О неулучшаемости предельной теоремы вложения разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 140-151.

УДК 517.51

О НЕУЛУЧШАЕМОСТИ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК В ПРОСТРАНСТВАХ ЛОРЕНЦА С ВЕСОМ ЭРМИТТА

Е.С. СМАИЛОВ, А.И. ТАКУАДИНА

Аннотация. В работе получено неравенство разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта для кратных алгебраических многочленов и на ее основе установлено достаточное условие вложения разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта. Его неулучшаемость показана в терминах "крайней функции". А именно установлены следующие утверждения:

Пусть / е Ьр,о(Мп; рп), 1 ^ р < +го, 1 ^ в ^ +го. Последовательность {1к}+= С N

такова, что 10 = 1 и 1к+1 ■ 1к > а0 > 1, Ук е Z+. /(X) = ^ Аьк,..,ьк(/; X) —

к=0

некоторое представление функций в метрике Ьр,0(Мп; рп), где А^0,...,г0(/; X) = Т1,...д, А1к„.„1к(/;х) = Т1к„..1к(х) - Т1к-1,..лк-1 (х)ук е N.Здесь

n ■ ■ X.' *

1к — 1 1к — 1 п

Т1к,...1к(Х) = ."^2 ат1,...,тп [|

т1=0 тп=0 г=1

— алгебраические многочлены при всех к е Ъ+.

10. Если при некоторых д и т: р < д < +то, 0 < т < ряд

A(/)рв ^2 Ik ll^fc,...*: (/)\\ьр,в (Rn;pn)

k=0

сходится, то / £ Lq,T(Rn; pn) и при этом справедливо неравенство:

l,T(Rn;Pn) ^ Cpq0Tn х (A(/)рв) 1.

20. Условие пункта 10 неулучшаемо в том смысле, что существует функция /0 е Ьр,в(Мп; рп) для которой ряд А(/э)р0 расходится и при этом /0 е (Мп; рп).

В то же время, для любого е > 0: р< (д — е) < д функция /0 е ¿д—е,т (Мп; рп).

Ключевые слова: пространство Лоренца, вес Эрмитта, невозрастающая перестановка, неравенство разных метрик, теорема о вложении, неулучшаемость.

1. Введение

Теорема вложения разных метрик в пространствах Лебега Ьр[0, 2п], 1 ^ р < в

терминах неравенств в разных метриках между тригонометрическими наилучшими приближениями впервые появилась в 1958 г. в работе А.А. Конюшкова [1].

E.S. Smailov, A.I. Takuadina, About the unimprobality of the limiting embedding theorem for different metrics in the Lorentz spaces with Hermite’s weight.

© СмАилов Е.С., ТАКУАДИНА А.И. 2011.

Поступила 13 июля 2011 г.

Теорема А. Пусть f € Ьр[0, 2п), 1 ^ р < +то.

1_1_1

Если для некоторого q: р < д ^ ряд ^ кр « Ек(f)р сходится, то f € Ьд[0, 2п), и

к=1

справедливо неравенство:

II/ В» « СрЛ Ир + £ кр_1 -1Ек(f)Л ,

здесь Ср» > 0 зависит лишь от указанных параметров.

Затем П.Л. Ульянов в 1968 г. в терминах модулей непрерывности [2], а в 1970 г. в терминах тригонометрических наилучших приближений [3] улучшил теорему А.А. Конюшкова приведенной здесь. А именно в [3] установлено в частности следующее утверждение: Теорема В. Пусть 1 ^ р < д < и функция f € ¿р[0,2п). Тогда справедливо

Здесь Орд зависит лишь от указанных параметров.

