CC BY
12
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 2
УДК 511.176 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-56-66
О некоторых фибономиальных тождествах
Гой Тарас Петрович — доцент кафедры дифференциальных уравнений и прикладной математики, Прикарпатский национальный университет имени Василия Стефаныка (Украина). e-mail: [email protected]
Аннотация
Фибиномиальное тождество — это тождество, сочетающее числа Фибоначчи с биномиальными или мультиномиальными коэффициентами. В этой статье для получение новых фибиномиальных тождеств мы используем семейства определителей и перманентов нижних матриц Хессенберга специального вида (так называемых матриц Теплица-Хессенберга, т.е. матриц порядка п х п гада Нп = (hij), где hij = 0 для всех j > г +1 hij = ai-j+1 и «¿,¿+1 = 2), элементами которых являются числа Фибоначчи Fn с последовательными, четными и нечетными индексами.
Полученные формулы для детерминантов и перманентов могут быть записаны как тождества, включающие суммы произведений чисел Фибоначчи и мультиномиальные коэффициенты. Например, для всех п > 1 имеет место тождество
S1 +2S2 +
где + = ^ ^ — мультиномиальный коэффициент, а суммирование произво-
дится по всей целый > 0, удовлетворяющих уравнению в! + 2в2 + • • • + пв„ = п.
Использование определителей матриц Те плица-Гессенберга позволило нам, в частности, получить формулы, устанавливающие связь между числами Фибоначчи и числами Якобсталя, Пелля, Пелля-Люка.
Ключевые слова: последовательность Фибоначчи, фибиномиальное тождество, последовательность Якобсталя, последовательность Пелля, последовательность Пелля-Люка, матрица Хессенберга, матрица Теплица-Хессенберга, мультиномиальный коэффициент.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
Т. П. Гой. О некоторых фибиномиальных тождествах // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 2, с. 56-66.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 2
UDC 511.176 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-2-56-66
On some fibinomial identities
Goy Taras Petrovich — associate professor of differential equations and applied mathematics department, Vasyl Stefanvk Precarpathian National University (Ukraine). e-mail: [email protected]
Abstract
Fibinomial identity is identity that combine Fibonacci numbers and binomial or multinomial coefficients. In this paper, for obtaining new fibinomial identities we consider determinants and permanents for some families of lower Toeplitz-Hessenberg matrices Hn = (hij ), where hij = 0 for all j > i + 1 hij = ai-j+i, an d aiyi+\ = 2, having various translates of the Fibonacci numbers Fn for the nonzero entries.
These determinant and permanent formulas may also be rewritten as identities involving sums of products of Fibonacci numbers and multinomial coefficients. For example, for n > 1, the following formula holds
Si +2S2 +
where (SlH = jg multinomial coefficient, and the summation is over non-
negative integers Sj satisfying Diophantine equation si + 2 s2 + • • • + nsn = n.
Also, we establish connection formulas between Jacobsthal, Pell, Pell-Lucas numbers and Fibonacci numbers using Toeplitz-Hessenberg determinants.
Keywords: Fibonacci sequence, Fibonacci numbers, fibinomial identity, Jacobsthal sequence, Pell sequence, Pell-Lucas sequence, Hessenberg matrix, Toeplitz-Hessenberg matrix, multinomial coefficient.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
T. P. Goy, 2018, "On some fibinomial identities" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 2, pp. 56-66.
1. Введение
Фибиномиалъное тождество — это тождество, сочетающее числа Фибоначчи с биномиальными (мультиномиальными) коэффициентами. Примеры таких тождеств можно найти, например, в [1, 2].
