О нелинейных операторах Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

УДК 517.988.52

О НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРАХ

Н.А. ЕРЗАКОВА

Рассматриваются не линейные, но частично аддитивные операторы, действующие в правильных пространствах. Доказаны новые критерии уплотняющих относительно меры некомпактности Хаусдорфа операторов. Приводится приложение полученных результатов к разрешимости нелинейного уравнения.

Ключевые слова: частично аддитивные операторы, нелинейные операторы, уплотняющие операторы.

Пусть O - подмножество конечномерного пространства, причем m(O)<¥, ц- непрерывная мера; в обозначает нулевую функцию (6° 0 п.в. на O); U произвольное множество измеримых на O функций. Его носителем называется [1, с. 15] множество

supp U = supp(sup{rsupp u : u e U}), где kD - характеристическая функция подмножества D cO .

В каждом идеальном пространстве E существует неотрицательная измеримая на O функция u0 с supp u0 = supp E, называемая единицей пространства E [1, с. 17]. Через M(u0), также как и в [1, с. 35], обозначается пространство измеримых на O функций, для которых имеет смысл и конечна норма ||u||M^ ) = inf {l: |u| < 1u0 п.в.}.

Напомним, что банахово пространство E измеримых функций на O называется идеальным, если из | u(х) |<| v(х) | п.в., где v e E, а u - измеримая функция, вытекает, что u e E , причем u < v .

II IIe II IIe

Идеальное пространство E называется правильным, если каждая функция u из E имеет абсолютно непрерывную норму, т.е. lim ||PDu||£ = 0, где PDu(s) = u(s), если se D и

PDu(s) = 0, если s £ D .

Заметим, что пространства Лебега Lp (O) при 1 < p < «, пространства Лоренца и основной класс пространств Орлича являются правильными пространствами.

Так как ||u||E < 1|u0|| для любой функции ue M(u0), то имеет место вложение M(u0) с E . В частности, если u0 ° 1, то M(u0) = L¥(O), т.е. это пространство ограниченных в существенном функций.

Лемма 1 [1, теорема 15, с.27]. Произвольное ограниченное подмножество U правильного пространства E относительно компактно в том и только в том случае, если оно компактно по мере и если нормы функций из U равностепенно абсолютно непрерывны.

Для произвольной функции u e E и произвольного числа T > 0 введем обозначения:

D(u, T, u0) = {s :| u(s) > Tu0}; A(u, T, u0) = {s :| u(s) |< Tu0} = O \ D(u, T, u0) . (1)

Пусть U не ограничено в M(u0). Введем в рассмотрение множества: U0T, U¥T, [U]t ,

PA(J)U, PDT)U, где U0T - множество всех функций из U , для которых jujM(u )< T,

U«T = U \ U0T , PA(T)U = {PA(a,T,u0)u : u e U»T }, PD(T)U = {PD(a,T,u0)u : u e U»T }, [U]T = {£u]T : u e U«T },

/ч Tu0 (s)(PD(u T u )u)(s)

где [u]T (s) равно PA(uTu )u(s), если s e A(u, T,u°) и ---------------------;-------( , , ,-----, если s e D(u, T, u°)

[U]DT = {[u]DT : U є U¥T } где [u]DT (s) равно (PD(u,T,u0)U)(s)

PD(u,T ,u0)u(s I f Tu0( s) ^

PD(u,T ,u0)U(s)

, если s є D(u, T, u0)

и 0, если ^£ В(ы, Т,и0).

Справедливы включения:

и с и0Т и { РА(Т)и + ^(Т)и} , (2)

и с и0Т и { [и]т + [и]ВТ}. (3)

В работе обозначение PD(u Т и м используется только в случае, если функция PD(u Т и м не

эквивалентна в , т. е.

Pn/ т, U D(u,T ,^)

Ф ° соответственно PD(T)U состоит из ненулевых функций.

Определение 1 [2, с. 7]. Пусть E - банахово пространство, а U - ограниченное подмножество E. Мерой некомпактности Хаусдорфа Ce (U) множества U называется инфимум всех £ > °, при которых U имеет в E конечную £ — сеть.

