О нерасширяемости одного класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8 (314)

О НЕРАСШИРЯЕМОСТИ ОДНОГО КЛАССА МОНОТОННЫХ МЕР ИНСТАБИЛЬНОСТИ ВОЗРАСТНОЙ СТРУКТУРЫ НАСЕЛЕНИЯ

© 2005 г Д.М. Эдиев

Uniqueness is shown for the earlier proposed class of monotonie measures of convergence of population age structure to its asymptote structure for continuous population models with convex deviation function and continuously differentiable weighting function.

Введение

В классической популяционной модели, опирающейся на возрастные показатели рождаемости и смертности, динамика интенсивности деторождений описывается интегральным уравнением восстановления Лотки [1]. Ввиду эффекта последействия, характерного для этого уравнения, его решения и как следствие динамика возрастной структуры населения существенно зависят от возрастной структуры в начальный момент времени. Тем не менее при определенных условиях, выполняемых на практике, все решения уравнения восстановления асимптотически эквивалентны, а возрастная структура всякого населения асимптотически определяется только показателями рождаемости и смертности и не зависит от начальных условий задачи (свойство эргодичности) [2]. Теоретическое население, возрастно-половая структура и темп прироста численности которого постоянны во времени, получило название стабильного. Таким образом, возрастная структура всякого населения с постоянными показателями рождаемости и смертности сходится асимптотически к возрастной структуре некоторого стабильного населения.

В этой связи большое внимание в литературе уделялось поиску обоснованных мер отклонения возрастной структуры населения от его асимптотической структуры. Используя запись популяционной модели в форме цепи Маркова, Ш. Тулджапуркар [3] предложил монотонную меру сходимости структуры населения к структуре асимптотически эквивалентного стабильного населения на основе информационного расстояния Куллба-ка-Лейблера. Позже куллбаковское расстояние было исследовано Р. Шоеном и Я. Кимом [4], которые высказали предположение об уникальности этого показателя как нетривиальной монотонной меры сходимости к асимптотически эквивалентному стабильному населению. Независимо от американских исследователей теория показателей инстабильности возрастной структуры населения была развита С. Пирожковым [5, 6]. Модифицировав показатель инстабильности Пирожкова, А. Рубинов и Н. Чистякова разработали показатель, монотонно убывающий до нуля по мере стабилизации структуры населения [7], отметив монотонность как его отличительную черту. Исследуя популяционные модели в записи, явно учитывающей особенности динамики демографического потенциала (ДП) [8], автор установил, что показатели, предложенные в американской и отечественной литературе, являются элементами широкого класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения [8, 9]. Отмеченный класс характеризуется тем, что его элементами являются взвешенные суммы показателей инстабильности в отдельных воз-

растах с весами, пропорциональными соответствующим возрастным коэффициентам ДП. В построенном классе удалось указать на робастные меры сходимости возрастных структур, полезные в практических расчетах [9, 10].

Учитывая большое значение монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения в теории и практике математического моделирования в демографии, можно говорить об актуальности проблемы расширяемости класса монотонных мер, предложенных ранее. Автором было показано, что для дискретных популяционных моделей специального вида монотонные меры, не входящие в предложенный ранее класс, существуют [11]. Однако для непрерывных популяци-онных моделей вопрос в литературе не рассматривался. В настоящей работе исследована указанная проблема и показано, что при определенных условиях, обычно выполняемых на практике, все монотонные меры инста-бильности возрастной структуры, представляющие собой взвешенные суммы показателей инстабильности в отдельных возрастах, являются элементами предложенного ранее класса.

Условия нерасширяемости класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры населения Рассмотрим классическую популяционную модель с постоянным режимом воспроизводства, представленную в форме модели воспроизводства ДП для скорректированной интенсивности деторождений [8]:

, i \ Bit) где b(t) = —у- - интен-

b(t)=JДх)ь(-x)dx, t > 0

сивность рождения детей в((), скорректированная с учетом величины коэффициента Лотки л ;

Д(х)= - , и(х) - ожидаемый относительный ДП

Сх

младенца по достижении им возраста х лет, являющийся непрерывно дифференцируемой функцией возраста [8]; Ь() при / < 0 определяется начальными условиями и обычно удовлетворяет условиям ограниченности и кусочной непрерывности. Заметим, что имеет место равенство [8]:

J Дх )х = u(o) = 1.

(1)

Рассмотрим возможность расширения класса монотонных мер инстабильности возрастной структуры, предложенных в [8, 9]. А именно, рассмотрим показатели вида:

л

S (() = J w(x)s(b(t - x ))dx ,

(2)

где s(b) - некоторая выпуклая и отличная от константы функция скорректированной интенсивности деторож-дений; w(x) - весовая функция, предполагаемая финитной, непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей условию нормировки:

ад

| Д (х)х = w(0) = 1, (3)

о

где Д(х)=_^ .