П.Л. Ульянов показал неулучшаемость теоремы вложения, установленной им в терминах модулей непрерывности в терминах класса Нр. А неулучшаемость теоремы В установил В.И. Коляда [4] в терминах класса Ер(А). Классы Нрр и Ер(А), где указываются неулучшаемость достаточных условий вложения П.Л. Ульянова, достаточно узкие классы, определяемые заданной мажорантой на модуль непрерывности и на тригонометрические наилучшие приближения функций f € Ьр[0, 2п). Тогда как, множество функций из Ьр[0, 2п), удовлетворяющие достаточное условие вложения П.Л. Ульянова, существенно шире, чем эти указанные классы, поэтому мы считаем неулучшаемость достаточного условия вложения разных метрик естественно будет показать с помощью "крайней функции". А именно, построить пробную функцию ^ € Ьр[0, 2п), 1 ^ р < д < такую, что она не удовлетворяет условие теоремы В и ^ [0, 2п), но при этом для любого сколь

угодно малого е > 0, ^ € Ь»_£[0, 2п). С момента появления работ П.Л. Ульянова эта тематика развивалась в разных направлениях. В настоящей работе мы доказываем теорему типа В в пространстве Лоренца с весом Эрмитта Ьрв (Мп; ри). Это пространство является весьма широким классом функций, элементы которого могут стремиться к бесконечности, и при этом быстрее, чем любой алгебраический многочлен многих переменных, при

1

(и Л 2

|х| = < ^ и показываем неулучшаемость установленной нами теоремы с

и=1 )

помощью принципа крайней функций.

2. Определения и вспомлгАТЕльныЕ предложения Пусть 1 ^ р< +то, 0 <0 ^ и f (X) — измеримая в смысле Лебега на Ми функция;

і

П \ 2

„2

рп(Х) = е- 2 , Х Є Ега; |Х| = ( ^2 хк І , ^Х = ^хь... ^хга.

\к=1 )

Через ^(|/рп|; ¿) обозначим невозрастающую перестановку функций |/(Х)р„(Х)| на Е„, І Є [0; +то).

Будем говорить, что / Є Ьр в(Мп; рп), [5], если конечна величина:

в

ьр,в (Кп;рп) = \~ ІР (|/р„|; і)) , при 0 <в<

р

ьР^(лп;рп) = вир{І1 ^(|/Рп|; ¿Н ,при в = +го. ¿>0 ^ >

2

afci,...,fcn I I —

Пусть

ті — 1 тп-1

Рті,...,т„ (х) ^ ] ... ^ ]

кі=0 кп=0 І=1

алгебраический многочлен порядка (та*- — 1) по переменной х^, Жк; Є N,2 = 1,..., п. Далее введем обозначения А1,...,1 (х) = Р1,...,1, Р1,...,1 Є К и

П

Amfc,...,mfc (x) — Pmfc,...,mfc (x) Pm

mk — 1v">mk — 1

(x), k Є N.

Лемма 1. Пусть 0 < p < q ^ +ro, 0 <0 ^ +ro, 0 < т ^ +ro. Для любого алгебраиче-

ского многочлена P,

, (x) справедливо следующие неравенства разных метрик

__ _1_

max |Pm(X)Pra(x)| ^ Cpn, | mfc ||Pm||Lp0 (Rn;Pn)

ЖсМп

k=1

I Pm

m II La

г;рп)

A П

^-pqn I I

_1_______1

mf 2a IIP,

m II L„

г';рп) ,

k=1

где сомножители Cpn > 0, Apqn > 0 — зависят лишь от указанных параметров и m = (mi,..., mn).

_ l^l2 _ _

Доказательство. Поскольку pn(x) = e-“2т, то lim |Pm(x)pn(x)| = 0. Поэтому

| X | ——+<^o

M = max |P„ (x)pn(x)| достигается на какой-то точке Хо = (x°,...,x^) с конечными ко-

XeRn

ординатами: |P„(x0)pn(x0)| = M.

Пусть x Є R„, то |Axq| — I ¿(xfc - xk)

k=i

|Pm,(x)pn(x)| > |Pm,(xQ)pn(x)| |(Pm,(xQ) Prn(x)) pn(x)| .

