О нелинейной задаче на собственные значения, следующей из анализа напряжений у вершины усталостной трещины Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2012. № 3/1(94).

МЕХАНИКА

УДК 539.42

О НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧЕ НА СОБСТВЕННЫЕ

ЗНАЧЕНИЯ, СЛЕДУЮЩЕЙ ИЗ АНАЛИЗА НАПРЯЖЕНИЙ У ВЕРШИНЫ УСТАЛОСТНОЙ

ТРЕЩИНЫ

© 2012 Е.М. Адылина, С.А. Игонин, Л.В. Степанова1

В работе получено аналитическое решение нелинейной задачи на собственные значения, следующей из проблемы определения напряженно-деформированного состояния и поля поврежденности у вершины растущей в условиях приложения периодической нагрузки трещины в среде с поврежденно-стью. Для решения задачи был использован метод малого параметра, позволяющий найти аналитическую зависимость собственного значения от параметров кинетического уравнения накопления повреждений.

Ключевые слова: нелинейная задача на собственные значения, циклическое нагружение, рост трещины в среде с поврежденностью, метод малого параметра, аналитическое решение.

Введение

В современной нелинейной механике разрушения одним из наиболее распространенных методов анализа напряженно-деформированного состояния вблизи вершины трещины как в линейно-упругих материалах, так в материалах с нелинейными определяющими уравнениями является метод разложения по собственным функциям, восходящий к работам М. Уильямса [1; 2], в которых впервые было использовано разложение функции напряжений Эри в ряд по степеням расстояния от кончика трещины в линейно-упругом материале. С тех пор асимптотический анализ распределения напряжений у кончика трещины стал неотъемлемой частью исследований, проводимых в механике разрушения [3; 4]. Только в самое последнее время метод разложения по собственным функциям полей напряжений и перемещений у вершины трещины или углового выреза был применен в целом ряде исследований [5-12]. В [5] предлагается новый вариант метода граничных элементов, базирующийся на асимптотическом разложении напряжений в малой окрестности углового выреза в линейно-упругом материале и применении традиционного метода граничных элементов в оставшейся области. Определение сингулярности поля напряжений в малой окрестности вершины трещины сводится к

1 Адылина Екатерина Михайловна ([email protected]), Игонин Сергей Александрович ([email protected]), Степанова Лариса Валентиновна ([email protected]), кафедра математического моделирования в механике Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

задаче на собственные значения. Комбинация асимптотического подхода и метода граничных элементов позволяет аккуратно и эффективно моделировать поле напряжений в элементе конструкции с угловым вырезом. Авторы в [5] отмечают, что предлагаемый ими комбинированный подход позволяет не обращаться к сгущению сетки вблизи кончика трещины в рамках метода граничных элементов. Другим существенным преимуществом данного подхода является то, что метод дает возможность найти как главный член асимптотического разложения напряжений в малой окрестности вершины трещины, так и высшие приближения посредством решения задачи на собственные значения.

В работе [6], посвященной динамическому распространению трещины в линейно-упругой среде, авторы указывают на необходимость рассмотрения всех членов асимптотического разложения, которые оказываются существенными в рамках теории слабой нелинейности. Эта теория исходит из того, что решение линейной теории упругости (даже для линейно-упругого материала) становится непригодным на некотором расстоянии I от кончика трещины, где следует искать асимптотическое решение, удерживая слагаемые, которыми пренебрегают в линейной механике разрушения. Асимптотические разложения компонент тензора напряжений являются основой анализа, проведенного в [7], где рассматриваются вырезы на границе двух упругих материалов с разными свойствами (разные виды анизотропии). В этой статье показано, что в асимптотическом представлении полей напряжений и перемещений вблизи выреза следует удерживать высшие приближения, которые оказываются существенными для определения амплитуды поля напряжений. Анализ напряженно-деформированного состояния, выполненный в [8], проведен в традиционном для последних двух десятилетий ключе, когда в малой окрестности вершины трещины в материале с определяющими соотношениями Рамберга-Осгуда строятся двучленные асимптотические разложения компонент тензора напряжений и деформаций и коэффициенты второго члена разложений находятся численно с помощью конечно-элементного расчета. Тем не менее показано, что 1) необходимо удерживать высшие члены в асимптотических разложениях механических величин в окрестности вершины трещины; 2) подход, основанный на сочетании асимптотического анализа и конечно-элементного расчета, эффективен для широкого класса геометрий тел с трещинами, приложенных систем нагрузок и широкого диапазона показателя упрочнения материала. Асимптотический анализ напряжений и перемещений в окрестности углового выреза является предметом обсуждения в [9], где также были рассмотрены эффекты несингулярных членов асимптотических разложений.

Результаты асимптотического анализа [9] ясно показывают, что пренебрежение несингулярными членами асимптотических разложений может вести к значительным ошибкам в оценке параметров разрушения элементов конструкций с угловыми вырезами. Высшие приближения асимптотических разложений напряжений и перемещений вблизи кончика трещины поперечного сдвига рассматриваются Ф. Берто, П. Лаззарином и А. Котузовым [10]. В данной статье осуществлена попытка обобщения асимптотических методов, применяемых в двумерных задачах линейной механики разрушения, на пространственные задачи. В [11] авторы, опираясь на полное асимптотическое решение М. Уильямса, смогли обработать эксперименты, проведенные методами фотоупругости. На основе экспериментальных данных были вычислены коэффициенты интенсивности напряжений, которые были сопоставлены с результатами конечно-элементного решения. Экспериментальные результаты ясно показали, что высшие приближения в асимптоти-

ческих разложениях механических величин могут значительно влиять на коэффициенты интенсивности напряжений. В [12] показано, что задача определения напряженно-деформированного состояния в бесконечной линейно-упругой пластине с трещиной конечной длины может быть сведена к задаче на собственные значения, которая допускает аналитическое решение и, следовательно, аналитические представления для собственных функций и собственных значений.

Таким образом, можно утверждать, что метод разложения по собственным функциям для решения задач определения напряженно-деформированного состояния у вершин трещин и угловых вырезов получил широкое распространение и является весьма эффективным: 1) данный подход позволяет получить аналитические представления полей напряжений, деформаций и перемещений у вершин трещин и угловых вырезов; 2) асимптотические разложения напряжений и деформаций достаточно просто ввести в процедуру классических численных методов (например, метода граничных элементов).

Однако если в [3] приведен подробный и исчерпывающий обзор асимптотических методов в линейной теории упругости и применения асимптотического анализа в задачах линейной механики разрушения, то анализ распределения напряжений, деформаций и перемещений вблизи вершины трещины в материале с нелинейными определяющими уравнениями представляет собой одну из фундаментальных задач механики деформируемого твердого тела и многие вопросы остаются открытыми [13].

