CC BY
27
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 14 Выпуск 2 (2013)
УДК 511
О НЕРАВЕНСТВЕ, СВЯЗАННОМ С ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ В МЕТОДЕ ВЕСОВОГО РЕШЕТА
Е. В. Вахитова, С. Р. Вахитова (г. Воронеж)
Аннотация
В работе получена теорема о неравенстве, связанном с весовой функцией в методе весового решета.
Ключевые слова: метод, решето, веса, число, оценка.
INEQUALITY ASSOCIATED WITH WEIGHT FUNCTION IN THE METHOD OF WEIGHT SIEVE
E. V. Vakhitova, S. R. Vakhitova (Voronezh)
Abstract
In this paper the theorem on inequality connected with weighted function in method sieve weights is obtained.
Key words: method, sieve, weights, number, estimation.
1. Введение
При решении ряда теоретико-числовых задач, в которых применяется метод весового решета, возникает необходимость исследования весовой функции. Будем рассматривать весовую функцию, которая была анонсирована А. А. Бух-штабом в работе [1] и позже изучена первым автором в работах [2] и [3]. Отметим, что различные методы весового решета исследованы в монографиях [4]
- [6]. В настоящей работе получено неравенство, связанное с весовой функцией с весами Бухштаба. При этом возникает величина В (а, а,Ь, с, д1), которая определена следующим равенством:
(g'-1)aa+1
аа— 1 д;
, 1 [ F (z)dz 1 Г [ F (z)dz
B(a,a,b,c,g)-.= - --------+ -------- —(с - Ь) --------+
2 J aa — z 2с — Ь — 1 ^ J aa — z
(д' — 1)аа+1
д
Г .г — (аа — с) ,
+ Р (г)------------------------- ¿г +
(д'— 1)аа+1, д'аа
аа — г
аа— 1
д'2 аа
( / ""V—7)7+
2аа
(д'-1)аа+1
р(,)(Ь +1)г - (2аа — Ь — 1)
р (д ) г(1 + г) аг+
+------
аа
(д'-1)аа+1 аа-1
(д' — 1)аа+1 аа— 1
д Г ^ ,ЛЬ +1 — аа/д1 )г — (аа — Ь — 1)
р (д )-
г(1 + г)
¿г
I
аа—д
(1)
где а,а,Ь,с,д' Є И, 0 < а ^ 1, 1 ^ Ь < с < аа, 1 ^ д' ^ аа — 1, 2с — Ь — 1 > 0, д' + 1 ^ аа ^ 2д' + 2, аа — с ^ д'.
2. Вспомогательные леммы
Лемма 1. Пусть В(а,а,Ь,с,д') определено равенством (1). Тогда
где
В(а, а, Ь, с, д')
1
аа— 1
2с Ь 1
{(с—ь) [ +
аа г
аа—1 д
Ь — 1 [ Р(г)б,г [ п, ,2 — (аа — с)
+^^ I + Р (г)------------- ¿г+
2 аа — г аа — г
(д' — 1)аа+1 аа с
д'
(д' — 1)аа+1
+
д' 2аа
<
д' аа
V
. ¿г ^
Р(г)-------- ) — + А
V — г V
(д' — 1)аа+1
Б1 := —Р(д') /—аад------1п (аа — 1) +---+— 1п (аа(д' — 1) + 1^ +
аа д 2
+ ^аад——1 — Ь — 1^ 1п д' + ^Ь +1 — 1п (аа — д') |.
(2)
(3)
аа—с
д
Доказательство. Преобразуем первые два интеграла из равенства (1), отделив общий множитель 1/(2с — Ь — 1).
(д'— 1)аа+1 аа— 1 д'
2с — Ь — 1 [ Р (гЫг , [ Р (г )3г
31 + 32 :=----- ---- -^^ + (с — Ь) -^^ =
2 J аа — г ,/ аа — г
(д' — 1)аа+1 д'
д'
(д' — 1)аа+1 аа—1 д'
( Ь — 1\ [ Р (г)^г [ Р (г) ¿г
((с—Ь) + ^) У а— + (с—Ь) .) аа—г-
(д! — 1)аа+1 д
Для д' и аа выполнено неравенство
, аа(д' — 1) + 1
д ^------------------->
д
так как при аа ^ 4 для всех д1 из интервала [1; аа — 1] будет выполнено неравенство д'2 — аад1 + (аа — 1) ^ 0.
Кроме того, при д' ^ аа — 1 выполнено неравенство
аа(д' — 1) + 1
аа — 1 ^ -----------------.
д
Поэтому для суммы интегралов 31 + 32 получим следующее равенство:
аа—1 аа—1
/■ Р (г) ¿г Ь — 1 [ Р (г) ¿г
31 + 32 = (с — Ь) / —^----------------------------------------------------1-т^~ (4)
] аа — г 2 ] аа — г
д (д! — 1)аа+1
д'
Преобразуем пятый интеграл из равенства (1).