(1)

Так как pn(x) — 0, Vx Є Rn, то

|(Pm,(xQ) Prn(x)) pn(x)|

X

X Pn(xo)■

Pn(x)

n

« £

k=i

dP™ (xo)

dxi

pn(xQ)

pn(xQ) Pn(x)

pn(xQ)

|Axq| + o (Axq) pn(x).

(2)

Здесь Axk — xk — xk, k — 1,..., n.

Перечислим нужные нам свойства функций pn(x):

а) 0 ^ pn(x) ^ 1, Vx Є Rn;

б) pn(xo) — 0;

в) pn(x) Є C(Rn) и PnnS) _ _ — 1.

Ж=Ж0 e

Следовательно Ve > 0 35e > 0 такое, что Vx Є (xQ) — {x Є Rn : |x — xQ| < 5e} имеет

1

2 ,

место неравенства: (1 — e) < P"^) < (1 + e). Положим e — |, тогда

1 M

|Prä(xo)pn(x)| > |Prä(xo)pn(xo)| — — —, Vx Є U1 (xq).

2 2 2

Пусть 0 < 5; ^ 51. Согласно [5]

dPm (xQ ) /— \

-g—p„<xQ)

как для многочлена переменной х*, при остальных фиксированных переменных. Тогда неравенство (2) можем продолжить следующим образом:

п 3

| (Рте (хо) — Рте (х)) Рп(х)| * ^ О |Рте (хо) | - |Ахо| +

к=1

3 ,п,

+о(|Ахо|) * - О ■ М ^ ■ 8' + о(|Ахо|).

2 к=1

Положим 8' = тіп < 81, п/~, ^п1—\, тогда

I 2 ’ 9С-£і ’ ^

3 ' і

|(Рте (хо) — Рте(х)) Рп(х)| < -О ■ М^ 'ап Х'™-р= + о(|Ахо|)

2 к=1 90 '2-^к=1 V тк

—

= у + °(|Дхо|).

Поскольку слагаемое о(|АХ0|) — бесконечная малая величина при |АХ0| ^ 0, то существует число 80 > 0: 0 < 80 < 8' такая, что о(|АХ0|) ^ Ц, УХ € [/¿0(Х0. Таким образом,

УХ € ий0 (х0):

М

|(Рп(Х0) - Рп(ж)) Ри(х)| < —. (4)

Теперь из неравенств (1), (3), (4) УХ € [/¿0(Х0) имеем: |Рп(Х)ри(Х)| > М.

Следовательно невозрастающая перестановка функций |Рп (Х)ри(Х)| на отрезке А = [0,тез (и<50(Х0))] имеет оценку

М

-4 * Р (|РтеРп| ; І) * М,

тп/2

г( п+1)

Пусть ап Є (0,1] такое число, что

где те« (ий0(хо)) = ^пг^ ■ 8о*.

0 < ап < пп/2 8п

0 < 90 Еп=1 * Г (п + 1) ■8о

Тогда А'

эсЕ П=і -Ут

С

П пп/2 хп

0, г(2+1) ‘ 8о

поэтому Уі Є А', имеем:

м = 4.М. (Р.(в [ (рЛгДв *

4 V «п / ІР./Д'

7а— ) Р ■ (2|| \/тк ) ірУд/Р (Р (|ртеРп| ; ¿)) ^ *

в

1

^ ^ +^ в ^ в * 4 ■ (180а—1) РД ткР \ - \ Ір—1 (Р (|РтеРп|; ¿))в ^

ро

к=1

Таким образом,

тах |Рте(х)Рп(х)| * Орп ТТ ткР ||Рте||ьРв(Кп^п), 0 <Р < +го, 0 < в * +го. (5)

урп І І пік N тте

жЄКп

к=1

Здесь мы могли написать в = +то, потому что константа, участвующая в неравенстве, не зависит от в, поэтому мы можем переходить к пределу при в ^ +то.

