CC BY
14
Владикавказский математический журнал Апрель-Июнь, 2001, Том 3, Выпуск 2
УДК 511.3
О НАИЛУЧШИХ РАЦИОНАЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЯХ К ТРАНСЦЕНДЕНТНЫМ ЧИСЛАМ ф(х) ■ ех
Б. Г. Тасоев
Автором предложен метод [4], основанный на том, что непрерывные дроби дают наилучшие рациональные приближения к числу, и на возможности контролировать порядок приближения исследуемого числа подходящими дробями как сверху, так и снизу. Важную роль при этом играет регулярность поведения неполных частных. При использовании данного метода отпадает нужда в явных представлениях числителей и знаменателей подходящих дробей и, как следствие, расширяется класс чисел, для которых удается получить точные оценки.
Пусть а — действительное число. В теории чисел и ее приложениях большое значение имеет изучение поведения разности
V
а-------
<1
(1)
где р — целое число, (р е 2), д — натуральное число, (д е КГ). Поскольку множество рациональных чисел всюду плотно во множестве действительных чисел, то при соответствующем выборе чисел р ид эта величина может быть сделана меньше любого наперед заданного числа. Поэтому представляет интерес изучить относительную малость величины (1), т. е. выяснить сколь малой она может быть, если ц не превосходит некоторого натурального числа до? или, иначе, сколь хорошо действительное число а может быть приближено (апрок-симировано) рациональными дробями в зависимости от величины знаменателя Ч-
Поведение величины (1) оценивают следующим образом. Пусть </?(<?) — некоторая положительная функция, убывающая с ростом д. Говорят, что иррациональное число а допускает приближение числами р 6 2, д £ N порядка, </?(<?), если существует постоянная с\ > 0, зависящая от а и функции </?(<?), такая, что неравенство
р
а--------
<1
< С1(р(д)
имеет бесконечное число решений в числах р е 2, д е N.
© 2001Тасоев Б. Г.
Порядок приближения </?(</) называется наилучшим порядком приближения числа а, если существует постоянная С2 > 0, зависящая от о и </?(<?), такая, что при любых р е 2, д 6 N
V
а-------
<1
> с2(р(д)-
В нашем изложении мы будем изучать наилучшие рациональные приближения к трансцендентным функциям числа ф(х)ех. При этом мы будем рассматривать арифметические цепные дроби этих функций. В частности, числа вида,
2
е° + 1
во — 1
а е N
были получены Эйлером [8]; числа е , е<», е* , 21Л: получены Гурвицем [11] наилучшие приближения
> с
1п 1п д д2 1п д ’
установлено Шиокавы [12], а результаты
а д
>
1п 1п д 6д2 1п д’
V
е----
Ч
>
1п 1п д Зд21п д
получены Такеши [13, 14]. Однако, как установлено Девисом [9, 10] 1) для любого е > 0 неравенство
V
е----
Ч
1п 1п д д2 1п д
(2)
имеет бесконечно много решений в целых положительных числах р ид;
для лю
1п 1п д
2) существует число д' = д( ~) такое, что для любого е
V
е----
Ч
>Л
д2 1п д
(3)
начиная с некоторого д > д' \
3) для любого £ > 0 неравенство
2 р
е Ь-------
< (с + в)
1п 1п д д2 1п д ’
(4)
Ч
имеет бесконечно много решений в целых положительных р и д. Существует число д' = д( ~) такое, что для любого (г <1}
Є Ь------------
<1
2
р
1п 1п д
(5)
начиная с некоторого д > д . где
с =
Ь"1, 2| Ъ
(4 Ь)"1, 2|Ь.
(6)
Нами установлен [4] подход, основанный на том, что непрерывные дроби дают наилучшие рациональные приближения к числу, а также на возможности контролировать порядок приближения исследуемого числа подходящими дробями как сверху, так и снизу. Важную роль при этом играет регулярность поведения неполных частных. В частности, предложенный метод привел к существенному упрощению доказательства теоремы Дэвиса и подобных результатов. При его использовании отпадает нужда в явных представлениях числителей и знаменателей подходящих дробей и, как следствие, расширяется класс чисел, для которых удается получить точные оценки. Отметим, что нижние оценки с худшими константами для некоторых из рассмотренных чисел были известны и ранее (см. [12, 13, 14]).
Сформулируем теорему доказанную в [4].
Теорема. Пусть п, /?>,-. (г = 1, 2,..., п), натуральные числа;
{а 11, а 12, ..., аітіЬ {а21, а22, •••, ^тг}, •••5 {ап1, ап2 , - -ч®пт„}
конечные последовательности целых неотрицательных чисел;
{Ьц, £>12, ..., Ьі3і}, {£>21, £>22, -"5 "ч {£*п1, £>п2, --ч £>пв„},
<¿12, --ч ¿1гщ}) {<¿21, <¿22, --ч <¿2т2}, -ч {^п1 , <¿«.2, • • ч 4го„ }
конечные последовательности целых положительных чисел, 0,0 Є її;
а ^[ао; Ьц,..., £>ів1, ац + Лгіц,..., аі
ГЛі “Ь ^<¿11711 , ••••>
(7)
£>п1, "ч &пят , ®п1 “Ь ^<¿«.1, ®вт„ “Ь ^$’Птп ] А=1 ’
а = [а0; гг2. гг:!..... •••]; О = ті + т2 + ... + гап;
Тогда для любого £ > 0 неравенство
1п 1п д
(10)
имеет бесчисленное множество решений в числах р е 2, д е N. Существует число ц' = (]{ ~) такое, что
(п)
ДЛЯ всех целых р, (] где (] > (¡'.
Далее, пользуясь методом Гурвица [11] можно доказать, что если
разложение а в регулярную (арифметическую) непрерывную дробь, то число вида,
где ч<1 — Ь<: = ц > 0 разлагается в регулярную непрерывную дробь.
Однако, отметим, что получение непрерывной дроби по методу Гурвица быстро растет с ростом п и практически трудно решать задачи такого типа. Ниже мы предлагаем другой подход к решению задач подобного типа. В работе нами установлено наилучшее рациональное приближение к числам в цепных дробях.
а — [ао; </1 • </ •_> • "з • •••]
Ж • (х є К)
Теорема 1.1. Имеет место разложение
х ■
жСІ, х > 0.
(1.1)
< Рассмотрим дифференциальное уравнение
2 ху" + у' = 2 у.