аа—1
35 '=а ) рд)(Ь + 1)г—,(+ТЬ ~ц ¿г =
2аа ] г(1 + г)
(д' — 1)аа+1 аа— 1
аа— 1
д' Г ( — (2аа — Ь— 1) 2аа \ ,
= р (я') —-- +----)3г =
2аа У V г 1 + г)
(д' — 1)аа+1 аа— 1
! /■ N аа— 1
я Р(д') ] — (2аа — Ь — 1) 1п г + 2аа 1п (1 + г) >
2аа
(д' — 1)аа+1
аа 1
д
)
(аа — 1)(аа — 1) аа(д' — 1) + 1
Р(д' л — (2аа — Ь — 1) 1п ■
аа(аа — 1) +2аа 1п 4 '
аад' — аа + 1 + аа — 1
,
д' Г . , . П (аа — 1)2 , аа — 1 ]
35 = ~Р (д Ц —(2аа — Ь — 1)1п—-т-)—ТГ^Г + 2аа 1п—/— (■ (5)
2аа [ аа(д' — 1) + 1 д' )
Преобразуем шестой интеграл из равенства (1).
(д' — 1)аа+1 аа—1
д' Г ' (Ь +1 — аа/д')г — (аа — Ь — 1)
3б :=— Р(д )---------------/г-.—ч-----------аг =
аа ] г(1 + г)
д'
аа— д
(д' — 1)аа+1 аа— 1
д' Г ( — (аа — Ь— 1) аа — аа/д'\ ,
Р (д') —-1 + л,' ¿г
аа У \ г 1 + г )
аа— д
— Р(д'){ — (аа — Ь — 1) 1пг + аад--------------------1п (1 + г)!
аа { д' )
(д' — 1)аа+1 аа—1
д
аа—д
¿-_Р(д') {—(аа — Ь — 1) 1п (аа(д ^а1) + ?)(°а — ^] +
д' — 1 1 (аад' — аа + 1 + аа — 1)(аа — д')
I аа " 1п
аа \ (аа — 1)д'
... 21,
д' (аа — 1)(д' + аа — д') ]
3б = (д){—(аа — Ь — 1) 1п {аа{д' — 1)+1)(аа — д'} +
аа { (аа — 1) д'
. д'— 1! (аа — д')д' \ ^
+аа——1п —---------------— \. (6)
д' (аа — 1) )
Тогда для суммы пятого и шестого интегралов из равенства (1) получим, учитывая равенства (5) и (6):
д' 1—I/ а Г —(2аа — Ь — 1) . (аа — 1)2
35 + 36 = ^- Р (д' )^ -------------Мп ) ; +
аа I 2 аа(д' — 1) + 1
2аа (аа — 1) (аа(д' — 1) + 1)(аа — д')
+ ~— 1п-------- -----(аа — Ь — 1) 1п--------- -------—— ---------+
2 д' (аа — 1)д'
д' — 1 , (а а — д' )д‘
+а а , 1п
д' а а — 1
— Р (д' ) | (^~~+---а а^ ^21п (а а — 1) — 1п ^ а а(д' — 1) + 1^ ^ +
+ а 1п ( а - 1) - 1п д + (Ь + 1 - а) 1п а(д - 1) + 1 +
+ 1п ( а - д ) - 1п д - 1п ( а - 1) +
+аад—'— ^1п д' + 1п (а а — д') — 1п (а а — 1)^ | =
д' \ д' —1\
= — Р (д ) % Ь +1 — 2 а а + а а — Ь — 1 + а а — аа------------ I 1п (а а — 1)+
аа I д )
^-2— + а а + Ь +1 — а а^ 1п ^ аа(д — 1) + 1^ +
+
+ ^—а а — Ь — 1 + а а + а ад—-—^ 1п д' + +1 — а а + а а — 1п (аа — д') |,
35 + 3б = —Р (д ) \ — а а----1п (а а — 1) +----1п [ а а(д — 1) + 1 ) +
а д 2
+ ^аад—у-1 — Ь — 1^ 1п д' + ^Ь +1 — 1п (аа — д') |. (7)
Таким образом, для всей суммы интегралов из равенства (1) получим, учитывая равенства (4) и (7):
аа—1 аа—1
1 [ Р(г)¿г + Ь — 1 [ Р(г)¿г +
В(а,а,Ь,с,д') = -----------Ь—^{(с — Ь) / +
2с - Ь - 1 а - г
2с - Ь - 1 а - г 2 а - г
д' (д' — 1)аа+1
д'
(д'— 1)аа+1 ^
д' аа д'аа
[ тл/ \ г — (а а — с) , [ ( [ тл. . ¿г \ ¿V
+ Р (г)---------------------- ¿г + / Р (г)-------- —+
I а а - г I \ I V - г V
д'2 аа
(д' — 1)аа+1
+—Р(д') I—аад-1п (аа — 1) + Ь + 1п (аа(д' — 1) + 1^ +
а д 2
аа—с
+ ^ а ад—у-1 — Ь — 1^ 1п д' + ^Ь +1 — 1п (а а — д')
Определив теперь величину Д1 равенством (3), получим для В (а ,а,Ь,с,д') из (8) равенство (2).
