О некоторых свойствах J-аналитических функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.2

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ 3-АНАЛИТИЧЕСКИХ

ФУНКЦИЙ

© 2013 В.Г. Николаев1

Изучены свойства 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису. Доказаны три вспомогательные теоремы, на основании которых приведен общий алгоритм построения примеров неединственности однородной задачи Шварца в виде квадратичных форм.

Ключевые слова: матрица, собственное число, собственный вектор, голоморфная функция, квадратичная форма, векторный полином.

1. Предварительные сведения

Настоящая статья посвящена исследованию свойств 2-вектор-функций, аналитических по Дуглису (Бо^Ив) [1].

Ниже для краткости будем обозначать фх и фу частные производные функции ф(х,у) по х и по у соответственно.

Определение 1.1. Обозначим . произвольную п хп-матрицу, среди собственных чисел которой нет вещественных. Комплексную п-вектор-функцию ф(х, у) назовем . -аналитической, или аналитической по Дуглису с матрицей . в области С С И2, если

| - .дФ =0, (х,у) € С. (1.1)

В скалярном случае при . = А, 1т А = 0 функцию ф(г), удовлетворяющую в области С С И2 соотношению фу — А • фх = 0, назовем А-голоморфной. При А = I она совпадает с обычной голоморфной функцией.

Определение 1.2. Будем говорить, что функция ф(г) соответствует матрице ., если для них выполнено (1.1).

Замечание 1.1. Если а, в — константы, С — вектор-константа, а функции ф\(г) и ф2соответствуют матрице .1, то функция ф(г) = аф\ + вф2 + С будет соответствовать той же матрице .. Это вытекает из (1.1).

Хорошо известно, что условия (1.1) достаточно для аналитичности функции ф(г). При этом даже не нужно требовать непрерывности ее первых частных производных.

хНиколаев Владимир Геннадьевич (vg14@inbox.ru), кафедра алгебры и геометрии Новгородского государственного университета, 173003, Российская Федерация, г. Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41.

2. Вспомогательное утверждение

Имеет место

Теорема 2.1. Для произвольного комплексного числа л Ф И. существует такая непостоянная вещественная функция и(х,у), что комплексная функция иу — — л • их является голоморфной. При л = —г функция и(х, у) есть полином не выше 2-й степени, квадратичная часть которого единственна с точностью до вещественного множителя.

Разумеется, линейная часть и(х, у) не единственна.

Доказательство разобьем на три пункта. Пусть л = кг+г, к = 0. Обозначим

иу — (кг + г) • их = р + гя, (2.1)

где и(х,у) — вещественная функция; р + г,д — комплексная функция.

1°. Пусть л = —г. Тогда р + гя в (2.1) будет голоморфной для произвольной гармонической функции и(х,у), что следует из формул (2.4) или (2.5) ниже. Поэтому при л = —г единственности нет.

2°. Пусть л = —г, то есть (к,г) = ( — 1,0), к = 0. Предположим, что вещественная функция и(х,у) и голоморфная р + г,д = /(г), удовлетворяющие (2.1), существуют и определены в некоторой односвязной области О. Это в силу (2.1) означает, в частности, что и(х, у) — аналитическая в О функция.

Докажем, что и(х, у) — полином второй степени. Выпишем реальную и комплексную части уравнения (2.1):

иу — гих = р; —ких = д. (2.2)

Следовательно,

I <У1 - 01 _ Т11 ' п - - /-»'•>/

(2.3)

рх иху гихх; ду киху,

хх

рУ иУУ гиху; дх ких

Поэтому с учетом условий Коши — Римана

рх = Яу, ру = —Ях, (2.4)

которым удовлетворяет голоморфная функция /(г) = р + гд, из (2.3) вытекает,

что

Из (2.2) имеем:

(1 + к)иху — гихх = 0, гиху кихх + иуу - 0.

: — 1 Я(x,y),

г

г • их + р(х, у) = — кЯ(х,у)+ р(х, у).