В нелинейной механике разрушения использование метода разложения механических величин (компонент тензора напряжений, деформаций, компонент вектора перемещений, функции напряжений Эри) по собственным функциям приводит к нелинейным задачам на собственные значения [14-19]. Наиболее распространенным методом решения нелинейных задач на собственные значения остается численный анализ, опирающийся на методы Рунге-Кутты-Фельберга и метод пристрелки. Но метод пристрелки в задачах о трещинах нормального отрыва, поперечного сдвига и в случае смешанного нагружения становится многопараметрическим, и его результаты требуют дополнительного обоснования и проверки. Поэтому в последние годы уделяется пристальное внимание аналитическим методам решения нелинейных уравнений математической физики и механики в целом [20; 21] и методам решения нелинейных задач на собственные значения в частности [22-25]. Одним из перспективных методов получения аналитических оценок собственных значений является классический метод малого параметра, который к задачам, следующим из проблемы определения напряженно-деформированного состояния у вершины трещины или углового выреза, обычно не применяется. Можно также отметить широкий класс нелинейных задач на собственные значения, возникающих при построении автомодельных решений и автомодельных переменных [21; 26-28], для решения которых представляется важным наличие аналитических выражений искомых функций и степеней в автомодельных переменных.

Целью настоящей работы является аналитическое решение нелинейной задачи на собственные значения, следующей из анализа полей напряжений, деформаций и сплошности у вершины усталостной трещины с учетом процессов накопления повреждений. Оригинальная постановка задачи об усталостном подрастании трещины в среде с поврежденностью была предложена в [29]. Однако выполненный в [29] численный анализ собственных функций и значений не является верным и требует дополнительного исследования.

1. Постановка задачи о росте усталостной трещины с учетом процесса накопления повреждений

Пусть в линейно-упругой бесконечной плоскости распространяется полубесконечная трещина, рост которой обусловлен приложением периодической нагрузки, т. е. рассматривается медленное докритическое подрастание трещины в условиях усталостного нагружения. В полярной системе координат r, в, связанной с вершиной трещины, основные соотношения механики деформируемого твердого тела имеют вид:

уравнения равновесия

darr +1 дагв + &rr - авв дагв + 1 давв + 2^11 — Q- (11)

dr r дв r dr r дв r

условие совместности деформаций

2д (rd£r1 \ — rdEiT + rd2 (r£ee) (12)

2 dr V дв ) — дв2 r dr + r дт'2 ■ (1.2)

Если учитывать процесс накопления повреждений, то определяющие уравнения изотропного линейно-упругого материала в связанной постановке имеют вид:

1 + V V акк

V икк X (t

где Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, ф — параметр сплошности.

Для плоского деформированного состояния определяющие уравнения (1.3) принимают вид:

£тт = —+т [(! " v)arr - vaee] , £вв =—+Т К1 - v)явв - va„] , (1.4) Еф Еф

1 + v (15)

£тв = Ятв ■ (1.5)

Еф

Краевые условия следуют из условий отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины

Явв (г, в = ±п), Ятв (г, в = ±п). (1.6)

Введем в рассмотрение функцию напряжений Эри, связанную с компонентами тензора напряжений соотношениями

д2F д (1dF\

Явв = , Ятт =AF - Явв, = - Q-r[-rde)> (1.7)

где

А= д2 1 д 1 д2 дг2 r дг r2 дв2

есть оператор Лапласа.

Следуя [29], будем искать асимптотическое решение задачи в непосредственной окрестности вершины трещины (г ^ 0) в виде

F (г,в) = arx+2f (в). (1.8)

Тогда компоненты тензора напряжений представимы в форме разложения по собственным функциям

ятт(г, в) = агхатт(в), явв(г, в) = а.гхавв(в), отв(г, в) = агхатв(в), (1.9)

=

где

&rr (в) = (Л + 2)f (в) + f'' (в),

¿вв (в) = (Л + 2)(Л + 1)f (в), (1.10)

^re (в) = -(Л +1)f '(в).

Асимптотическое представление параметра сплошности вблизи вершины усталостной трещины задается в виде

ф(г,в)= рт^д(в). (1.11)

Асимптотика деформаций в окрестности вершины трещины определяется формулами

£rr(г,в) = (в), евв(г>в) = Ц^]ЕГ—ёвв(в),

1 + va, (1.12)

£re (Г>в)=^вЕГ ^в (в),

где

£rr = g 1 [(1 - V)arr - vdee], ёвв = g 1 [(1 - v)aee - vdrr], (1-13)

^тв = g-1°re,

для плоского деформированного состояния.

Условие совместности деформаций (1.2) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению

2(\ - м +1) ^ = ^ - (Х - №rr + - М + 1)евв■ (1-14)

Учитывая принятые обозначения (1.13), можно представить уравнение (1.14) в виде

f- 2(1 - v)Ef"' + (G + bi) f - 2b2Ef + (b3 + eiG) f = 0. (1.15) для плоского деформированного состояния, где приняты обозначения

E = g'/g, G = 2E2 - g''/g, (1.16)

bi = 2(A - ц + 1)(A +1) - v(A + 2)(A + 1) - (A - m)[1 - (X - m)v], b2 = (A - m + 1)(A + 1) + (1 - v)(A + 22) + v(A + 2)(A + 1), Ьз = (A - m)(A + 2) {[v - (A - m + 1)(1 - v)] (A +1) - 1 + (A - m)v} , ei = (1 - v)(A + 2) - v(A + 2)(A + 1).

(1.17)

В [29] показано, что с учетом введенных асимптотических представлений кинетическое уравнение накопления повреждений может быть представлено в форме

^ = —сат @-пгтХ-^пат д-п, (1.18)

где

л/3 г n2 2 I1/2 , N

ае = — [(&гг - °вв) +4ar^ . (1.19)

Проводя рассуждения, подобные выполненным в [29], можно найти, что кинетическое уравнение накопления повреждений преобразуется к равенству (a — текущая длина трещины)

dN = (g'sme - Mgcos в), (1.2°)

откуда, сравнивая (1.18) и (1.20), легко установить, что

dN = сатв-(п+1), (1.21)

тЛ — ¡и = ¡ — 1 или Л = [¡(и +1) — 1]/m, (1.22)

g' sin в — ¡g cos в = —afg-™. (1.23)

Таким образом, получена система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (1.15), (1.23) с интенсивностью напряжений, определяемой формулой (1.19).