0

п

Пусть теперь 0 < д < +то, 0 < - < и ап = I П \/Ш

1

и 4 1

к=1

т Гп т

|Рт И^т^Рп) = ~ *9 (Р (|РтРи| ; ¿))Т (*+

д0

Т />+~ т

+ - *9 (Р (|РтРи| ; *))Т (* = Л + ^2. (6)

д

_Г_

т г“п т / и \ 29

71 ^ МТ — J *т_1с(Ь = МТ | ]^[ шк | ^ (5) ^

чк=1

т т

и \ 2р 2д

^ Сри ( ПШк ) ИРпИЬр0(Кп;Рп). (7)

чк=1

Далее, для любого * > 0:

в /** 1 ^ 1 1,Р ‘

*рр (|РтпРи| ; *) = р (|РтпРи| ; *) |pj ир (и | ^

Г в Г * в 1 1

Чр л> ир_ (Р (|Р™Ри|; *))б (и| ^ ИР™Иьрв(К-;р"). (8)

<^2 = (^ир*рР (|РпРи|;*)^ ■ — [ ^_р_1(И ^ (8) ^

V *>0 / д Jan

_( т_т)

Г^Т Р_ Т п \р д/ __

^ Ср» * II рт ||Ьр0(Мп;рп) * ап =

т__т

Ср» ' ( £ ^шк ) |Р™Иьр0(Кп;рп) ^

чк=1

тт

(п \ р д

]^[^ш^) ИРп ИЬрв (К„;р„). (9)

Теперь из (6), (7), (9) следует, что

п х_Х

II Рт ^Ьдт (Кп;Рп) ^ Ар»п ^ | шк II Рт ^Ьрв (Кп;Рп),

к=1

0 < р < д < +то, 0 < в ^ +то, 0 < - < +то.

И здесь, как и в случае (5), можем переходить к пределу при - ^ +то.

Лемма 2[6]. Пусть f € р(П), П С Кп и а € [0,р(П)]. Тогда

вир вир < |f (Х)|(Х > = р(|f |; *)(*.

£СП м(Е)=а I У I У

0

Лемма 3[7]. Пусть последовательность {^(/)}+00 такова, что р(0) = 1, м^+)1) > а > 1, У/ € тогда, для чисел д > 0 и {ак}+=0, ак > 0 справедливы неравенства

+о /1 \ » +о

£М/)Г ( £аП ^ с1 £М/)Га»,г<0;

1=0 \к=0 / 1=0

+о / +о \ » +о

£М/)Г ( £ак) ^ с2£м/)Га»,г>o,

1=0 \ к=1 / 1=0

где с > 0, г =1, 2 зависят только от параметров а, г, д.

Лемма 4. Пусть 1 < р < +то, 1 ^ в ^ +то. Существует последовательность неотрицательных алгебраических многочленов {р;(х)}^,0!, х € К степени не выше (ш — 1) такая,

1 1 х2

что Срш 2р ^ IIр;||^р0(К;р) ^ Ср'ш 2р, ш € N. Здесь р(х) = е _^, Х € К и Ср > 0, Ср' > 0

зависят только от указанных параметров.

Доказательство. В работе [8] была построена последовательность неотрицательных алгебраических многочленов {р;(х)}^,, таких, что р;(0) = 1, Аш_2Г ^ ||р;||^г(к;р) ^ А"ш _2

1 ^ г < +то. Пусть 1 ^ г < р < +то, тогда в силу Леммы 1

II Р* I |Р

Если 1 < р < д < +то, то

Р*

1 1 2г

р) * Аргт2г 2р |Р*||ьг(К;р) * Вргт 2р

р) > А—1т29 2Р ||Р*|к,(К;р) > 0рдт

Лемма 5. Пусть 1 ^ р<д<г ^ +то, 1 ^ в ^ +то, 1 ^ ^ +то, и задана последова-

тельность положительных чисел {^(/)}, удовлетворяющая условию р(0) = 1,

р(/ + 1)

р(/)

> а > 1, V/ Є ^+

и

^(х) = £ ^(х)

1=о

в смысле Р1ос(Кп), где ^(х) € Рр#(Кп; рп) П РГ0(Кп; рп). Тогда справедливо неравенство

г;рп)

*

*

Ордт0гп< £ [МО" (1 1 )|^г ||ЬГв (Кп ;рп) + (1 1) Н^Шрв (Кп;Рп)

I 1=о

Здесь Ср»Т0гп > 0 зависит лишь от указанных параметров.

