О некоторых нелокальных задачах для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2014. Том 21, № 1

УДК 517.956

О НЕКОТОРЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С КРАТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ А. Р. Хашимов, А. М. Тургинов

Аннотация. Рассматриваются две краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками и нелокальным условием по времени. При доказательстве единственности решений используется метод интегралов энергии. Для доказательства разрешимости задачи методом потенциалов построена функция Грина. Далее, с помощью функции Грина доказывается однозначная разрешимость исследуемых задач. При этом изучается влияние граничных условий на класс гладкости решений.

Ключевые слова: уравнение третьего порядка с кратными характеристиками, функция Грина, метод интегралов энергии, краевая задача, нелокальные условия, интегральное уравнение.

1. Введение

В работе [1] разработан метод построения фундаментальных решений уравнения с кратными характеристиками и построены фундаментальные решения уравнений

В начале 60-х гг. Каттабрига, развивая работу Дель Веккьо [1], построил теорию потенциалов для вышеуказанных уравнений [2, 3]. В дальнейшем исследователями был рассмотрен ряд краевых задач для уравнений (1), (2) с локальными и нелокальными граничными условиями [2-13].

В данной работе рассматривается следующие задачи.

I. В области О = {(x, t) : 0 < x < 1, 0 < t < T} найти регулярное решение u(x,t) £ Ku уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u(x, 0) = ^u(x, T), ц = const, 0 < x < 1, (3)

u(0, t) = <^i(t), ux(0,t) = <^(t), ux(1,t) = -0(t), 0 < t < T. (4)

Здесь Ku = {u(x,t) : u(x,t) £ П uxt £ C(íí)}.

II. В области О = {(x, t) : 0 <x< 1, 0 < t < T} найти регулярное решение u(x, t) £ Ku уравнения (1), удовлетворяющее условиям

u(x, 0) = ^u(x, T), ^ = const, 0 < x < 1, (5)

Uxx(0,t) = (t), ux (0,t) = <^(t), Ux(1,t)= V(t), 0 < t < T. (6)

(g 2014 Хашимов А. Р., Тургинов А. М.

Здесь Ku = {u(x,t) : u(x,t) G П uxt G C(íí)}.

Отметим, что нелокальная задача для уравнения

d3u du

исследована с другими граничными условиями в [14], где для доказательства разрешимости задачи использован метод параболической регуляризации и метод продолжения по параметру.

В данной работе разрешимость задачи доказывается методом потенциалов. Фундаментальные решения уравнения (1) имеют вид (см. [3])

U{x-bt-T) = {t-T)-bf(^j^j, хф£,1>т, (7)

У (х - g; t - т) = (t - T)-iip ( '^ ) , x>Z,t>T. (8)

Здесь

f (z) = j cos(A3 — Az) dA, —то < z < то, 0

сю

<^(z) = J(exp(—A3 — Az) + sin(A3 — Az)) dA, z > 0,

(z) = j (exp( — A3 — Az)+sin(A3 — Az)) dA, z 0

Для функций U(x—t—т), V(x—£; t—т), f (z), ^(z) справедливы следующие соотношения (см. [3]):

/"(z) + iz/(z) = 0, <^(z) + ^(z) = 0, (9)

сс 0 сс сс

j № = //(*) = !> //(*) = /*>(*) = 0, (10) -с 0 0

t

Í п

lim / — a; t — т)а(£, т) dr = — a(t), (11)

— (a-0,t) J 3

t

f 2п

lim Utf{x-a;t-T)a{£,T)dT = ——a(í), (12)

t)-(a+0,t) J 3

т

t

lim / Vff (x — a; t —т)а(£,т) dT = 0, (13)

(x,t)-(a+0,t) J

т

fn(z) - c+z2^-1 sin Qz^ > z —^ oo, (14)

(pn(z) ~ c+z^^" sin ' zoo, (15)

/"(*) ~ cjz^exp í - |n4, Z->-OO. (16)

— OO

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть 0 < < ехр{—Т}. Тогда задачи I и II имеют не более одного решения.

Доказательство. Сначала докажем, что задача I имеет единственное решение. Пусть задача I имеет два решения ^(ж, 4), и2(ж, 4). Тогда, полагая г>(ж, 4) = их(ж, 4) — и2(ж, 4), получим следующую задачу относительно функции г>(ж, 4):

д3« д« ,

«(ж, 0) = ^(ж,Т), 0 < ж < 1, (18)

«(0,4)=0, «х(0,4) = 0, (1,4) =0, 0 < 4 < Т. (19)

Рассмотрим тождество

1 т

Ь« г>х< ехр{—4} = 0. (20)

о о

Интегрируя (20) по частям и учитывая однородные граничные условия (18), (19), получаем

1 T т

^ J J vxx(x' t) exP{—t} dxdt — ^ J v"l(1, t) exp{— t} dt

1

J T){exp{-T} - M2} dx = 0. (21)

2 J J xxv ' L J 2

о о о

1

1 ' 2

^ I ^ттI

о

Отсюда vxx(x, t) = 0 в О, vt(1,t) = 0 для t £ [0,T].

