CC BY
37
МАТЕМАТИКА
УДК 517.977, 519.173
О НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ГАРАНТИРОВАННОГО ПОИСКА НА ГРАФАХ
Т. В. Абрамовская1, Н. Н. Петров2
1. С.-Петербургский государственный университет, аспирант, [email protected]
2. С.-Петербургский государственный университет,
д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
В работе рассматриваются дифференциальные игры преследования на графах при отсутствии информации об убегающем. Проблемы подобного рода состоят в следующем: группа преследователей ставит своей целью «поймать» (в том или ином смысле) невидимого убегающего, которому программа действий преследователей становится известной до начала поиска. Таким образом, речь идёт о задаче гарантированного поиска, которой посвящены многочисленные публикации. Среди них следует отметить целый номер журнала Theoretical Computer Science, содержащий достаточно полную библиографию по гарантированному поиску [1], и монографию [2], вышедшую в свет в 2009 году. В них, в частности, упомянуты основополагающие результаты П. А. Головача об е-поиске. В настоящей работе доказана теорема о скачках функции Головача для деревьев (точные определения приводятся ниже).
Стандартная задача поиска ставится следующим образом: для каждого графа найти наименьшее число преследователей, необходимое для успешного завершения поиска. Эту величину, зависящую от структуры графа, условия поимки и динамических возможностей участников, называют поисковым числом. Впервые задача об определении поискового числа была поставлена американским математиком Т. Парсонсом в [3] и, независимо, вторым автором настоящей работы в [4]. В последующие годы важные результаты, касающиеся поисковых чисел, были получены Пападимитриу, Гэри, Джонсоном, Сеймуром, Робертсоном, Томасом и другими известными зарубежными математиками. В России исследования в теории гарантированного поиска ведутся на кафедре исследования операций Санкт-Петербургского государственного университета. Её выпускники П. А. Головач и Ф. В. Фомин — известные специалисты, причём последний в настоящее время является профессором Университета города Берген (Норвегия), принимавшие активное участие в редактировании упомянутого выше номера журнала Theoretical Computer Science. В аннотированной библиографии, содержащейся в этом номере, представлены работы выпускников кафедры А. Б. Зеленевской, В. О. Капелевич, С. В. Лунегова, С. А. Старостиной, М. А. Тетерятниковой, И. Туре, А. В. Чумановой.
© Т. В. Абрамовская, Н.Н. Петров, 2010
Интерес к проблеме гарантированного поиска обусловлен, прежде всего, её бесспорной актуальностью, а также многочисленными связями между поисковыми числами и другими инвариантами графа, возникающими в различных областях математики. Например, некоторые характеристики графа, лежащие в основе теории СБИС (СверхБольших Интегральных Схем), такие, как ширина разреза (the cut width), топологическая ширина ленты (the topological bandwidth), величина вершинного разделения (the graph vertex separation number), выражаются через поисковые числа и тем самым получают новую интерпретацию с точки зрения теории поиска. Через поисковые числа выражаются также две основные составляющие известной теории миноров Робертсона и Сеймура — путевая и древесная ширина графа (the path width and the tree width). Ранее была обнаружена связь между задачами поиска на графе и «игрой в камни» (a pebble game) на ориентированном ациклическом графе, которая моделирует рациональное использование компьютерной памяти. Поисковые числа возникают также в задачах координации движения робота, в некоторых моделях борьбы с компьютерным вирусом, в проблеме сохранения секретности информации, передаваемой через электронную сеть при наличии мобильных подслушивающих устройств.
10. Проблема, рассмотренная в работе, называется задачей є-поиска и формулируется следующим образом. В трёхмерном евклидовом пространстве рассматривается топологический граф с рёбрами, представляющими собой конечнозвенные ломанные, которые могут пересекаться только в вершинах. Рассматриваются связные графы без петель и кратных рёбер. На графе находятся преследователи Pi,... ,Pk и убегающий E. Предполагается, что игроки обладают простыми движениями:
(Рі) : хі = щ, ||wj|| < 1, і Є 1, к, m
(E) : y = uo, (1)
причём граф является для всех участников фазовым ограничением. Допустимыми управлениями игроков являются кусочно постоянные функции, заданные на произвольных замкнутых отрезках [О, т]. Траектории преследователей и убегающего — кусочно аффинные вектор-функции со значениями в графе. Целью группы преследователей является построение программы, основанной только на структуре графа и обеспечивающей «поимку» невидимого убегающего, т. е. сближение с ним на расстояние, не превосходящее заданного числа є > 0 (называемого радиусом поимки). В качестве метрики p на графе рассматривается длина кратчайшего по евклидовой норме пути,
полностью лежащего в графе. Задача є-поиска заключается в следующем: для каждо-
го топологического графа найти наименьшее число преследователей, необходимое для успешного завершения є-поиска, которое было названо є -поисковым числом. Эта задача была впервые поставлена П. А. Головачом, получившим по данной проблеме важные результаты. Функция, которая сопоставляет каждому є є-поисковое число, называется функцией Головача.