Для получения новых семейств фибиномиальных тождеств мы будем использовать детерминанты и перманенты нижней матрицы Хессенберга,, т.е. квадратной матрицы п порядка Нп = (к^), у которой к^ = 0 для всех ] > г + 1, причем = 0 хотя бы для одного
г е {1,2,... ,п — 1}. Таким образом,
/ кц к12 0 ••• 0 0 \
к21 к22 к23 ••• 0 0
кз1 к32 к33 ••• 0 0
Нп =
кп-1,1 кп—1,2 кп—1,3 • • • кп-1,п—1 кп-1,п
V кп1 кп2 кп3 • • • кп,п-1 к кпп /
(1)
ходными точками многих алгоритмов вычисления собственных значений. Эти матрицы используются, например, в методах подпространства Крылова в процессе построения ортогональных базисов, а также в задаче на нахождение собственных значений матрицы QR-мeтoдoм
И-
Если в матрице (1) к^ = ai-j+l для всех г,], то имеем матрицу Теплица Хессенберга
( а1 а2
Ап = Ап(ао] а1,..., ап) =
ао а1
0
ао
ап-1 ап-2 ап-3
\ ап ап-1 ап-2 ••• а2 а1 )
0 0
0 0
а1 ао
(2)
где ао = 0 и а^- = 0 хотя бы для одного ] > 0.
Разлагая детерминант detАra и перманент регАп (будем называть их определителем и перманентом Теплица-Хессенберга) по элементам последней строки, получаем формулы
det Ага = ^2(—ао)г 1аг det Ап^,
г=1
р е гАп = ^2/а%0 1агРе гАп_
г=1
(3)
(4)
где, по определению, detАо = 1 и регАо = 1.
Мы будем исследовать последовательности определителей и перманентов Теплица-Хессен-берга {det Ага}га>о и {регАп}п>о специального вида (при ао = 2), элементами которых являются числа Фибоначчи Рп, определяемые рекуррентно:
— Рп-1 + Рn—2,
п 2,
где Ро = 0, Р = 1 (последовательность А000045 в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей [4]).
Для простоты обозначений будем писать det(a1,..., ап) вместо detАra(2; а1,..., ап) и рег(а1,..., ап) — вместо регАп(2; а1,..., ап).
Использование определителей и перманентов для исследования чисел Фибоначчи и их обобщений имеет долгую историю (среди последних работ отметим [5, 6, 7, 8, 9, 10, 111). В частности, в [12] и [13] нами анонсированы фибиномильные тождества, полученные с помощью определителей матрицы Теплица-Хессенберга вида (2) при ао = 1.
Некоторые результаты этой статьи были опубликованы без доказательств в [14].
2. Связь чисел Якобсталя, Пелля и Пелля^Люка с числами Фибоначчи с помощью определителей Теплица^Хессенберга
Напомним определение некоторых известных целочисленных последовательностей, используемых нами далее.
Последовательность Якобсталя {Зп}п>0 — это целочисленная последовательность, которая может быть задана рекуррентным соотношением
Зп = Зп-1 + 23п-2, п > 2, где Зо = 0 З1 = 1, или с помощью формулы
2п — (—1)п
Зп =-3—^, п > 0. (5)
Последовательности, Пелля {Рп}п>0 и Пелля, Люка, {(п}п>0 удовлетворяют рекуррентному соотношению
Пп = 2ип-1 + ип-2, п > 2,
но с разными начальными условиями: Ро = 0 Р1 = 1 и (о = 2 (1 = 2, соответственно.
Приведем 14 первых членов последовательностей Фибоначчи, Якобсталя, Пелля и Пелля-Люка в виде таблицы:
п 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
1 п 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
Зп 0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731
р 1 п 0 1 2 5 12 29 70 169 408 985 2378 5741 13860 33461
2 2 6 14 34 82 198 478 1154 2786 6726 16238 39202 94642
Последовательности Якобсталя, Пелля и Пелля-Люка имеют множество замечательных свойств, комбинаторных интерпретаций и приложений (см., например, страницы с последовательностями А001045, А000129 и А002203 в [4], соответственно).
С помощью детерминантов Теплица-Хессенберга в следующей теореме установлена связь между числами Якобсталя, Пелля и Пелля-Люка и числами Фибоначчи.
п > 1
ёеК ^2,...,^п+1) = (—1)п3п, (6)
_1
—2 2 1(п, если п четное; . .
о^п (7)
2 2 рп, если п нечетное.
Доказательство. Докажем формулу (6) с помощью метода математической индукции.
