О наилучшем приближении и значении поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 76-89

= Математика =

УДК 517.5

О наилучшем приближении и значении поперечников некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана

М. Р. Лангаршоев

Аннотация. В работе найдены точные значения бернштейновс-ких и колмогоровских п-поперечников некоторых классов аналитических в круге функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана Вд 7, 1 ^ д < ж, где 7 - положительная весовая функция

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль непрерывности, модуль гладкости, весовая функция, полином, мажоранта, п-поперечники.

1. Введение

Вычислению точных значений п-поперечников классов функций, аналитических в круге, в различных банаховых пространствах, посвящен целый ряд работ (см., например, [1-24]).

В пространстве Харди Ия, 1 ^ д ^ ж первые результаты, связанные с вычислением колмогоровских п-поперечников найдены в работах [1-4]. Затем исследования в этом направлении продолжены в [5-15]. С.Б.Вакарчук первым начал изучать аналогичные задачи в пространстве Бергмана и Гварадзе [10] для целой серии п-поперечников и в последующих работах [16-18] построил наилучшие линейные методы классов функций для вычисления точных значений линейных п-поперечников. Ряд окончательных результатов в этом направлении ранее был получен в [6-8, 21]. Отметим, что в весовом пространстве Бергмана аналогичные задачи рассмотрены в работах [22-24].

В настоящей статье получены новые результаты, связанные с вычислением точных значений п-поперечников классов функций, аналитических в круге, принадлежащих весовому пространству Бергмана, усредненные модулей непрерывности и гладкости которых мажорируются заданной функцией.

Известно, что аналитическая в единичном круге функция

те

/(г) = ^ ск^, * = ре\ 0 < р < 1

к=0

принадлежит весовому пространству Бергмана Вяг/, 1 ^ д < ж с конечной нормой [22], если

9,7

( у/9

2п Л(z)\qda V |^|<1 )

< ж, 1 ^ д < ж, (1)

где 7(|г|) - положительная весовая функция, йа - элемент площади и интеграл понимается в смысле Лебега. Ясно, что норму (1) также можно записать в виде

1 2п

1/9

1

9,7 = | 2П У У Р^(Р)\/(РЄ dpd^

00

В пространстве Вд>7, 1 ^ д < ж введем интегральный модуль непрерывности

^(/; 6)д,7 := Ш(/; 5)вЧП =

1 2п

1/9

ч 2П / / Р7(р) / (ре*(т)) - / (Ре^ |в|Р<5 \ 0 0

dpdt

(2)

и модуль гладкости

1 2п

^(/;2^)9,7 =

1/9

вир ( 2-11 р7(Р)|/(реі(^)) - 2/ (реЙ) + / (реі(*-3)) Рdpdt) . (3

00

Легко проверить, что функции (2) и (3) обладают всеми свойствами модуля непрерывности и модуля гладкости [?, с.151].

Пусть С - множество комплексных чисел, N - множество натуральных числе, Ъ+ - множество целых неотрицательных чисел, М+ - множество положительных чисел.

Через

Рп

Рп(г) : Рп(-г) = ^ акгк, п Є N ак Є С

к=0

в

обозначим множество алгебраических комплексных полиномов степени n. Символом ( л

Era(/)q,Y := || / рга—1 ||q,Y : pra—1 € рn-1 j

определим наилучшее приближение функции /(z) € Bqa, 1 ^ q < ж элементами множества Pn-i.

Для r € N обычную производную r-го порядка функции /(z) обозначим

/(r)(z) := dr//dzr (/(0)(z) := /(z)), а через /ir)(z) := dr/(peit)/dtr обозначим производную r-го порядка по аргументу, причем

/a(z) =//(z)zi и /ir)(z) = {/г-1)(*о}о, r ^ 2.

Всюду далее полагаем

an,r = n(n — 1)... (n — r + 1), n ^ r, n, r € N.

В [14] доказано, что для произвольной функции /(z) € Bq,7, 1 ^ q < ж, у

которой производные /ir)(z), zr/(r)(z) € Bq,7, 1 ^ q < ж, при любых r, n € N справедливы точные неравенства

п/(2n)

En(/)q,Y < ^ / ^(/ir);2^ qY dt, (4)

0

п/(2n)

0

п/(2n)

К(/к7 < (п - 2)таг-1 / (^“Г);2^ ,)7 ^ (6)

0

п/(2п)

ЕП(/)в,7 < (-----П----- / ^2 (V/(г);2^ п ^ г. (7)

(п — 2)ап,г 7 ' ' <?>Т

0

Неравенства (4)-(7) обращаются в равенства для функции /0(г) = а^га, а € € С, п € N.