Головачом было показано [5], что функция Головача кусочно постоянна, не возрастает и непрерывна справа.
Заметим, что при є = 0 задача є-поиска, как показано в [5], эквивалентна некоторой дискретной задаче, в которой рассматривается только комбинаторная схема графа. Для положительного є задача є-поиска не сводится к дискретной.
Искомое наименьшее число преследователей, осуществляющих поимку с нулевым радиусом на графе G, обозначается через s(G).
Рассмотрим произвольный граф G. Предположим, є-поисковое число графа G равно k. Будем говорить, что функция Головача для графа G имеет в точке є > О скачок
высоты I, если существует такое е' < е, что для каждого 6, е' < 6 < е, группа из к + I преследователей обеспечивает 6-поимку, в то время как группа из к+р преследователей, 0 < р < I, не может успешно завершить поимку с радиусом меньшим е.
Для натурального к < в (О) обозначим через е^(к) минимальный радиус поимки, с которым группа к преследователей ловит убегающего на О (в силу полунепрерывности справа функции Головача минимальный радиус поимки существует).
Есть предположение, что «в общем положении» все скачки функции Головача единичные. Но в работе [6] было доказано, что для полных графов с числом вершин более
5, имеющих рёбра одной и той же длины, функция Головача имеет неединичные скачки. Авторам известны примеры «вырожденных» случаев в классе деревьев, опровергающие известную гипотезу о том, что функция Головача планарного графа имеет только единичные скачки.
В настоящей работе выделяется класс деревьев, для которых функция Головача имеет только единичные скачки.
20. Дадим некоторые определения.
Совокупность П траекторий {х1(£),..., х&(£),£ € [0, т]} команды преследователей Р = {Р1,..., Рь } будем называть программой.
Программа П называется выигрывающей с радиусом поимки е, если для любой траектории убегающего у, заданной на [0, г], существуют £ (Е [0, т] и г £ 1,/г такие, что р(х;(£),у(£)) < е.
Множество С на графе О называется очищенным при использовании программы П в момент £ € [0, т], если не существует траектории убегающего у, заданной на [0, т], такой, что у(£) (Е С и Ш' < £ /э(ж*(£/), у(£/)) > е Для всех * (Е 1, к.
Верна следующая лемма.
Лемма 1. Для любого поддерева Т' произвольного дерева Т верно ет'(к) < ет(к).
Доказательство. Можно считать, что Т' отличается от Т одним висячим ребром. Здесь и далее ребром мы называем замкнутое множество, «соединяющее» две смежные вершины.
Пусть Т получено из дерева Т' добавлением висячего ребра (а, 6) (а € УТ'). Зафиксируем произвольную выигрывающую программу П команды Р на Т с радиусом поимки ет (к), заданную на [0, т]. Определим программу П' команды Р на Т', отличающуюся от П только в моменты {£ (Е [0, г] : 3*о € {1, 2, .. ., к} а^0 (£) (Е (а, 6)}. Для этих £ в программе П7 положим ж/*0(£) = а (ж'—траектория Pj в программе П7, 3 (Е 1 ,к). В остальные моменты программа П' совпадает с П. Очевидно, П' — выигрывающая на Т' программа команды Р с радиусом поимки ет (к). Таким образом, на Т' возможна поимка с ет (к), а может и меньшим радиусом поимки. □
Заметим, что существенным в условии леммы является то, что рассматриваемый в ней граф — дерево. Для произвольного графа утверждение леммы неверно: для куба С с рёбрами единичной длины ес(1) равняется 3, но если обозначить через Z самый длинный цикл в С (его длина равна 8), то е^(1) составит 4.
Пусть Т —дерево. Для а € Т и 6 > 0 определим множество Ж^(а) = {х € Т|р(а, х) < 26}.
Ветвью дерева Т, отходящей от вершины а, назовём замыкание компоненты связности множества Т\{а}.
Будем говорить, что преследователь Р е-близок (е-неблизок) к точке дерева а в некоторый момент £, если р(а,х(£)) < е (р(а, х(£)) > е).
Для доказательства основного результата нам потребуется вспомогательное утверждение.