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть В (а ,а,Ь,с,д') определено равенством (1), д' = 3. Тогда
(8)
аа— 1
В(а,а,ь,с,з)=-—ь—^{(с—ь) [ Р^г+
2с Ь 1 а г
3
2аа+1V
аа—1 аа 3аа °
Ь — 1 [ Р(г)¿г [ ( [ , ¿г \ ¿V ,
+— I + / ( У Р(г)+ Ч ■
где
2 У а а — г У \ У V — г) V
2аа+1 9аа 3
3 2аа+1
_ 2е7 Ґ 2 а а
А2 :=-< с 1п с + (аа — с) 1п (аа — с)------------------— 1п (аа — 1) +
а 3
+—+— 1п (2 а а + 1) + ^ Ь +1 — с —3-^ 1п (аа — 3) + ^ с — Ь — 1 —3-^ 1п з|. (10)
Доказательство. Так как для В (а ,а,Ь,с,д') выполнено равенство (2) леммы 1, то при значении параметра д = 3 получим:
аа—1 аа—1
і-./ 7 \ 1 (, ^ [ Р(г)¿г Ь — 1 [ Р(г)б,г
В(а, а, Ь, с, 3):=-------— (с — Ь) +
2с Ь 1 а г 2 а г
3 2аа+1
3
2аа+1,
_______-V
3 аа 3аа
г — (а а — с) [ / ¡' ¿г
+ І Р(г)1--------------------——— ¿г + І ( І Р(г) ) —+
а а — г ] \ ] V — г) V
9аа 3
2аа+1
+-----Р (3) / — а а 1п (а а — 1) +-------1п (2 а а + 1) +
а 3 2
+ а а — Ь — 1^ 1п 3 + ^Ь +1 — ~3—^ 1п (а а — 3)
Так как Р(и) = 2е7/и при и ^ 3, то Р(3) = 2е7/3, поэтому можно преобразовать третий интеграл, содержащийся в полученном равенстве для В( , а, Ь, с, д ).
3 3
3,:= [ р(г)г—аа—А(Ь = [ ^га — (Ь =
а -г г а -г
аа—с аа—с
3
2е-' I ( — 1+ с/аа +
\ г а а — г)
„ с [ ( аа\ , 3 , а а — 3
2е7 — 1-1п-1п-------
а а I \ с ) а а — с а а — а а + с
( с \ л 3 с л а а — 3] /ч
3, = 2е7< (------1 ) 1п--------------1п--------(11)
а а -с а с
Следовательно, учитывая равенство (11), получим для В(а, а, Ь, с, 3) :
аа— 1
В(а,а,Ь,с,3) = 2—Ь—г1(с — Ь) / +
2с Ь 1 а г
3
2аа+1,
______-V
аа—1 аа 3аа
2аа+1 9аа 3
3 2аа+1
+ Ь__1 Г т<Ь + Г / р + 1, (12)
2 1 а а - г I \ I V - г V
где
3 2е7 Г 2 Ь +1
У :=------------< — а а 1п (а а — 1) +---------1п (2 а а + 1)+
а 3 3 2
+ а а — Ь — 1^ 1п 3 + +1 — —3>_^ 1п (аа — 3) ^ +
~ \ ( с \ , 3 с л а а — 3]
+2е7^ (---------------------------------1 1п-1п------
а -с а с
а а -с а с
Преобразуем теперь сумму У.
2е1 [ 2 Ь +1
У =-------< — а а 1п (а а — 1) +-1п (2 а а + 1) +
а 3 2
аа с
3
аа с
+ ^3аа — Ь — 1^ 1п 3 + +1 — _3>_^ 1п (аа — 3) +
+ (с — аа) 1п3 — (с — аа) 1п (аа — с) — с 1п (аа — 3) + с 1пс|,
.. 2е7 ( 2аа
У =----< с 1п с + (аа — с) 1п (аа — с)-— 1п (аа — 1) +
аа 3
Ь + 1П , ч /, аа \ , . / аа \ , ]
+—2— 1п (2аа + 1) + ( Ь +1---------3--------с 1 1п (аа — 3) + (с-3— Ь — 1 1 1п 3 >.