Доказательство. Применяя неравенство Гельдера, получим:

У У

ф(у) ^ У Р(|^Рп|; *)(* = ^ ур+р7_ 1_^Р(|^Рп|; *)(* ^ 00 У

о

= СрвУ1 Р { / УР 1(Р(№’Р»|; ¿))**> * С"«,!/1 Р£] Мі*(1п;Рп)-

(10)

1=о

С учетом Леммы 2, точно так же с помощью неравенства Гельдера Ук € N выводим:

Ф(у) = Р(І^Рп|; І)^м = вир вир |£^(х)Рп(х)|^х

*

* вир вир

ЕсКп ^(Е)=у ,

£^г(х)Рп (х)

1=о

У к

Ес«п ^(Е)=у 7 г=о

Е

^х + вир вир

ЕсКп ^(Е)=у .

У, ^г(х)Рп(х)

г=к+1

Р(|£ ^гРпІ; І)^І + / Р(І £ Рп|; І)^І

*

і=о

г=к+1

+о

^ О-ву1 _1 I Г_!(Р(^^1Рп|;*))в(*> +

+о

1=0

+о

+Срву1 р I *р 1(Р(| £ ^¿Рп|;*))в

1=к+1

^ с;, у1 _1 £

1=0

+о

рв У1_р £ № 1=к+1

^;рп ) .

Далее

Т <

^дт (Мп;рп)

+0

^ с»тт / у°_1

1 [ Р (|^Рп|; *)(* у

0

+о

(у = с»Т у 9 1

1 Ф(у)

у

1 ф(у)

у

+о

(у + у у9 1

т- 1

С учетом (11) оценим /1:

I 10 I /»

11 < (с;,„в )Т £ /

_г\ I ♦/

+ 0

1

/л(к)

т_ 1

у9

к=0

1

М(к)

1 ф(у)

у

1 Ф(у)

у

= /1 + 12.

. ^.(к + 1)

+0

< (с.'р,в)Т £ /

к=0 1

+0

Т I - — Т _ 1

у9

у1 _1 £

1=0

^(к + 1)

+0

+у1 р £ И^еИЬрв (Кп;р„) 1=к+1

«(С'р „в )Т £

1

+о ^

Т V"1 т _ Т — 1

/у 9 к=0 1

уТ М £ И^вИ^е(Кп;РпП +

1=0

^(к + 1)

I Т-------

+у р

+0

1=к+1

+0

(СГр»в)Т { £ (Мк))Т(1 1) £ 1Ыкв(Кп;РпН +

+0

+£ (^(к + 1))

к=0

Т (1_ 1)

4 р о '

1=0

+0

к=0

+0

(с^)т Е

1=к+1

Т ( 1 _ а ^к/,, 11Т ,,(Ь\Т (Р_1 )1

° 1^к ||Ьг9 (Кп;рп) + Мк)Т (р ° 1^к ||Ьр9 (Кп;рп)

к=0

(11)

в

в

Т

Т

п

Т

Т

Слагаемый 12 оценим с помощью (10 І2 * (^)Т / У9-1

£

г=о

^’е|Ьрв(Кп;рп)

/

= (1 * р < д < +то) = (бГрд0)Т I £ ||^е|Ьрв(Кп;рп)

\г=о

Условия, наложенные на последовательность чисел (р(к)}, позволяют провести следующие выкладки:

х

£

г=о

£ (МО)

г=о

Уе|Ьрв(Кп;Рп) * ^ (М/))Т( 1 1) ІШЦрв(Кп;рп^ х

г=о

— Т'( 1 — 1)

чр 9'

Ґ

0Р?Т \ (^(/)) (Р 9) Н^е|Ьрв(Кп;рп)

к г=о

3. Основные результаты

В настоящем пункте приведем предельную теорему вложения разных метрик в пространствах Лоренца с весом Эрмитта и покажем неулучшаемость условия данной теоремы.