(1.2)
решением которого является уравнение
у = е2%/* + е 2%/*.
С другой стороны, из (1.2) следует, что
2 ху"' + з у" = 2 у', 2 ху"" + Ъу"' = 2 у",
2 ху{п+2) + (2 п + 1 )у(п+1) = 2у(-п\
Решим уравнение для Ц,. Действительно,
у(п) 1 2 ' —( 11 \ = 2 п. + 1 + 2х • —т—^
у(п+1) у(п + 1)
у(п + 2)
и, следовательно,
у 1 х 1 х
7 = 2 + ^1=2 + 3
т. е.
у е
5+*+...
2
Заменив у/х на получим из последнего равенства (1.1). > Теорема 1.2. Имеют место разложения
3 а —
е° ” 1 6а +
х
2
!2 в'А + 1 1
_з_ =2+-----------=------, оеМ; (1.5)
а е^1 За+-------1
10+ 1
7 а Н- ...
1а е^> + 1 „ а
2Н--------------------й----------, а, & е М; (1.6)
ю+ а
146 + ...
е\/а _)_ ]_ а
/а- т= - = 2Н д , а е КГ; (1-7)
- 1 6 + —
ю+ а
14 + ...
^ , -I 9
т ' -5—Ц- = 2 +-------------—2-----------, ^6(3; (1.8)
6 е*-1 66* +---------------------“ Ь
10 +
а2
1462 + ...
1
1 е Уб + 1 1
-¡=- ^ =2+------------=--------, ЬеМ. (1.9)
уЬ е^-1 ________*________
1
е ^ - 1 66 + 1
10 +
146 + ...
< Положим в равенстве (1.1) х = - и разделим обе его части на -. Придем к равенству (1.3).
Аналогично устанавливаются равенства (1.4)-(1.8). >
Теорема 1.3. Пусть / е К+. Тогда
ет = [1; * - 1,1,1, Ш - 1,1,1, 5£ - 1,1,1,...] (1.10)
< Из разложения (1.1) находим, что
ех + 1 2 1
- +
ех — 1 X 6 1
ж То-
х
I , 2
е* — 1 = -------------- +
2£ — 1 ... 1 6/ +
1
Пусть 7о
271
(*-1)
+
71 + 1
271
1 +
71-1
71+1
+
7і-1
. >
Примечание. Вместо записи
2то
7о
(2і - 1)7і + 1
і — 1 +
1 +
1 +
коротко пишем таким образом, что указывали выше. Находим, что
1 6^72 + 1
7і = Ы Н------= -----------.
72 72
71-1
Поэтому
2
272
7і-1 (6£ - 1)72 + 1
(Зі - 1)
+
72 + 1 272
1
+
72 1
72 + 1
+
72 - 1
Предположим, что для 7П^1 выполняются условия. Тогда для
1 (4п -|- 2)^7п+1 + 1
7п — (4гг + 2)£ +
7п+1
7п+1
получаем
-7/<.+1
7п — 1 ((4 п + 2)£ — 1)7п_|_і + 1
(2п + 1)£ — 1
+
7п+і + 1 -1И+1
1
+
7п+і ~ 1 7п+і + 1
+
2
7п+і - 1'
и, следовательно, утверждение верно для любого п.
В частности, при і = о 6 М, а > 1
= [1;а, — 1,1,1, За. — 1,1,1,5а. — 1,1,1,...] (Гурвиц, [11]); (1.11)
пр и а = |, а Є N
при і = “,т,аеМ
1 3 5
1-----111--------111--------111
X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, . . .
а а а
_ га ... Зт _ _ _ 5т _ _ _
1------1 1 1-----111--------111
X, X, X, X, X, X, X, X, X, X, . . .
а а а
(1.12)
(1.13)
2
2
1
1
1
1
2
2
1
2
1
а
Є
Ниже, с помощью нашего метода, мы покажем, что
е = [2; 1, 2,1,1,4,1,1, 6,1,1,...] (Эйлер, [8]), (1-14)
е2 = [7; 3га + 2,1,1, 3га + 3,12га + 18]~=0 (Гурвиц, [11]), (1.15)
2
еа
а—1 5а — 1 поо
1; —т— Н- Зла, ось Н- 12Аа, ——— Н- ЗЛа, 1
(Гурвиц, [11]). (1.16)
А—0
Других разложений, в смысле арифметических цепных дробей, числа е ^ до сих пор неняйдено. В связи с этим С. Ленг пишет, что «Общей проблемой является исследование в интересующем пас аспекте значений должным образом нормированных классических функций, функция е1 является, конечно, наиболее простой. Первой возникающей проблемой, и, возможно, самой простой, является определение непрерывной дроби для е°, где а — рациональное число (или даже произвольное целое). Хотелось бы знать, как особые аналитические свойства одной из классических функций отражаются на арифметических свойствах ее значений». ([3], стр. 97).
Покажем теперь, что имеет место разложение (1.14). В самом деле, в силу (1.12), при а = 1 находим, что
е = [1; 0,1,1, 2,1,1,4,1,1,6,1,1,...].
Положим
70 = [1; 0,1,1.71] = “^Чгг; 71 = [2; 1,1,72] =
71 + 1 272 + 1
Следовательно,
371 + 2 1972 + И „ , ,
7о —----—г — -=------—г~ — 2; 1, 2,1,1,72 .
71 + 1 772 + 4
Предположим, ЧТО утверждение верно ДЛЯ 7П_ 1. Тогда утверждение верно и для 7„ = [2га; 1,1,7п+1]. Следовательно, утверждение (1.14) верно.
В силу (1.3) положим а = 1
е2 + 1 1+ 1
е2 - 1 1
3 +
откуда находим, что
е2
5+ ...
2
5 Н-------
Положим
7о
271
5 + 1_ 571 + 1
71
0:2. 1.1.