(2.5)

(2.6)

Применяя к (2.6) условие замкнутости (иу)'х = (их)'у , получаем:

г1

— кЯх + рх = — к Яу, т.е. — гдх + крх = —Яу.

Отсюда в силу соотношения рх = яу — см. (2.4) — имеем равенство —гях + + кЯу + Яу = 0, или

(к + 1)Яу — г • Ях = 0. (2.7)

Выражение (2.7) — это линейное однородное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка относительно вещественной функции Я(х, у). Как известно, его общее решение имеет вид

Я(х, у) = ф(гу + (к + 1) х), (2.8)

и

х

и

у

где ф(£) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция. Причем функция д(х,у), являясь мнимой частью голоморфной I(г), будет гармонической, то есть по определению цхх + цуу = 0. Это равенство с учетом (2.8) означает, что

[(к + 1)2 + г2] • ф'' = 0, (х,у) е С (2.9)

(производная ф'^ существует в силу (2.8) и равенства ц = 1тI(г)).

Так как по условию п. 2° (к,г) = ( — 1, 0), то в силу (2.9) = 0 в области С, откуда функция ф(£) линейная. Поэтому на основании (2.8) функция д(х,у), а следовательно и I(г) = р + гц, тоже линейные. При этом линейная часть I(г) единственна с точностью до вещественного множителя. Отсюда с учетом (2.2) следует, что вещественная функция и(х,у) в (2.1) — полином не выше второй степени, квадратичная часть которого определена с точностью до множителя.

Чтобы получить формулы для коэффициентов квадратичной формы и(х,у), надо подставить выражение и = ах2 + 2сху + Ьу2 в систему (2.5). Приведем конечный результат:

при к = —1, г — произвольном:

2 2г (г2 + к2 + к) 2 ,

и(х,у) = х2 + — ху - к > у2 ; (2.10)

при к = —1, г = 0 :

и(х,у)=2ху + гу2. (2.11)

Можно показать, что квадратичная форма (2.10) при к > 0 положительно определена.

3°. Существование вещественной функции и(х,у) и голоморфной р + гц, для которых верно (2.1), вытекает из (2.4), (2.10), (2.11). Тем самым теорема 2.1 доказана.

3. Функции с линейно зависимыми компонентами вещественной части

В этом пункте рассмотрим аналитические по Дуглису 2-вектор-функции ф(г), обладающие свойством Ие ф(г) = (а • I, в • I), где а, в — некоторые вещественные числа. При этом хотя бы одно из них будем считать ненулевым. В теореме 4.1 будет доказано, что такие функции существуют.

Замечание 3.1. В [2] показано, что если а = в = 0, то есть при Ие ф(г) = 0, функция ф(г) будет векторным полиномом. Также этот случай изучался в [3].

Теорема 3.1. Пусть функция ф(г) является аналитической по Дуглису в од-носвязной области С с нетреугольной 2 х 2-матрицей ., имеющей комплексные собственные числа А, ^ £ И, А =

Для вещественных а, в обозначим:

С а,в = 0; С ^0 У0в),а = 0,в = 0. (3.1)

При а = 0, в = 0 положим С = Е. Тогда:

1) если Ие ф(г) = (а • I, в • I) и матрица Л' = СЛСнетреугольная, то ф(г) есть векторный полином не выше второй степени;

2) если Ие ф(г) = (I, 0), или Иеф(г) = (0, д), то матрица Л' нетреугольна, а квадратичная часть ф(г) единственна с точностью до вещественного множителя.

Замечание 3.2. Матрица С подобрана из условия Ие (Сф) = (I, 0).

Доказательство. 1) Пусть матрица J' = CJC 1 нетреугольная. С учетом (1.1) равенство

(Сф)у — CJC-1(Сф)х = 0 (3.2)

означает, что функция Cф(z) будет аналитической по Дуглису с матрицей J' = = CJC-1. Обозначим ее снова ф(z), то есть пусть фу — J' • фх = 0. При этом в силу замечания 3.2

ф(7) ( f(х,У) + i9i(x,V) \ (33)

ф(^={ 0 + ig2(x,y) J. (33

Очевидно, что п. 1) достаточно доказать для функций ф(z) вида (3.3) и матрицы J '.