Приведенные неравенства (4)-(7) обеспечивают возможность вычислить точные значения некоторых п-поперечников классов функций, усредненные модули непрерывности и гладкости которых мажорируются заданными функциями.

Приводим необходимые для дальнейшего определения. Пусть X

- банахово пространство; 5 - единичный шар в X; М - выпуклое

центрально-симметричное подмножество в X; Лп С X - n-мерное подпространство. Величины

bn(M, X) = sup{sup{e > 0 : eS П Лга+1 С M} : Лга+1 С X},

dn(M,X) = inf{sup{inf{||/ — <£||x : € Л„} : / € M} : Л„ С X}

называют соответственно бернштейновским и колмогоровским n-поперечниками. Между указанными величинами выполняется неравенство [8]

bn(M,X) < dn(M,X). (8)

Пусть ФДи) (i = 1,2) - положительные неубывающие выпуклые вниз функции, определенные для и ^ 0 и удовлетворяющие условию

Нш{ФДи) : и ^ 0} = Фг(0) =0 (i = 1, 2).

Если M - некоторый класс функций, принадлежащий пространству Bq,7, то через

E„(M)q,7 := supjEn(/)q,Y : / € m} (9)

обозначим отклонение множества M С Bq>7 от множества Pn. Положим также

(sint)* := |sint, если 0 < t ^ n; 1, если t ^ n j, (10)

(1 — cost)* := |1 — cost, если 0 <t ^ n; 2, если t ^ nj. (11)

Исходя из неравенств (4)-(7), для любых r € Z+, n € N и h € R+ определим следующие классы функций:

Wir)№) = І / Є Bq,7 : h| w (/ar);2t)q^ dt < Фі(Ь) 1 ,

h

о h

І

W(г)(Фі) = <j / Є Bq,7 : h |u (zr/(r); 2tj^ dt < Фl(h)

h

Wa(r)^2) = / Є Bq,7 : h| U2 /r); 2t) ^ dt < Ф2(h)

о

h

І

W(r)(Ф2) = < / Є Bq,7 : h f U2 (zr/(r);2t)qY dt < Ф2(Ь) I .

о

2. Основные результаты

Теорема 1. Пусть г € Ъ+ и мажоранта Ф1 при любом Н € М+ удовлетворяет условию

Ф1(Ь)

nh

7Г

Ф1(п/(2п)) 2nh

(sin t)*dt.

(12)

Тогда для произвольной n € N имеют место равенства Ц^„(Г)(Ф1), Bq,7) = dn (^„(Г)(Ф1), Bq,7) =

м

= s. (^<')(Ф1))= 4 • Пг Чу,

ЦW(Г)(Ф1), Bq,7) = dn (W(Г)(Ф1), Bq,7) = = En (w(Г)(Ф1))(

= П -^Ф^ П)

■q,7 4 anr V 2n /

(13)

(14)

Множество мажорант Ф1, удовлетворяющих условию (12), не пусто. Доказательство. Не умаляя общности, докажем равенства (14), поскольку доказательства соотношений (13) приводятся по той же схеме. Учитывая определение класса Ш (г)(Ф1), для произвольной функции / € Ш(г)(Ф1), из неравенства (5), имеем

En(/)q,Y

7Г

( n/(2n)

2n

4a

\

V

7Г

/ w(zr/(r);2t) dt < Ф^-ПУ (15)

J V /,,7 4an,r V2n/

Используя неравенство (8) и равенство (9), из (15) имеем оценку сверху для указанных п-поперечников

ЦW(Г)(Ф1), Bq,7) < dn (W(Г)(Ф1), Bq,7) <

< En (W(г)(Ф1^ <

V J q,Y 4an

т Ф 1 2n/

q, 7Г \

(16)

Для получения оценки снизу указанных п-поперечников во множестве Рп П Вд>7 вводим в рассмотрение шар

Sn+1 :— ^pn € Pn : | |pn Н q,Y ^ 4 . Ф1

-А-)