Для относительно компактного множества U справедливо равенство cE (U) = ° . Кроме того, cE обладает рядом замечательных свойств [2, с.7], среди которых полуоднородность Ce (tU) =| 11 Ce (U) (t -число); полуаддитивность Ce (U u U2) = max {Ce (U ), Ce (U2)}; инвариантность относительно сдвигов cE (U + b) = Ce (U) ( b e E ) , алгебраическая полуаддитивность Ce (Uj + U 2) <Ce (Uj) + Ce (U2).

Так же, как в работах [3-5], обозначим через VE (U) меру неравностепенной абсолютной непрерывности норм элементов подмножества U правильного пространства E, полагая

VE(U )=^!й®° pD“l.

Мера VE (U) обладает всеми вышеперечисленными свойствами cE (U) и отличается от меры некомпактности Хаусдорфа только тем, что равенство VE (U) = ° возможно в силу леммы 1 на множествах, не являющимися относительно компактными.

В дальнейшем назовем подмножества U1, U2 правильного пространства E сравнимыми U1 < U2, если в E существует такая функция b(х), что для каждой функции u из U1 найдется функция v из U2, для которой почти всюду выполняется неравенство | u(х) |<| b(х) | + | v(х) |.

Аналогично, два оператора F1, F2, действующие из правильного пространства E в правильное пространство E1, назовем сравнимыми F1 < F2, если для каждого подмножества U из E имеет место F1 (U) < F2 (U) .

В силу свойства нормы в правильном пространстве и определения VE справедливо:

Ui < U2 ^ Ve(U)i <Ve(U2). (4)

Лемма 2. Пусть U - произвольное ограниченное подмножество правильного пространства

E. Тогда 1) cE (U )^ VE (U) ; 2)ve (U )= lim sup P ( u ; 3) если U к тому же компактно по

TueU ^ ’u°> E

мере, то Ce (U) = ve (U).

Доказательство. Для множества U и произвольного числа £ > °, согласно определению Ce (U ), найдется конечная [cE (U )+£]- сеть C£ ={c1, c2,..., cm}, такая, что

и С С, + [Се (и ) + е]В , где В - единичный шар Е. Поэтому по определению пЕ (и) получим пЕ (и) < пЕ (Се + Се (и) + е]В) < сЕ (и) + е в силу обычных свойств нормы, а также свойства абсолютной непрерывности нормы в правильном пространстве Е. Учитывая произвольность выбора е > 0, получим утверждение 1), т.е. СЕ (и)^ ПЕ (и) .

Утверждения 2) и 3) докажем одновременно.

Для фиксированного Т > 0 множества иот , [и]т сравнимы с одноэлементным множеством {Ти0} . Поэтому в силу (4) и абсолютной непрерывности нормы в правильном пространстве Е для любого Т > 0 имеем пЕ (иот ) = 0 и пЕ ([и]т ) = 0, и, в случае компактности по мере и, по лемме 1 также се (и0Т ) = 0 и се ([и ]т ) = 0.

Из включения (3), аддитивности и алгебраической полуаддитивности пЕ (и), %Е (и) следует, что

Пе (и) < Пе ([и]т ) + Пе ([иЬт ) = Пе ([иЬт ); Се (и) < Се ([и]т ) + Се ([и]от ) = Се ([и]от ) (5)

для любого т > 0, фиксированного на момент рассуждений. Так как множества [и]от и Рв(ти сравнимые: [и]от < Рв(ти, то из (5) вытекает, что пЕ (и) и се (и) ограничены свер-

. Следовательно, для произвольного т > 0

ху одним и тем же числом, а именно, sup

имеем CE (U) < sup

ueU

Р^. _ Ли

D(u,T ,Uo)

ueU

и nE (U) < sup

Pn/ T, U D(u,T ,Uo)

ueU

Pn/ T, u

D(u,T ,u0)

. Устремляя T ® ¥ , получим

Ce (u) < lim sup

P^, _ _u

D(u ,T ,u0 )

(6)

для компактного по мере U и nE (U) < lim sup

Pn/ T, u

D(u ,T ,u0 )

для любого U . По теореме 1 [1, с.