71-1
^ , 1 772 + 1
; 71 = 7 Н------= ----------------:
72 72
7і-1 672 + І г , 1 973 + І
= [3; 272]; 72 = 9 Н--- '
272
272
7з 7з
І873 + 2
7з
18і?і
Предположим теперь, ЧТО 73п+2 выполняется. Тогда
1 (6уї + И)73п+4 + 1
7зп+з — 6п + 11 +
73п+4
Откуда находим
73п+3 _ (6п + 11)7зп+4 + 1
2 27з„.+.|
Аналогично получаем
73п+4
3 п + 5; 1,1,
73п+4 — 1 2
1 (6 п + 13)7зп+5 + 1
73п+4 = 6п + 13 +
73п+5 73п+5
и, следовательно,
73П+4 - 1 (6и+ 12)7зп+5 + 1
2
3 п + 6:
73п+5
2
Таким образом,
7зп+5 = 6п + 15 +
27зп+5
1 (6 п + 15)7зп+6 + 1
7зп+б
7зп+5 (12п + 30)7зп+6 + 2
7зп+б
12п + 30;
7зп+б
2
2 7зп+б
Рассуждая дальше по п находим, что верно (1.15).
Наконец, докажем (1.16). В самом деле, из разложения (1.1), положив х = 21 а, получим, что
2_
е° + 1 ““I 7
во — 1
а +
1
За +
1
2
откуда, в свою очередь, следует, что
2_
6° — 1
а — 1
За —
1
Положим
2
7о
271
__ 1 _|_--------------
71
(а - 1)71 + 1
а — 1
+
271
1 Зал-,. + 1
7і = За Н--------------=--------------------,
72 72
Следовательно,
271
6а72 + 2 72
2
к 1 5а7з + 1
6а Н--------; 72 = 5а Н-----= ■
72 7з
72 _ (5а - 1)73 + (7з + 1) 2 “ 27з
5а — 1 2
+
7з + 1 27з
+
7з
7з-1 _ 7з + 1
+
2
1 7а74 + 1 7з — 1 (7а — 1)74 + 1
7з = 7аН = ; - = -
74 74 2 274
7а — 1 2
+
7з-1'
1
274
и вернулись к 71. Предположим, что утверждение верно для 7з„.. Тогда
1 (3 + 6п)а73п+2 + 1
7зп+і = (3 + 6п)а +
откуда
27зп+2
73п+2
(6 + 12п)а7зп^2 + 2
73п+2
73п+2
(а + 12ап)
+
2
7зп+2 = (5 + 6 п)а + отсюда следует, что
73П+2 _ (5а + 6ап)7зп+з 2 27зп+з
Наконец, находим
7зп+з = 7а + бап +
73п+2
1 (5а + 6ап)7зп+з + 1
7зп+з
7зп+з
5а - 1 7зп+з - 1
—--------Ь Зап; 1,1,------------
1 (7а + 6ап)7зп+4 + 1
73п+4
7зп+з — 1 _ (7а — 1 + 6ап)7зп+4 + 1
2 273п+4
и, следовательно, утверждение (1.16) верно.
73п+4
7а — 1
+ 3ап, 27зп+4
2
1
1
2
1
1
Теорема 1.4. Пусть а — цепная дробь из равенств (1.3)-(1.5), (1-11), (1.14)-(1.16). Тогда для любого є > 0 неравенство
V
а-------
<1
< (с + є)
1п 1п д д2 1п д ’
имеет бесконечно много решений в числах р 6 М, д 6 N. Существует число д' = д( ~) такое, что
Р
а---
. . 1п 1п д
> (с- є)-¿-г------------,
д* 1п д
2
Є о +1 2_
Є а — 1
для всех целых р. д. д > д'{є). При этом
1) при а =
/~2~ +1 3) при а = л/ - •
У еУ«-1
5) при а = е
2
7) при а = е», 2|(/
С 2а’
С — 4а'
2) пр и а
4) при а = еЛ 6) при а = е2
х
Є а +1 1_
Є а — 1
С — 2?
с= 1
4 5
2. О разложении чисел вида ае, а хе, ^е, ’6 “I” §'
Числа вида ае, ' (а Є X) разлагаются в цепную дробь. Для примера докажем следующую теорему
Теорема 2.1. Имеют место разложения
]0О
1п=О’
2е = [5; 2, 3, 2п + 2, 3,1, 2п + 2,1]
Зе = [8; 6, 2, 5, 2п + 2, 5,1, 2п + 2, 5,1, 2п + 2,1]~=0, 4е = [10; 1, 6,1,7,2,7,га+2,7,1,га+1,1]~0,
- = [1; 2, 2п + 1, 3,1, 2п + 1,1, 3]
ОО
п=0’
= [0; 1, 9,1,1, 2п + 1, 5,1, 2п + 1,1,1, 26 + 18га]£°=0,
О
^ = [0; 1, 2, 8, 3,1,1,1, п + 1, 7,1, п + 1, 2_
ОО
п=0’
(2.1)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)
(2.6)
ч
2
2
< Для примера приведем доказательство равенства (2.2). В силу (1.14), имеем
Зе
откуда находим
7о
1
6;-.71
971 + 18 71 + 3
18:
71 + 3 71-6
71
Следовательно,
7і + 3 _ 6З72 + 12 _ 7і — 6 972 + 3
З72 + 1 _ 157з + 18 _ З72 - 2 57з + 9
7з 3974 + 7
6; • 3.72
З72 + 1 З72 - 1
4572 + 9 672 + 1 '
72
9 І874 + 7
З74 - 2 _ ІЗ75 + 21 3 675 + 9
75-6 1776 + 3
2; 5,1,
2; 5,1,
2-5 —
2’5’ 9І
З71 - 2
3
75-6
7з
4 1
3,3,3,72
1
18, з, 3,74
2- Г8 1 1
, 74 = [з;3. 3,75]
75
30; -, 3,76
9
676 + 1
[2; 1,5,76], 76
77
42; з, 3,78
77 — 6 7578 + 13
9 1878 + 3
3 679 + 9
4; 5,1,
378 — 2
78 — 2 2979 + 45
+
3
679 + 9 679 + 9
= 1:3. ^,77 = 4; 5
26178 + 45
673 + 1 ,
5 78 = го і і 1 ] ,3, -,79
_ З73 + 5 З73 + 3 ’
11774 + 21
674 + 1 ’
_ 1775 + 27
675 + 9 ’ 18976 + 33
676 + 1 ’