4an r V2n/

и покажем, что Sn+1 С W(г)(Ф1). С этой целью воспользуемся неравенством

[14] / )

w(zrpnr);2n ^ 2an,r (sin nt)* • ||Pn||q,7, (17)

V / q,Y

справедливым для произвольного полинома pn € Pn. Из (17), учитывая определение класса W(^(Ф^, для любого pn € Sra+1 и произвольного h € R+, в силу условия (12), получаем

h h h J w(zrрПГ);2^)9,7dt ^ 2ara>r ■ ||pn||q,7 ■ h|(sin nt)*dt ^

0 0

h

^ ф1(D ■ Щ./(sinnt)*dt < *l(h)’

0

откуда и следует, что Sn+1 С W(r)(Ф1). Отсюда, согласно определению бернштейновского n-поперечника, имеем:

— Ф1 ( —

4а« r ^2n/

Ц W(г)(Фі), Bq,7) ^ bn (Sn+1, Bq,^) ^ ^ Фі ( 21) ‘ (18)

Сопоставляя оценку сверху (16) и оценку снизу (18), получаем требуемые равенства (14). Покажем существование мажоранты, удовлетворяющей условию (12). Положим Ф^ (£) = £а, где

7Г

а =2 - 1 ~ 0, 57

и докажем, что функция Ф^ удовлетворяет ограничению (12). Подставляя Ф^ в (12), получаем неравенство

I 1 ™Ь-

а+1

>j (sin іМі, (19)

которое еще требуется доказать. Полагая 2nh = Лп, 0 ^ Л< ж и учитывая равенство (10), из (19) получаем эквивалентное неравенство

( 1 — cos^n/2), если 0 ^ Л ^ 1,

Л“+1 п (20)

у 1 + ^(Л — 1), если 1 ^ Л < ж.

С целью установления первого неравенства в (20), вводим в рассмотрение вспомогательную функцию

р(Л) = Ла+1 — 1 + cos

и докажем, что для 0 ^ Л ^ 1 функция <^(Л) ^ 0. В самом деле, в достаточно малой окрестности нуля эта функция положительна, поскольку при Л ^ 0 + + 0 имеет вид

р(Л) = Л“+1( 1 — O(Aa)).

Докажем, что при всех Л € (0,1) функция р(Л) > 0. Допустим от противного, что это не так и в некоторой точке £ € (0,1) функция р меняет знак. Тогда, учитывая, что р(0) = р(1) = 0, согласно теореме Ролля, заключаем, что производная первого порядка

р(Л) = (а + 1)л° — 2 sin ^

внутри интервала (0,1) имеет два различных нуля и, кроме того, р;(0) = = р;(1) = 0. В таком случае, согласно теореме Ролля, вторая производная

р"(л) = (а + 1)аЛ"-1 — (2 j cos Лп (21)

должна иметь по крайней мере три различных нуля в интервале (0,1), но это

невозможно, так как функция (21) представлена разностью выпуклой вниз и выпуклой вверх функций, а потому не может иметь больше двух нулей на интервале (0,1). Таким образом, первое неравенство в (20) имеет место при всех Л € [0,1].

Переходя к доказательству второго неравенства (20), для значений Л € € [1, ж) исследуем функцию

р*(Л) = Л“+1 — 1 — 2(л — 1).

Так как производная р*(Л) = (а + 1)(Ла — 1) ^ 0 для Л € [1, ж) и так

как р*(1) = 0, то р*(Л) ^ 0 для всех Л € [1, ж). Это означает, что второе неравенство в (20) также имеет место, чем и завершаем доказательство теоремы 1. Из доказанной теоремы 1 вытекает

Следствие 1. В условиях теоремы 1 справедливы равенства

ЦWir)№), Bq,7) = dn (wM^!), Bq,7) =

= En (wir)№))q Y = (2)n/2 ■ n-(r-1)-n/2,

ЦW(г)(Ф1), Bq,7) = dn (w(г)(Ф*), Bq,7) =

= E„ (W(r)№)V = i (2)'/2--П- n-/2+1.

Далее нам понадобится следующая

Лемма. Для произвольного полинома рп(г) € справедливы точные неравенства

W2 ГрП"а) 2^ ^ 2(1 — cos nt)* ■ nr ||Pn||q,7, 0 < nt ^ П, (22)

V ’ / q,Y

w2 (ZrрП") ;2t) ^ 2(1 — cos nt)* ■ On,r ||Pn|q,7, 0 < nt ^ П, (23)

V / q,Y

которые обращаются в равенства для полинома дп(г) = агп, а € С.