16] для ограниченного множества U в E имеет место lim sup m[D(u, T, u0)] = 0 . Поэтому

nE (U) < lim sup

Pn/ T, u

D(u ,T ,u0 )

< lim sup Pnu\\ =nE (U).

E m(D)®0 ueU" D llE E

Равенство 2) доказано. Из утверждения 1), 2) и (6) получим утверждение 3).

Определение 2 [2, с. 28 ]. Пусть Е, Е1- банаховы пространства. Непрерывный оператор А : О ® Е1, где О с Е, называется С — уплотняющим, если для любого ограниченного подмножества и с О, замыкание которого не компактно, выполняется неравенство

Се^ (Аи )<Се (и).

Уплотняющие операторы, являющиеся обобщением компактных и сжимающих операторов, во многих случаях сохраняют свойства последних. Так, например, для уплотняющих операторов построена теория вращения векторных полей [6, глава 4].

Непрерывный оператор А называется (к,с)_ограниченным, если для любого и с О выполняется неравенство сЕх (Аи) < ксЕ(и).

Определение 3 [7, с.344]. Пусть Е, Е1- пространства функций на О, О1 соответственно. Оператор А : Е ® Е1 называется частично аддитивным, если для функций и1, и2,..., ит с непе-ресекающимися носителями справедливо равенство:

А(и1 + и2 +... + ит) = Аи1 + Аи2 +... + Аит - (т -1)А6.

Теорема 1. Пусть Е и Е1 - правильные пространства с единицами и0 и и01 соответственно. Пусть непрерывный оператор А , действующий из Е в Е1 , обладает свойством частичной ад-

E

E

E

дитивности. Пусть А каждое ограниченное по норме в М(и0) множество V переводит в множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Е1, т.е. с УЕ^ (AV) = 0. Тогда для любого множества и с Е выполняется неравенство УЕ^ (Аи)< к1(и, А)уе (и), где

к1(и, А) =

1ІШ

р

Арэ(“,Т,“0 “Т’“01

Ар

I V D (“,Т ,“о)

и

Бир

Ли Ф0,“єи

И0

Р

I и

О(“,Т ,“о)

(7)

Е

Пусть, кроме того, А является вполне непрерывным как оператор из М(и0 ) в Е1 . Тогда для любого множества и с Е выполняется неравенство Сщ (Аи) < к (и, А)уе (и), где

к (и, А)

1ІШ

АР,

г>( т )“

и\и,Т ,“о)

Бир —

р ( '“ Ф0,“єР р < “ О(“,Т ,“0) Е

ОI “,Т,“0 I Е

(8)

Доказательство. Заметим, что к1 (и, А) < к (и, А) . Доказательства УЕі (Аи) < к1 (и, А)у (и) и Хщ (Аи )< к (и, А)у (и) для оператора А, вполне непрерывного из М (“0) в Е1, проведем параллельно. Если и ограничено в М(“0), то требуемые неравенства выполнены, так как УЕі (Аи) = 0 по предположению теоремы и хЕі (Аи) = 0 для оператора А, вполне непрерывного из М (“0) в Е1. Поэтому достаточно доказать утверждение теоремы в случае, когда для

Рп/ Т и

О(и,Т ,“0)

Ф 0.

любого т > 0 множество Р0(ти не пусто, т.е. найдется функция, для которой

Очевидно, из частичной аддитивности оператора А , включения (2) следует, что

Аи с Аи0т и (АРв(т)и + АРа(т)и - А в).

Отсюда в силу полуаддитивности, алгебраической полуаддитивности УЕ^ и сЕ1 , равенств

УЩ (Ав) = ^ Се, (Ав) = 0 получим Ущ (А и) < Шах{У (А(и0т Ж (УЕ1 (АРП(Т )и) + УЕ, ( АРА(т )и))} ,

Се, (Аи) < шах{СЕ! (А(и0т)), (Се, (АРВ(Т}и) + Се, (АРЛ{тЦ))}. (9)

Для

каждого и є РА(Т и и и.