Лемма 2. Пусть на дереве Т существует вершина а, от которой отходят три ветви Ві, В2, В3. И пусть для каждой ветви Ві, і = 1, 2, 3, выполнено следующее: в любой программе команды Р, выигрывающей в задаче є-поимки на Ві, найдется момент времени, в который каждый из преследователей є -неблизок к а. Тогда команда Р не может успешно завершить є-поиск на Т.
Доказательство. Покажем, что в условиях леммы убегающий может уклониться от поимки командой Р с радиусом поимки є.
Рассмотрим ветвь В*, і Є {1, 2, 3}. По условию для её очистки необходимо, чтобы в некоторый момент времени все преследователи находились на В* и не были є-близки к
а. Значит, среди замыканий компонент связности множества ВДЖе(а) существует такое множество Кі, что к — 1 преследователей не могут очистить Кі с радиусом поимки є (иначе, команда Р может очистить Ві с радиусом поимки є с нарушением условия леммы).
Зафиксируем произвольную программу П команды Р на Т, определённую на [0, т]. Заметим, что если в течение действия этой программы хотя бы в одном из множеств Кі находится менее к є-неблизких к а преследователей, то возможность уклонения следует из возможности уклонения убегающего на Кі . Изменение состава преследователей, находящихся в течение рассматриваемого промежутка времени в этом множестве Кі, не имеет значения. Поэтому достаточно рассматривать лишь те программы П, в которых предусмотрено пребывание к є-неблизких к а преследователей в каждом из множеств Кі . Тогда для каждой программы П найдётся разбиение отрезка [0, т],
0 < Ь_ < Ь+ < Ь_ < Ь+ < ... < Ь_ < Ь+ < т,
обладающее следующими свойствами: для всякого і = 1,..., в существует номер і такой, что для всех Ь Є [Ь_, Ь + ] в множестве Кі находятся к є-неблизких к а преследовав
телей, в то время как для Ь Є и [Ь_, Ь+] в каждом из множеств Кі находятся меньше
з=1
чем к є-неблизких к а преследователей. При этом для каждого номера і = 1, 2, 3 существует, по крайней мере, один промежуток [Ь_,Ь+] такой, что для всех Ь Є [Ь_ , Ь+] в множестве Кі находятся к є-неблизких к а преследователей.
Каждой программе П с указанным разбиением поставим в соответствие последовательность чисел Ді,..., так, чтобы величина д равнялась номеру і того множества Кі, в котором находятся преследователи для Ь Є [ь_, Ь+].
Обозначим через ві наименьшее целое число такое, что последовательность Ді,..., д31 содержит все номера 1, 2, 3, через в2 —наименьшее целое число такое, что последовательность д3і-і, д31 ..., д32 содержит все номера 1, 2, 3, через вз — наименьшее целое число такое, что последовательность д32-і, д32 ... ,д3з содержит все номера 1, 2, 3 и т. д. Заметим, что номера _і, , д8о.+1 при всех возможных а различны.
Теперь опишем, каким образом убегающий уклоняется от поимки с радиусом є при программе преследователей П. В качестве начальной точки убегающий выбирает точку в множестве Кі, где і = д31 так, чтобы в течение [0,Ь__і] уклоняться от поимки, не покидая множество Кі. Это возможно, так как в указанный промежуток времени в множестве Кі находится меньше к є-неблизких к а преследователей.
В момент Ь— і убегающий переходит в множество Кі, где і = д32, выбирает там точку так, чтобы в течение [Ь— і,Ь— і] уклоняться от поимки, не покидая Кі. Затем он переходит в множество Кі, где і = д3з и т. д. пока не попадёт в одно из множеств Кі, в котором вплоть до момента т находятся меньше к є-неблизких к а преследователей.
Построенная траектория позволяет убегающему избежать поимки при программе П команды Р с радиусом поимки еД
Зафиксируем произвольное е > 0. Обозначим через Т(е) множество всех таких деревьев Т, что никакие две вершины дерева Т степени три или более не находятся на расстоянии 2е друг от друга.
Теорема 1. Пусть Т € Т(е), и пусть к преследователей ловят убегающего с радиусом поимки е на Т. Тогда группа из к +1 преследователей осуществляет 6-поимку на Т, где 6 < е.
Доказательство. Проведём доказательство индукцией по числу рёбер.
Заметим, что для дерева, состоящего из одного ребра, утверждение очевидно.