Доказательство. Приводим доказательство неравенства (23). Для

П

произвольного полинома рп(г) = а^хк € Рп, полагая

&=0

п

Е(г) := ^грПг)(^) = ^ ай;Г ай^,

k=r

имеем

Е (ре^+^) - 2Е (рей) + Е (ре^-^) = ^

к=\

Из равенства (24) сразу следует неравенство

/ J ak,r akp e (^e

k=r

(eikh - 1)2 e

k^ikt (Лikh і)2 Л—ikh

(24)

2n

2n

J F (pei(t+h)) - 2F (peit) + F (pei(t—h)) "dt < 2q(1 - cos nh)* J F(peit)

dt.

(25)

Умножая обе части неравенства (25) на р7(р) и интегрируя по р от р = 0 до р = 1, получаем

q,Y

sup j F (-e^+h)) — 2F (-e*») + F (-ei(~h))

^ 2(1 — cos nh)* ■ ||F(') |q,Y.

Так как F(z) := zгрПг)(^), то, в силу неравенство Бернштейна [14]

(26)

IF (■) 11 q,Y : =

zr рПг)

q,Y

n.rll/'nllq.Y

, n > r, n, Г Є N

и определения модуля гладкости, из (26) получаем

w2 ГzrрП);2t) ^ 2(1 — cosnt)* ■ a,

V / q,Y

* ап,г ||рп||#,7,

откуда и вытекает (23). Точность неравенства (23) на функцию дп(г) = = агп, а € С проверяется непосредственным вычислением. Тем же путем доказывается неравенство (22), чем и завершаем доказательство леммы.

Теорема 2. Пусть мажоранта Ф2 при любых п € N и Н € М+ удовлетворяет ограничению

Ф2(Л.) > 1 п

nh

Ф2(п/(2п)) п — 2 nh

■ -^ (1 — cos t)*dt.

nh

n

Тогда при любых г € Z+, 1 < д < ж имеют место равенства

ь„( ^аг)(Ф2), в,)7)=^ (^аг)(Ф2), в,)7) =

= Еп (жо(г)(Ф2)1 = , П , ■ — Ф2 ( — 1 , (28)

“ 1 2;/,)7 2(п - 2) п; 2Ч 2п/ У 7

Ь„(Ж(Г)(Ф2), в,)7) = (1а (V(Г)(Ф2), в,,^ =

= Еа (ж(г)(Ф2)) =^^ ■ ~~ Ф2 (2П) . (29)

V / 2(п — 2) аа,г ^ 2п /

Множество мажорантных функций Ф2, удовлетворяющих ограничению (27), не пусто.

Доказательство. Не уменьшая общности, покажем справедливость равенств (29), поскольку получение соотношений (28) основано на практически аналогичных соображениях. Для произвольной функции / € Ж(;)(Ф2) из неравенства (7) получаем

Еп(/),,7 < (------П------- / ^2 (V/(г);2^ ^ =

(п — 2)ага.г 7 ^ '9,7

/ п/(2а) \

П 1 ' — / ^2 (гг /(;); 2£) ^

П 7 V -'9,7

V 0 /

2(п — 2) аа

< п 1 Ф Г п ^

< 2(п — 2) ап,г V 2п/

Из этого неравенства и (8) получаем оценку сверху для перечисленных выше п-поперечников

ь„(Ж(;)(Ф2),в,)7) < (1а (V(;)(Ф2),в,)7) <

< Еа (ж(Г)(Ф2^ < 2( П 2) ■ -^Ф^22]. (30)

V / 9,7 2(П — 2) Йа,г V 2п /

Для получения оценки снизу, равной правой части (30) указанных п-поперечников во множестве Рп П в9;7 введем в рассмотрение шар

^а+1 := {Ра € Ра: ||Ра||9>7 < 2(п—2) ■ оа;;Ф2 (2п)}

и покажем, что £П+1 принадлежит классу Ж(;)(Ф2).