Пусть < exp{-T}. Тогда vxx(x,T) = 0, стало быть, vx(x,T) = const, x £ [0,1]. Так как

vx(0,t)= vx(1,t) = 0, t £ [0,T]

имеем

vx(0, 0) = Vx(0,T) =0.

Следовательно, vx(x,T) = const = 0 при x £ [0,1]. Далее,

vx(x, T) = 0 ^ v(x, T) = const ^ v(x, 0) = const, x £ [0,1].

Поскольку v(0, t) = 0 ^ v(0, 0) = 0, то v(x, 0) = const = 0 при x £ [0,1]. В силу того, что vt(1,t) = 0, t £ [0,T] ^ v(1,t) = const, t £ [0,T], и v(0, 0) = 0, имеем v(1,t) = 0, t £ [0,T].

Таким образом получаем хорошо известную первую краевую задачу относительно функции v(x,t):

d3v dv ^

L,, — -_ = 0) (М)£0,

v(x, 0)=0, x £ [0,1], v(0, t) = 0, vx(0,t) = 0, v(1, t) = 0, t £ [0,T]. В силу [3] эта задача имеет единственное решение.

Рассмотрим случай у2 = exp{—Т}. Из (20) получаем г>хх(ж, г) = 0, откуда «х(ж,г) = ¿1(4) при г е [0,Т]. Так как ^(0,4) = «х(1,г) = 0 при г е [0,Т], то ¿1(4) = 0 при г е [0,Т].

Из г>х(ж, г) = 0 вытекает, что г>(ж,г) = ¿2(г) при г е [0, Т]. Поскольку «(0,4) = 0 при 4 € [0,Т], то ¿2(4) = 0 при 4 € [0,Т]. _

В силу непрерывности функции г>(ж, 4) = 0 получаем, что г>(ж, 4) = 0 в О. Рассмотрим задачу II. Пусть задача II имеет два решения и1(ж, г), и2(ж, г). Тогда, полагая г>(ж,г) = и1(ж,г) — и2(ж, г), получим однородную задачу типа II относительно функции г>(ж,г). Введем обозначение ш(ж, г) = их(ж,г). Дифференцируя уравнение (1), имеем

д3ш дш ^ . . ^ Ьс —-- = 0, (ж,4)<ЕО,

ш(ж, 0) = уш(ж, Т), 0 < ж < 1,

ш(0,г) = 0, шх(0,г) = 0, ш(1,г) = 0, 0 < г < т.

Интегрируя тождество

1 т

Ьш ш exp{—г} ¿ж^г = 0, 0 0

получаем ш(ж, 4) = 0, (ж, 4) (Е О, шх(1,4) = 0 для всех 4 (Е [0, Т], ш(х,Т) = 0 для всех ж е [0,1].

Интегрируя тождество

1 т

Ьш ш exp{—ж} ¿ж^г = 0, 00

имеем шх{х, 4) = 0 для всех (ж, 4) (Е О. Тогда ух(х, 4) = 0, г;хх(ж,4) = 0 для всех (ж, 4) € П.

Рассмотрим тождество

1 т

Ьи и exp{ —г} ¿ж^г = 0. 00

Интегрируя это тождество, получаем -и(ж,4) = 0 для всех (ж, 4) (Е О. Теперь докажем теорему существования для задачи I.

Теорема 2. Пусть 0 < у2 < exp{—Т}, ^(г) е С 1([0,Т]), <^(г) е С 1([0,Т]), ^1(г) е С2([0,Т]). Тогда существует решение задачи (1), (3), (4). Доказательство. Рассмотрим вспомогательную задачу. Найти функцию и(ж, г) е Ки, которая является регулярным решением уравнения

д3и ди

(22)

в области О = {(ж, г) : 0 <ж< 1, 0 <г < Т} и удовлетворяет условиям

и(ж, 0) = т(ж), (23)

и(0,г) = ^1(г), их(0,г) = «^(г), и*(1,г) = ^(г). (24)

В [4] разработан метод построения функции Грина для задачи (22)—(24). Если применить его к задаче (22)—(24), то с учетом (9)—(13) получим решение задачи в следующем виде:

г г

пи(ж,г) = — ^ (ж — 1; г — т)^(т) ¿т — ^ (ж — 0; г — т)< (т) ¿т

00

г 1

+ У (ж — 0; г — т)<р2(т) ¿т + I С(ж — С; г — 0)т(С) ¿С, (25) 00 где С(ж — £; г — т) = и (ж — £; г — т) — Ш (ж — £; г — т). Здесь Ш (ж — £; г — т) является решением задачи

д3Ш дШ

и |«=1 = ш |с=1, исс |с=1 = Ш« |с=1, и |с=0 = Ш |с=0,

Ш |т=т = 0.