Теорема 1. 1 ^ р < +то, 1 ^ в ^ и последовательность {/к}+=, С Ъ+ такова, что

/0 = 1, /к+1 ■ /_1 > а0 > 1, Ук € ^+. Пусть f € Ьрв(Кп; рп) и последовательность алгебраических многочленов {Р1ь...,1к(Х)} +=0 такова, что справедливо в метрике пространства Ьрв (Кп; рп) представление

/(х) = £ ,..А(х).

к=о

Если при некоторых д и т: р < д < +то, 1 * т < ряд

к=о

А,

,.4')

Ьр,в (Кп ;рп)

сходится, то / Є Ьд;Т (Мп; Рп), и при этом справедливо неравенство:

1;рп)

* Ор

рд^тп

£ /

к=о

-( )

( 2р 2д )

Т

Аг, г(/)

Ьр,в (Кп;рп)

Доказательство. Введем обозначение Ьк = /к2, к € Ъ+. Очевидно, что Ь0 = 1 и

— П +°

-Г+1 > а02 > 1, Ук € ^+. К разложению f (х) = Е А1к,.. .,1к лемму 5 применим при г =

Тогда

1;рп)

*

*О

рдт#п \ ^ ^

к=о

___тп

/ 29

1к

ІА,

тп ( 1 _ 1 )

|Т + / 2 (Р 9) ІІА ||Т

1ь^,в(Кп;рп) + к |А1к,...,1к ІІ£рв(Кп;рп)

Т

1

У

Т

С помощью неравенства разных метрик, приведенного в лемме 1, данное выражение можем продолжить следующим образом:

НУ И^т(Кп;рп) ^ Срдтв^ £, 1к(2Р 29) IIА^,...,1к 1Цр9(Кп;рп)

к=0

Теорема 2. Пусть 1 ^ р < д < +то, 1 < в < +то, 1 ^ т ^ и У € Ьрв(Кп; рп),

{/к}+°0 С ^+: /0 = 1, /к+1 ■ /_1 > а0 > 1. Допустим, что последовательность кратных алгебраических многочленов {Т1ь...,1к(Х)} +=, такова, что в метрике Ьрв (Кп; рп) справедливо равенство:

/(x) = £ Aifc(x).

k=0

Тогда справедливо неравенство:

Г +о / \ 1 в

х—Л в( ) 1

^ ;в( 29 2р ) II Л

,,1к I ¿9т(Кп;рп)

!+ТО , .

___в( _n_______n )

£/fc 2q 2p ||AZfc,... k=0

Здесь Ар„вТп > 0 зависит лишь от указанных параметров.

Доказательство. Пусть р + р' = рр', в + в' = вв' и $ € Ьр/в/ (Кп; рп), а последовательность алгебраических многочленов {ф>1т,...,1т}т==0 является для нее последовательностью многочленов наилучшего приближения в метрике Рр/в' (Кп; рп):

+ 0 +0

g(x) ~ ф1,...,1 + £ (фгт,..,гт (x) - фгт_ь...,гт_1(x)) = £ Агт,..,гт(g; x).