1a) Пусть одно из собственных чисел J' равно X = i, а второе л = —i, Im л = 0 произвольное.

Обозначим y = (b, 1) — собственный вектор матрицы J', соответствующий ¡. Здесь b = 0, так J' нетреугольная. Пусть также вектор x = (1,0). В силу нетре-угольности J' он не может быть собственным, поэтому J'x = Xx + Zy, Z = 0;

J'y = ¡y.

Таким образом, в базисе

B = (x, y)=(j Ь) (3.4)

матрица Ji = B-1J'B оператора J' имеет вид

J1 = XZ ¡0 = Zi ¡0

(3.5)

то есть Л = г, так как матрицы и Jl подобны и поэтому имеют одинаковые собственные числа.

Далее, поскольку = В.\Е-1 и фу — • фх =0, то

(В-1ф)у — .1(В-1ф)х = 0. (3.6)

С учетом (3.3) и (3.4)

B-i*<z>=(: i)(f +7)=( t1).

Тогда (3.6) с учетом (3.5) и (3.7) можно подробно расписать в виде

( Г )у — ( Гл )( "2 )хZ = ^

(3.7)

(3.8)

Ыу — ¡Ых = -— R(z) = - R' (z), (3.9)

Согласно первой строке (3.8) функция Я(г) будет голоморфной (по определению 1.1). Вторая строка после деления на г примет вид

~~ГЯ(г) = -

г ах г

где функция д2(х,у) вещественная, а функция Я'(г) голоморфная.

Таким образом, с учетом (3.9) и теоремы 2.1 функции д2(х,у) и Я(г) в (3.7) будут полиномами не выше второй степени (кроме случая ц = —г). Отсюда в силу (3.7) ф(г) также есть векторный полином степени два.

В п. ограничение на собственные числа было сделано для того, чтобы применить теорему 2.1. Но теперь избавимся от него.

1Ь) Собственные числа Л = Ах +А2г, М = 0 и ¡л = А нетреугольной матрицы 1'.

Рассмотрим линейную обратимую подстановку

х = XI — у1, у = -1 у1. (3.10)

Л2 Л2

Несложно показать, что функция ф(х,у), аналитическая по Дуглису с матрицей 1', в результате преобразования (3.10) становится функцией фх = ф(х1,у{), удовлетворяющей (1.1) уже с матрицей 1* = ^(1' — ЛхЕ). При этом ф(г) и фх(г) одновременно имеют вид (3.3). Матрица 1 * останется нетреугольной, а ее собственными числами будут г и некоторое п = —г■ Отсюда в силу п. 1а) и обратимости (3.10) вытекает, что утверждение п. 1) верно и для произвольных собственных чисел А = ~р.

2) При а = 0, в = 0 матрица 1' = С 1С-1 будет нетреугольной — проверяется ее вычислением (так как 1 по условию теоремы нетреугольная). Тем более это верно для а = 0, в = 0 — тогда 1' = 1. Поэтому утверждение п. 1) справедливо для функций ф(г) со свойством Ие ф(г) = (/, 0) или Ие ф(г) = (0, д).

Рассмотрим случай Иеф(г) = (¡, 0). Пусть ф1(г) и ф2(г) — две разные векторные квадратичные формы вида (3.3), соответствующие одной и той же нетреугольной матрице 1.

Поскольку квадратичная форма д2(х,у) в силу (3.9) и теоремы 2.1 определена с точностью до вещественного множителя, то при некотором реальном £ имеем: фз(г) = фх + £ф2 = (Ъ(х,у), 0). В силу замечания 1.1 фз(г) будет аналитической по Дуглису с той же самой матрицей 1. Подставив фз(г) в (1.1), получим 2 х х 2-систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно переменных Нх,Ну. Ее определитель не равен нулю в силу нетреугольности 1, поэтому Ъ-х = Ъу = 0. Следовательно, фз(г) есть вектор-константа. Таким образом, квадратичные формы фх(г) и ф2(г) отличаются на константу, что и требовалось.