Обозначим и(ж,Т) = а(ж). Переходя к пределу при г ^ Т, из (25) имеем т т

па(ж) = — У (ж — 1; Т — т)^(т) ¿т — J (ж — 0; Т — т)<1 (т) ¿т

0

т

+ I (ж — 0; Т — т)<2(т) ¿т + у У {С(ж — С; Т — 0)а(С) ¿С (26) 00 Итак, получено интегральное уравнение Фредгольма второго рода относительно функции а (ж):

1

а(ж) = 1 К (ж, £)а(£К + ^ (ж), (27)

0

где

К(ж, С) = уС(ж — С; Т — 0), т т

^(ж) = — ^ (ж — 1; Т — т)^(т) ¿т — ^ (ж — 0; Т — т)< (т) ¿т 00

т

+ I (ж — 0; Т — т)<2(т) ¿т. 0

С учетом (14)-(16) легко показать справедливость соотношений для функций К (ж, С), .Р (ж):

С

№,01<!-тгг. адес-3([0,1]).

В силу единственности решения задачи (1), (3), (4) интегральное уравнение (27) имеет единственное решение.

Аналогично можно доказать следующую теорему существования для задачи II.

Теорема 3. Пусть 0 < у2 < exp{—Т}, ^(г) е С 1([0,Т]), <2(г) е С2([0,Т]), <1(г) е С2([0,Т]). Тогда существует решение задачи (1), (5), (6).

1

ЛИТЕРАТУРА

1. Del Vecchio E. La soluzione fondamentale per zxxx — Zy =0 // Atti R. 1st. Veneto Sci. Lett. Arti. 1916. V. 65.

2. Cattabriga L. Un problema al per una equazione parabolica di ordine dispari // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, Mat. 1959. V. 13, N 2. P. 163-203.

3. Cattabriga L. Potenziali di linea e di dominio per equazioni non paraboliche in due variabili a caracteristiche multiple // Rend. Semin. Mat. Univ. Padova. 1961. V. 3. P. 1-45.

4. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнений третьего порядка смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: Фан, 1979.

5. Джураев Т. Д., Иргашев Ю. О краевой задаче Каттабрига для нелинейных уравнений третьего порядка с кратными характеристиками // Краевые задачи для дифференциальных уравнений и их приложения. Ташкент: Фан, 1976. С. 141-155.

6. Абдиназаров С. Общие краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17. С. 3-12.

7. Абдиназаров С., Хашимов А. Краевые задачи для уравнения с кратными характеристиками и разрывными коэффициентами // Уз. мат. журн. 1993. № 1. С. 3-12.

8. Абдиназаров С. Об одном уравнении третьего порядка // Изв. АН УзССР. Сер. физ.-мат. науки. 1989. № 6. С. 3-7.

9. Елеев В. А. Краевая задача для смешанного уравнения третьего порядка параболо-ги-перболического типа // Укр. мат. журн. 1996. Т. 17, № 6. С. ???.

10. Хашимов А. Об одной задаче для уравнения смешанного типа с кратными характеристиками // Уз. мат. журн. 1995. № 2. С. 95-97.

11. Mascarello M., Rodino L. Partial differential equations with multiple characteristics. Berlin: Wiley, 1997.

12. Mascarello M., Rodino L., Tri M. Partial differential operators with multiple symplectic characteristics // Partial differential equations and spectral theory / Eds. M. Demuth, B.-W. Schulze. Basel: Birkhauser, 2001. P. 293-297.

13. Rodino L., Oliaro A. Solvability for semilinear PDE with multiple characteristics // Evolution equations / Eds. R. Picard, M. Reissig, W. Zajaczkowski. Warsaw: Banach Center Publ., 2003. V. 60. P. 295-303.

14. Кожанов А. И. О разрешимости нелокальной по времени задачи для одного уравнения с кратными характеристиками // Мат. заметки ЯГУ. 2001. Т. 8, № 2. С. 27-40.

Статья поступила 15 января 2014 г.

Хашимов Абдукомил Рисбекович, Ташкентский финансовый институт, ул. Амира Тимура, 60А, Ташкент 100000 [email protected]

Тургинов Азизджан Мамасолиевич Кокандский гос. педагогический институт, ул. Туран, 23, Коканд 113000 azizj [email protected]