Доказательство формулы (7) производится аналогично. Пусть Ип = ... ,^п+1 )• Легко
убедиться, что формула (6) выполняется при п = 1 и п = 2. Предположим ее выполнение для всех к < п — 1, где п > 3. Используя рекуррентное соотношения Якобсталя и (3), получаем:
п
Дп = —2)1 1Рг+1Дп-г
г=1
п
= 1 — 2^Дга_2 + ^(—2)*"1 (^ + 1) Д„_г
г=2
п п
= 1 — 4Дга_ 2 + ^( — 2)^ 1ргОп-г + ^(—2)^ 1°п~г
г=3 г=3
п—1 п—2
= Дп_ 1 — 4Дп_ 2 + ^(—2)грг+10п-г-1 + 4 ^(—2)*" 1Рг+1Дп-г- 2
г=2 1=1
= Дп-1 — 4Дга_2 + ^—2 2)^^г+Фп-г-1 + 2^2 ^ + 4Д
= Д^ 1 — 4Дга_ 2 — 2Дга_ 1 + 2Дп_ 2 + 4Дга_ 2 = —Дп-1 + 2 Дп-2.
Из предположения индукции и формулы (5) следует, что
(—2)п — 1 (—2)п"1 — 1 Д- = — Чт——
3
п
выполняется для любого натурального п. □
3. Детерминанты Теплица-Хессенберга, элементами которых являются числа Фибоначчи
Следующая теорема дает значения детерминантов Теплица-Хессенберга, элементами которых являются числа Фибоначчи (последовательные, с четными и нечетными индексами).
п > 1
(—1 — 1 — (—1 + 1
\/3 :
(—3 — 1 — (—3 + 1
ёе^о,...,^га_ 1) =
det( Ро,...,Р2П-2 ) =
1 "—1+2 ^ У"—(^ У!, («
Рь ..., Р^) = ^ ((/17 - 3) (П + (/17 + 3) ( "5±/T7)
(-1)П - (-4)Г
ёе^ Р2,..., Р^) =
<М.(Рз,..-.Р„.+2) = (-1)"-1 • 2-1-,
-2
ёе^Р4,...,Рга+з) = -1, п > 2,
ёеК ^4,...,^2„+2) = (-1)га(1 - 2^), ёеХ(Ръ,...,Рп+4) = 2п+1 + 1, ёеК ^5,...,^2„+з) = (-1)га-1, п > 2,
det(f6,...,Ji„+4)=<1+ --3>"+3.
доказате льство. Мы докажем только формулу (8). Остальные формулы могут быть доказаны аналогично. Легко проверяется, что формула (8) имеет место при п = 1 и п = 2. Предположим ее выполнение для всех к < п - 1, где п > 3. Пусть Ип = ёе^Р1,...,Рп). Используя рекуррентное соотношение (3), получаем
■"п — / ,( 2) Р г-п—г
г=1
п
= Р— + ^(-2)г-1Рг-1-г-1 ^(-2)г-1Рг-2-
г=1
п п
г-1,
-1-1-1 + 2_^(-2) Р1-2-1-1
г=2 г=2
п п-2
= Бп-1 - 2 ^(-2)г-1РгПп-г-1 + (-2)2 ^(-2)г-1РгПп-г-2
1=1 г=0
= Оп-1 - 2Бп-1 + 4Лп-2 = -Оп-1 + 40п-2.
Учитывая предположение индукции, имеем
д, = ((
(^Г - (^)'
уД7
_ 1 (/-1 + /Тг\П (-1 -/Тг\П\
= тт^^ Ч"^ )■
п
□
4. Перманенты Теплица-Хессенберга, элементами которых являются числа Фибоначчи
В этом разделе исследуем перманенты Теплица-Хессенберга, элементами которых являются числа Фибоначчи.