Докажем утверждение для дерева Т, состоящего из трёх рёбер, имеющих одну общую вершину. Заметим, что в(Т) = 2, значит, ет(2) = 0. Покажем, что ет(1) составляет половину длины наименьшего из рёбер. Обозначим вершину степени 3 через а, длины рёбер Т обозначим через /1 < /2 < /з, где /* —длина ребра (а, а*), г = 1, 2, 3.
Выигрывающая программа преследователя с радиусом поимки /1/2 выглядит так: преследователь становится в вершину аз, переходит в середину ребра (а, а1), затем переходит в вершину ребра а2. На этом поиск заканчивается. Очевидно, описанная программа — выигрывающая. Значит, ет(1) < /1/2.
Покажем, что для е' < /1/2, ет(1) > е'. Тогда будет показано, что ет(1) = /1/2.
Воспользуемся леммой 2. Для очищения любой из вершин а1, а2, аз с радиусом поимки е' преследователю необходимо подойти к ней на расстояние, не меньшее, чем е'. Так как е' меньше половины длины кратчайшего из рёбер, для очищения каждой висячей вершины необходимо отдалиться от вершины а больше, чем на е'. Таким образом, мы попадаем в условия леммы 2, следовательно, ет(1) > е'.
Рассматриваемое дерево Т имеет только одну вершину степени 3, значит, дЖе(а) не содержит вершин степени 3 или более. Для любого к > 1 такого, что к преследователей ловят убегающего на Т с радиусом поимки е > 0, к + 1 преследователей ловят убегающего с нулевым радиусом поимки, так как к + 1 > 2.
Выполним индукционный переход. Рассмотрим случай произвольного дерева Т € Т(е), с числом рёбер больше трёх, имеющего хотя бы одну вершину степени больше двух.
Пусть к преследователей осуществляют поимку убегающего на Т с радиусом поимки е > 0. Покажем, что добавление одного, (к + 1)-го, преследователя сделает возможным поимку с меньшим радиусом.
Заметим, что любую точку ребра графа можно объявить вершиной степени 2. Таким образом, замыкание всякого связного множества А С Т можно рассматривать как подграф, дополнив множество вершин дерева Т точками множества дА.
Ветвь В дерева Т, отходящую от вершины а, назовём плохой ветвью, если для поддерева А, полученного замыканием некоторой компоненты связности множества В\Же(а), выполнено е^(к) = е. Ветвь, не являющуюся плохой, будем называть хорошей.
Рассмотрим произвольную вершину а € УТ. Покажем, что в условиях индукционного предположения от неё отходит не более двух плохих ветвей. Предположим противное. Обозначим три произвольные плохие ветви В1, В2, В3.
По определению плохой ветви существует поддерево К (замыкание некоторой компоненты связности множества ВДЖе(а)), для которого выполнено е_к(к) = е, г = 1, 2, 3. Множество К* П Же(а) состоит из единственной точки V*. Если V* € УТ, объявим V* вершиной степени 2 (это возможно, так как по условию, точка V — либо точка ребра, либо вершина степени не выше двух).
Заметим, что К* € Т(е) и число рёбер в К* меньше, чем число рёбер в Т. По индукционному предположению е_к(к — 1) > е_к(к). В очищении К* должны участвовать все к преследователей. В самом деле, если один из преследователей не отдаляется от а больше, чем на е, то он контролирует при этом только точку V*, не влияя, таким образом, на поимку на К*. Следовательно, для очищения плохой ветви В* с радиусом поимки е необходимо, чтобы в некоторый момент на В* находились к е-неблизких к а преследователей. Мы попадаем в условия леммы 2, значит, ет(к) > е — противоречие с условием теоремы.
Таким образом, от любой вершины дерева Т отходит не более двух плохих ветвей.
Построим цепь Z (возможно, состоящую из одной вершины), обладающую тем свойством, что ветви, отходящие от произвольной вершины V этой цепи, не содержащие отличных от V вершин цепи Z, являются хорошими.
Выберем произвольную вершину Т, обозначим её через V. Пусть первоначально цепь Z состоит из единственной вершины V, а дерево В совпадает со всем деревом Т.
(1) Если от вершины V не отходит плохих ветвей, содержащихся в В, то в цепь Z не добавляется вершин.
(2) Если от V отходит одна плохая ветвь, содержащаяся в В, то присоединим к цепи Z ребро плохой ветви, инцидентное V, и перейдём к рассмотрению вершины, смежной по этому ребру с V. В качестве рассматриваемого поддерева на следующем шаге берём упомянутую плохую ветвь, отходящую от V.