Тогда для В(а,а,Ь,с, 3) из равенства (12) получим окончательно следующее равенство:
аа— 1
В(а,а,Ь,с,3) = 2—Ь—г1(с — Ь) / +
2с — Ь — 1 ^ У аа — г
з
2аа+1V
аа—1 аа Заа и
Ь — 1 [' Р(г)йг [' ( [ . . ¿г
(
+ / Р (г)—)~ +
2 7 аа — г 7 V 7 V — г) V
2аа+1 9аа 3
3 2аа+1
2е7 Г 2аа Ь + 1
+---< с 1п с + (аа — с) 1п (аа — с)------1п (аа — 1) +--------1п (2аа + 1) +
аа { 3 2
+ ^ Ь + 1 — с — а1п(аа — 3)+ ^с — Ь — 1 — а3^^ 1п311. (13)
Определив теперь величину Я2 равенством (10), получим для
В(а,а,Ь,с, д') из (13) равенство (9).
Лемма 2 доказана.
Следствие 1. Пусть В(а,а,Ь,с, д') определено равенством (1), д' = 3, аа = 6. Тогда
5
В (—’-’Ь’с 3) = 2——г{(с — Ь)/Т—Т+
3
5 6 18и
+ Ь — 1 !Р(г)йг + Я / Р^)—}- + яЛ, (14)
2 7 6 — г 7 V 7 V — г ) V
13 54 3
3 13
где В’2 определено равенством:
( Ь +1 1
:= — < с 1п с + (6 — с) 1п (6 — с) — 41п 5 +-^— 1п 13 — 41п 3 ^
Доказательство. Применяя лемму 2, из равенства (9) для В(а,а,Ь,с, 3) при аа = 6 получим:
В(а-аЛс-3) := I(с — Ь) /тгг+
з
13
6 1 8 °
Ь — 1 [ Р(г)dг /V [ . ¿г
где
2 У 6 — г У \ У V — г } V
13 54 3
3 13
( Ь +1
У1 := — < с 1п с + (6 — с) 1п (6 — с) — 41п5 +-1п 13+
32
+ (Ь + 1 — с — 2) 1п 3 + (с — Ь — 1 — 2)1п3|.
Преобразуем теперь сумму У1.
( Ь +1 1
У1 = — < с 1п с + (6 — с) 1п (6 — с) — 41п 5 +-2— 1п 13 — 41п 3 > = ".
где ". определено равенством (15).
Тогда для В(а,а,Ь,с, 3) из равенства (16) получим окончательно следующее равенство:
в(—, а, Ь, с, 3) = 2 1 х
5 5 6 18 и
■( <•—»/ ^+—I ^ +/( I- >•> vаhУV+".
3 13 54 3
3 13
Следствие 1 доказано.
Следствие 2. Пусть В(а,а,Ь,с, д') определено равенством (1), д = 3, аа = 4. Тогда
1 3 ]
В(а,а,Ь,с, 3) = 2 1 • у<^ с 1п с — (4 — с)1п^с \.
Доказательство. Применяя лемму 2, из равенства (9) для В(а, а, Ь, с, 3) при аа = 4 получим:
3
В (алЬ,с 3> = 2С—\—4(с—Ь)! Р4—г+
3
5
4 44v
Ь - 1 ^Р(г)Лг + /(I Р(г) ,
где
2 У 4 — г ] \] V — г) V
3 4 3
2е7 / 8
П2 = (с 1п с + (4 — с) 1п (4 — с) — з 1п 3+
43 + ~+~ 1п9 + ^ Ь +1 — с — 3^ 1п 1 + ^ с — Ь — 1 — 3^ 1п31 = е7 { л ,л ч1 3 }
= У]с 1пс — (4 — с)1п^с г
Тогда для В(а, а, Ь, с, 3) получим окончательно следующее равенство:
1 ей 3 ]
В(а,а,Ь,с, 3) = 2 1 • у<^ с 1п с — (4 — с)1п^с Г
Следствие 2 доказано.
Следствие 3. При д' = 3, аа = 4, Ь =1 для В(а,а,Ь,с,д') имеет место равенство:
є1 Г 3 1
В (а, а, 1, с, 3) = —------------ < с 1п с — (4 — с) 1п -->,
4 ^ 4(с — 1Ц 4 ' 4 — с)
где 7 - постоянная Эйлера.
Доказательство. Применим следствие 2 при Ь =1, тогда, учитывая, что 2с — Ь — 1 = 2с — 2, получим для В (а, а, 1,с, д') :
1 еП 3 1
В (а, а, 1, с, д') = —- —< с 1п с — (4 — с) 1п-->.
1 ’ ’ ’ ,У ; 2(с — 1) 2 \ 4 — с)
Следствие 3 доказано.