Краевые условия задачи следуют из условий симметрии на продолжении трещины

f'(0)=0, f'''(0) = 0, g'(0) = 0. (1.24)

В силу однородности систем уравнений (1.15), (1.23) можно сформулировать условие нормировки решения

f(0) = 1. (1.25)

Для функции g(e) кинетическое уравнение дает возможность получить условие регулярности решения на продолжении линии трещины

g(0) = [am(0)/¡]1/(n+1) . (1.26)

Краевые условия на берегах трещины имеют вид:

f (в = п) = 0, f '(в = п) = 0. (1.27)

2. Нелинейная задача на собственные значения

Система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

(1 — ^)fIV — 2(1 — ^)Ef''' + [(1 — ^)G + bi]f'' — 2Eb2f' + [eiG + b3] f = 0, (2.1)

g' sin в — ¡g cos в = —a^g-™ (2.2)

с граничными условиями

f (0) = 1, f '(0) = 0, f '''(0)=0, g'(0) = 0, (2.3)

f (в = n)=0, f '(в = n) = 0 (2.4)

и условием регулярности

g(0) = am(0)/¡]1{n+1) (2.5)

представляет собой нелинейную задачу на собственные значения: необходимо найти собственное значение ¡, при котором существует нетривиальное решение этой системы уравнений, удовлетворяющее краевым условиям задачи. Численное решение системы уравнений (2.1)-(2.2) с граничными условиями (2.3)-(2.4) было получено в [30]. Предметом дальнейшего изложения будет применение метода возмущений для построения аналитического решения сформулированной нелинейной задачи на собственные значения.

3. Метод малого параметра

Введем малый параметр е = ¡ — ло, отражающий влияние нелинейности задачи (нелинейного закона накопления повреждений). Приближенное решение системы уравнений относительно двух функций /(в) и д(в) (2.1), (2.2) разыскивается в форме

¡л = ¡¡о + е,

Х = Хо + еХг + е2Х2 + е3Хз + .., п = 1 + ещ + е2и2 + е3нз + ..., т = 1 + еш\ + е2Ш2 + е3тз + ...,

(3.1)

I (в) = Iо (в) + еШ + е2Ь(в) + е3 ¡3(в) + ...,

д(в) = до (в) + едг(в) + е2д2(в) + е3-з(в) + .... (3.2)

В силу (1.22) справедливы соотношения

Хо = 2ло — 1, Хг =2 + ¡оп\ — тх(2^о — 1), Х2 = П1 + лоп2 — т\(2 + ¡оп\) + (2 ¡о — 1)(—т2 + т2г), Хз = ¡лопз + П2 + (—2ло + 1)тз + (—¡опг — 2 + 2тцо — тг)тг + +(—Лоп\ — п\ + 2т2Ло — т2 + тглопг + 2тг — 2т'{ло + т^т^. Подставим асимптотические разложения (3.1) и (3.2) в систему уравнений (3.1), (3.2). Вводя обозначения

Е = Ео+ е Ег + е2Е2 + е3 Ез + ..., О = Со + еОг + е2 Ог + е3 Оз + ..,

Еп

д

Е2 = — д

£ Е = 1

д

-г

I -г до—

д

\ о о д1 + о (-0 д2 д2 — дг—+ д^ — —

д д 2 д

т? 1 \ о о дг + о

Ез = — \дз — до!—+ дг

д д

до2 д

0» и »и Со = 2 ^---

д оо

д 2

д

О2

1

до

Оз

с,1 ( о о дг

2~ [дг — до— -о \ до

II ид0 . II

д2 — дг —+ до до

4 д'о ( о о дз 4— [дз — д0—

-о \ до

О =4д'° 1 д

Сг = — дг д 2

2

92

дг

о дг

до— д

+ д о

1

до

91 до

о дг

до — д

+ 2 -0 -2 д д

+ 4 Ц д 2

о о дг + о (дг д2 д2 — дг—+ д^ — —

д д 2 д

+ 4 д-2 д 2

2д'о

дгд2 -о

,дг -г / дг

2 -0

и О

до г

до 22

-1 -1

-1 +

до

\31

). +

-2 +

2 2

-1

+ 4 Щ -о

о дг + о -г —-2~ + -г — до \д о

-2

— -г —

до

+

+ 4 ( о о -г\ ( о

+ — [-г - о < -1

2

о о дг . о -г — -г--+ -о

до

) -о-г-г ^ з

-о

Ьг = Ъ\ + еЬг + е2Ь2° + ез % + .., Ьз = Ьз + еЬз + е2Ь2 + ез Ь3 + ..,

Ь0г = 7 —

Ь2

5 — Ь03

Ь2 ег -■0,

Ь0г + еЬо + е2Ь2 + е3Ь3 + .., ■■ е0 + ее0 + е2е21 + е3е3 + ...,

+

2

2

2

2

3

Ь\ = 9 - 12v + 6(1 - v)къ ki = ni - mi, bl = 3(-3 + 4v)(ki + 1),

Ъ\ = [6jo - 1 - v(2jo + 3)] [ni + n2jo - mi(2 + nijo) + (2jo - 1)(m\ - m2)] +

+2 [3 + nijo - mi(2jo - 1)] [2 + nijo - mi(2jo - 1)] -

-v [2 + nijo - mi(2jo - 1)] + v [3 + nijo - mi(2jo - 1)]3 ,

b\ = [6jo - 1v(2jo + 3)] [n2 - Hon3 - mi (ni + n2po)+

+(2 + ni^o)(mi - m2) + (2jo - 1)(-mi + 2mim2 - m3)] +

+ {10 + 2v + 4 [nijo - mi(2jo - 1)]} [ni + n2jo - mi(2 + nijo)+

+(2jo - 1)(m2 - m2)] ,

b2 = 6 - 12v +(4 - 6v)ku

Ь2, = [(3jo + 1) + 4vjo] [ni + mjo - mi(2 + nijo) + (2jo - 1)(m21 - m2)\ + + [3 + nijo - mi(2^o - 1)] [2 + nijo - mi(2jo - 1)] +

+v [2 + nijo - mi(2^o - 1)] ,

b2 = [(3jo + 1) + 4vjo] [n2 - Hon3 - mi (ni + n2jo) + (2 + nijo)(ml - m2)+

+ (2jo - 1)(-mi + 2mim2 - m3)] +

+ {5 + 4v + 2(1 + v) [ni¡jo - mi(2jo - 1)]} [ni + n2jo - mi(2 + nijo)+ +(2jo - 1)(m1 - m2)] ,

b3 = (Ao - jo)(Ao + 2) {[2v - 3jo(1 - v)] [ni + nuo - mi(2 + nijo)+

+ (2jo - 1)(m1 - m2)] -(1 - v) [2 + nj - mi(2jo - 1)] [3 + nijo - mi(2jo - 1)]} +

+ [(Ai - 1)(A2 + 2) + Ai(Ao - jo)] {5v - 8jo(1 - v)[2v - 3(1 - v¡]x

x[nijo - mi(2jo - 1)]} + [A2(Ao + 2) + Ai(Ai - 1) + A2A - ¡o)] x

x[v - (1 - v)jo - 1 + v(jo - 1)],

b3 = (Ao - ¡o)(Ao + 2)[2v - 3(1 - v)jo][n2 + jom - mi(ni + n2jo) + +(2 + nijo)(mi - m2)] + (2jo - 1)(-m3 + 2mim2 - m3)] -