п > 1
(1 + /7)га_ 1 — (1 — /7)га_ 1
рег(Ро,.. .,Рп-1) = рег(Ро,.. .,Р2п-2) = р е г(Р1, ...,Рп) =
л/7 :
(3 + /7)га~1 — (3 — /7)га~1 /7 :
4га — (—1)га
5 , 2 ■ 6п + 3
рег(Р1,...,Р2п-1) =-тт-, (9)
15
ре г{Р2, ...,Рп+1) = А, ((/3 — 7) ( ^^ ) ^1 + (/33 + 7) ( ) ^1
рег( Р2,..., Р2п) =
2/33 Г ^ 2 ) у \ 2
1 ( ( 7 + /33 \ П ( 7 — /33'
\/33 и 2 \ 2
доказате п
п = 1 п = 2
п — 1 п > 3
к
Рп = рег(Р1,..., Р2п-1). Используя (3) и известную формулу Р2к = ^ Р2з-1, получаем
8=1
п
Ра — ^ ^ 2 ' Р2г— 1Рn—í г=1
п
= РЛ_ 1 + ^ 2*" 1{Р2г-2 + Р2г-з) Р
г=2
п п
= Рп-1 + ^ 2% 1Р2^2Рn—í + ^ 2% 1Р2^3Рп-г г=2 г=2
п—1 п—1
- Рп— 1 + ^ 2{Р2гРп-г-1 + 2 ^ 2^ 1Р2г — 1Рп—г—1
г=1 г=1
п— 1
— Рп— 1 г-1 + 2 Рп-1
г=1 п— 1 г
= 3Рга_ 1 + ^ ^ 2гРп_г_ 1Р2к-1 1=1 к=1 п— 1 п—г
— 3Рп— 1
+ ^2^ 2к 1Р2г г=1 к=1 п— 1
= 3Рп— 1 + ^ ^ 2 Рп—г. г=1
Используя предположение индукции, имеем
_ 2-6"-1 + 3 , ^ г 2 ■ 1 +3
Рп = 3 ■ 15 +
15 15
г=1
бп 3 б™^- , 1 ^ , = — + - + — }3-г + ->2г 15 5 45 ^
г=1 г=1
= 2 • бга + 3
= 15 .
п □
5. Фибиномиальные тождества с мультиномиальными коэффициентами
В этом разделе мы сосредоточимся на получении новых семейств фибиномиальных тож-
п
для этого будет следующая лемма [15].
ЛЕММА 4. Пусть Тп ^ матрица Теплица-Хессенберга (2) и п > 1. Тогда,
= (--ГЕ^)"1^) (£)" (% )"•••( £ У', (ю)
г(9е ) = ^а+к".^!^ ~ мультиномиальный коэффициент,, ап = «1 + 2,в2 + • • • + п8п и |з| = «1 + • • • + в п, причем вг > 0.
Используя теперь формулы (10) и (11) для тождеств из теорем 2, 3 после несложных преобразований, получаем следующее утверждение.
п > 1
. , \ п-1 / п-
*1г,..(в)( Р0Г... I " у/Ч/1 /1±^3
стп=га 2
" (?ГЧ¥Г = 2/7 (М'-1 - М (?ГЧ^У = 2/7 ((^Г - (Ч-7)
(| )-•„(^= Ц* -(5+/?)
(-)"•••(-Г=^ ((^)'- (^л,
( ) (Р1 У1 (Ра V" 4" - (-1)"
Е^Иу) •• ЛТ) = 5-2» , (12)
Е рп(в)(Р
Р^31
Р3\*1
Р^51
2
Р4 ^
Р2
Р2
Е(—2 Е *>«(
а„=п 4 7 4
Е (—Лм. 2
а„=п ^
Е р™(8М 2
а„=п ^
Е (—1)1 V« (т
ап =п ^
Е (—1) 1 ^ (*)( Р2 Е ( —1)' V«
а„ =п
Е (—1) ' з1р»(* Н 2
Е (—1)' 3{р^) (Р5
ап =п ^
Е (—1) ' м (Р5 4"
ап=п ^
Е рп( «и у)
гг.- -п \ /
2
Р2п— 1 2
Рга+1 2
Рп+2 2
Р2п "2"
Р2п "2"
34
2-6п + 3 15 ■ 2п ,
—2га+1 — (—1)га 3 ■ 2га ,
V" /33 Л / 3 — /33 \ га—1 16^3 + /33 \ п~1
= ^332Т И-Г""] —16 —4—;
Рп+2 2
Р2п+1 2
Рга+3 2
Р2п+2 2
Рга+4 2
Р2га+3 2
132
1 — 4га 3 ■ 2га ,
1 /7 7+ /33
733 Ц 4
)"—М >
1-2п-(-1)п
= -2-4-.