3
3. Основной результат
Теорема 1. Пусть В(а,а,Ь,с, д') определено равенством (1), д' = 3, аа = 6. Тогда имеет место следующее неравенство:
1 е((
В (а, а, Ь, с, 3) ^ - —- — < с 1п с + (6 — с) 1п(6 — с) +
2с — Ь — 1 3 + 1, 9107007 с — 0,1959345 Ь — 9, 7508227
)■
Доказательство. Применим равенство (14) из следствия 1 леммы 2:
В (а’а'Ь’с' 3) = 2^Ьг{(с — Ь)/ ТГ?+
3
13
5 6 1 8 и
13 54 3
3 13
+‘-¥1 Р6—г+/(/- » ёд*+4
54 '
13
где "2 определено равенством:
ей Ь+1 1
"2 := "^ | с 1п с + (6 — с) 1п (6 — с) — 41п5 +-^— 1п 13 — 41п 3 >.
Оценим сверху интегралы, входящие в равенство для В (а, а, Ь, с, д').
5 г2
« ■'-/ 1—г-1 6—-, - — 1"1‘ — г»! -1"Й: > "■ <» -г*
3
5 4,4 5
2. = [ р(г)йг = [ р(г)аг + [ р(г^ = . + "
2) 32: = / 1Г—7 = У Т—7 + У Т—7 = 32 + 32 ’
13 13 4,4
3 3
где
4,4 5
3 : Г Р(г)аг 3,': = [ Р(г)аг
6 — г У 6 — г
13 4,4
3
4,4
Г —Щг ^ /Ш 1п 6—^ < - = - 25;
2 У 6 — г \3 ) 6 — 4,4 1 ; 3 • 1,6 1 ; 24’
13
3
25
Р(4, 3) = 1, 0112406, 1п— = 0, 0408219, 32 ^ 0,041280762 ^ 0, 04128077,
3'2 ^ 0, 4128077;
Промежуточные вычисления для 31 и 3 удобнее расположить в следующем порядке.
г 6 — г х :=----------1 1п х Р(г) Р(г) • 1п х ——
6 — г2 6 — г
3.0 3,0 1,0344827 0,0339015 1,1873800 0,040253963 0,39579333
3.1 2,9 1,0357142 0,0350913 1,1568354 0,040594858 0, 39890875
3 2 2 8 1 0370370 0, 0363676 1, 1272215 0, 040994340 0, 40257910
3 3 2 7 1,0384615 0, 0377403 1, 1031884 0, 041634661 0, 40858829
3 4 2 6 1 0400000 0, 0392207 1, 0836361 0, 042500966 0, 41678311
3 5 2 5 1,0416666 0, 0408219 1, 0677025 0, 043585644 0, 42708100
3 6 2 4 1 0434782 0, 0425596 1, 0547055 0, 044887844 0, 43946062
3 7 2 3 1 0454545 0, 0444517 1, 0441013 0, 046412077 0, 45395708
3 8 2 2 1,0476190 0, 0465200 1, 0354531 0, 048169278 0, 47066050
3 9 2 1 1 0500000 0, 0487902 1, 0284074 0, 050176202 0, 48971780
4 0 2 0 1,0526315 0, 0512933 1, 0226777 0, 052456514 0, 51133885
4 1 1 9 1 0555555 0, 0540673 1, 0180290 0, 055042079 0, 53580473
4 2 1 8 1 0588235 0, 0571585 1, 0142695 0, 057974123 0, 56348305
4 3 1 7 1 0625000 0, 0606247 1, 0112406 0, 061306158 0, 59484741
4 4 1 6 1 0666666 0, 0645385 1, 0088113 0, 065107168 0, 63050706
4 5 1 5 1,0714285 0, 0689928 1, 0068735 0, 069467022 0, 67124900
4 6 1 4 1,0769230 0, 0741079 1, 0053367 0, 074503391 0, 71809764
4 7 1 3 1 0833333 0, 0800427 1, 0041261 0, 080372964 0, 77240469
4 8 1 2 1 , 0909090 0, 0870114 1, 0031789 0, 087288000 0, 83598241
4 9 1 1 1,1000000 0, 0953102 1, 0024428 0, 095543023 0, 91131163
5 0 1 0 — — 1,0018742 — 1, 00187420
Суммируя все числа шестого столбца, получим значение интеграла от 3 до
5, то есть 3\ : 3\ ^ 1 ,1382701. А для 3'2 находим значение интеграла от 4,4 до 5, то есть находим часть суммы чисел из шестого столбца: 3'2 ^ 0 ,47228156. Следовательно,
32 = 32 + 32 ^ 0 , 04128077 + 0 , 47228156 ^ 0 , 51356233 ^ 0 , 5135624;
32 ^ 0 ,5135624.