-(1 - v)(Ao - jo)(Ao + 2)[5 + 2nijo - 2mi(2jo - 1)] x

x[ni + n2jo - mi(2 + nijo) + (2jo - 1)(m2 - m2)] +

+ [(Ai - 1)(Ao + 2) + Ai(Ao - jo)] {[2v - 3(1 - v)jo]x

x[ni + n2jo - mi(2 + nijo) + (2jo - 1)(m1 - m2)] -

-(1 - v )[3 + ni jo - mi(2jo - 1)][2 + nj - mi(2jo - 1)]} +

+ [A2(Ao + 2) + Ai (Ai - 1) + A2(Ao - jo)] {5v - 8jo (1 - v) +

+ [2v - 3(1 - v)jo][nijo - mi(2jo - 1)]} +

+ + [A2(Ao + 2) + A2(Ai - 1) + AiA2 + A3(Ao - jo)][v - (1 - v)jo - 1 + v(jo - 1)], ei = 22 - 12v + (1 - 6v)ki, el = [1 - v - v(Ao + 1)] A2 - vAi - vA2(Ao + 2), ei = [1 - v - v(Ao + 1)] A3 - 2vAiA2 - vA3(Ao + 2)

и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях е, из уравнения (2.1) можно найти

(1 - v)fIV - 2(1 - v)Eo/o" + (1 - v)Gofo' + boifo - 2Eob° fo + (3.3)

+e01Gofo + bfo = 0,

(1 - v)fIV - 2(1 - v) (Eif0" + Eofi") + (1 - v) (Gif0' + Gofi') + +bf + b0fi' - 2 (Eib° + Eobi) f0 - 2Eo bf + (3.4)

+e\Gofo + e° Gfo + e°Gofi + b3fo + b3fi = 0,

(1 - v)fIV - 2(1 - v)Eof2 - 2(1 - v)E2f0 + (1 - v)Gof2 + (3.5)

е0 :

ei :

е2 :

+(1 - v)G2f0> + bf - 2E0b02f2 - 2E2bo2f0 + e0iO0f2 + e01C2f0 + b°3f2 = = 2(1 - v )E1f{" - (1 - v )G1f[' - bf - bf + 2 (blEi + Eob¡) fi + +2 (gEo + Eibl) f0 - (e\Go + e°Gi) fi - (e2&o + ej) fo - bf - bfi,

e3 : (1 - v)flV - 2(1 - v) (Eof3)' + Ef + f + Ef'^) +

+(1 - v) (Gof'' + Gif2 + Gifi + G3fo') + bi fo' + bifi' + bf' + bf --2 (Eob3 + Eibl + Eibl + Eobl) ( - 2 (Eibl + Eibl + Eob2,) f) - (3.6) -2 (Eibl + Eobi) f2 - 2Eob°of( + (eiGo + e)Gi + eG + e°^з) fo + + (elGo + eiGi + eo°Gl) fi + (eiGo + eo°Gi) fl + e0°Gof3 + +bf + bfl + b3fi + b33fo.

Из уравнения (2.2), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ма-

лого параметра, можно вывести уравнения

o

3

g'o sin в - nogo cos в = -aeo)/go

gi sin в - /ogi cos в + а^/go - ae°)/gi

= -a(o)/go

ш° ln а(o) - п° ln go

gi = + go cos в,

gl sin в - /og2 cos в + a(2)/go - a^gl/gl = gi cos в -

(3.7)

(3.8)

(3.9)

r(o)

+ m2 ln a(o) + mi

a^

a(o)

1 (i) , 1 2 n \2 л gi ae gi + öni (ln go) - П2 ln go - ni---^—

2 i go а (o)go

+

(o) (o) а (i) gi

-mini ln a(o) ln go + (mi ln a(o) - п° ln go) ( -^y - —

go

/go,

g3 sin в - /og3 cos в + a(3)/go - a(o)g3/gl = g2 cos в -

1 3 2 2 gi

" L

go

(3.10)

(o)

-a^' < -j. (ni ln go )3 + п° n2(\n go)2 + n2— ln go - П3 ln go - П2 — -6 go go

2

g2 1 gi (o)

-п°--+ -— + mi ln a(e)

go 2 \goj

\(п° ln go)2 - n2 ln go - п° — 2g0

-ni ln go

\ a(i)' -(mi lna (0))2 + ml lna (o) + mi-^y 2 ae

ei)

+

a ei)

+ ß(mi lna(o))3 + miml(lna(o))2 + m21^oj lna (o) + m3 lna (o) + m2^ +

a

a(o)

+mi

+

a^

a(o)

'aP

,a eo)

1a

2 \ (o)

a

ajP

aio)

^(ln go)2 - n2 ln go - п° — 2 go

\ a(i)

~(mi lna^)2 + m2 lnaeo) + - п°mi lnaeo) ln

2 a( j

+

g0

+

+ I -п° ln go + mi ln a,

e0)

3

ei)

gi gi g2 a

go

go go

_ g2 (i) ae' gi + ae2)

go a(o) go <a<f

aiij g2 ai2) gi \

aio) go aio) go г

(3.11)

i

e

2

e

2

2

где

^ ^/(J¡i-АC(АC+2)fо)2+4(АC+1^ifCf>

= {/' - Ч^о + 2)/о] [/1' - А0(Ао + 2/ - /о] +

+4(Ао + 1) [(Ас + 1)/о/1 + А/)2] } /а™,

42) = 2 {и" - Ао(Ао + 2)/1 - 2А1(Ао + 1)/о]2 + 2 [/'' - Ао(Ао + 2)/о] х

х [/2' - Ао (Ао + 2)/2 - 2А1(Ао + - (2А2 (Ао + 2) + А/ +

+4 [(Ао + 1)/1 + А/о]2 + 8(Ао + 1)Ю [((Ао + 1) + 1)/2 + А/ + А2/о]} /а^ +

+2 {[/о' - Ао(Ао + 2)/о] [/1' - Ао(Ао + 2/ - 2Аг(Ао + 1)/о] + +4(Ао + 1)Ю [(Ао + 1)/1 + А/]}/(а^)3,

*е3) = {[/'' - Ао(Ао + 2)/о] [/[' - Ао(Ао + 2/ - 2А1(Ао + 1)/о] +

е

1

2ае

2

+4(Ао + 1)/' [(Ао + 1)/1 + А/} -

1 {[/'' - Ао (Ао + 2)/о ][/[' - А о (А о + 2/ - 2А1(Ао + 1)/о ]+ (3.12)

2ае°

+4(Ао + 1)/' [(Ао + 1)/1 + А1/'[/1' - Ао (Ао + 2/ - 2А1 (Ао + 1)/о]2 +

[(Ао + 1)/1 + А1/']2 + 2 [/'' - Ао (Ао + 2)/о] х х - Ао (Ао + 2)/2 - 2А1(Ао + 1/ - ^(Ао + 2) + А\ + АоА2)/о] + +8(Ао + 1)/' [(Ао + 1)/2 + А/ + А2/']} +

^^ [/1' - Ао (Ао + 2)/1 - 2А1(Ао + 1)/о ] х ае

х /2' - Ао (Ао + 2)/2 - 2А1(Ао + 1/ - (2А2 (Ао + 1) + А^/о ] + ^^ [/'' - Ао (Ао + 2)/о ] {/3' - Ао (Ао + 2)/з - А (Ао + 2) + АоА^ /2-

а е

- [2А2(Ао + 1) + А?] /1 - [2Аз(Ао + 1) + 2А1А2] /о} + [(Ао + 1)/1 + А1/'] [(Ао + 1)/2 + А1/1 + А2/'] +

ае

(А о + 1)/' [(А о + 1)/3 + А/ + А2/1 + А3/'].