В самом деле, используя определение класса Ж(;)(Ф2), из неравенства (23) при любом Н € М+ с учетом ограничения (27) для произвольной рп(г) €

Є Sn+1 имеем

h h h J W2 (VрПг);2^ dt ^ 2-n,r ■ ||Pn||q,7 ■ h /(І - cos nt)*dt ^

q,

оо

nh

^--------Ф21 / ,

п — 2 V 2nJ nh

J(І — cost)*dt ^ Ф2(Л.),

откуда и следует включение £П+і С W(г)(Ф2). Следовательно, согласно определению бернштейновского n-поперечника

о„(и.'в,.,) >ь„№+,,> 2(П-2) -5;;Ч£)• (31)

Сопоставляя оценку сверху (30) и оценку снизу (31), получаем требуемые равенства (29).

Теперь покажем, что множество мажорант, удовлетворяющих условию (27), не пусто. Положим Ф2(Л) = Ла, где

2

а =----- (1, 75 < а < 2), (32)

п — 2

и докажем, что Ф2 удовлетворяет (27). Конкретизируя (27) для Ф|, получаем

2nh^а > 2 п

nh

J > п — 2 2nh

или, что то же,

У (І — cos t)*dt,

+ 1 nh

(^)а > п^/(І — cost)*dt, (33)

п ) п — 2

о

которое еще требуется доказать. Полагая 2пН = (0 < ^ < ж), неравенство

(33) перепишем в виде

аа+У п 2

п — 2

^а7г/2

2

> —2— І (І — cost)*dt. (34)

п — 2 J

Учитывая равенство (11), из неравенства (34) находим

{2 пп

а---sin —, если 0 ^ а ^ 2,

^ п 2 f‘ (35)

2(п — 1), если 2 ^ п<

Полученное неравенство сначала докажем для л € [0,1]. Полагая

р(Л := Ла+1-------^2 (л - 2 81п )

п — 2 \ п 2 /

в достаточно малой окрестности нуля, при л ^ 0 + 0 имеем

р(л) = л“+1 (1 — 24(П—2) “V > 0

Докажем, что на всем отрезке [0,1] функция р(л) ^ 0. Допустим, что это не так и в некоторой точке £ € (0,1) функция р(л) меняет знак. Учитывая, что р(0) = р(1) = 0, заключаем, что производная первого порядка

р'(Л = (а + 1)

Л — 1 + 008 “2“

на интервале (0,1) имеет два различных нуля и еще р;(0) = р;(1) = 0. Но это означает, что вторая производная

р" (л) = (а + 1)

а-1 п . Лп

ал----------------81п —

. 2 2

на интервале (0,1) имеет ровно три различных нуля и, кроме того, р/;(0) = 0, поскольку в силу (32) число а > 1. Поэтому производная третьего порядка

р" '(Л) = (а + 1)

а(а — 1)ла 2 — (008

(36)

внутри интервала (0,1) имеет ровно три различных нуля. Функция (36) представлена разностью выпуклой вниз и выпуклой вверх функции и из геометрических соображений ясно, что р//;(л) на интервале (0,1) не может иметь больше двух нулей. Это противоречие означает, что на отрезке [0,1] неравенство (35) имеет место.

Если же л € (1, 2], то в силу р(1) = р'(1) =0 и неравенства р/;(л) > 0 следует, что р(л) > 0, а потому в полуинтервале (1, 2] первое неравенство в (35) выполняется.

В случае 2 ^ л < то, используя второе неравенство в (35), введем в рассмотрение функцию

2п

Р1 (Л) = Ла+1-2 (Л — 1)-

п — 2

Так как производная

Р1(л) = (а + 1)(ла — 2) ^ 0, 2 ^ л<

и поскольку

Р1(2) = 2п/(п-2) — > 0,

п — 2

то р1(л) > 0 при 2 ^ л < Таким образом, второе неравенство в (35) тоже имеет место, чем и завершаем доказательство теоремы 2.

Следствие 2. В условиях теоремы 2 имеют место равенства

ЦW„(r)($2), Bq,7) = dn (^ІГ)(Ф2), Bq,7) =

4 п/(п—2)

ЦW(г)(Ф2), Bq,7) = d. (W(Г)(Ф^), Bq,7) =

E" (W M<*2>) q„ = ( 2)

Список литературы

1. Тихомиров В.М. Поперечники множеств в функциональных пространствах и теория наилучших приближений // Успехи матем. наук. 1960. Т.15. №3.