77 - 6'
9 -
ІІ79 + 17 279 + 3 ’
+
79
579 + 1
+ —■ 79
Предположим, что утверждение верно для 7бп+2 • Тогда для 7бп+з находим
7бп+з
7бп+4
18 + Збп; —, 3,7бп+4
Ап + 2; 5,1,
8 + 12п 1
у ! 3, —. 7бп-ь5
(117 + 216)7бп+4 + (21 + 36и)
б7бп+4 + 1
37бп+4 2
3
(17 + 24п)7бП+5 + (27 + 36п) б7бп+5 + 9
4
1
5
откуда следует, что
37бп+4 — 2 (13 + 24и)76п+5 + (21 + 36 га)
3
Аналогично, имеем
б7б/,.+г, + 9
2 + 4га; 5,1,
7бп+5 ~ 6 9
7бп+5
30 + 36га, -, 3,7бп+6
(189 + 216п)7бп+б + (33 + 36га)
7бп+5 - 6 (153 + 216п)7бп+б + (27 + 36га)
9 5476п+6 + 9
Г 1
7бп+б = 4 + 4га; 3, -, 7бп+7
г, 1
7бп+7 — 42 + 36га, —, 3,7бп+8
4 + 4п; 5,1,
б7бп+б + 1 [2 + 4га, 1, 5,76п+6], 7бп+7 — 6~
9 -
(261 + 216п)76п+8 + (45 + 31га)
7бп+7 — 6 (225 + 216п)7бП+8 + (39 + 36га)
9 5476п+8 + 9
г 16 + 12га 1 7бп+8 — ------д----5 3, - ,7бп+9
б7бп+8 + 1 4 +4га; 5,1,
7бп+8 ~ 2 3
(11 + 8га)7бп+э (17 + 12га)
откуда, наконец, находим
37бп+8 - 2 _ (25 + 24га)76п+9 + (45 + 36га)
3 б7бп+э + 9
Таким образом, получим разложение
27б„.+9 + 3
4 +4га, 1,5,
7бп+9
9
Зе = [8; 6, 2, 5,4га + 2, 5,1,4га + 2, 5,1, 4га + 2,1, 5, 4га + 4, 5,1, 4га + 4, 5,1,4га+ 4,1,5]^ = [8; 6, 2, 5, 2га + 2, 5,1, 2га + 2, 5,1, 2га + 2,1]~=0.
Аналогичным образом доказываются равенства (2.1), (2.3)-(2.5). >
Теорема 2.2. Имеет место разложение
зе
— =[4; 12,1,10,1,11, 2,1,2, 2,1,2, 2,1,1,1,1,1,2, 2, 2, И, 1,1,1,
11, 2га + 3,11,1,2га+ 2,1,1, 2, 2, 2га+ 3,2, 2,1,1, 2га+ 3, 1,1,2,2,2га + 4,11,1,2га+3,1]~0.
(2-7)
< В силу (2.2), применим сюда разложения
Зе
У
1 5 5 5 1 1
4; 12,1,10,1,10, -, 4, -, 2,1, 2, -, 8, -, 2, 2,10, -, 8, -, 10, 3,10,
15 55 11 15
-,12,-,2,3,2,-, 16, -,2,4,10, -, !6, -, 10, 5,10, .,.20.^2. 5,
5 5 11
2,-,24,-,2,6,10,-,24,-,...
Рассмотрим теперь разложения
70 = [Ю; 1,71],
71
1 5
10:2'4'2'72
72 = [2; 1,2,73]
73
74 = [2; 7б],
75
1 1 Ю> 2’ 8’ 2’76
36472 + 136 ' 3272 + 12
52474 + 220 2ОО74 + 84 “
14076 + 232
127б + 20 7е + 1 = [10; 3,77] + 1 = [11; 3,77],
[И; 2,1,2,72],
[2; 1,1,1,1,1,2,2,74],
[И; 1,1,1,76+1],
(2.8)
но
77
79
1 5
10;2’12’2’78 5 5
2;10’2’2’710
7ю = [4; 711], 711
1 1 10; 2’16’ 2’712
84478 + 328 7278 + 28 “ 10047ю + 420 3927ю + 164
2З6712 + 421
2О712 + 36 712 + 1 = [Ю; 5,713] + 1 = [11; 5,1,713].
[11; 1,2,1,1,2,78],
= [2; 1,1,3,1,1,2,2,7ю],
= [11; 1,3,1,712+1],
Следовательно,
713
1 5
Ю; 2’20, -,714
714 —[2; 5,2,715],
715
Г 5 5
2:. 24, -, 2,716
1324714 + 520 ” 112714 + 44
1484716 + 620 584716 + 244 '
[И; 1,4,1,1, 2,714],
Аналогичные рассуждения дают, что
т,5 = ;2: 1.1. 5. 1.1. 2. 2. т,6].
Tie = [6; 717],
717
1
10;-,24,2,718
3327x8 + 616
[11; 1,5,1,718 + 1],
28718 + 52
712 + 1 = [И; 5, И, 1, 4,1,1, 2, 2, 5, 2, 2,1,1, 5,1,1, 2, 2, 6, И, 1, 5,1, 718 + 1]. (2.9)
Применив теперь к общему разложению Щ, разложение аналогичное (2.8) и (2.9), придем к цепным дробям (2.7).
Замечание. Аналогичные доказательства проходят для чисел вида §, а, Ь е М.
Теорема 2.3. Имеет место разложение 39е + 10
15е + 4
де
2; 1,1,2,2,у
[2; 1,1,2,2,4,12,1,10,1,11,2,1,2,2,
1,2, 2,1,1,1,1,1,2, 2, 2,11,1,1,1,11, 2га+3,11,1,2га+ 2,1,1, 2,
2, 2п + 3, 2, 2,1,1, 2п + 3,1,1, 2, 2, 2п + 4,11,1, 2п + 3,1]~=0
Аналогичное разложение имеют и числа вида .
< Рассмотрим разложение
(2.10)
39е + 10
15с — 1
2 +
1
1 +
1 +
2+ 3-
2Є
откуда следует требуемое разложение (на основе (2.7)). \>
Ниже мы покажем, что имеют место разложения е+ т, а е Е, 5 е N.
Теорема 2.4. Имеет место разложение
3
е+- =[3; 2,7, 2,1,1,1,1,1,1,1,2,1,2,1,1,1,1,31,3,1,1, 2, 5,1,1,4,3,
1.1, 2,3, 7,1, 2,3,1,1,2,2,2,1,1, 3,2,3,1,1,2,2,31, Л + 1,1, 3,1,1, (2.Ц)
2.1,А+ 1,4,1,1,3, А + 1,1,3,1,1,2,1, А+1,2,7,1,1, А + 1,1,3,
1. 1.2.1. А- 1. 1.2. 1. 1.3. 1.А— 1. 1.3. 1. 1.2. 1.А— 1.1]^=(1.