имеем

ІІМ (“0)

< Т . Поэтому уЕі (АРА(Т)и) = 0

и

УЕі (Аи0Т ) = 0 в силу предположения теоремы и хЕх (АРА(Ти) = 0 и хЕі (Аи0Т ) = 0 для оператора А , вполне непрерывного из М(и0) в Е. Следовательно,

уЕі(АЩ <Уеі(АРВ(Тр), (10)

а из (9) вытекает, что хЕі (Аи) < хЕх (АРОТи) для любого Т > 0 . В силу выбора множества и множество РО(Т и, состоящее из ненулевых функций, не пусто и

Х*( Аи) <

Бир

х“ Ф0,иєи

АРО(и,Т ,и0)“

П\ “Т,и

Бир

р ( '“

ОI и,Т,и,

Е

АРО(и,Т ,и0)“

Ф0,иєи^

Р„, т и

О(и ,Т ,“0)

р^, _ Л“

О(“,Т ,“0)

Отсюда

Е

Т

Е

р

Е

Т

Е

Е

Е

Е

р

Е

ХЛ Аи) <

Бир

Р ( и

и\ и,Т,и.

(\аР^< „ .,и|| ^

| И(и,Т ,и0) ||е

-Р^/ Т1 М

П(и,Т ,и0) Е

^0,иеич- '

Бир Р1

и

п(и,т,мо ) ||е

Устремляя Т ® ¥, согласно утверждению леммы 2 получим

ХЕ (Аи) < к (и, А) Пт Бир

ыеи

Р™ т и

D(м ,Т ,Мо )

: к (и, А)уе (и) , где к (и, А) из (8).

Из (10), принимая во внимание, что величина пЕ (АРВ(Т и) по утверждению 2) леммы 2 является пределом невозрастающей относительно Т последовательности, запишем

^(Аи) < П.(АРЩти)

<

Бир

иеи

Р

° 1 ЛРБ(и,Т ,и0 )",Т,и°

АРЭ(и,Т ,и0)и

(11)

Из (11) по аналогии с тем, как получено утверждение для к (и, А) из (8), получим утверждение для к1 (и, А) из (7).

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть оператор Урысона (Ам| К[^, s, и(£)]<&, ядро которого удовлетворяет

а

условиям Каратеодори, непрерывен как оператор из Ьр (а) в Ьч (а) (1 < р, д < ¥), и вполне непрерывен как оператор из Ь¥(а) в Ьч (а). Пусть для некоторого множества и с Ьр (а) константа к (и, А) из (8) удовлетворяет неравенству к (и, А) < 1. Тогда А является %— уплотняющим оператором на множестве и .

Аналогично, если А компактный по мере оператор и для некоторого множества и с Ьр (а) константа к1(и, А) из (7) удовлетворяет неравенству к1(и, А) < 1. Тогда А является

Х— уплотняющим оператором на множестве и .

Доказательство. Пусть для некоторого множества и с Ьр (а) константа к (и, А) из (8) удовлетворяет неравенству к (и, А) < 1. Как утверждается в [7,с.364] оператор Урысона является частично аддитивным. Поэтому выполнены все предположения теоремы 1, из которой следует, что для оператора Урысона и для любого подмножества V с и справедливо неравенства к (V, А) < к (и, А) < 1 и Хь (AV) < к (и, А)пь (V). Отсюда по утверждению 1) леммы 2

д Р

Хь (А V) < к(V, АПь (V) < к(V, А)Хь (V), т. е. А является (к ,Х) — ограниченным с к < 1 , а, следовательно, Х— уплотняющим оператором.

Аналогично рассуждаем в случае компактного по мере оператора А , учитывая при этом, что по утверждению 3) леммы 2 имеем равенство Хь (AV) = пь (AV) для любого ограниченно-

д д

го множества V с Ьр (а).

Теорема доказана.

Пусть вещественная функция / (х, и ), где х ё а , —¥< и <¥ , удовлетворяет условию Каратеодори, т.е. при каждом фиксированном и измерима по х и почти при всех х непрерывна по и .

Рассмотрим нелинейный оператор суперпозиции [7, с. 340] Ри(х )= /[х , и(х)].

Теорема 3. Пусть непрерывный оператор К, действующий из Ьр (а) в Ьч (а) (1 < р < ц < ¥), обладает свойством частичной аддитивности. Пусть, кроме того, К вполне

Е

.