Для случая Иеф(г) = (0,д) нужно использовать формулу (3.2), где матрица С имеет вид (3.1) при а = 0, в = 0. Теорема 3.1 доказана.

Замечание 3.3. В п. 1) приведенного выше доказательства было существенно использовано условие нетреугольности матрицы 1'. Однако при а = 0, в = 0 она может быть верхнетреугольной (то есть элемент а'21 = 0). В этом особом случае п. 1) не верен.

Приведем контрпример. Пусть в (3.1) а = в = 1,

1 = ( 1 — 1 2———1 ); С = ( 1 —0 ); ф(г) = ( £ ) .

где п = 1, 2, 3,... Матрица 1 имеет собственные числа А = г и ¡л = 2г. При этом матрица 1' = С 1С-1 имеет элемент а21 = 0. Здесь Иеф(г) = (Иегп, Иегп) для произвольного п, что противоречит утверждению п. 1) теоремы 3.1.

Замечание 3.4. Если функции ф1 (г), где Иеф1 = (/, 0), и ф2(г), где Иеф2 = = (0,д), соответствуют одной и той же матрице 1, то квадратичные формы ] и д могут быть разными. В качестве доказательства приведем

Пример 3.1. Пусть

_г 8) (5х2 + 3у2 — 1 + 6хуг\ ( 0+(х" + 3у2) г

(-г 8) , (5х2 + 3у2 — 1 + вхуг\ (

5г),ф1={ 0 + х + 3у2) г ) , ф2=\— ^ — + \хуг,,

Здесь матрица 1 имеет собственные числа А = г, ¡л = 3г.

Таким образом, если две функции фз(г), Ивф3 = (а • I, в • I), и ф4(г), Ив ф4 = ('У • д, 5 • д) соответствуют некоторой матрице где все числа а, в,1,5 — ненулевые, то фз(г) и ф4(г) могут не быть линейно зависимыми. Для построения контрпримера нужно к функциям ф1,ф2 и к матрице . из примера 3.1 применить преобразование (3.2), где С — произвольная неособая вещественная матрица без нулевых элементов.

4. Алгоритм построения контрпримеров к задаче Шварца

Как известно, однородная задача Шварца [2; 3] состоит в следующем. Обозначим Г границу ограниченной односвязной области G С R2. Для данной матрицы J надо найти соответствующую ей вектор-функцию ф(г), аналитическую в G и обладающую свойством Re ф(г)|г = 0.

Очевидно, что функция ф(г) = 0 + iC = const будет решением этой задачи. Однако построенный в пункте 3 пример 3.1 показывает, что она не всегда является единственным ее решением. Действительно, Re Ф1 (z) |г =0 на эллипсе Г : 5x2 + 3y2 = 1, но ф1(г) = const.

Для получения общего алгоритма построения таких примеров докажем следующее утверждение, которое вытекает из теоремы 3.1.

Теорема 4.1. Пусть нетреугольная 2 х 2-матрица J имеет комплексные собственные числа А, л ^ R, А = и пусть а, в — вещественные числа. Тогда для каждого из трех случаев: 1) а = 0, в = 0; 2) а = 0, в = 0; 3) а, в = 0 существуют соответствующие матрице J векторные квадратичные формы ф(г) со свойством Re ф = (а ■ f, в ■ f).

Доказательство. 1) Рассмотрим случай Re ф = (f, 0). Пусть сначала А = = i и ц = ki + r = -i. Найдем y = (b, 1) — собственный вектор матрицы J, соответствующий ¡¡. Образуем по формуле (3.4) базис B оператора J. Найдем коэффициент Z = 0 матрицы Ji = B-1JB вида (3.5).

Вычисления показывают, что если

( aii ai2 А

V a21 a,22 ) '

т I ^11 ^12 \ т a12 м

J = , то b =-, Z = a2i.