m=1 m=0

Поскольку

f (x)g(x)pn(x)dx ^ ||f ||lp9(Rn;pn) ■ 1Ыкр,9,(Rn;pn),

Rn

то

Rn

sup берется по всем g G Lp/0/ (R; p„) таких, что ||g||r/9/ (Rn;pn) ^ 1

= sup ^ M £ Aik(/; x)) ■ (£ Aim,...,im (g; x)) pn(x)dx Rn =0 =0

sup берется по всем g G Lp/0/ (R; p„) таких, что ||#||lp/9/(Rn;pn) ^ 1

и^Aifc,...,ifc(/;x) ■ Aim,...,im(g;x)pn(x)dx = o,k = m

Rn

1 f 1 n _ sup N — ■ C*q/p/e/r/n ■ n 2 ■ T1,...,1 ■ ф1,...,1 ■ ^1 + Сд/р/в/г/га / y X

Cq/p/e/T/n I ^1 k=1

x f A1k 1k (/; x) ■ A1k 1k (g; x)-— p;(x)dx sup берется по всевозможном g, J ’

Rn

I

l^lfc}fc=o : a)Cq/p/T/e/nn2 |ф1,...,1| ^ A1;

б)Сд/р/т/0/п||Агь...,г*: (^ОІкут/ (Кп;рп) * Л^ , Є N;

в)

_____ д/ ( п п \

І 2* 2р/ )Д0/

/ у к

к=о

* 1 =

Сд/р)/Т/б/п ^иР І ^ ^ Лк ||Аік,...,к (/)|ьдт (Кп ;Рп)

I к=1

( +го

всевозможным {Лік}+= : І І

вир берется по

¿)/ ( п п \

* ( 2д/ V )Л0/

* 1 =

к=о

І ( п п )

8ир £ ік.2*' 1р-) ■ Лік І!А,к , (/)|ь„ («»;,„) ■ Ік

к=о

по всевозможным {Лік}

(Л-__п)

29/ 2р"-'- »*- "1^(Кп;рп)- ?(2* — 2Р)

й/(Л____п_)

* ( 2*/ 2р/ )

вир берется

к=о

* 1 =

к=о

С — 1

Сд/р/т/б/п

Ді*-2р^| а (/)|0

I / У Ік ІІАік,...,к (/ЛІЬ*т (Кп;Рп)

к=о

Что и требовалось доказать.

На третьем звене неравенств мы учитывали справедливость неравенства:

1Ы|ь„/0/(Кп;рп) * Сд/р/т/0/п

|ф1,...дҐ + £ 1

0/(_п_______п_ )

* ( 2*/ 2р/ )

НАік:,.

к=1

*

*

£ І

к=о

д/( п п \

* ( 2*/ 27 Л */

Л

* 1.

Теорема 3. Пусть 1 < р < д < +то, 1 ^ в ^ +то, 1 ^ т < и {/к}д,=0 С такова, что /0 = 1, /к+1 ■ /_1 > а0 > 1,Ук € Z+.Теорема 1 неулучшаема в том смысле, что существует функция / € Ьр,в(Мп Рп), для которой ряд

+° Т()

£ 1к Р 9 ,...,1к (Кп;рп)

к=0

расходится, и при этом /0 € р„,Т(Мп; рп), но для любого положительного числа е > 0: р < (д - е) < д функция / € £„ _ £,т(Мп Рп).

Доказательство. Рассмотрим ряд

+п

Л-

£ с п р; <x.),

к=0 г=1

где многочлены р* (хг) из леммы 4.

С помощью леммы 4 получим

N п

п

£ с п р; <х.)

к

к=м і=1

*

Ьр,0 (Кп ;рп )

N

N

*£ ІКіІ Ьр

к=м

г;рп )

* (С)п £ і

_( _п_)

( 2р 2* )

к=м

к 11 Ь*/т/ (Кп ;рп )

к

п

0

при тт(Ж, М) —> +то.

Отсюда следует, что существует функция /0 € ¿р,(Мп; рп) такая, что в смысле сходимости пространства Рр,(Мп; рп), 1 < р < +то, 1 ^ в ^ справедливо равенство

+0 п

Л-

лт = £ /Щ р; (х<).