ае

Решение системы уравнений (3.4), (3.7) должно удовлетворять условиям, следующим из требований отсутствия поверхностных усилий на берегах трещины:

/о (в = п)=0, /' (в = п)=0, (3.13)

условиям симметрии на продолжении трещины

/' (в = 0)=0, /'''(в = 0)=0, д'0 (в = 0)=0 (3.14)

и условию регулярности решения

до (в = 0)= (ае°>(в = 0)) 1/2 . (3.15)

Численное интегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений (3.4), (3.7) с краевыми условиями (3.13)—(3.14) показывает существование области

полностью поврежденного материала п/2 ^ в ^ п, примыкающей к берегам трещины и занимающей левую полуплоскость, тогда как в области активного накопления повреждений 0 ^ в ^ п/2 решение определяется формулами

¡о(в) = (сов в)3 /6, -о(в)=соэ в, цо = 1. (3.16)

Уравнение (3.4) после раскрытия обозначений, принятых для функций Ео,Е\,Оо,01, можно представить в виде:

(1 - *)ЦУ - 2(1 - *)*>¡1" +

до

д'2

,д0

(1 - - + Ь

до до

¡1' -

-2Ъ° *> I +

до

2 % - + Ь0 до до

+

-2(1 - *+ (1 - *)4

4(1 - *)

до

21о'д0 4

/О'д'о

-О

I" + I'

/1 \ ¡о о ¡о -(1 - *)--е1—

до

до

д1 +

4д<

- 2Ьо~ + еГо^Ог

до д° }

¡одо , Годо^ , Г ог,о ¡о до

д1 +

(3.17)

дО

= -ьГ + 2Ь1М-

д0

д30

+

а'2

,д0

-О -Ч

+

2ЬО^-°Ог - 4е1 + е" ^

д0

-0

д0

д1 =

- е" 2 - ^ ¡о - ЬЦо. д° до '

Уравнение (3.8) после ряда преобразований можно представить в виде:

¡о' - Го

(о) до—е

11'' +

''' ' '

!о - 3!о + 16_П

а ¿о) + 16 а а(о)

до—е до—е

+

+

-3

''' ' '' '' !о - 3!о 0!о - 3!о Ла !о

(о) до— е

-3-

(о) до—е

+16-

(о)

16

¡о' - 31о

-О ио))°

(доЛо))

ао—(о

11' +

_/*/// о -/*/ -си о -Р

-3Го -/Г + 3 Г -;;Го (доа(о))'

(о) до— е

-О(<

(о)

+ вт вд" - I -От I -1 +

= Г - 3ГоЩГо

(0) до —е

+ 4Х"

)О

эт в -¡0 - 3Г

до—к'

11 +

О(„(о)у>о

¡0'

11 +

—Г -О

а1 =

(3.18)

(0) до—е

I' - 16X1

¡0 ¡0

(о) а о & е

+

+

(I!' - 3Го)4Х1 Го + 8X1 ПО

дО—о))

О(а(0))°

а (о)

—— (ш11па(о) - П11пдо) ао V /

(до—(о))' + до соэ в - до эт в -

Система двух уравнений (3.17) и (3.18) - система двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющая следующую структуру:

РоГГ + Р1Г1'' + РОГ1' + РзГ1 + Р411 + рд + Р6 а1 + Р701 = (3.19)

4111'' + ЧО11' + Чз ¡1 + чП1 + яд + 46 а1 + 4701 = (3.20)

где

Ро = (1 - *), Р1

Рз

-2Ьо ао,

О до

Р4

—2(1 - *) д-°,

до

д о'О

РО

'О

о

%

-о -о

(1 - *)[2^О - + ь1,

о''

2^ - + Ь3,

оО о з

о

е

1

е

1

Р5

/ '' / -(1 - V)--е1 ,

Р7 = (1 - V)

д

/ '''д '

д2

ре

д

4 / ''д '2 +

- 4—з—+

д 3

-(1 - V)

/ЦдЮ

—2 + 4 /0'g'o до до

- 2Ъ° Л + е/о Ч,

д

д1

+ 2Ъ

I д0

2 д 2

4е

• /од'о

д3

+е

I /од'о

д2

41 =

/'' - 3/о

/1_

(о) доае

42 = + 16 /(

( ) д оае

( ) доае

Чз = -3

44 = -3

''' ' '' ''

!о - 3/о о - 3/о . ла !о

( ) доае

3

( ) доае

+16

( ) доае

16

/'' - 3/о д2о(а(0))2 (.доа(о))' .' д§(а(о))2/о'

д а

( )

/''' - 3/к - 3/о

( )

д а

+3

д2о(а(0))2

(д а ( ))',

Ч5 = вш в,

а(о)

Че =--2~ ■

д 2

Ч7

вт в —

. д2

д

^ = -Ъ/'' + 2Ъ1 ^ до

д'2 д

д ''

- еЦ 2^ - - /о - Ъ3/о,

д° до.

=

(/''' - 3/')4А1/о

(о) доа е

+ 4А

/ '' - 3/

( ) доа е

/' - 16А1

/' /о

(о) доа е

+

+

(/0 - 3/о )4А1/о + 8А1/!}2/ ( о)у , / п -а

-(доаео)) + д0 сов в - до вт в -

д2(а {е))2

а ( )

( т11п а- п11п до ) Оп V /

(3.21)

9 о

Краевые условия, накладываемые на функции /1(в) и д1(в), следуют из условий отсутствия поверхностных усилий на границе области полностью поврежденного материала

/1(в = п/2)=0, /1 (в = п/2) = 0 д1(в = п/2)=0 (3.22)

и условий симметрии на продолжении трещины

/1 (в = 0)=0 /[''(в = 0)=0, д1 (в = 0)=0.

