CC BY
50
ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.956
О НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ ТИПА КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА
© 2013 Зайнулабидов М.М., Зайнулабидов Г.М., Зайнулабидова З.М.
Дагестанский государственный педагогический университет
Изучены нелинейные уравнения, являющиеся обобщениями уравнения Кортевега-де Фриза.
The authors of the articles studied nonlinear equations, which are generalizations of the Korteweg - de Vries equation
Ключевые слова: уравнения Бюргерса, уравнение Кортевега-де Фриза, формулы преобразования.
Keywords: Burgers equation, Korteweg - de Vries equation, transformation formulas
Исследование закономерностей распространения волн различной природы и процессов теплопроводности является актуальной задачей науки и техники.
В этом плане хорошо известны уравнения Бюргерса и Кортевега-де Фриза, которые получаются при математическом моделирования некоторых процессов нелинейной теплопроводности [3].
В [2] исследовано уравнение, являющееся в определенном смысле обобщением уравнения Бюргерса.
Настоящая работа посвящена исследованию нелинейных уравнений, являющихся обобщениями уравнения Кортевега-де Фризе.
Рассмотрим уравнение
—у. + PU 1+ вру
дх^ ххх
U 4
U 2 U 2U
хх х хх
------------+ д -
2д
-М2 -У)д^§8= 0 (1)
где 8 = 0,1; Р и у - произвольные действительные постоянные.
Уравнение (1) при 8 = 0 и у = 1 принимает вид:
д(и+ри )+ ври2 = 0.
Цг W xxx' xx (2)
Как легко проверить, уравнение (2) является частным случаем уравнения Корте-вега-де Фриза у + ру +уу _о, которое
/ XXX X
получается из него путем замены
у = при .
XX
Из известных результатов [3. С. 320] следует, что в результате замены
2
Известия ДГПУ, №2, 2013
и = 1п ¥(X, г), ¥ > о, уравнение (2) сводится к уравнению
( р _і_ ЙТ7 \ ¥2 - ¥ ¥
+ зр^XX_______X XXX = о, (3)
д
дx
¥ +Р¥
г XXX
¥
¥
2
которое исследовано в [3] на предмет существования решений.
В силу такой связи (1) с (2) уравнение (1) можно считать обобщенным уравнением Кортевега-де Фриза.
Следуя Бицадзе [1], решение и(X,г) уравнения (1) будем искать в виде и ^г ) = ф\¥ г)]. (4)
В результате подстановки (4) в уравнение (1) получим
—[рР(Г, + рГт)]+ЗРГ
дх
р" + 2(-1)8гР2 Р
+ 3 р(р "ГГ + 6р ГІ г +
х ххх хх
р
' + 2(-1)
8,Р Р
ЛЗ
р
8
+ ,8
М_
Р28
+ рг
Л2
р1У + б(-1)8>(^ + 6у8-
Р Р
-у(2 -г)8'
л4
(Р)
Р38
= 0
. (5)
Очевидно, если искомая функция является решением следующих обыкновенных дифференциальных уравнений
р” + (- ^у-Ц2 = 0,
Р
(6)
Р + 2(- 0, (7)
Р)3 _
/ + +6,8^--у(2-,84=о,
Р
ЗГ °’ (8)
д_
дx
Р Р
то уравнение (5) примет вид
р'\¥ + р¥ )- ЗРр'(¥2 - ¥ ¥ 1 = 0 .
1 ^ г XXX л У XX X XXX)
г ' г~ XXX! ~г т 'у XX ' X XXX)
- (9)
Равенства (6), (7), (8) соответственно представимы в виде
4р] = Р" + ,(р')2 = 0 , (10)
—Рр
>2 ,
—у 4р] - 2рУ ь[р] + 4Р'>Ф] = 0 =
—¥ —¥
когда 8 = 0 и в виде
4р]=рр"-,(р')2 = 0, (11)
Р-^Ь[р]-р'Ь[р] = 0,
—¥
2
р2 —— 4р] - 2(1 -,)—4р\ -
—¥
(4,+1)рр " + (,- 2)(р')2 Ь[р] = 0 , когда 8 = 1.
Отсюда следует, что уравнение (5) в результате замены (4), где р(¥) решение
(10) при 8 = 0 и (11) при 8 = 1 сводится к уравнению (9).
Легко показать, что общие решения (10) и (11) соответственно имеют вид:
р(¥) = — 1п
У
С~¥
Р(¥ ) =
у ¥ + С
С і 2
+ С^ ^ (12)
при у = 1
(С1¥ + С2 )(1 -у)
(13)
где С и С2 - произвольные постоянные, определяющие действительную функцию р(Е) при заданных допустимых
значениях параметра у .
В частности, вполне допустимы случаи, когда С = С = 0 для (12);
С = С = 1 при у = 1и С = 0, С = 1 при у Ф 1 для (13).
Таким образом, установлено, что уравнение (1) путем замены (4), где
— 1п|у F|, при уФ 0, 8 = 0,
Р[¥ ^г )] =
і
¥
[(1 ~Г)¥ ]
1-, ,
при у = 1, 8 = 1, (14)
при уф 1, 8 = 1,
сводится к уравнению (9), которое в силу того, что р' Ф 0, р” Ф 0, может быть исследовано тем же методом, что и уравнение (3) в [3] .
+
у
У
Представляет научный интерес исследование уравнения типа Кортевега-де Фриза в варианте
и и и3
и, +риххх+3ур7~хХ 0- (15)
XXX
(- и )
и
28
где 8 = 0,1; Р и у - произвольные действительные постоянные.
Применив к (15) замену (4), будем иметь
р28р' (р + рР )+ РР3
р28р”” + 3у(- р)8р ”р ” + у(у + 8)(р ” )3
+ 3р¥ ¥ р
XX X
8
р8р"+(-1)8у(р')2
0. (16)
Очевидно, простейшим вариантом (16) будет случай, когда искомая функция р(р ) является решением, нелинейных дифференциальных уравнений.
Ь[р] = р8р" +(- 1)8у(р' )2 = 0 , (17)
р28р'” + 3у(- р)8р'р” + у(у + 8\р')3 = 0 ,(18) Уравнение (17) совпадает с (10) при 8 = 0 и с (11) при 8 = 1, а уравнение (18) может быть переписано в виде:
р8 4р]+(-1)8 (у+8 )р’Ар\=0,
а¥
8 =0,1 (19)
Следовательно, функция р(¥), определяемая формулой (14), является решением уравнений (17), (18), и замена (4) с этой функцией сводит нелинейное уравнение (15) к линейному уравнению ¥■ + Р¥ххх = 0, подобно тому, как такая же замена сводит обобщенное уравнение Бюр-герса [2] к уравнению теплопроводности
¥г + р¥хх = 0.
Последнее означает, что уравнение (15) является более близким к обобщенному уравнению Бюргерса [2], чем уравнение (1) и может быть рассмотрено как другой вариант обобщения уравнения Кортевега-де Фриза.
Примечания
1. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М. : Наука, 1982. 448 с.
2. Зайнулабидов М. М., Зайнулабидов Г. М., Зайнулабидова З. М. Об одном обобщающем варианте уравнения Бюргерса // Известия Дагестанского государственного педагогического университета. Естественные и точные науки. 2012. №2. С. 5-7 3. Мартинсон Л. К., Маслов Ю. И. Дифференциальные уравнения математической физики. М. : Изд-во МГТУ им. Баумана, 2002. 367 с.
Статья поступила в редакцию 23.03.2013 г.