.

непрерывный как оператор из А ,(«) в Ьд(о). Пусть Р: Ьд(О)® Ьр(О) - оператор суперпозиции. Тогда оператор КР является (к,%)- ограниченным на шаре

Б(и1,г) = |иє Ьд(О): ||и -иЦь < г(и1 и г произвольны) с константой

з-1

к = ак(Р(В(и1, г)), К)гр , где к(Р(В(и1, г)), К) из (8), а константа а > 0 зависит только от Р .

Доказательство. Пусть и - подмножество из В(и1, г), т.е. и £ и1 + гВ, где В - единичный шар (О). По теореме 1 для оператора К имеем

С(о)(КРи) < к(Р(В(и1, г)), К)у(О)(Ри). (12)

По лемме 17.6 из [7] найдутся число а > 0 и функция Ьє Ьр(О), такие, что |ри(х)| < |Ь(х)| + а|и(х)|31р для любой функции и є и. Отсюда оператор суперпозиции Р сравним с оператором суперпозиции Р1и( х) = а|и(х )|

q/p

Следовательно, в силу (4) vL (W)(FU) < vL (W)(F1U) и

X4(W)(KFU)£HF^Ui,r)),K)vp(W)(FU). (13)

Оператор суперпозиции обладает свойством частичной аддитивности [7, с. 344], по теореме 17.1 из [7] непрерывен как оператор из Ьч (О) в Ьр (О).

Кроме того, по лемме 17.4 из [7] каждое множество и, ограниченное в пространстве А. (О) , оператор суперпозиции переводит во множество функций с равностепенно абсолютно непрерывными нормами в Ьр (О), т.е. УА (О)(Ри) = 0 . Отсюда по теореме 1

уЬр (О) (Ри) < к (и, Р )у (О) (и) < к (и, Р )у (О) (и).

Полагая в (8) В(и, Т, и0) = В(и, Т) при и0 ° 1, вычисляем

lim IFiPd(u,T)UIl (И) lim Г 1 Pd(u,t)U |qp|L(n)

к (U, F1) = sup -л---------rp-^— = sup

uTniLq(W)~ '|Pd(u,T)U Lq(W) T®“l|PD(u,TulLq(W)lrD(u,T)UL (W)

Учитывая определение нормы в Lp (И), получим

q/p

7T- a\\PD (uT u

lim II D(U,T) HLq(W^ .

к(а,f1) = sup -л-------и—^— < lim sup a\\PD(uTju\\p = limsupa\\PD(uT)U\\p

- -jj - T®¥ f II D(u,Tr\l ,a)~ T®¥^“1Iі D(u,Tr\L (W) •

TP(uTU ^o,uє^7 ||PD(U,T)U L (W) T® uєul+rB q( ) T® U^B q( )

Lq ( W ) Lq ( W )

Так как для ограниченного множества и в Ь (а) имеет место Пт Бир /л\Р(и, Т)] = 0 [1, с.

T

16], то в силу абсолютной непрерывности нормы отбрасываем Рв ^иТ )и1.

Таким образом, к (и, Р1) < аг3'р-1 и из (12), (13), утверждения 1) леммы 2 следует, что (О)( КРи) < к (Р (В(и„ г)), К у (О,(Ри) < к (Р (В(«„ г)), К )аг3' р-'с ш ,(Ц) .

Теорема доказана.

Теорема 4. Пусть К - линейный непрерывный оператор, действующий из 1р (О) ® I, (О) (1 < р < , <.) и вполне непрерывный как оператор из 1.(О) в I, (О). Пусть Р : I, (О)® 1р (О) - оператор суперпозиции. Тогда оператор КР является (к ,с)- ограниченным на шаре в(ul,г) = \иє А (О):|| и - и1| г < г }> (и1 и г произвольны) с константой

к = а||К||ь ®ь гР , где А зависит только от Р. Пусть, кроме того, оператор суперпозиции

Р ® ч

удовлетворяет неравенству

ри(х)| < а\п(х)|ч4Р . (14)

Тогда для всех g е Ь, (а) существует такое число е> 0, что уравнение и = КРи + е раз-

решимо в ьч (а).