1
1
< Как известно,
е+- = 2+
4
1 +
2 +
3 1 3 157о + 11 З70 - 1
+ 7 = 2+ Г+7 = ~Г^ Г" = 3+7^ 14 ^ +-_ 4 470 +-4 470 +-4
7о
1 +
1 +
1
Определим 70 = [2; 1,1,71] = 271+1 " подставим его значение в выражение
о 571 + 3 _
Л З70 - 1 271 + 1 137, + 8 _ 271
= ----—г = —гг—го-------- = гг----“ггг = ^ +
47о + 4 ^671 + 3 2871 + 16
271 + 1
1З71 + 8
Определим в общем виде 7п = 2га + 2 +
1 +
{Ап + 5)7п+1 + (2 п + 3)
27»+1 + 1
1 +
7п+1
(2.12)
Получим, что
А,
271
.) 972+5
' 272 + 1
1872 + 10
1371 + 8 13 • + 8 1ЗЗ72 + 23
+
772 + 3 1872 + 10
+
472 + 4 772 + 3
+
З72 - 1 472 + 4 ’
1
1
1
1
1
1
1
2
1
Ап
3-2 - 1 377з + 20
472 + 4
6О73 + 32
973 + 4
1
+
+
147з + 8
327з+ 12 _ 377з + 20 “ 573 + 4 973 + 4
+
+
147з + 8 237з + 12 47з 573 + 4 ’
+
Ач
47з
573 + 4
6874 + 36 9З74 + 49
774 + 3
1
+
+
1874 + ю
2574 + 13 _ 6874 + 36 474 + 4 774 + 3
2
+
+
1
1874 + 10 2574 + 13 З74 - 1 474 + 4'
+
1
1
2
З74 - 1 61 + 75 + 32
474 + 4 75
9275 + 48 2576 + 13
ЗІ75 + 16
ЗО75 + 16 78276 + 406
31
617s + 32
776 + 3
ЗО75 + 16
2576 + 13
3
ЗІ75 + 16 476 + 4
75
776 + 3
ЗО75 + 16 ' 376 -1
476 + 4 '
Af
З76 — 1 8677 + 44
476 + 4 12477 + 64
477
+
5
+
777 + 4
3977 + 20 85j7 + 44 3j7 + 4
+
777 + 4
3977 + 20
+
477
f
1
1
1
1
1
2
1
Ai
З7- + 4 10778 + 55
477
1327s + 68 47s + 4 77s + З
+
З
+
2578 + 13 1077s + 55 378 - 1
47s + 4 ’
+
778 + З 2578 + 13
+
Ля
З78 — 1 _ 10979 + 56 47s + 4 15679 + 80
+
4779 -Ь 24 10979 + 56
1579 + 8
4779 -Ь 24
279
1579 + 8'
А
279
1579 + 8
82710 + 42 _ 6ЗІ710 323
77ю + З
0+
2
+
257іо + 13
З
577ю + 29 _ 827ю + 42 47ю + 4 77ю + З
+
+
+
257іо + 13 577ю + 29 3710 - 1 47ю + 4 ’
А
ю
З710 — 1 ІЗЗ711 + 68
47ю + 4 І88711 + 96
1
+
557ц + 28 ІЗЗ711 + 68
+
2
+
97п _|_ 4
2З711 + 12
2
+
57ц + 4
97п _|_ 4
1
+
47п
2З711 + 12 557ц + 28
7и + 4
57ц + 4
1
+
47п
А
її
7и + 4 _ 57712 + 29 47ц 196712 + 100
З
+
257і2 + 13 577і2 + 29
+
7712 + З 257і2 + 13
З
+
4712 + 4 7712 + З
1
+
З712 - 1 4712 + 4 ’
А
12
З712 - 1 157713 + 80
І712 + 4 22О713 + 112
7із
+
6З713 + 32 157713 + 80
+
ЗІ7із + 16 6З713 + 32
2
+
ЗІ7із + 16"
1
4
1
f
f
1
2
З
1
1
2
2
1
2
Определим теперь выражения вида /113+,н/• • • • • /Ьо+.ч/ = 0,1,2,...). С
этой целью определим сначала, в силу (2.12),
713+84
715+84
717+84
719+84
(57 + 32£)714+8£ + (29 + 16*) 2714+84 + 1
(65 + 32£)716_|_84 ~Ь (33 + 16*) 2716+84 + 1
(73 + 32£)718+84 ~Ь (37 + 16*) 2718+84 + 1
(81 + 32^)720+84 (41 + 16*)
2720+84 + 1 Теперь находим
714+84
716+84
718+84
720+84
(61 + 32£)715+8г + (31 + 16*) 2715+84 + 1
(69 + 32^)717+84 + (35 + 16*) 2717+84 + 1 (77 + 32£)719+8г + (39 + 16*) 2719+84 + 1 (85 + 32^)721+84 + (43 + 16*) 2721+84 + 1
А
13+84
713+84
(57 + 32^)714+84 + (29 + 16*)
31713+84 -Ь 1 (1799 + 992^)714+84 + (915 + 496*)
31
+
328714+8* + 16
(57 + 32£)714+8г + (29 + 16*)
(* + 1)
+
+
7714+84 + 3 257м+8/ + 13
3
+
4714+84 + 4 7714+84 + 3
+
25714+8^ + 13 32714+84 + 16 3714+84 — 1 4714+84 + 4 ’
А
14+84
З714+84 — 1 (181 + 96^)715+84 + (92 + 48*)
4714+8^ + 4 (252 + 128^)715+84 -Ь (128 + 64*)
1
+
+
+
(71 + 32£)715+84 + (36 + 16*) (181 + 96^)715+84 + (92 + 48*) 327 + 16 (39 + 32*) + (20 + 16*)
3715+84 + 4 4715+84
2
+
(* + 1)
+
(39 + 32*)7 + (20 + 16*) (71 + 32*)7 + (36 + 16*) 77 + 4 327 + 16
4
+
47
77 + 4
А
15+84
З715+84 + 4 _ (203 + 96*)71б+8£ + (ЮЗ + 48*) 4713+84 (260 + 128*)71б+84 + (132 + 64*)
+
(57 + 32*)7 + (29 + 16*) (203 + 96*)7 + (103 + 48*)
3
+
327 + 16
(57 + 32*)7 + (29 + 16*)
(* + 1)
+
257 + 13 327 + 16
+
77 + 3 257 + 13
3
+
47 + 4 77 + 3
+
3716+84 — 1 4716+84 + 4’
1
1
1
1
1
1
1
А
16+8 4
37іб+84 — 1 _ (205 + 96*)7і7+84 + (104 + 48*) 4716+84 + 4 “ (284 + 128*)7і7+8£ + (144 + 64*)
+
+
(74 + 32*)7 + (40 + 16*) (205 + 96*)7 + (104 + 48*) 327 +16 _
(47 + 32*)7 + (24 + 16*) =
+
(47 + 32*)7 + (24 + 16*) (79 + 32*)7 + (40 + 16*)
(* + 1)
+
157 + 8 327 + 16
+
2717+84 15717+84 + 8!
