CC BY
18
О напряженно-деформированном состоянии инструмента в процессах течения тонкого пластического слоя
к.т.н. проф. Бодунов М.А., Бородин И.В., к.ф.-м.н. доц. Бодунов Д.М.
Университет машиностроения (495) 2230523, [email protected], [email protected], [email protected] Аннотация. Работа является продолжением исследований коллектива авторов и посвящена проблеме течения тонкого слоя пластически анизотропного материала по поверхности упругого тела. Полученные ранее результаты использованы для формулировки задачи теории упругости и исследования напряженно-деформированного состояния упругого тела (инструмента).
Ключевые слова: анизотропия материала, тонкий слой, напряженно-деформированное состояние.
Математическая модель процесса (квазистатика) течения тонкого пластического слоя по упруго-деформируемой поверхности рассматривается в работах [1 - 4], предложены методы исследования данной модели [2, 4], получены важные результаты [4, 7, 8], но, в основном, исследуется геометрия слоя - форма контура, разнотолщинность и т.д. В представленной работе внимание уделяется исследованию напряженно-деформированного состояния упругого тела, на грани которого и происходит течение. Принимая во внимание тот факт, что совместная постановка задач теории течения и теории упругости рассматривается в [8], остановимся подробнее на задаче теории упругости.
Запишем основные её соотношения, которыми определяется напряженно-деформированное состояние тела инструмента.
жг
(ъ:
Н
ЩШШШ
ШШШД
7777777777777777;
А
Инструмент
7777777777777777
Формулы Коши:
Соотношения Ламе:
Рисунок 1. Схема процесса
1
дих —— ■ 8 = —
дх ; Х2 2
(ди ди
ди
8УУ
У .
ду
8-7 2
ди,
дх дz
ди7 диу^ —7 + —-
ду д7
8 =-7 ■ 8 = 0
877 ^ ■ 8 Х- °
д7
°ХХ = + 2^£ХХ ; 0—7 = 8Х7 ;
а-у = Х6 + 2ц8уу; а-7 = 2ц 8 -7; Czz = + 2^877 ; аху = 0-
Уравнения равновесия в форме Ламе:
8 хх
1
(X+ии лих = 0;
Ох
(X + и + И Лиу = 0;
(X + и )"0" + И Лиг = 0;
здесь: А - оператор Лапласа, 0 = £хх + £уу + £гг.
Запишем граничные условия задачи теории упругости:
1. г = -Н: иг = 0; о^ = 0; о
у?
0;
2. г = 0:
51: 0гг = -Р;
52: о ? = 0; о? = 0;
3. боковая поверхность Г2:
Ох? @ 0; оу2 @ 0;
о г = 0;
оз пз
0.
Здесь 51 - область, занятая слоем, 50 - свободная область поверхности контакта. С помощью соотношений Ламе граничные условия можно записать в перемещениях:
1. г = -Н:
Ои 0иу
0; = 0; = 0;
Ог
2. г = 0, 51: (2и + X )+ X
ГОих ^ дх Оу
= -Р(х,у);
Ои Оих
= 0;
Ох Ог ^ + = 0;
Оу Ог
Ои^
0, 52: ( 2и + X ) + X
ГОих + ОЬ ^ Ох Оу
= 0;
Ои^ Оих
= 0;
Ох Ог ^ + = 0;
Оу Ог
3. боковая поверхность Г2: о3 п 3 = 0
Решение задачи теории упругости получено с помощью метода конечных элементов в вычислительной среде АКБУБ. При этом напряжения <уг были известны из решений, полученных ранее [9].
Ниже приводится один из полученных результатов исследования: для определенного набора параметров совместной задачи получено, в частности, распределение давления (рисунок 2).
и
г
2
Рисунок 2. Давление в сечении у = 0 Рисунок 3. Распределение нормальных
напряжений в инструменте
Здесь Р - параметр анизотропии, И/ С - относительная толщина слоя, а/А - параметр модели.
Далее представлено распределение нормальных напряжений в теле инструмента; показано, что при переходе от поверхности контакта к опорной поверхности нормальные напряжения постепенно выравниваются по горизонтальной плоскости (рисунок 3).
Также определена интенсивность напряжений (по Мизесу), распределенных по оси Ог
(рисунки 4, 5)
т„
<т„
Рисунок 4. Группа элементов, составляющих Рисунок 5. Распределение
«центр» упругого тела интенсивности напряжений в
инструменте по оси Oz
Как видно из рисунка, наибольшая интенсивность напряжений в инструменте находится не на контактной поверхности, а на некотором углублени от нее, что может быть обусловлено влиянием сдвиговых напряжений элементов, расположенных «под» контактной поверхностью.
Литература
1. Ильюшин А.А. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям // Прикл. матем. и мех. - 1954, т. 18, № 3. - с. 265 - 288.
2. Ильюшин А.А. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения // Прикл. матем. и мех. -1955, т. 19, № 6. - с. 693 - 713.
3. Кийко И.А. Теория пластического течения в тонком слое металла. - М.: Инст. мех. МГУ, 1971. - 66 с.
4. Кийко И.А., Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя//ПММ, 2006, т.70, вып.2, с. 344 - 351.
5. Новацкий В. Теория упругости // М., Наука. - 1975. - 872 с.
6. Кийко И.А. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества // ДАН СССР. - 1964, т. 157, № 3. - с. 551 - 553.
7. Бодунов Д.М. Течение тонкого слоя идеально-пластического материала по деформируемым поверхностям: Дис... канд. физ.-мат.н. - М., МГТУ МАМИ, 2004. - 163 с.
8. Коваленко П.В., Течение тонкого слоя пластического материала по грани упруго-деформируемого инструмента, Дис... канд. физ.-мат.н. - М., МГТУ МАМИ, 2009. - 129 с.
9. Бодунов М.А, Бородин И.В., Кийко Л.К., Течение тонкого слоя пластически анизотропного материала по грани упругого параллелепипеда // М., Известия МАМИ, 2014, .т 3, с. 22 - 29.