Уточним полученные значения, применяя для вычисления интегралов формулу Симпсона:
Ь — а 6п
|у0 + уп + 2(у1 + у2 + ••• + Уи-і) + 4(у1/2 + у3/2 + ••• + Уга-1/2^,
где п - четное число,
хі + хі+1 £/ \
хі+1/2 : = -------------^-’ уі+1/2 := f (хі+1/2) •
1) 31
Р(г) йг 6 — г
, п =10 , Ь — а = 2 , у0 + у10 = у(3)+ у(5) = 1 ,3976675 ,
(числа берем теперь из седьмого столбца таблицы).
& := У1 + У2 + ... + Уп-1 = у(3, 2) + у(3, 4) + ... + у(4, 8) = 4 , 9888921 ,
ь
5
2$ = 9, 9777842,
У1/2 = у((хо + Х1)/2) = у(3,1),
Уз/2 = У1+1/2 = У(х1+1/2) = у((х1 + х2) /2) = у(3, 3),
уп-1/2 у(п—1) + 1/2 у(х(п-1)+1/2) у((хп-1 + хп)/2) у(4, 9),
$2 := у1/2 + уз/2 + ••• + уп-1/2 = у(3,1) + у(3, 3) + ••• + у(4, 9) = 5, 6638701,
4$2 = 22,6554804,
Л = -0 (уо + уп + 2$1 + 4^ , 31 = 3О 34,0309321 ^ 1,1343644,
Л ^ 1,1343644^
5 4,4 5
= [ р(х) Ах = [ р(г) + Г р(х)
2) Л := У = У “6-г+У “6-г =ЛЛ
1з/з 1з/з 4,4
Вычислим Л по формуле Симпсона: и = 3, Ь — а = 0, 6,
Л = 6т2-6|{0, 63050706 + 1,0018742 + 2^0, 71809764 + 0, 835982^ +
+4^0, 671249 + 0, 77240469 + 0, 91131163^
= 30 (1, 63238126 + 2 • 1, 55408005 + 4 • 2, 3549652^ =
= 3^1,63238126 + 3,10816010 + 9, 4198608^ =
= — 14,16040316 = 0,472013438, Л ^ 0, 47201344^
30 ’ ’ ’ 2 ’
Кроме того, ранее было получено значение ,1'2 : ,1'2 ^ 0, 04128077,
следовательно, Л2 ^ 0, 51329421 ^ 0, 5132943-
Таким образом, вначале было получено: Л1 ^ 1,1382701,
■]2 ^ 0,5135624, а, применяя формулу Симпсона, получили:
Л ^ 1,1343644, Л2 ^ 0, 5132943^
13 „
6 1 8и 6
3) Лз := /( / Р(х)V « Р(3) / (— 1и(„ — х)^8) V
V — х у V 54 3 54
13 13
6 4,2 6
«»/("-5—8) V = р и( _/(1"5Й) V+/('"й) т)
54 54 4,2
13 13
где
73 :
1п
4,2
1п
54
13
V — 3 \ ¿V 5v/18/ V ;
7"
6
4,2 1п 4,2
V — 3 \ ¿V 5v/18)
V-3
1п
(V — 3)18
■■(?(■—Э)
5^/18 5у
причем, последний логарифм возрастает. Поэтому получим, что
4,2
4 : =
■іп(—018 ¿V ^ іп (41-3)18 1^4,2
V
5v
54
13
5 • 4 ,2
54/13
, 1 ,2 • 18 4 ,2 • 13 , 36 91
= 1п--------1п--------= 1п —1п — = 0 ,0281709 • 0 ,0110498 =
5 • 4 ,2 54 35 90 ’ ’
= 0 , 0003112828 ^ 0 , 00031129 , 4 ^ 0 , 00031129.