ах

Напомним, что в [8] показана монотонность мер вида (2) при w(x) = и(х). Следующий результат указывает на то, что упомянутый класс монотонных мер является на практике исчерпывающим.

Теорема. Мера инстабильности (2) является монотонно убывающей функцией времени тогда и только тогда, когда w(x) = и (ж).

Доказательство. Достаточность показана в [8]. Ограничимся доказательством необходимости. Пусть (2) является монотонно убывающей функцией времени. Дифференцируя (2) после замены переменной под знаком интеграла, получим при t > 0 :

±8() = ^ М(-уЖу))у =

(Ль \Л1 _ад

= w(о)s(ь(t))+ | w'(( _ у )-(( ))у =

_ад

ад

= -(Ь(())_| Дw (х)(ь( _ х ))х =

= s^0 Д(х)( - x)dxj - 0Mw (x)s(b(t - x))dx . Учитывая монотонность S ((), придем к выражению

^ ад Лад

sl JMx)b(t - x)dx I < JMw(x)s(b(t - x))x . (4)

b(0 - x ) =

b0, x g I

(5)

где x > 0, I = {Д (x)< M(x)}. С учетом этого и условий (1), (3), (4) имеем для t = 0:

s(b + (1 - Д )bo) < Mwis(bi)+ (1 - Mwi )s)bo ), (6)

Mw1 ^

(7)

где Д = | Дх)ах, Дк 1 = | Дк (х )х (эта интегралы

I I

существуют, поскольку I состоит из открытых интервалов). Из неравенства (6) следует -ДЬ +(1 _ Д>р)_ ).

-(Ь1)_ -(ьо)

Раскрывая правую часть в (7) по правилу Лопиталя при Ь1 ^Ь0, получим Д > Д. Но из условия (5) легко видеть, что Дт1 < Д, если только множество I не нулевой меры. Следовательно, множество I имеет меру нуль. Тогда из условия нормировки (3) и свойства (1) следует, что Д. (х) = Дх) почти всюду, откуда следует,

что

X X

w(x) = 1 - J Д (y)dy = 1 - JДу)У = u(x). Теорема

доказана.

Замечание 1. Условия, накладываемые в теореме на весовую функцию, можно ослабить. В частности, достаточно потребовать, чтобы весовая функция была финитной, непрерывной и с ограниченной кусочно-непрерывной производной, в точках разрыва которой весовая функция равна нулю.

Замечание 2. При выполнении условий, гарантирующих свойство эргодичности популяционной модели, имеет место сходимость скорректированной интенсивности деторождений Ь(() к некоторому пределу Ь* при t ^ ад [2]. Соответственно показатель £^) монотонно убывает до некоторого предельного значения £ * по мере стабилизации возрастной структуры населения. Тогда величина

S(()- S* = ]u (x)[s (b ((- x))- s ()] dx

характери-

V о ) о

Выпуклая и отличная от константы функция -(ь) имеет в некоторой точке Ь0 отличную от нуля производную. Тогда из всякой окрестности Ь0 можно выбрать некоторую точку Ьх: -(Ь: )> -(Ь0). Рассмотрим популяционную динамику при следующих начальных условиях:

|Ь1, х е I

зующая отклонение возрастной структуры населения от его асимптотической структуры, будет монотонно убывать до нуля.

Литература

1. Lotka A. J. // Proceedings of the National Academy of Sciences (USA). 1922. № 8. P. 339-345.

2. Arthur W. B. // Demography. 1982. № 19. P. 439-445.

3. TuljapurkarSh. // J. of Mathematical Biology. 1982. № 13. P. 325-337.

4. Schoen R., Kim Y.J. // Demography. 1991. № 28. P. 455-466.

5. Пирожков С. И. Анализ возрастной структуры населения и закономерности ее формирования: Дис... канд. экон. наук. Киев, 1973.

6. Пирожков С. И. Демографические процессы и возрастная структура населения. М., 1976.

7. Рубинов А. М, Чистякова Н. Е. // Демографические процессы и их закономерности. М., 1986. С. 38-52.

8. ЭдиевД. М. // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 12. С. 37-74.

9. Ediev D. M. // Demographic Research. 2003. Vol.8. № 2. P. 31-60.

10. Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР. Ставрополь, 2003.

11. Эдиев Д. М. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2002. № 4. С. 3-6.

Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия

7 июля 2004 г

ад

ад