А
17+84
2717+84
(146 + 64*)7і8+84 (74 + 32*)
15717+84 -Ь 8 (1111 + 480*)7і8+84 -Ь (563 + 240*)
+
+
+
(89 + 32*)7 + (45 + 16*) (146 + 64*)7 + (74 + 32*) 327 + 16 _
(57+32*)7+ (29+ 16*) =
47 + 4 77 + 3
1
+
+
(57+32*)7+ (29+ 16*) (89 + 32*)7 + (45 + 16*)
(* + 1)
+
257 + 13 327 + 16
+
77 + 3 257 + 13
3718+84 — 1 4718+84 + 4 '
А
18+84
З718+84 — 1 _ (229 + 96*)7і9+84 + (116 + 48*) 4718+84 + 4 (316 + 128*)7і9+8£ + (160 + 64*)
+
+
+
(87 + 32*)7 + (44 + 16*) (229 + 96*)7+ (116 + 48*) 327 +16 _
(55 + 32*)7 + (28 + 16*) =
57 + 4 97 + 4
+
+
4719+84 5719+84 + 4 '
(55 + 32*)7 + (28 + 16*) (87 + 32*)7 + (44 + 16*)
(* + 1)
+
237 + 12 327 + 16
+
97 + 4 237 + 12
А
19+84
А
20+84
4719+84 (324 + 128*)720+84 + (164 + 64*)
5719+84 + 4 (413 + 160*)720+84 + (209 + 80*)
4720+84 + 4"
0; 1,3,1,*+1,1,3,1,
3720+84 — 1
3720+84 — 1 -(253 + 96*)72і+8і + (128 + 48*)
4720+84 + 4 (348 + 128*)721+84 + (176 + 64*)
ЗІ721+84 + 16-
0; 1,2,1,*+1,1,
721+84
Отсюда, по индукции, следует утверждение теоремы (2.4). >
Примечание. Очевидно, что числа вила |е + а,с є 1, Ь,сІ є X, можно представить в виде непрерывной арифметической дроби.
1
2
1
2
1
1
1
3
1
2
1
1
2
1
Теорема 2.5. Пусть а — цепная дробь из равенств (2.1)-(2.7) (2.10), (2.11). Тогда для любого є > 0 неравенство
V
а-------
<1
< (с + є)
1п 1п д д2 1п д ’
имеет бесконечно много решений в числах р е Ъ, д е М. Существует число д' = д( ~) такое, что р £ Ъ, д е N
р
а-------
<1
> (с — є)
1п 1п д д2 1п д
для всех целых р и д верно д > д (е). При этом
1) при а = 2е с = 1, 2) при а = Зе
4) при а = |4 с = 1, 5) при а = |
с = і
3) при а = 4е с
6) при а
с = 2,
7) при а = с = 3, 8) при а = 15ееу4 с = 3, 9) при а = е+ | с = 8.
3. О разложении чисел вида ае2, а-1е2, аЬ~1е2, (ае2 + Ь)(се2 + гі)"1, е2 + |
ъ
Имеют место разложения ае2, аГ1е2, а,Ь^1е2, а, & Є N. Как и в параграфе 2
1Р2 2 зе ’ з
О 1 О О О
приведем доказательство для случая 2е , чс . ~е .
Теорема 3.1. Имеют место разложения 2е2 = [14; 1, 3,1,1 + 3га, 36 + 48п, 2 + Зп, 1, 3, 3 + Зп, 60 + 48п, 4 + Зп]~=0 (3.1)
1 9 . ________________________________________________________
-е =[2; 2, 6, 3,1, 5+8га, 2,1,1 + 2га, 5,1,1 + 2га, 2,1, 9 + 8га,
3 (3.2)
2,1,2га+ 2, 5,1,2 +2га, 2,1]^
2 9 . _______________________________________________________________
-е2 =[4; 1,12,1,1, И, 1, 3,1, 2, 3, 2, 38, 2, И, 2, 2, 27 + 16га, 1,2,1 + га,
1,1, 2, 2,1 + га, 1, 2, 35 + 16га, 1, 2, 2 + га, И, 1,1 + га, 1, 2]~=0
< Из разложения (1.15) находим, что
1
1
1
1
2е = [14; 1, 2, —, 6, 9,10, . 2.3. 60, 1. 2. 18, 21, 22, . 2.6.108, 7,...].
2
2
2'
2
74 75 72 + 5 74+5 75+5
71 +5 73+5
Определим
75п+1,75п+2,75п+3,75п+4,75п+5, (п — О, 1, 2, . . .).
4
3:1 +
Г 1
75п+1 — 2; - , 75П+2 —
75п+2 = [6 + 12га, 9 + 18га, 75п+з]
75п+2 — 2 -(55 + 180га + 144га2)75П+з + (6 + 12га)
(9 + 18га)75п+3 + 1
7бп+2 — 2 (37 + 256га + 144га2)75П+з + (4 + 12га)
4
(36 + 48га)75п+3 + 4
Зга + 1; 36 + 48га,
7бп+3' 4 .
7бп+3
10 + 12га; - ,75п+4
75п+з (12 + 12га)75П+4 + (20 + 24га)
(12 + 12га)7бп+4 + (20 + 24га)
75п+4 + 2
[Зга + 2; 1,75П+4 + 1],
4 475п+4 + 8
75п+4 = [2;3 + Зга,75п+5], 75п+4 + 1 = [3; 3 + Зга, 75п+5],
75п+5 = [60 + 48га; 4 + Зга, 75п+б]-
Отсюда, по индукции, следует требуемое разложение (3.1).