При вычислении значения интеграла 4 получим следующие промежуточные значения:
V і ^ у := 1п — V х := — 3)18 1п х у • 1п х Ґ1п(" — 3)
VI 5v2 \ 5v
4 1 0 0240975 1 ,0285714 0, 028171 0, 0006788483 —
4 2 0 0235305 1 ,0883720 0, 084683 0, 0019926356 0, 006707357
4 3 0 0229895 1,1454545 0, 135802 0, 0031220200 0, 019693744
4 4 0 0224729 1 ,2000000 0, 182322 0, 0040973040 0, 030864090
4 5 0 0219789 1,2521739 0, 224881 0, 0049426370 0, 040516000
4 6 0 0215063 1,3021276 0, 264000 0, 0056776632 0, 048887173
4 7 0 0210534 1 ,3500000 0, 300105 0, 0063182306 0, 056170212
4 8 0 0206193 1 ,3959183 0, 333553 0, 0068776293 0, 062521875
4 9 0 0202027 1,4400000 0, 364643 0, 0073667731 0, 068072040
5 0 0 0198027 1,4823529 0, 393631 0, 0077949566 0, 072928600
5 1 0 0194181 1,5230769 0, 420733 0, 0081698354 0, 077182549
5 2 0 0190482 1,5622641 0, 446136 0, 0084980877 0, 080910192
5 3 0 0186922 1,6000000 0, 470004 0, 0087854087 0, 084176603
5 4 0 0183492 1,6363636 0, 492477 0, 0090365589 0, 087037777
5 5 0 0180186 1,6714285 0, 513679 0, 0092557764 0, 089541272
5 6 0 0176996 1,7052631 0, 533719 0, 0094466128 0, 091728392
5 7 0 0173918 1,7379310 0, 552695 0, 0096123609 0, 093634912
5 8 0 0170944 1,7694915 0, 570692 0, 0097556373 0, 095292241
-
V
5 ,9 0,0168071 1,8000000 0,587787 0 ,0098789948 0 ,096727457
6 ,0 - - - - 0 ,097964500
Сумма чисел из пятого столбца дает значение интеграла 3'1 :
3 ^ 0 , 13130795,
3з = Р(3)(3 + 3) ^ Р(3) • 0 , 13161924 ^ 1 , 18738 • 0 , 13161924 ^
^ 0,15628205, 33 ^ 0,15628205.
Уточним значение интеграла по формуле Симпсона: п = 9, Ь — а =1, 8, у(4, 2)+ у(6) = 0,10467185, 5 = 0, 57017032, 25 = 1,14034064,
5*2 = 0, 62571476, 452 = 2, 50285904,
(числа берем теперь из шестого столбца таблицы).
('
0,10467185 + 1,1403406 + 2, 5028102
)
1, 8 ^9
1
3,74787153 • —
’ 30
0,12492905,
3з = Р(3)(3 + 3) ^ 1,18738 • 0,12524034 ^ 0,14870787 ^ 0,1487079. Но третий интеграл можно оценить сверху по-другому:
1 3 V 18
:=
54
13
18 6 «/(...............'—*
' ^ I ( С(') 1п
54 13
5'/18у
где С(') - постоянная, зависящая только от '.
При вычислении значения интеграла 33 получим теперь следующие промежуточные значения:
'=
18г
13
04 14 24 34 44 54 64 75 85 95
05
1538461
2923076
4307692
5692307
7076923
8461538
9846153
1230769
2615384
4000000
5384615
1873800
1568354
1272215
1031884
0836361
0677025
0547055
0441013
0354531
0284074
0226777
0327898
0317487
0307717
0298530
0289875
0281709
0273990
0266682
0259754
0253178
0246926
'2 '1 2 (' х= - 3)18 5'2
1, 0838708 0, 080539
1, 1624999 0, 150573
1, 2363635 0, 212174
1, 3058823 0, 266879
1, 3714285 0, 315853
1, 4333332 0, 360003
1, 4918918 0, 400045
1, 5473683 0, 436556
1, 6000000 0, 470004
1, 6499999 0, 500775
1, 6975609 0, 529193
1п х 1п х • у • С(')
0031357015
0055302481
0073595779
0087892549
0099215432
0108282200
0115604490
0121555960
0126413710
0130386840
0133634830
6
'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
4,1 5, 6769230 1,0180290 0,0240975 1,7428570 0,555526 0, 0136281370
4, 2 5, 8153846 1,0142695 0,0235305 1,7860463 0,580005 0, 0138424720
4, 3 5,9538461 1,0112406 0,0077220 1,8000000 0, 587787 0,0045899110
13/3 6, 0000000 - - - - -
Сумма чисел из седьмого столбца таблицы дает значение интеграла 33 :
Уточним З3, по-другому: З3 = ^ (Р(гг) Е У 1п х
Ы Е у 1п х^
г Р (г) У 1п или У 1п Р • ^ ] или Р
3, 0 1, 1873800 0, 0019263560 0, 0023779854
3, 1 1, 1568354 0, 0031220200 0,0036116632
3, 2 1, 1272015 0, 0040973040 0, 0046184872
3, 3 1, 1031884 0, 0106203002 0,0117161910
3, 4 1,0836361 0, 0063182306 0, 0068466627
3, 5 1, 0677025 0, 0068776293 0, 0073432619
3, 6 1, 0547055 0, 0151617290 0,0159911580
3, 7 1,0441013 0, 0081698354 0,0085301357
3, 8 1, 0354531 0,0172834960 0,0178962490
3, 9 1, 0284074 0, 0090365589 0, 0092932640
4, 0 1,0226777 0, 0092557764 0, 0094656761
4, 1 1,0180290 0, 0190589730 0, 0194025870
4, 2 1,0142695 0, 0097556373 0, 0098948453
4, 3 1,0112406 0, 0098789948 0, 0099900406
Сумма чисел из четвертого столбца таблицы дает значение:
К" ^ 0,13688752 . Кроме того, ранее получено 3'ъ ^ 0, 0001129, поэтому К := Р(3) • 3д ^ 0, 00036972, следовательно,
З3 = К + К" ^ 0,13725724 ^ 0,1372573.