4 5П1 — 1
(—2)"- ' = 2—га — 2,
= (—1)га- (2 + 2—га) (—1)п45П1 — 1
(Р2п+4V" _ 2 ( / —1 —/3\П+ ( — 1 + /^^
{—) = /3 ц-^; 4—] ,
где а = — 3 + л/17, Р = —7 + л/33 и 6п1 - символ Кронекера.
п = 3, 4, 5
Р3 — 4Р4Р5 + 4Рб = —1; Р54 — 6Р2Рт + 8Р5Р9 + 4Р72 — 8Р11 = —1; Р5 + 8Р3Р2 + 12РЦР3 + 12Р1Р22 + 16Р1Р4 + 16Р2Р3 + 16Р5 = 205.
(13)
(14)
п
и
п
п
п
и
п
п
2
п
6. Заключение
Целью этой статьи является установление новых тождеств для чисел Фибоначчи. Исследуя семейства детерминантов и перманентов Теплица-Хессенберга специального вида, элементам которых являются числа Фибоначчи, мы получили новые тождества с мультиномиальными
коэффициентами для этих чисел (последовательных, а также с четными и нечетными индексами). Это, в частности, дало возможность получить формулы, устанавливающие связь чисел
Фибоначчи с числами Пелля, Пелля-Люка и Якобсталя с помощью определителей Теплица-
Хессенберга.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Benjamin А. Т., Quinn J. J., Rouse J. A. Fibinomial identities // Applications of Fibonacci numbers. Vol. 9. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers. P. 19-24. doi: 10.1007/978-0-306-48517-6^3
2. Koshv T. Fibonacci and Lucas Numbers and Applications. New York, John Wiley k, Sons, 2001.
3. Horn R. A., Johnson C.R. Matrix Analysis. New York, Cambridge University Press, 2012.
4. Sloane N.J. A., editor. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Available at: https://ocis.org.
5. Civciv H. A note on the determinant of five-diagonal matrices with Fibonacci numbers // Int. J. Contemp. Math. Sci. 2008. Vol. 3, № 9. P. 419-424.
6. Ipek A. On the determinants of pentadiagonal matrices with the classical Fibonacci, generalized Fibonacci and Lucas numbers // Eurasian Math. J. 2011. Vol. 2, № 2. P. 60-74.
7. Ipek A., Ari K. On Hessenberg and pentadiagonal determinants related with Fibonacci and Fibonacci-like numbers // Appl. Math. Comput. 2014. Vol. 229. P. 433-439. doi: 10.1016/j.amc.2013.12.071
8. Janjic M. Hessenberg matrices and integer sequences //J. Integer Seq. 2010. Vol. 13. Article 10.7.8.
9. Kavgisiz K., §ahin A. Determinant and permanent of Hessenberg matrix and Fibonacci type numbers // Gen. Math. Notes 2012. Vol. 9, № 2. P. 32-41.
10. Ocal A. A., Tuglu N., Altini§ik E. On the representation of fc-generalized Fibonacci and Lucas numbers // Appl. Math. Comput. 2005. Vol. 170, № 1. P. 584-596.
11. Tangboonduangjit A., Thanatipanonda T. Determinants containing powers of generalized Fibonacci numbers //J. Integer Seq. 2016. Vol. 19, Article 16.7.1.
12. Гой Т. П. Про HOBi формули для чисел Ф1боначч1 // Информатика и системные науки (ИСН-2017): Материалы VIII Всеукр. наук.-техн. конф., 16-18 марта 2017 г. - Полтава: ПУЭТ, 2017. - С. 51-54.