(3.23)

Сведем полученную систему уравнений к системе уравнений первого порядка. С этой целью введем обозначения:

V1 = /1, V2 = Л, V. = И', V4 = Л'', = д1, Vе = д1. После принятых обозначений система уравнений (3.19), (3.20) принимает вид:

V1 - V2 =0, V'2 - Vз = V.3 - V4 =

V'4 + а^4 + а^з + a2V2 + aзV1 + a4Vе + = Н, (3.24)

^ - Vе =

Vе + ЛоV + Л^з + d2V2 + dзV1 + d4Vе + = Н2. Здесь приняты обозначения

ао =

Р1Ч5 - Р5Ч1 Р оЧ5 ''

а1 =

Р2Ч5 - Р5Ч2 РоЧ5 ''

К

1

Р345 - Р543 Р445 - Р544 а>2 — -, а3

Р045 Р 045

Р645 - Р546 Р745 - Р547 04 — -, 05 — -

Р045 Р 045

И — ^Г - Р5Г}) (3.25)

Р0 45

¿0 — 41/45, ¿1 — 42/45, ¿,2 — 43/45, Л3 — 44/45, ¿4 — 4б/45,

¿5 — 47/45, И — Г1/45. (3.26)

Решение системы дифференциальных уравнений (3.24) должно удовлетворять краевым условиям

у1 (п/2) — 0, У2 (п/2) — 0, у5 (п/2) — 0,

У2(0) — 0, У4 (0)—0, уб(0)— 0. (3.27)

и

4. Вывод условия разрешимости и сопряженная краевая задача

Поскольку однородная задача, соответствующая (3.19), (3.20), имеет нетривиальное решение, неоднородная задача обладает решением, только если выполнено некоторое условие разрешимости. Для вывода условия разрешимости краевой задачи будем следовать процедуре, изложенной в [31-33], и обратимся к решению сопряженной краевой задачи. Умножим каждое из уравнений системы (3.24) на функции фг, Ф2, фз, Ф4, Ф5, Фб и сложим полученные произведения. Далее проинтегрируем этот результат по углу в в пределах от в — 0 до в — п/2. После указанных преобразований получим

■к/2

J [(У1 - У2)ф1 + (у2 - У3)ф2 + (у3 - У4)ф3 + (у5 - У6)ф5 + о

+(у'4 + 00У4 + 01У3 + 02У2 + 03VI + 04У6 + 05у5 - Иг)ф4 + (4.1)

+ (у6 + ¿0У4 + ¿1У3 + ¿2У2 + ¿3У1 + ^4У6 + ^5У5 - И)фб] ¿в — 0.

Интегрируя по частям выражение (4.1), можно преобразовать к виду:

[угфг + У2ф2 + У3ф3 + У4ф4 + У5ф5 + У6ф6] \о/2 +

■к/2

+ J {У1 [-ф1 + а3ф4 + ¿3фе] + У2 [-фг - ф2 + а2ф4 + 2фе,} + (4.2)

0

+ У3 [-ф2 - ф3 + а1 ф4 + ¿1фв] + У4 [-ф3 - ф'4 + 00ф4 + ¿0фв] + +У5 [-ф'5 + 05ф4 + 5'ф6] +У6 [-ф'6 + 04ф4 + ¿4ф6]} ¿в-

тг/2

- I (Иф + И2ф6^в — 0.

0

Из (4.2) можно получить сопряженную систему уравнений:

Ф1 = аз фА + ¿зфб, ФО = -ф1 + аО'ф4 + &оф& ,

Фз = -фо + агф4 + й1фб, (4.3)

фА = -Фз + аоф4 + йофб, Ф5 = а5 фА + й5фб,

Ф6 = -Фв + лАфА + й^Фв.

Для того чтобы получить граничные условия, которым подчинены функции фк(в), положим в соотношении (4.2) И =0 и воспользуемся уравнениями (4.3). В результате получим

[Р1Ф1 + фОфО + ¥зФз + ¥АфА + фвФв + ¥вФв] \1/2 = 0. (4.4)

Учитывая граничные условия (3.27), можно получить краевые условия сопряженной задачи

фз(п/2) = 0, фа (п/2)=0, фв(п/2)=0,

ф1 (0)=0, фз(0) = 0, ф5(0)=0. (4.5)

Численное решение сопряженной краевой задачи выполнено в системе компьютерной алгебры МаШешайса 6.0 [34].

Возвращаясь к неоднородной задаче, получим условие разрешимости:

■к/1

I (И1 фА + И2фв)3,в = 0. (4.6)

о

Подставляя в условие разрешимости функции И1 и Ио, определяемые равенствами (3.21), (3.25), (3.26), можно найти, что к1 = П1 - т1 = -1.

После определения неизвестного коэффициента асимптотического разложения П1 - т1 решение краевой задачи для системы уравнений (3.19), (3.20) имеет вид:

11 (в) = 1 (сов в^ (\п сов в - 0 , -1 (в) = сои в 1п сов в. (4.7)

5. Второе приближение

Для функций ¡о(в) и -о(в) можно получить систему двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющую аналогичную системе уравнений (3.17) и (3.18) структуру

рп + Р1ГО'' + рОгО' + РзГО + рпО + Рв -О + РваО + Р7-о = (5.1)

яП22' + ЯоГ!' + ЧзГ2 + яАгО + Я— + Яв-2 + Я7-О = , (5.2)

где приняты обозначения

П = 2(1 - *)го''- (--1 ^ + -о4) - 2(1 - *)го'1 (а! - -о-У -

о о о о о

о' 1 1 1 1 1 -(1 -*)Го4— --1— + -о— +(1 -*)Го~ [-д1 — + -о— +

о2 о о2 о о о2

+2ЬХ- (-9[ ^ + 90 94) - 2е0¡01 (д[ - 90^ V - (5.3)

90 V 90 9о) 9 о \ 90)

л 0 г д0 I 191 . 191 \ , 0 г 1 I II91 , II91 \ ,

-4е\]0 — -9 1--+ 90 — + е110— \-9 1--+ 90 ~ +

0

1

1

0

0

0

1

1

0

2

0

2

+2(1 - ^ЕЦ11 - (1- V)С1/11 - ЬЦ1' - - Ъ°Ц01+ +2 (Ь°Е1 + ЬЕ) ¡1 + 2 (Ь2Е1 + Ь2Е0) ¡0 - (в\С + С^/--(е2С0 + е1С1 )/0 - Ь3/0 - Ь¡1,

Г22

90

2 (0) 290(аГ)

+

(0))2

{[Ц1 - \0(\0 + 2)/1 - 2\1(\0 + 1)/0]2 +

+4 [(А0 + 1)/1 + \/0]2 - 2 [¡01 - Хс(Хс + 2)/0] х х [(2А2 А + 1) + А1)/0 + 2А1(А+1)/1] + +8(А0 + 1)/0 А¡1 + А2/0)} -

1

{2 [¡11 - А0(А0 + 2)/1 - 2А1А + 1)М х

291° (0)

х [¡111 - А0(А0 + 2)/1 - 2А1А + 1)/0] +

+8 [(А0 + 1)/1 + А1 ¡0] [(А0 + 1)/11 + А/01] --2 [¡011 - А0(А0 + 2)Г0] [(2А2(А0 + 1) + А2)^ + 2А1А + 1)Ь] --2 [¡01 - А0(А0 + 2)М [(2А2(А0 + 1) + А2)^ + 2А1А + 1)Ц] + +8(А0 + 1)Щ(А1Ц + А2Г0) + 8(А0 + 1)Г0 (АЦ + А2^)} -