к=0 г=1

Если ввести обозначение Т1т,...,1т (х) = Ет=0 Пп=1 рГ; (хД то

А1^,...,1* (УЪ; х) = ^ П ^(хг)’^ € ^ +.

г=1

Далее, в силу леммы 4, имеет место следующая цепочка неравенств:

+0

__ т / _п_ _ N _ .

£7к Р 9 ||А1;,...,1к(У0)II¿р,в(Кп;рп) = £ 7

+0

к=0

к=0

^ _п_ _г?_ ^ Л.

( 2р 29 ) 7 29 Н р * ||пТ ^

к к II 1;11 Ьрв(Кп;рп) ~

N

X л Т( —- —) -Т( —- —)

> (Ср,)™£ /к(2р 29) ■ /_ (2р 29) = (Ср,)™(Я +1) ^ +<*,,

к=0

при N ^ +то. Таким образом, на функции /0 € Ьре(Мп; рп) ряд, стоящий в левой стороне данных соотношений расходится. Теперь для этой же функции, согласно теореме 2, имеем:

М п

п

Е^П р; (■)

к=0 г=1

М

. ___ / П П N П т

■> С ^ \ ' / (49 29 ) 7 29 II р * Мпт V ^

> Сдт,п л / у 7к ^ И р'■ ^ ' /т 4 >

¿9т (Кп ;рп )

к=0

к II 1;Н ¿290 (Кп ;рп) |

М

>

Ст,п Е /к49 /

тп т п

49 к 7 к

к=0

при М ^ +то. Это означает, что /0 € рдт(Мп; рп), 1 < р < д < +то. Пусть е > 0 произвольное положительное число такое, что р < (д — е) < д < +то, 1 ^ в ^ +то, 1 ^ т < +то. Тогда согласно лемме 4:

М

__Т (—______п )

£ 7к Р (9 ) Ц^;,...,1; (/о)Н£ре(Кп;рп) ^

к=0

М

т (_п___п ) тп

^ (ср,)тп£ /к(2р 2(°-£)) ■ /^ Мр* н:\~ , ^

к=0

+0

к II 1;11 ¿рв(Кп ;рп)

__ т ( 1__1 )

(Ср,)тп£ /_ (2(9-£) 29) < +то> Ут € N.

к=0

Следовательно, согласно теореме 1: /0 € _ £,т(Мп; рп), 1 ^ т < +то, тем самым теорема

доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Конюшков А.А. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффициенты Фурье // Математический сборник. 1958. 44(86). C. 53-84.

2. Ульянов П.Л. Вложение некоторых классов функций Ар // Извстия АА СССР, серия математическая. 1968. 32,3. C. 649-686.

3. Ульянов П.Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшими (модулями непрерывности) в разных метриках // Математический сборник. 1970. 81(123). C. 104-131.

4. Коляда В.И. Теоремы вложения и неравенства разных метрик для наилучших приближений // Математический сборник. 1977. 104(144),2. C. 125-225.

5. Фройд Г. Об одном неравенстве Марковского типа // ДАН СССР. 1971. T. 197, № 4. C. 790793.

6. Стейн Н., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на Евклидовых пространствах. Мир, 1974.

7. Гольдман М.Л. Теоремы вложения для анизатропных пространств Никольского-Бесова с модулями непрерывности общего вида // Труды МНАН СССР. 1984. T. 170. C. 86-124.

8. Алексеев Д.В. Приближение функций одной и нескольких действительных переменных с весом Чебышева-Эрмитта // Дисс. к.ф.-м.н., М., МГУ им. М.В.Ломоносова.

Есмуханбет Сайдахметович Смаилов,

РГКП "Институт прикладной математики"КН МОН РК, ул. Университетская, 28 "А 100028, г. Караганда, Казахстан E-mail: [email protected]

Алия Ибрагимовна Такуадина,

Карагандинский государственный медицинский университет, ул. Гоголя, 40,

100000, г. Караганда, Казахстан E-mail: [email protected]