13. Gov Т. Some combinatorial identities for two-periodic Fibonacci sequence // Фундаментальные и прикладные проблемы математики и информатики: Материалы XII Междунар. конф., 19-22 септ. 2017 г. - Махачкала: ДГУ, 2017. - С. 107-109.
14. Гой Т. П. О новых фибиномиальных тождествах // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения: Материалы XV Междунар. конф., по-свящ. столетию со дня рожд. проф. Н.М. Коробова, 28-31 мая 2018 г. - Тула: ТГПУ им. Л. И. Толстого, 2018. - С. 214-217.
15. Muir Т. The Theory of Determinants in the Historical Order of Development. Vol. 3, New York, Dover Publications, 1960.
REFERENCES
1. Benjamin, A.T., Quinn, J.J. k Rouse J. A. 2004, "Fibinomial identities", In: Applications of Fibonacci numbers, vol. 9, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 19-24. doi: 10.1007/978-0-306-48517-6^3
2. Koshv, T. 2001, "Fibonacci and Lucas Numbers and Applications". John Wiley k Sons, New York.
3. Horn, R. A. k Johnson, C. R. 2012, "Matrix Analysis". Cambridge University Press, New York.
4. Sloane, N.J. A., editor. The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. Available at https://ocis.org.
5. Civciv, H. 2008, "A note on the determinant of five-diagonal matrices with Fibonacci numbers", Int. J. Contemp. Math. Sci., vol. 3, no. 9, pp. 419-424.
6. Ipek, A. 2011, "On the determinants of pentadiagonal matrices with the classical Fibonacci, generalized Fibonacci and Lucas numbers", Eurasian Math. J., vol. 2, no. 2, pp. 60-74.
7. Ipek, A. k Ari, K. 2014, "On Hessenberg and pentadiagonal determinants related with Fibonacci and Fibonacci-like numbers", Appl. Math. Comput., vol. 229, pp. 433-439. doi: 10.1016/j.amc.2013.12.071
8. Janjic, M. 2010, "Hessenberg matrices and integer sequences", J. Integer Seq., vol. 13, Article 10.7.8.
9. Kavgisiz, K. k §ahin, A. 2012, "Determinant and permanent of Hessenberg matrix and Fibonacci type numbers", Gen. Math. Notes, vol. 9, no. 2, pp. 32-41.
10. Ocal, A. A., Tuglu, N. k Altini§ik, E. 2005, "On the representation of ^-generalized Fibonacci and Lucas numbers", Appl. Math. Comput., vol. 170, no. 1, pp. 584-596.
11. Tangboonduangjit, A. k Thanatipanonda, T. 2016, "Determinants containing powers of generalized Fibonacci numbers", J. Integer Seq., vol. 19, Article 16.7.1.
12. Gov, T. P. 2017, "Pro novi formuli diva chisel Fibonachchi" [On new formulas for Fibonacci numbers], Materialvi VIII Vseukrainskov nauchno-tehnicheskov konferentsii "Informatika i sistemnvie nauki" (Proc. VIII Sci.-Tech. Conf. "Informatics and System Sciences", Poltava, Ukraine, pp. 51-54. (in Ukrainian)
13. Gov, T. 2017, "Some combinatorial identities for two-periodic Fibonacci sequence", Materialvi XII Mezhdunarodnoj konferencii "Fundamentalnvie i prikladnvie problemvi matematiki i informatiki" (Proc. XII Int. Conf. "Fundamental and Applied Problems of Mathematics and Informatics"), Makhachkala, Russia, pp. 107-109.
14. Gov, T. 2018, "O novvh fibinomial'nyh tozhdestvah" [On new fibinomial identities], Materialv XV Mezhdunarodnoj konferencii "Algebra, teorija chisel i diskretnaja geometrija: sovremennve problemv i prilozhenija", posvjashhennoj stoletiju so dnja rozhdenija prof. N. M. Korobova (Proc. XV Int. Conf. "Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems and Applications"), Tula, Russia, pp. 214-217. (in Russian)
15. Muir, T. 1960, "The Theory of Determinants in the Historical Order of Development". Vol. 3, Dover Publications, New York.
Получено 03.05.2018 Принято в печать 17.08.2018