"" ¡л — aii

Построим по формулам (2.10) или (2.11) вещественную квадратичную форму д2(х,у) = и(х,у) для данных к,г. Подставив д2(х,у) в левую часть (3.9), запишем получившееся выражение в виде

а1(х + гу) = а1 г = ^Я' (г), где а1 — комплексное число. Отсюда

2

Я(г) = О?- .

У ' 2 С

Тогда согласно (3.4) и (3.7) окончательно имеем:

*х»)=в (В-1Ф) = (1 ') = (1. (4.1)

Функция (4.1) будет аналитической по Дуглису с данной матрицей при этом Ивф(г) = (I, 0). Для произвольного Л = Л1 + Л2г нужно использовать преобразование (3.10).

Случаи 2) и 3) сводятся к предыдущему, если положить

с J) ,а = 0,в = 0 ; C ^J J) , а,в = 0

и затем использовать (3.2). Теорема 4.1 доказана.

Схема приведенного доказательства дает общий алгоритм построения примеров неединственности однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм.

Действительно, пусть для некоторой матрицы J построена соответствующая ей векторная квадратичная форма ф(г) вида (4.1). При этом оказалось, что функция f (x,y) в (4.1) есть положительно определенная и неособая квадратичная форма. Тогда функция ф\(г) = ф(г) — (J, 0) будет согласно замечанию 1.1 соответствовать той же матрице J, но при этом ReФ1 (z)|г =0 на эллипсе Г : f(x,y) = J. Таким образом, будем иметь пример неединственности однородной задачи Шварца, так как ф1(г) = const. Очевидно, что его можно построить не для всех матриц.

Следует отметить, что тип квадратичной формы f(x, y) в (4.1) после применения (3.10) и обратного к нему не изменится. Из теорем 2.1 и 3.1 вытекает, что этот тип определен однозначно. В связи с этим предлагается ввести следующую классификацию 2 х 2-матриц по квадратичным формам.

Определение 4.1. Будем говорить, что матрица J € Sw+, если функция f (x,y) в (4.J) есть положительно (отрицательно) определенная и неособая квадратичная форма. Если f — знакопеременная форма, то J € Sw_. Если f = (ax+by)2, то J € Swo.

Отметим, что в соответствии с такой классификацией в примере 3.1 матрица J € Sw+.

Заключение

В статье изучены некоторые свойства 1-аналитических вектор-функций, соответствующих нетреугольным 2 х 2-матрицам. Основным ее результатом является алгоритм построения векторных полиномов второй степени, которые соответствуют произвольным матрицам и реальные части которых линейно зависимы. На основании данного алгоритма выделен класс 2 х 2-матриц, обозначенный Sw+, для которых нет единственности однородной задачи Шварца.

Литература

[1] Солдатов А.П. Функции, аналитические по Дуглису. Великий Новгород: Изд-во НовГУ, 1995. 195 с.

[2] Солдатов А.П. Задача Шварца для функций, аналитических по Дуглису // Современная математика и ее приложения. 2010. Т. 67. С. 97-100.

[3] Николаев В.Г. Об одном преобразовании задачи Шварца // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2012. № 6(97). С. 27-34.

Поступила в редакцию 21/777/2013; в окончательном варианте — 21/777/2013.

ON SOME PROPERTIES OF J -ANALYTICAL FUNCTIONS

© 2013 V.G. Nikolaev2

The properties of 2-vector-valued functions analytic in Douglis are studied. Three auxiliary theorems, on the basis of which the general algorithm of constructing examples of not-uniqueness homogeneous problem of Schwartz in the form of quadratic forms is reduced to are proved.

Key words: matrix, eigen number, eigen vector, holomorphic function, quadratic form, vector polynomial.

Paper received 21/1/7/2013. Paper accepted 21/777/2013.

2Nikolaev Vladimir Gennadievich (vg14@inbox.ru), the Dept. of Algebra and Geometry, Novgorod State University, Veliky Novgorod, 173003, Russian Federation.