9о■2 + 1

2920(°^)3 290 V(°(0))3

+ 91 ссе в - 91 эш в-

14 ° {1) 1

-I 2т\(1п°(0))2 + Ш2 1п°(0) + + 2п21(\п90)2 - П2 1п90-

I ° е

1

-П1--Ш1П1

0

1п°(0) 1п90 + [Ш11п°(0) - П11п901 I --- -

у ° е 90 )

(5.4)

°(1) а а2\ °е (Л + I

°(0) 90 90 ) '

— [¡01 - А0(А0 + 2)^] [¡11 - А0(А0 + 2)^ - 2А1А + 1)^] + +4(А0 + 1)^ [(А0 + 1)Ц + А^0]. Краевые условия следуют из условий отсутствия поверхностных усилий на границе области полностью поврежденного материала

¡2 (в — п/2)—0, ¡2 (в — п/2)— 0 92(в — п/2)—0 (5.5)

и условий симметрии на продолжении трещины

¡2 (в — 0)—0 ¡2"(в — 0)—0, 92 (в — 0)—0. (5.6)

Краевая задача для системы уравнений (5.1), (5.2) подобна краевой задаче относительно функций ¡1(в), 91(в), рассмотренной выше. В силу чего условие разрешимости имеет аналогичный вид, за исключением функций Е°,Е°. Формулируя

2

■л

1

условие разрешимости краевой задачи для функций ¡о(в), до (в) в виде (4.6) и за-

меняя

Fi на Fi2, а Fi на F,

соответственно:

■к/О

У (И1Ф4 + Иофв) йв = 0, где И1 = р - Р^/Я5)/Ро, Ио = Р2/дв, (5.7)

о

можно найти разность по -то = 1. Таким образом, справедливо следующее асимптотическое разложение

п - т = -е + ео + 0(£з).

Решение краевой задачи для системы уравнений (5.1), (5.2) с краевыми условиями (5.5), (5.6) имеет вид:

Iо(в) = ■1совз в(1псов в)2 - ^.сов3 в 1псов в +-19совз в, до(в) = 1сов в(1псов в)2. 12 36 216 2

6. Третье приближение. Определение коэффициента п3 - т3 в асимптотических разложениях параметров кинетического уравнения

Для функций Гз(в) и дз(в) получается аналогичная (3.17) и (3.18) система двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

РоГ1У + рПз' + РоГз + РзГз + рПз + Рв аз + Рв-з + Р7-з = Р°з, (6.1) яП!'' + яоГ!' + язГ0 + яПз + яваЦ + ява'з + Я7-з = рз, (6.2)

где приняты обозначения

Fi3

2(1 - v)fo- + 2b02 f

go

go

- [(1 - v)fo- - eifo] 4Ц go

- gi + --g-—+ gi

2 go i

- gi , --g-—+ gi

2 go i

/ N 2

gi g2 - go-

— —

go go

3

до go

go-

go go go

3

gi \ _ 2 gi—

go

+41 U - go 9~i

g o2 i o g o

- - gi + - /sn - g2 g2 - gi—+ go[— - go—

2 i go o go o go

, - gi gi gi\ , - g2 . + g2 —--— + g\ — +

2 go2 go go i go2

go go

2

+

g-- g 3 g-- g g

+% ^ - 2щ^у +2(1 - v) (Eif- + Elfn - (1 - v) (Gf- + Glf-) -

go go go3

-b3fo- - b2f-- - bif2- + (fo (Eob32 + Eib22 + Eibl) + 2f- (Eob° + Eibl + E0b2) + +2f2 (Eibl + Eob2) - (eiGo + e2Gi + e^) fo - (e\Go + e\Gi + e^iGi) fi- (eG + eiGi) fo - bfi - bf - b3fo.

Функция F3 не приводится из-за громоздкости выражения. Краевые условия следуют из условий отсутствия поверхностных усилий на границе области полностью поврежденного материала

f3(в = п/2)=0, f3 (в = п/2) = 0 g3^ = п/2) = 0 (6.3)

и условий симметрии на продолжении трещины

f3 (в = 0)=0 Г---(в = 0)=0, g3 (в = 0)=0. (6.4)

2

2

Формулируя условие разрешимости краевой задачи (6.1)—(6.4), получаем одно алгебраическое уравнение относительно разности пз — тз и находим пз — тз = — 1. Решение краевой задачи, определяющей третье приближение, имеет вид:

/1 5 in 65 \

Ш) = cos3 в —(lncos в)3--(lncos в)2 +-lncos в--,

\36к ' ТГ ' 216 1296) '

1

д3(в) = -cos e(lncos в)3. Поэтому асимптотическое разложение для п — m задается равенством

п — m = —е + е2 — е3 + O(e4). (6.5)

Вычисляя аппроксимацию Паде [35; 36] для полученного прямого разложения Пуанкаре, легко найти, что

е

п — m = --

1 + е

Исключая малый параметр е — ¡л - ¡л0, найдем аналитическое выражение для собственного значения

— 1 - ¡ — 1

п - т —- или ц —-. (6.6)

ц 1 + п - т

Рассматривая асимптотические выражения для функций Д(в) и 9к(в), можно увидеть закономерности, в соответствии с которыми получаются эти функции, что позволяет выписать решение исходной задачи в замкнутой форме:

¡ (в) — ссъ^+2 в/((А + 2)(А + 1)), 9(в)—сс8» в. (6.7)

Выводы

Для решения задачи определения напряженно-деформированного состояния и поля сплошности у растущей в условиях циклического нагружения трещины был использован метод разложения по собственным функциям. Метод разложения по собственным функциям редуцирует задачу к нелинейной задаче на собственные значения, для решения которой был применен метод малого параметра. Обычно в механике разрушения для построения решения нелинейных задач на собственные значения прибегают к численному интегрированию уравнений задачи, что может привести к ошибочным результатам. Для преодоления указанных сложностей для решения нелинейной задачи на собственные значения в ходе применения метода возмущений построены четырехчленные асимптотические разложения искомых функций. В статье приводятся аккуратные выражения для искомых функций вплоть до слагаемых порядка 0(е4), где е — ц - ¡0 — разность между собственными значениями, отвечающими нелинейной и линейной задачам. Показано, что процедура метода малого параметра позволяет найти аналитическую зависимость собственного значения задачи от параметров кинетического уравнения. Оказалось, что метод малого параметра в отличие от численного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, одно из которых является сингулярно возмущенным, дает возможность нахождения аналитических выражений для собственных значений и соответствующих им собственных функций. Следовательно, в задачах нелинейной механики разрушения при использовании метода разложения по собственным функциям метод малого параметра, наряду с применением

численных процедур, является эффективным подходом оценки собственных значений в нелинейных задачах на собственные значения. Рассмотренная в настоящей работе задача об усталостном росте трещины в среде с поврежденностью и найденное с помощью метода малого параметра выражение (6.6) демонстрирует эффективность данного подхода.