Доказательство. Для каждого и е Ьч (а) имеем

11КР" + «11,(а) < <Щ.Г(0)®ь,т11РИ1ьр,П) + ФИ,(а) • <15)

В силу (14) \\Р"\\Ь (а) < а ич7р т а = а"||Ь/р0). Пусть и принадлежит шару радиуса г в

рч '

I, (О) с центром в 0 . Тогда из (15) следует, что

\\КРи + е?11 < а||К|| ІІиІГ' р + е|| е|| < а||К|| гГ1 р + е|| е|| < г,

II ь\\ьГ(О) II ІІір(П)®1,(П)11 ІІі,(О) II* ІІі,(О) II ІІір(П)®1,(О) II* ІІІ,(О)

если е, г достаточно малы. Таким образом, для оператора Аи = КРи + е справедливо включение АВ(0, г) с В(0, г) для достаточно малых е, г . Оператор КР удовлетворяет всем предположениям теоремы 3. В силу линейности оператора К имеем к(Р(В(и1, г)), К) < ||К||^ (О).

Таким образом, оператор КР является С - уплотняющим по теореме 3 настоящей работы при достаточно малых г, а следовательно, и Аи = КРи + е, так как постоянное слагаемое е не влияет на величину меры некомпактности Хаусдорфа [2, с.7].

Применим к оператору Аи = КРи + е обобщение теоремы Шаудера о существовании неподвижной точки на С,- уплотняющие операторы [2, теорема 1.5.11, с.33], получим существование решения в пространстве 1Ч (О) уравнения и = КРи + е.

Теорема доказана.

Замечание. В теоремах 1 - 3 настоящей работы получены новые результаты. В теореме 3 общается результат, доказанный ранее автором настоящей работы, для линейного оператора К, на случай частично аддитивного оператора К.

К классу операторов, рассмотренных в теореме 3, относится интегральный оператор Гам-мерштейна [7, с. 365].

Результаты леммы 2 и теоремы 4 впервые доказаны в [3-5].

В теореме 4 доказана так называемая е- разрешимость, понятие которой введено в работе

[8].

Напомним, что под е - разрешимостью произвольного уравнения А и = g понимается следующее: для заданной функции g существуют функция и и число е > 0 , удовлетворяющие уравнению Аи = е g .

Г

ЛИТЕРАТУРА

1. Забрейко П.П. Идеальные пространства функций. - Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений // Вестник Ярославского университета. Вып. 8. Ярославль, 1974. С. 12-52.

2. Ахмеров Р.Р., Каменский М.И., Потапов А.С. и др. Меры некомпактности и уплотняющие операторы. -Новосибирск: Наука, 1986.

3. Yerzakova N.A. On Measures of Non-Compactness in Regular Spaces// Zeitschrift ffir Analysis und ihre Anwendendungen. 1996.V. 15. № 2, р. 299-307.

4. Ерзакова Н.А. Компактность по мере и мера некомпактности // Сиб. Мат.Ж. 1997. Т. 38, № 5. С. 10711073.

5. Ерзакова Н.А. Нелинейное уравнение и весовое неравенство // Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений: Труды конференции ВГУ, 2003. С. 77-81.

6. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. - М.: Наука, 1975.

7. Красносельский М.А., Забрейко П.П. и др. Интегральные операторы в пространствах суммируемых функций. - М.: Наука, 1966.

8. Kalton N.J., Verbitsky I.E. Nonlinear equations and weighted norm inequalities// Trans. Amer. Math. Soc. 1999. V. 351. № 9, р. 3441-3497.

ON NONLINEAR OPERATORS

Erzakova N.A.

Partially additive (generally) nonlinear operators in regular spaces are studied. New criteria for such operators to be condensing with respect to the Hausdorff measure of non-compactness are proved. The results obtained are applied to the solvability of nonlinear equations.

Сведения об авторе

Ерзакова Нина Александровна, окончила Новосибирский государственный университет (1976), доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики МГТУ ГА, автор более 50 научных работ, область научных интересов - теория неподвижных точек, меры некомпактности, уплотняющие операторы, интегральные операторы, пространства С.Л. Соболева, краевые задачи для уравнений с частными производными.