(3) Пусть в процессе построения Z мы пришли к рассмотрению вершины V, от которой отходят две плохие ветви Д и Ь, содержащиеся в В. Сделаем в этом случае два замечания. Первое, в дереве Т от вершины V не отходит других плохих ветвей, кроме Д и Ь. Второе замечание следует из леммы 1, а именно, от любой вершины ветви Д отходит плохая ветвь, содержащая Ь, и, возможно, ещё одна (но не более) плохая ветвь, содержащаяся в Д. Аналогичное верно для любой вершины ветви Ь. Тогда построим цепи в ветвях Д и Ь, начиная с вершины V, при этом могут быть реализованы только возможности (1) или (2). Из цепи Z исключается всё ранее построенное, новая цепь Z составляется из получившихся цепей ветвей Д и Ь, соединённых в вершине V.
В результате будет построена цепь Z, обладающая необходимым свойством. Введём обозначения вершин цепи Z: пусть Z = {V!,..., ^}.
Рассмотрим произвольную вершину V цепи Z и ветви, от неё отходящие и не содержащие других вершин цепи Z — набор таких ветвей обозначим В^). Пусть В — произвольная ветвь из множества В^). Рассмотрим поддерево К, полученное замыканием некоторой компоненты связности множества В\Же^). Так как Т € Т(е), точка 6 € К П Же^) —единственная точка этого множества — либо вершина степени 2 в Т (тогда обозначим ребро, содержащееся в пути из V в 6, инцидентное 6, через (с, 6)), либо точка ребра (тогда обозначим это ребро через (с, й)). Вершина с, возможно, совпадает с вершиной V.
По построению, ветвь В —хорошая. Значит, ек(к) < е. Существует а > 0 такое, что ек(к) + а < е.
Заметим, что верно следующее. Рассмотрим произвольное дерево К и дерево К', которое получено из К добавлением произвольного висячего ребра длины не больше
а. Если команда Р ловит убегающего на К с радиусом поимки е, тогда эта же команда преследователей, используя ту же программу, ловит убегающего на К' с радиусом поимки е + а.
Поместим на ребро (с, 6) вершину и степени 2 на расстоянии 1/2 шт {р(с, 6), а} от
б. Если поместить (к + 1)-го преследователя в точку т пути из V в 6 на расстоянии
в = є — І/2р(и, b) < є от v, то k преследователей могут очистить замыкание компоненты связности множества B\Ng(v), содержащей K (это множество K и ребро (u, b)), с радиусом поимки є' = є к(k) + a < є (см. рисунок).
Можно выбрать такое малое a и построить є^) < є, что k + І преследователей могут очистить все ветви B(v) с радиусом поимки є^).
Определим to = max{t(i>j)}.
jel.P
Поместим на T ещё одного преследователя P^+i и опишем программу k + І преследователей с радиусом поимки єо.
В начальный момент преследователи Pi,..., P^, Pfc+i становятся в вершину vi, очищают все ветви множества B(vi), возвращаются в vi. Далее все преследователи переходят в вершину v2, очищают все ветви множества B(v2) и возвращаются в v2 и т. д. пока все преследователи не перейдут в вершину vp. Тогда они очищают все ветви множества B(vp), возвращаются в vp, и на этом программа завершается.
Описанная программа является выигрывающей программой k + І преследователей на T с радиусом поимки єо < є. □
Замечание. Для произвольного дерева T теорема І выполняется для любого є > О, кроме конечного числа значений. Таким образом, если скачки функции Головача для дерева T приходятся на такие значения є, для которых выполнена теорема І, то функция Головача имеет только единичные скачки.
Литература
1. Fomin F. V., Thilikos D. M. An annotated bibliography on guaranteed graph searching // Theoretical Computer Science. 2008. Vol. 399, N 3. P. 236-245.
2. Одинец В. П., Шлензак В. А. Избранные главы теории графов. M.; Ижевск: Институт компьтерных исследований, НИЦ РХД, 2009. 504 с. (Odyniec W.P., Slezak W. A. Wybrane rozdzialy teorii grafow. Bydgoszcz: Wydawnictwo Akademii Bydgoskiej, 2003. 350 s.)
3. Parsons T. D. Pursuit-evasion in a graph // Theory and Application of Graphs. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 642. Berlin: Springer, 1978. P. 426-441.
4. Петров Н. Н. Некоторые экстремальные задачи поиска на графах // Дифф. уравнения. 1982. Т. 18, №5. С. 821-827.
5. Головач П. А. Экстремальные задачи поиска на графах: дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Л.: ЛГУ, 1990. 158 c.
6. Головач П. А., Петров Н. Н. Поисковое число полного графа // Вестн. ЛГУ. Сер. 1. 1986. Вып. 4. С. 57-60.
Статья поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.