Литература

1] Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extensions // ASME. J. Appl. Mech. 1952. V. 74. P. 526-528.

2] Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // ASME. J. Appl. Mech. 1957. V. 24. P. 109-114.

3] Carpinteri A., Paggi M. Asymptotic analysis in Linear Elasticity: From the pioneering studies by Wieghardt and Irwin until today. Engineering Fracture Mechanics. 2009. V. 76. P. 1771-1784.

4] Li J., Recho N. Methodes asymptotiques en mecanique de la rupture. Paris: Hermes Science Publications, 2002. 262 p.

5] Niu Z., Cheng C., Ye J., Recho N. A new boundary element approach of modelling singular stress fields of plane V-notch problems // International Journal of Solids and Structures. 2009. V. 46. P. 2999-3008.

6] Bouchbinder E., Livne A., Fineberg J. The 1/r singularity in weakly nonlinear fracture mechanics // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2009. V. 57. P. 1568-1577.

7] Niu Z., Cheng C., Ye J., Recho N. Evaluation of the stress singularities of plane V-nothches in bonded dissimilar materials // Applied Mathematical Modelling. 2009. V. 33. P. 1776-1792.

8] Ding P., Wang X. Solutions of the second elastic-plastic fracture mechanics parameter in test specimens // Engn. Fracture Mechanics. 2010. V. 77. P. 3462-3480.

9] Ayatollahi M.R., Dehgany M., Nejati M. Fracture analysis of V-notched components - Effects of first non-singular stress term // International Journal of Solids and Structures. 2011. V. 48. P. 1579-1589.

10] Berto F., Lazzarin P., Kotousov A. On higher order terms and out-of plane singular mode // Mechanics of Materials. 2011. V. 43. P. 332-341.

11] Ayatollahi M.R., Nejati M. Experimental evaluation of stress field around the sharp notches using photoelasticity // Materials and Design. 2011. V. 32. P. 561-569.

12] Hello G., Tahar M.B., Roelandt J.M. Analytical determination of coefficients in crack-tip stress expansions for a finite crack in an infinite plane medium // International Journal of Solids and Structures. 2012. V. 49. P. 556-566.

13] Бьюи Х.Д. Механика разрушения: обратные задачи и решения. М.: Физмат-лит, 2011. 412 с.

14] Астафьев В.И., Григорова Т.В., Пастухов В.А. Влияние поврежденности материала на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины при ползучести // ФХММ. 1992. Т. 28. № 1. С. 5-11.

15] Астафьев В.И., Григорова Т.В. Распределение напряжений и поврежденности у вершины растущей в процессе ползучести трещины // Изв. РАН. Мех. тверд. тела. 1995. № 3. С. 160-166.

[16] Murakami S. Mechanical modeling of material damage //J. Appl. Mech. 1988. V. 55. № 2. P. 280-286.

[17] Murakami S., Liu Y., Mizuno M. Computational methods for creep fracture analysis by damage mechanics // Comput. Methods Appl. Mech. Engng. 2000. V. 183. P. 15-33.

[18] Murakami S., Hirano T., Liu Y. Asymptotic fields of stress and damage of a mode I creep crack in steady — state growth // Int. J. Solids Struct. 2000. V. 37. P. 6203-6220.

[19] Mou Y., Han R.P.S. Influence of damage in the vicinity of a macrocrack tip // Engng. Fracture Mechanics. 1996. V. 55. № 4. P. 617-632.

[20] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. М.: Физматлит, 2002. 432 с.

[21] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005. 256 с.

[22] Liao S. Beyond Perturbation. Introduction to the homotopy analysis method. Boca Raton; London; New York; Washington: Charman and Hall, 2004. 336 p.

[23] Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. М: Физмат-лит, 2009. 336 с.

[24] Степанова Л.В. О методах решения задач на собственные значения, возникающих в нелинейной механике разрушения // Вестник Нижегородского университета. 2011. № 4. Ч. 4. С. 1786-1788.

[25] Федина М.Е., Адылина Е.М. Собственные значения в задаче о трещине // Дифференциальные уравнения и их приложения: тез. докл. конференции "СамДифф-2011". Самара: Универс групп, 2011. С. 122-123.

[26] Баренблатт Г.И. Автомодельные явления - анализ размерностей и скейлинг. Долгопрудный: Издательский дом "Интеллект", 2009. 216 с.

[27] Sadchev P.L. Self-similarity and beyond. Exact solutions of nonlinear problems. Boca Raton; London; New York; Washington: Charman and Hall. 2000. 315 p.

[28] Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математичекой физики. Долгопрудный: Издательский дом "Интеллект", 2010. 368 с.

[29] Zhao J., Zhao X. The asymptotic study of fatigue crack growth based on damage mechanics // Engn. Fracture Mechanics. 1995. V. 50. № 1. P. 131-141.

[30] Степанова Л.В. Уточненный расчет напряженно-деформироавнного состояния у вершины трещины в условиях циклического нагружения в среде с повре-жденностью // Вестник СамГУ. 2011. № 2(83). С. 105-115.

[31] Найфе А.Х. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. 535 с.

[32] Nayfeh A.H., Mook D.T. Nonlinear oscillations. New York: John Wiley and Sons, 1995. 704 p.

[33] Nayfeh A.H., Pai P.F. Linear and Nonlinear Structural Mechanics. New York: John Wiley and Sons, 2004. 754 p.

[34] Дьяконов В.П. Mathematica 5.1/5.2/6 в математических и научно-технических расчетах. М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2008. 744 с.

[35] Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Паде. М.: Мир, 1986. 502 с.

[36] Андриянов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика: путь к целостной простоте. М.: Эдиториал УРСС, 2004. 304 с.

Поступила в редакцию 22/II/2012;

в окончательном варианте — 22/II/2012.

ABOUT A NON-LINEAR TASK ON EIGENVALUES INCURRING FROM THE ANALYSIS OF TENSIONS AT THE FATIGUE CRACK TIP

© 2012 E.M. Adylina, S.A. Igonin, L.V. Stepanova2

An analytical solution of the nonlinear eigenvalue problem arising from the fatigue crack growth problem in a damaged medium in coupled formulation is obtained. The perturbation technique is used. The method allows to find the analytical dependence of eigenvalue on parameters of the kinetic equation of the damage evolution law.

Key words: nonlinear eigenvalue problem, cyclic loading, crack growth in a damaged medium, perturbation method, analytical solution.

Paper received 22/II/2012. Paper accepted 22/II/2012.

2Adylina Ekaterina Mihailovna (kateadulinaamail.ru), Igonin Sergey Alexandrovich (sergejigininayandex.ru), Stepanova Larisa Valentinovna ([email protected]), the Dept. of Mathematical Modelling in Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.