер затухающих по времени колебаний. При йе -*■ оо^ре-

шение стремится к решению соответствующей невязкой задачи. При Ие -д-

движение приобретает апериодический характер. Однако можно показать, что при реальных характерных размерах задачи такие числа Рейнольдса недостижимы.

Время установления равновесия т* = ■ не зависит от конкретного вида

2д|

начального распределения давления и очень велико по сравнению с временем пробега возмущения, поэтому в рассматриваемом случае влияние вязкости слабо сказывается на характере движения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Механика сплошных сред.

Изд. 2. М., Физматгиз, 1954.

2. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., Физматгиз, 1966.

3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Физматгиз, 1966.

" 4. Гр ад Штейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов

сумм, рядов и произведений. Изд. 4. М., Физматгиз, 1963.

Рукопись поступила 13/V 1971 г.