Итак, для третьего интеграла получили следующие значения:
33 ^ 0,15628205, 33 ^ 0,1487079, 33 ^ 0,14038471, 33 ^ 0,1373497.
Таким образом, будем использовать следующие оценки интегралов:
31 ^ 1,1343644, 32 ^ 0, 5132943, 33 ^ 0,1373497.
Оценим теперь величину Б'2, учитывая, что 7 = 0, 577215...
1п 13 0,51п 13 1п5 41п5 1п3 41п3
2,56495 1,282475 1,60944 6,43776 1,09861 4,39444
р'у ( Ь +1 1
Д := —< с 1пс + (6 - с) 1п(6 - с) - 41п5 +--------2— 1п 13 - 41п3 > =
= у |с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) - 6, 43776 + (Ь + 1)1, 282475 - 4, 394441 =
= у |с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) + 1, 282475 Ь - 9, 5497251.
Д = у |с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) + 1, 282475 Ь - 9, 5497251.
Заменим теперь интегралы в равенстве для В (а, а,Ь, с, 3), тогда получим следующее неравенство:
В (а, а, Ь, с, 3) ^ 1 |(с - Ь)1,1343644 + уу0, 5132943 + 0,1372573+
2с - Ь - 1
+у | с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) + 1, 282475 Ь - 9, 5497251
=------1----—{ 3в-Ч (с - Ь)1,1343644 + (Ь - 1)0, 25664715 + 0,1372573 1 +
2с - Ь - 1 3
+с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) + 1, 282475 Ь - 9, 5497251;
7 = 0, 577215..., в-1 = 0,56146, 3в-7 = 1, 68438;
1 е‘{
В (а, а, Ь, с, 3) ^ -- -------(с - Ь)1, 9107007 + 0, 2311935+
2с - Ь - 1 3
+ (Ь - 1)0, 43229124 + с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) + 1, 282475 Ь - 9,5497251 =
1 в |с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) + 1, 9107007 с - 0,1959345 Ь - 9, 75082271.
2с - Ь - 1 3
Таким образом, получим следующее неравенство
1 (
В (а, а, Ь, с, 3) ^ --------------- — < с 1п с + (6 - с) 1п(6 - с) +
2с - Ь - 1 3
+ 1, 9107007 с - 0,1959345 Ь - 9, 7508227 Теорема 1 доказана.
.
4. Заключение
Весовая функция с весами Рихерта является частным случаем весовой функции с весами Бухштаба и получается из нее при д' = аа -1. При этом величина В (а, а, Ь, с, д') будет иметь следующий вид:
При аа = 4, Ь =1 получим д' = 3 и величина В (а, а, 1, с, 3) получена в следствии
3 леммы 2. А так как веса Рихерта имеют ограничение аа ^ 4, то преимущества весов Бухштаба большие. Таким образом, доказанная теорема 1, связанная с весовой функцией с весами Бухштаба, позволяет получить преимущества в выборе параметров весового решета.
1. Бухштаб А. А. Новый тип весового решета // Теория чисел и её приложения: тез. докл. Всесоюз. конф. Тбилиси, 1985. С. 22—24.
2. ВахитоваЕ. В. О приложении функций Бухштаба // Математические заметки. 1995. Т. 57, № 1. С. 121—125.
= Vakhitova E. V. Application of Bukhstab functions // Mathematical Notes. 1995. Vol. 57, № 1—2. P. 85—87.
3. ВахитоваЕ. В. Об одномерном решете Сельберга с весами Бухштаба нового типа // Математические заметки. 1999. Т. 66, № 1. С. 38—49.
= Vakhitova E. V. Selberg’s one-dimensional sieve with Bukhstab weights of new type // Mathematical Notes. 1999. Vol. 66, № 1. P. 30—39.
4. Вахитова Е. В. Методы решета с весами Бухштаба и их приложения. М.: Изд-вo МПГУ «Прометей», 2002. 268 с.
5. Greaves G. Sieves in Number Theory // Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics. Vol. 43. Berlin: Springer-Verlag, 2001. 304 p.
6. Heath-Brown D. R. Lectures on Sieves // Proceedings of the Session in Analytic Number Theory and Diophantine Equations Held in Bonn. (Germany, Januare—June, 2002.) Bonner Mathematische Schriften. V. 360. Bonn: Univ. Bonn, Mathematisches Institut, 2003. 50 p.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Воронежский государственный университет e-mail: [email protected] Поступило 23.05.2013