Докажем теперь (3.2). На основе разложения (1.15) напишем, что
1 2 зе
7 1 5 + 6га 1
-; 6, -, 3,1, 54 + 72га, . 3, 18 + 18га, 10 + 8га,
о о ¿¿о
1 1 оо
24 + 18га, -, 3, 3 + 2га 3
п=0
Положим
7 1 771 + 3 71 + 3
7о = г + “ = ------= 2 Н --------------, 71
3 71 371 З71
6; -, 3,1,72
5472 + 4 772 + 6 ’
71 + 3
З71
( 7572
+ 63
72
5
54; - ,7з
\ 16272 + 135 2737з + 162 72 — 6
2; 6,3,1,
72 - 6] 9
7з
3; -, 18,10,74
57з + 3 ’ 9
117674 + 117
2И74 + 21
[5; 2,1,1,73],
72-6
5; 1,1,2,1,9,2,1,
9
1
1
Применим метод индукции. Положим, что
73п+2
„п 5 + 6п 54 + 72//: —-—, 7зп+з
7зп+з
3; -, 18 + 18га, 10 + 8га, 7зп+4
73п+4 — Далее, находим
24 + 18//: -, 3, 3 + 2га, 73п+5
, га = 0,1,2,...
о , 7і + 3 7572 + 63
7о = 2 Н-------------- = 2 +
З71
16272 + 135
2; 2, 6, 3,1 +
9
72-6
[5; 2,1,1,7з], 7з
5; 1,1,2,9,2,1,
72 6 і
74-6
9
Вычислим 7з”+2—С этой целью на,йдем
73п+2
(273 + 684га + 432га2)7зп+з + (162 + 216га) (5 + 6га)73п+3 + 3 '
7зп+2 — 6 (243 + 648га + 432га2)7зп+з + (144 + 216га)
9 = (15 - 51//)7з„+з - 27
= [8га+ 5; 2,1,1 + 2га, 7з»+з],
7зп+з
(1176 + 2016 + 864га2)73п+4 + (117 + 108га) (211 + 348га + 144га2)7зп+4 + (21 + 18га)
5; 1, 2 + 2га, 2,1, 9 + 8га, 2,1, 73п+4 ” 6
9
73п+4
(486 + 648га + 216га2)73п+5 + (153 + 108га) (19 + 12га)7зп+5 + 6
7зп+4 — 6 (372 + 576га + 216га2)7зп+5 + (117 + 108га)
9
(171 + 108га)7зп+5 + 54 73п+5 — 6
2 +2га; 5,1,2 +2га, 2,1,
9
Отсюда следует равенство (3.2).
9
Наконец, докажем равенство (3.3). С этой целью к разложению (3.2) применим разложение
2 2
зе
3 5 15 11 1
4; 1,12,-, 2,-, 4,-, 2,-, 2,-, 4,-,18,1,2,1,10,-,4,1, 2,
!3 + 8п,4,15 е + 4П? ^. 2. 3^2П, 4, 34 + 16га, 1, 2, 2 + гг, 10, 8 + 4гг, 1, 2
п=0
Положим
7о :
|2.71
871 + 3
471 + 1
471 + 2 ІІ872 + 35
Ю72 + 3 272 — 1 973 + 10
[1; 1,47і + 1], 7і
272-1-
2
473 + 4
2; 3,
И; 1,3,1, 7з + 2
7з - 2І
2
7з
72
1
5 , 1 о
2’ 2’ ,72
5„ 1 ’
2’ 2’73
4;-,18,1,2,1,74
_ 2772 + 8 “ Ю72 + З’
_ П73 + 12 473 + 4 ’ 46674 + 230 7874 + 39 ’
7з + 2 62474 + 308
73-2 “ ЗО87, - 152
[2; 38, 2,74],
74
1
10;-,4,1,2,75
22875 + 80 2О75 + 7
[И; 2, 2, 475+ 1],
75
13 1
У 2 76
7б
475 + 1
59 3
2 ’ 2 ’77
61076 + 83
14776 + 20 2276 + 3
27б-1
27; 1,2,1,1,1,
2276 + 3
2 •’ >7? + 12 276 — 1
2
877 + 4 ’
2
2; 2,1,1,
77 + 2
77 — 2
_ Г/1 1 о/і і о о і _ 25078 + 107 _ 1
77 - [4; -,34,1,2, 2,78] — 507 + 217 — ^ ' 2,2,78],
78
1
10;-,8,1,2,79
37279 + 128
[И; 1,1,1,2,479+1].
Аналогично, находим 75+4п
3279 + 12
(147 + 168га + 48п2)76+4п + (20га + 12)
7б+4г
5 3 + 2га
2 ■ 2 * 7т-Нп
(22 + 12)7б+4П + 3
(46 + 2 Ы)77+.|„. + 24 (16 + 8п)77+4п + 8 ’
ОС
18+4г
77+4п = 4; -,34 + 6п, 1, 2,2 + и, 78+4п
(1514 + 1320га + 288п2)78+4п + (648 + 288га)
(257 + 222п + 48п2)78+4„ + (110 +48га) ’
^ ] _ (372 + 144п)7э+4П + (128 + 48п)
2 ' ’ ' 79+4:
(32 + 12п)7э+4П + (11 + 4га) Путем разложения в цепные дроби находим
(610 + 684га + 192п2)76+4„ + (83 + 48га)
475+4п + 1
(22 + 12га)7б+4п + 3
276+4п ~ 1
= 16га + 27;1,2,га+1,1,1, 27б+4п — 1 (38 + 20п)77+4п + 20
2
(16 + 8п)77+4П + 8
2; 2, га + 1,1,
77+8п + 2 77+8 п ~ 2-
77+4« + 2 _ (2028 + 1764га + 384га2)78+4п + (868 + 384га) 77+4« - 2 “ (1000 + 876га + 192п2)78+4„ + (428 + 192га) = [2; 16га + 35,1, 2, 2 + га, 7в+4п],
78+4«, = [И; 1, и + 1, 1, 2, 47э+4п + 1].
Отсюда, по индукции, следует требуемое разложение (3.3). >
Теорема 3.2. Имеет место разложение 24е2 + 15
10е2 + 6
=[1; 1,2, 2,4,1,12,1,1,11,1,3,1,2, 3,2, 38, 2,11, 2, 2,
16га + 27,1, 2, га + 1,1,1, 2, 2, га + 1,1, 2,16га + 35, 1,2,2 + га,11,1,га+1,1,2]~0.