2. Тайков Л.В. О наилучшем приближении в среднем некоторых классов аналитических функций jj Матем. заметки. 1967. Т.1. №2. С. 155-162.

3. Тайков Л.В. Поперечники некоторых классов аналитических функций jj Матем. заметки. 1977. Т.22. №2. С. 285-294.

4. Айнуллоев Н., Тайков Л.В. Наилучшее приближение в смысле Колмогорова классов аналитических в единичном круге функций jj Матем. заметки. 1986. Т.40. №3. С. 341-351.

5. Двейрин М.З. Поперечники и е-энтропия классов функций, аналитических в единичном круге. В кн.: Теория функций, функциональный анализ и их приложения. Изд-во Харьк. ун-та, 1975. Вып. 23. С. 32-46.

6. Фарков Ю.А. Поперечники классов Харди и Бергмана в шаре из C” jj Успех. мат. наук. 1990. Т.45. №5. С. 197-198.

7. Fisher S.D., Stessin M.I. The n-width of the unit ball of Hq jj J. Approx. Theory. 1991. V.67. №3. P. 347-356.

8. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer-Verlag, 1985. 252 p.

9. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических функций в пространствах Харди H2 jj Украинский матем. журнал. 1989. Т.41. №6. С. 799-803.

10. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. I jj Украинский матем. журнал. 1990. Т.42. №7. С. 873-881.

11. Вакарчук С.Б. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном круге функций. II jj Украинский матем. журнал. 1990. Т.42. №8. С. 1019-1026.

12. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников некоторых функциональных классов jj Украинский матем. журнал. 1996. Т.48. №1. С. 133-135.

13. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди H2 jj Матем. заметки. 2000. Т.68. №5. С.796-800.

14. Шабозов М.Ш., Лангаршоев М.Р. Наилучшее приближение некоторых классов функций в весовом пространстве Бергмана jj Изв. АН Республики

С. 81-120.

Таджикистан. Отделение физ.-мат., хим., геол. и тех. наук. 2009. №3(136). С. 7-23.

15. Двейрин М.З., Чебапепко И.В. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций. Теория отображений и приближение функций. Киев: Наукова думка, 1983. С. 62-73.

16. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и точные оценки п-поперечников классов аналитических функций // Докл. АН Украины. Математика, естествознание, технические науки. 1994. №6. С. 15-20.

17. Вакарчук С.Б. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. 1995. Т.57. №1. С. 21-27.

18. Вакарчук С.Б. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1999. Т.65. №2. С. 186-193.

19. Вакарчук С.Б. Точные значения поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 2002. Т.72. №5. С. 665-669.

20. Вакарчук С.Б., Забутпая В.И. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди Нчр, д ^ 1, 0 <р ^ 1 // Матем. заметки. 2009. Т.85. №3. С. 323-329.

21. Бабенко К.И. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. Матем. 1958. Т.22. №5. С. 631-640.

22. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана В2,7 // Докл. РАН. 2007. Т.412. №4. С. 466-469.

23. Вакарчук С.Б., Шабозов М.Ш. О поперечниках классов функций, аналитических в круге // Матем. сборник. 2010. Т.201. №8. С.3-22. 285-294.

24. Шабозов М.Ш., Лапгаршоев М.Р. О наилучших линейных методах и значениях поперечников некоторых классов аналитических функций в весовом пространстве Бергмана // Докл. РАН. 2013. Т.450. №5. С. 518-521.

25. Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М.: Наука, 1977. 511 с.

Лангаршоев Мухтор Рамазонович ([email protected]), к.ф.-м.н., доцент, кафедра математического анализа и теории функций, Таджикский национальный университет, Душанбе, Таджикистан.

On best approximation and value of widths of some classes functions in weighted Bergman’s space

M. R. Langarshoev

Abstract. In the article for some classes of analytical in disc functions which belong to weighted Bergman’s space , 1 ^ q < to, where 7 - positive weighted function the exact value of Bernshtein and Kolmogorov’s n-widths are calculated.

Keywords: best approximation, module continuity, module of smoothness, weighted function, polynomial, majorant, n-widths.

Langarshoev Mukhtor ([email protected]), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of mathematical analysis and theory of functions, Tajik National University, Dushanbe, Tajikistan.

Поступила 18.05.2014