(3-4)
■Не- + 15 10е2 + 6
1 +
1 +
2 +
1
дает требуемое разложение (на основе (3.3)). >
2
1
1
Теорема 3.3. Имеет место разложение
1
е2 + - =[7; 1, 8, 73,1 + 3п, 2,1,1,1,1 + 3п, 120 + 192п, 2 + 3п, 7,
1,1 + 3п, 1,1, 41 + 48п, 1,1,2 + 3п, 2,1,1,1,2 + 3п,
1,1, 53 + 48п, 1,1,3+ Зга, 7,1, 3 + Зга, 264 + 92га]~=0.
(3.5)
< Из разложения (Г = [7; Зга + 2,1,1, 3п + 3,12га + 18
ОО
п=0
[7; 2,1,1, 3,18, 5,1,1, 6, 30, 8,1,1, 9,42,11,1,1,12, 54,14,1,1,15,16,...]
последовательно находим
. г^.о , о -.о ..і 243171 + 133 _ , 1 519171 + 284
7о [7,2,1,1,3,18,7і] ооп і і й ’ 7о+ ^ йсо і ой
3297і + 18 2 65871 + 36
217172 + 72 7і _ 217172 + 72 _
39272 + 13 ’ 1 “ 156872 + 52 "
6827з + 162
7і = [5; 1,1, 6, 30,72]
7; 1,8, 73,
1;2,1,1,1,1,120,
72 = [8,1,1,9,42,7з]
8ОО73 + 19 ’
72 6827з + 162
1 “ З2ОО73 + 76
2; 7,1,1,1,1,41,1,1,
7з - 2
7з = [11; 1,1,12, 54,74]
1557574 + 288 135274 + 25 ’
73- 2 1287І74 + 238
4 “ 540874 + 100
2; 2,1,1,1,2,1,1, 53,1,1,
74-2
74 = [14; 1,1,15,66,75]
74 - 2 2562375 + 388
2972975 + 450 204875 + 31 ’
3:7.1.3.261.^
4 819275 + 124
Применим метод полной математической индукции. Введем предварительно оценки по п = 0,1, 2,...
74п+1 = [5 + 12п; 1,1,6+ 12п, 30 + 48п, 74п+г],
74п+2 = [8+ 12и; 1,1,9+ 12п, 42 + 48п, 74п+з],
74п+з = [11 + 12п; 1,1,12 + 12п, 54 + 48п, 74п+4],
74п+4 = [14 + 12п; 1,1,15 + 12п, 66 + 48п, 74п+б]-
Далее находим
1 (2171 + 12120п + 22464п2 + 1382п3)74„+2 + (72 + 288п + 281 п2)
74п+1 = -------
4
(1568 + 5376п + 4608п2)74„+2 + (52 + 96п)
74п+2'
1 + Зп; 2,1,1,1,1 + Зга, 120 + 192//.
2
1
4
74п+2
(682 + 25944га + 32832п2 + 13824га3)74„+з + (162 + 432га + 288га2 (3200 + 7680га + 4608п2)74„+3 + (76 + 96га)
2 + Зга; 7,1,1 + 3га, 1,1, 41 + 18//. 1,1, 74п+3 ” 2
4
74п+з - 2 (12871 + 39960га + 40896га2 + 13824п3)74п+4 + (238 + 528га + 288га2
4
(5408 + 9984га + 4608п2)74п+4 + (100 + 96п)
74п+4 2
4
= 2-3//: 2,1,1,1,2 + 3п, 1,1, 53 + 18//. 1,1,
Отсюда находим
74п+4 - 2 (25633 + бЗОООп + 51264п2 + 13824п3)74п+5 + (388 + 672п + 288п2
4
(8192 + 12288п + 4608п2)74п+5 + (124 + 96п)
74п+5'
3 + '■>//: 7,1, 3 + '■>//. 264 + 190//.
4
74п+5 получаем из 74п+ъ заменив п нав + 1.
Таким образом, из разложений 7о, 7і ? 72 ? • • • находим разложения в цепную дробь (3.5). >
Теорема 3.5. Пусть а —цепная дробь из равенств (3.1) (3.5). Тогда для любого є > 0 неравенство
1п 1п д
V
а-------
<1
< (с + є) -
ц2 1п д
имеет бесконечно МНОГО решений В целых числах ¡>. (] е М. Существует число (¡' = (]{ ~) такое, что
1п 1п д
V
а-------
<1
> (с — є)
д2 1п д
для всех целых р. д таких, что д > д'(е). При этом
1) при а = 2е с = 8 ’
3) при а = |е2 с =
5) при а = е2 + | с. = Л.
1 „2
2) при о- = .с
3
4) при а = 21ое2^$ с
с= 3
ь 4}
3
8
Литература
1. Бухштаб А. А. Теория чисел.—М.: Просвещение, 1966.
2. Галочкин А. И. и др. Введение в теорию чисел.—М.: МГУ, 1984.
3. Лент С. Введение в теорию диофантовых приближений.—М.: Мир, 1970.
4. Тасоев Б. Г. О рациональных приближениях к некоторым бесконечным цепным дробям: Афтореф.—М., 1977.
5. Хиичии А. Я. Цепные дроби.—М.: Наука, 1978.
6. Хованский А. Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближенного анализа.—М.: ГИТТЛ, 1956.
7. Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа.— М.: МГУ, 1982.
8. Эйлер Л. Введение в анализ.—М.: Физматгиз, 1961.
9. Davis С. S. Rational approximation to е // Austral Math. Soc. (Ser. A).—
1978.—V. 25. P. 497-502.
10. Devis C. S. A note on rational approximation // Bull Austral. Math. Soc.—
1979.—V. 20. P. 407-410.
11. Perron O. Die Zehre von der Kettenbuchen, Dand I.—Stuttgart: Tenbner, 1954.
12. Schiokawa J. Number Theory and Combinatorics Jaran.—Singapore: Wored Scientific Pub. Co, 1985.—P. 353-367.
13. Takeshi O. A note on the rational approximationa to e // Tokyo J. Math.— 1992.—V. 15, No. 1. P. 129 133.
14. Takeshi O. A note on the rational approximations to tank // Pruc. Jan. Acad A. 1993. No. 6. P. 161-163.
